SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Eerste getal is 8
Tweede 7
derde 6
vierde 4
8*7*6*5
En dan nog een nCr ertussen ofzoiets. Goor hoofdstuk
Tweede 7
derde 6
vierde 4
8*7*6*5
En dan nog een nCr ertussen ofzoiets. Goor hoofdstuk
Sorry, ik zie dat ik vergeten ben te noemen dat het om oneven getallen gaat. Oeps.... dus:
quote:Bepaal het aantal oneven getallen tussen de 1000 en de 9999, zodat alle vier cijfers verschillen en ongelijk aan nul zijn.
Eerste getal heeft negen mogelijkheden toch? Dan kom je op 9*8*7*6=3024 getallen. Maar dan moet je nog ergens iets doen om te corrigeren voor dubbeltellen volgens mij...quote:Op maandag 4 juni 2012 21:36 schreef Amoeba het volgende:
Eerste getal is 8
Tweede 7
derde 6
vierde 4
8*7*6*5
En dan nog een nCr ertussen ofzoiets. Goor hoofdstuk
The biggest argument against democracy is a five minute discussion with the average voter.
Ohja, de 1 verwarde me. 9*8*7*5 (laatste getal moet dus oneven zijn)quote:
[..]
Eerste getal heeft negen mogelijkheden toch? Dan kom je op 9*8*7*6=3024 getallen. Maar dan moet je nog ergens iets doen om te corrigeren voor dubbeltellen volgens mij...
Fout.quote:
[..]
Ohja, de 1 verwarde me. 9*8*7*5 (laatste getal moet dus oneven zijn)
Misschien is het wel aardig om iets over de achtergronden van het vraagstuk te vertellen, want er zijn natuurlijk meerdere manieren om het op te lossen.quote:
[..]
Noem je dit wel gemakkelijk dan.
Ik wed dat 90% van alle havo leerlingen hier de steek zouden laten vallen zodra je NOG een keer met de ABC formule aan de haal moet wanneer er al zo'n harde vergelijking x = 1+√17 staat.
Als je een tekening maakt, dan zie je vrij gemakkelijk dat er in totaal vier lijnen zijn die door het punt (1;1) gaan en de beide assen snijden zodanig dat de afstand van de snijpunten 4 bedraagt. En je kunt dat ook zien aan het stelsel
a2 + b2 = 16, a + b = ab,
want eliminatie van a of b levert dan een vierdegraadsvergelijking op. Maar omdat de vier mogelijke lijnen twee aan twee spiegelsymmetrisch liggen t.o.v. de lijn y = x, geldt dus voor elk gespiegeld lijnenpaar dat het product van de richtingscoëfficiënten gelijk is aan 1. En dat betekent dat we een wederkerige vergelijking van de vierde graad krijgen als we de richtingscoëfficiënt m van de lijn door (1;1) als variabele nemen. Nu hebben wederkerige vergelijkingen van even graad de prettige eigenschap dat je die door een substitutie (hier: m + 1/m = z) eenvoudig kunt herleiden tot een vergelijking waarvan de graad nog maar de helft van de oorspronkelijke bedraagt. En zo krijg je dan inderdaad ook een vierkantsvergelijking, waarvan de twee oplossingen aanleiding geven tot twee nieuwe vierkantsvergelijkingen. Heel vroeger stonden wederkerige vergelijkingen op het programma van het hoger middelbaar onderwijs, maar daaruit zijn ze ergens in de jaren '50 van de vorige eeuw verdwenen. Een beetje googelen leert dat ze wel in Vlaanderen kennelijk hier en daar nog op het programma staan.
Varianten van dit probleem staan ook bekend als het zogeheten ladderprobleem, zie bijvoorbeeld hier (waar de auteur duidelijk de theorie van de wederkerige vergelijkingen niet kent) en hier.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 04-06-2012 22:27:44 ]
Ik zit me af te vragen of het niet gewoon 9*8*7*6*(5/9)is, maar dit lijkt me té makkelijk..quote:
26"
Fading slowly.
Fading slowly.
Daar staat dus eigenlijk 8*7*6*5. Dat is het goede antwoord. Probeer het maar eens te beredeneren.quote:Op maandag 4 juni 2012 21:49 schreef Unsub het volgende:
[..]
Ik zit me af te vragen of het niet gewoon 9*8*7*6*(5/9)is, maar dit lijkt me té makkelijk..
Als je eruit bent kunnen we het een stapje moeilijker maken:
Bepaal het aantal oneven getallen tussen de 1000 en 9999 zodat alle vier cijfers verschillen (en wel de waarde 0 aan mogen nemen).
Succes
Deze meneer in artikel 2 stelt dat elke 'haast symmetrische vergelijking' (bij wijze van de rangschikking van coëfficiënten) met behulp van een substitutie valt te reduceren tot een kwadratische aangelegenheid. Hoe kom ik erachter (of beredeneer) wat deze substitutie is? Of is dit altijd x + 1/x?quote:
[..]
knip
Varianten van dit probleem staan ook bekend als het zogeheten ladderprobleem, zie bijvoorbeeld hier (waar de auteur duidelijk de theorie van de wederkerige vergelijkingen niet kent) en hier.
[ Bericht 41% gewijzigd door #ANONIEM op 04-06-2012 22:04:35 ]
Oh jaquote:
[..]
Daar staat dus eigenlijk 8*7*6*5. Dat is het goede antwoord. Probeer het maar eens te beredeneren.
Als je eruit bent kunnen we het een stapje moeilijker maken:
Bepaal het aantal oneven getallen tussen de 1000 en 9999 zodat alle vier cijfers verschillen (en wel de waarde 0 aan mogen nemen).
Succes
Nouja, als je het criterium van oneven weglaat, zijn er dus 9*8*7*6 verschillende getallen. Je hebt, als je 0 niet mee laat tellen, 4 verschillende even getallen van de 9, en 5 oneven. Dus vermenigvuldig ik met de 'kans' (slechte woordkeus, kom even niet op het juiste woord) op een oneven getal, dit geeft 9*8*7*6*(5/9), wat hetzelfde is als 8*7*6*5.
Ik geloof niet dat dit de volledige/juiste redenatie is, maar ik ga me nog even buigen over het volgende probleem
26"
Fading slowly.
Fading slowly.
Dat is inderdaad een standaard substitutie. Het is ook vrij gemakkelijk in te zien waarom dat zo is. Bij een wederkerige vergelijking van even graad kun je de wortels verdelen in paren α, 1/α, β, 1/β enz. waarvan het product steeds één is. Hebben we een wederkerig polynoom P(x) van even graad waarvan α en 1/α twee nulpunten zijn, dan bevat P(x) dus een factorquote:
[..]
Deze meneer in artikel 2 stelt dat elke 'haast symmetrische vergelijking' (bij wijze van de rangschikking van coëfficiënten) met behulp van een substitutie valt te reduceren tot een kwadratische aangelegenheid. Hoe kom ik erachter (of beredeneer) wat deze substitutie is? Of is dit altijd x + 1/x?
(x - α)(x - 1/α) = (x2 - (α + 1/α)x + 1) = x∙((x + 1/x) - (α + 1/α))
Is dus P(x) een wederkerig polynoom van de graad n = 2k, dan heb je zo:
P(x) = xk∙Q(z) met z = x + 1/x,
waarbij Q(z) een polynoom is van de graad k, dus de helft van de graad n van P(x). En aangezien x = 0 geen wortel is van P(x) = 0 kun je dan alle wortels van P(x) = 0 vinden door Q(z) = 0 op te lossen en voor elk nulpunt z van Q(z) de vergelijking x + 1/x = z oftewel x2 - zx + 1 = 0 weer op te lossen naar x.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 04-06-2012 22:38:44 ]
Ik snap dat dat je idee was. Maar die redenering is niet echt waterdicht. Het is makkelijker om direct te beredeneren dat er 8*7*6*5 uitkomt.quote:
[..]
Oh ja
Nouja, als je het criterium van oneven weglaat, zijn er dus 9*8*7*6 verschillende getallen. Je hebt, als je 0 niet mee laat tellen, 4 verschillende even getallen van de 9, en 5 oneven. Dus vermenigvuldig ik met de 'kans' (slechte woordkeus, kom even niet op het juiste woord) op een oneven getal, dit geeft 9*8*7*6*(5/9), wat hetzelfde is als 8*7*6*5.
Ik geloof niet dat dit de volledige/juiste redenatie is, maar ik ga me nog even buigen over het volgende probleem
9*9*8*7/2 zeg ik zo even als eerste gedachte.quote:
[..]
Daar staat dus eigenlijk 8*7*6*5. Dat is het goede antwoord. Probeer het maar eens te beredeneren.
Als je eruit bent kunnen we het een stapje moeilijker maken:
Bepaal het aantal oneven getallen tussen de 1000 en 9999 zodat alle vier cijfers verschillen (en wel de waarde 0 aan mogen nemen).
Succes
Hier denk ik morgen nog even over na, zal morgenavond weer een keer postenquote:
[..]
Ik snap dat dat je idee was. Maar die redenering is niet echt waterdicht. Het is makkelijker om direct te beredeneren dat er 8*7*6*5 uitkomt.
26"
Fading slowly.
Fading slowly.
Na 2x lezen heb ik het begrepen. Tijd om te gaan slapen.quote:
[..]
Dat is inderdaad een standaard substitutie. Het is ook vrij gemakkelijk in te zien waarom dat zo is. Bij een wederkerige vergelijking van even graad kun je de wortels verdelen in paren α, 1/α, β, 1/β enz. waarvan het product steeds één is. Hebben we een wederkerig polynoom P(x) van even graad waarvan α en 1/α twee nulpunten zijn, dan bevat P(x) dus een factor
(x - α)(x - 1/α) = (x2 - (α + 1/α)x + 1) = x∙((x + 1/x) - (α + 1/α))
Is dus P(x) een wederkerig polynoom van de graad n = 2k, dan heb je zo:
P(x) = xk∙Q(z) met z = x + 1/x,
waarbij Q(z) een polynoom is van de graad k, dus de helft van de graad n van P(x). En aangezien x = 0 geen wortel is van P(x) = 0 kun je dan alle wortels van P(x) = 0 vinden door Q(z) = 0 op te lossen en voor elk nulpunt z van Q(z) de vergelijking x + 1/x = z oftewel x2 - zx + 1 = 0 weer op te lossen naar x.
Hoezo is die beredenering eigenlijk niet waterdicht? Je hebt, zonder de oneven restrictie, 9*8*7*6 keuzes gezien de andere restricties. Vervolgens selecteer je de oneven getallen er uit door alleen getallen met als laatste cijfer 1,3,5,7 of 9 mee te tellen, ofwel 5/9 van de mogelijke getallen die voldeden aan de eerdere restrictie (0 was geen keuze gezien de eerste restrictie).quote:
[..]
Ik snap dat dat je idee was. Maar die redenering is niet echt waterdicht. Het is makkelijker om direct te beredeneren dat er 8*7*6*5 uitkomt.
Je redenering klopt niet, want als bijvoorbeeld de eerste drie cijfers alle drie oneven zijn, dan zijn er nog maar 2 mogelijkheden voor het laatste cijfer, en niet vijf zoals jij veronderstelt.quote:
[..]
Hoezo is die beredenering eigenlijk niet waterdicht? Je hebt, zonder de oneven restrictie, 9*8*7*6 keuzes gezien de andere restricties. Vervolgens selecteer je de oneven getallen er uit door alleen getallen met als laatste cijfer 1,3,5,7 of 9 mee te tellen, ofwel 5/9 van de mogelijke getallen die voldeden aan de eerdere restrictie (0 was geen keuze gezien de eerste restrictie).
Ik heb een vraag over analyse/lagrange multipliers.
Bepaal de maximale afstand van een punt in de doorsnede van
met het vlak y = 3 tot het punt (0, 0, 2).
Mijn poging:
Afstand is maximaal als
maximaal is.
S geeft als constraint:
En het vlak y=3 geeft :
Nu kritieke punten van de Lagrange multiplier L bepalen.
Dan moet gelden (partiele afgeleides):
1)
2)
3)
4)
5)
Dus y = 3.
Uit 1) volgt x = 0 of
Als x = 0 kom ik keurig uit. ( (0,3,-1) geeft f = 18)
Als, dan krijg ik uit 3) een derdegraadsvergelijking voor z. Is dit niet te omzeilen? Ik heb vanalles geprobeerd met regels 3 en 4, en met f kleiner praten dan 18, maar ik zie het niet. Iemand een idee?
Bepaal de maximale afstand van een punt in de doorsnede van
Mijn poging:
Afstand is maximaal als
S geeft als constraint:
En het vlak y=3 geeft :
Nu kritieke punten van de Lagrange multiplier L bepalen.
Dan moet gelden (partiele afgeleides):
1)
2)
3)
4)
5)
Dus y = 3.
Uit 1) volgt x = 0 of
Als x = 0 kom ik keurig uit. ( (0,3,-1) geeft f = 18)
Als
Om te beginnen: ∂L/∂y = 2y + 2λy + μquote:
Ik heb een vraag over analyse/lagrange multipliers.
Bepaal de maximale afstand van een punt in de doorsnede van
Mijn poging:
Afstand is maximaal als
S geeft als constraint:
En het vlak y=3 geeft :
Nu kritieke punten van de Lagrange multiplier L bepalen.
Dan moet gelden (partiele afgeleides):
1)
2)
3)
4)
5)
Dus y = 3.
Uit 1) volgt x = 0 of
Als x = 0 kom ik keurig uit. ( (0,3,-1) geeft f = 18)
Als
De oplossing van je vergelijking is echt heel eenvoudig, je ziet nl. over het hoofd dat z2 - 4 = (z - 2)(z + 2) en dat je dus een factor (z - 2) buiten haakjes kunt halen. Voor λ = -1 hebben we:
2(z - 2) + 4z(z2 - 4) = 0
en dus:
(z - 2)(2 + 4z(z + 2)) = 0
en dus:
(z - 2)(4z2 + 8z + 2) = 0
Nu is de oplossing uiteraard eenvoudig, de wortels zijn:
z = 2 ∨z = -1 + ½√2 ∨z = -1 - ½√2
Dit komt verder niet mooi uit, het gezochte maximum van je f(x,y,z) wordt bereikt voor x = ½√(-3 + 20√2), y = 3, z = -1 + ½√2, en dit maximum bedraagt dan 71/4 + 2√2, maar dat mag je zelf even narekenen.
Bedankt Riparius. Dat zag ik inderdaad over het hoofd. Het is nu gelukt en ik krijg dezelfde waarde.
Dat kan niet, of je moet zoveel van de Lamber W-functie houden dat je die wilt gebruiken.quote:
Even een kort vraagje. Hoe los ik deze formule algebraïsch op: 8x - 2e^x = 0
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Oké. Dus het is niet algebraïsch op te lossen? Ik dacht even dat ik gek werd.quote:
[..]
Dat kan niet, of je moet zoveel van de Lamber W-functie houden dat je die wilt gebruiken.
Stop hem even in WolframAlpha in plaats van het hier te vragen, dan heb je meteen antwoord op je vraag (maar niet het soort antwoord dat je verwachtte). En: 'kort vraagje' suggereert dat je een 'kort antwoord' denkt te krijgen, maar zo werkt dat toch niet. Goldbach had in 1742 ook een 'kort vraagje' aan Euler, maar anno 2012 weten we het antwoord nog niet.quote:
Even een kort vraagje. Hoe los ik deze formule algebraïsch op: 8x - 2e^x = 0
Ieder getal groter dan 4 is de som van 2 priemgetallen?quote:
[..]
Stop hem even in WolframAlpha in plaats van het hier te vragen, dan heb je meteen antwoord op je vraag (maar niet het soort antwoord dat je verwachtte). En: 'kort vraagje' suggereert dat je een 'kort antwoord' denkt te krijgen, maar zo werkt dat toch niet. Goldbach had in 1742 ook een 'kort vraagje' aan Euler, maar anno 2012 weten we het antwoord nog niet.
Nog altijd onopgelostquote:Bepaal het aantal oneven getallen tussen de 1000 en 9999 zodat alle vier cijfers verschillen
Hoi,
Kan iemand me de berekening en antwoord geven van:
(3-2p^2)(p^2-4)=
Alvast bedankt voor uw antwoord.
Groet,
superky
Kan iemand me de berekening en antwoord geven van:
(3-2p^2)(p^2-4)=
Alvast bedankt voor uw antwoord
.Groet,
superky
Op
Ja ik heb ook dit gedaan maar het lukt me nog niet.quote:
Je moet (a+b)(c+d) = ac + ad + bc +bd gebruiken.
Dit heb ik als antwoord, maar het is niet het goede antwoord:
(3-2p^2)(p^2-4)= 3p^2-12-2p^4-8p
En zo had ik het aangepakt:
3*p^2=3p^2
3*-4=-12
-2p^2*p^2=-2p^4
-2p*-4= -8p
Bij die laatste reken je het verkeerde uit. (en dan nog: min keer min = plus)quote:
[..]
Ja ik heb ook dit gedaan maar het lukt me nog niet.
Dit heb ik als antwoord, maar het is niet het goede antwoord:
(3-2p^2)(p^2-4)= 3p^2-12-2p^4-8p
En zo had ik het aangepakt:
3*p^2=3p^2
3*-4=-12
-2p^2*p^2=-2p^4
-2p*-4= -8p
Gebruik superscript, dan is het wat leesbaarder:quote:
[..]
oh ja sorry vergat nog iets bij te melden:
Werk uit:
(3-2p^2)(p^2-4)=
(3 - 2p2)(p2 - 4) = 3p2 - 12 - 2p4 + 8p2 = -2p4 + 11p2 - 12
Kies 1 uit 5 voor de laatste, dan 1 uit 8 voor de eerste, 1 uit 8 voor de tweede en 1 uit 7 voor de derde.quote:
Op 5*8*8*7
Stond een mooi goed verhaal over in het boek 'Getallen' van Frans Keune (goed geschreven trouwens), over inclusie-exclusie. Ik heb het niet helemaal gelezen, maar het lijkt een methode die je hier goed kan gebruiken.quote:
SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.Riparius, ik moet bekennen dat ik de goniometrische methode van Viète om derdemachtsvergelijkingen op te lossen nog niet helemaal snap.
De vergelijking x3-5x=2 kan ik oplossen als ik probeer en dan een staartdeling doe door (x+2) (maar dit is natuurlijk lang niet altijd te gebruiken), met de goniometrische substitutie krijg ik wel:
Wat volgens Wolfram Alpha wel een geldige oplossing is (want gelijk aan x=1+√2), maar ik zou niet weten hoe je dit moet uitwerken. Je zei zelf al dacht ik dat het een goede oefening zou zijn om dit te herleiden, maar ik zou eerlijk gezegd niet weten waar ik moet beginnen.
Helemaal correct. De grap is dat je met het vierde cijfer moet beginnen, en daarna de eerste, anders loopt het in de soep. Het kan anders ook wel, maar dan zul je gevallen moeten onderscheiden.quote:
[..]
Kies 1 uit 5 voor de laatste, dan 1 uit 8 voor de eerste, 1 uit 8 voor de tweede en 1 uit 7 voor de derde.
5*8*8*7
Dit vond ik wel een leuk voorbeeldje van een som met een makkelijke oplossing, terwijl het in de eerste instantie veel werk lijkt.
quote:Op donderdag 7 juni 2012 00:37 schreef kutkloon7 het volgende:
[..]
Stond een mooi goed verhaal over in het boek 'Getallen' van Frans Keune (goed geschreven trouwens), over inclusie-exclusie. Ik heb het niet helemaal gelezen, maar het lijkt een methode die je hier goed kan gebruiken.Ook een leuke oplossingSPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.
quote:
[..]
Stond een mooi goed verhaal over in het boek 'Getallen' van Frans Keune (goed geschreven trouwens), over inclusie-exclusie. Ik heb het niet helemaal gelezen, maar het lijkt een methode die je hier goed kan gebruiken.Snap je nu het principe van de goniometrische substitutie niet, of enkel het herleiden van die oplossing?SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.Riparius, ik moet bekennen dat ik de goniometrische methode van Viète om derdemachtsvergelijkingen op te lossen nog niet helemaal snap.
De vergelijking x3-5x=2 kan ik oplossen als ik probeer en dan een staartdeling doe door (x+2) (maar dit is natuurlijk lang niet altijd te gebruiken), met de goniometrische substitutie krijg ik wel:
Wat volgens Wolfram Alpha wel een geldige oplossing is (want gelijk aan x=1+√2), maar ik zou niet weten hoe je dit moet uitwerken. Je zei zelf al dacht ik dat het een goede oefening zou zijn om dit te herleiden, maar ik zou eerlijk gezegd niet weten waar ik moet beginnen.
*Iets* minder elegant wel, en ook gevoeliger voor fouten. Ik zag inderdaad de elegantere manier pas in na Physics' post. Ik had net dat stuk over inclusie-exclusie doorgebladerd, waar dit me aan deed denken, dus kwam ik al snel op deze manier.quote:
Enkel het herleiden van de oplossing (hoewel ik de methode op zich ook wel lastig vind, maar ik snap het principe nu wel).quote:Op donderdag 7 juni 2012 00:56 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Snap je nu het principe van de goniometrische substitutie niet, of enkel het herleiden van die oplossing?
Ik denk dat Riparius er ook op doelde dat dit een vervloekt lastige opgave is om uit te werken, vandaar dat hij over een "goede oefening" sprak.
Daar lijkt het inderdaad op ja. Ik vraag me sowieso af hoe je zou moeten beginnen, want ik zie geen enkele mogelijkheid. Het zou toch moeten kunnen, anders zou je aan de hele methode niet zo veel hebben, lijkt me. Behalve dan misschien mooie goniometrische formules aantonen, door de derdegraads vergelijking op twee manier op te lossen (deze en de formule van Cardano).quote:
Ik denk dat Riparius er ook op doelde dat dit een vervloekt lastige opgave is om uit te werken, vandaar dat hij over een "goede oefening" sprak.
Ik snap de tegenstelling in je zin niet helemaal. Welke methode is dan zinloos? We hebben de formule van Cardano in deze kwestie toch niet gebruikt, enkel de goniometrische substitutie van Viète en een stukje puzzelwiskunde/algebra, dit gaf de oplossing x = 1 + √2.
Dan heb ik iets gemist, ik snap niet hoe je bij de oplossing x = 1 + √2 komt zonder de oplossing x=-2. Even teruglezen dan.quote:
Ik snap de tegenstelling in je zin niet helemaal. Welke methode is dan zinloos? We hebben de formule van Cardano in deze kwestie toch niet gebruikt, enkel de goniometrische substitutie van Viète en een stukje puzzelwiskunde/algebra, dit gaf de oplossing x = 1 + √2.
Je hebt gelijk. De formule werd inderdaad opgesteld aan de hand van de oplossing van x = -2. De kwadratische functie gaf toen als oplossingen:
x = 1 + √2
x = 1 - √2
Maar Cardano kon mooi thuisblijven, toch?
Riparius kwam namelijk aanzetten met de oplossing x = -2, aangezien dat vrij eenvoudig te zien was.
x = 1 + √2
x = 1 - √2
Maar Cardano kon mooi thuisblijven, toch?
Riparius kwam namelijk aanzetten met de oplossing x = -2, aangezien dat vrij eenvoudig te zien was.
| Forum Opties | |
|---|---|
| Forumhop: | |
| Hop naar: | |