[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op maandag 21 mei 2012 08:21 schreef Don_Vanelli het volgende:
Het heeft me een uur van mn leven gekost, maar volgens mij is het antwoord dat de afstand tot de oorsprong gelijk is aan

Dat is correct.

Maar verklap nog maar niet hoe je het hebt gedaan, dan kan Amoeba nog even door puzzelen.

quote:

Op maandag 21 mei 2012 09:45 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat is correct.

Maar verklap nog maar niet hoe je het hebt gedaan, dan kan Amoeba nog even door puzzelen.

Ik moet toch uitkomen op een dikke gare wortel met 500x i? Of is dat te 'vereenvoudigen' tot 2cos4pi/9?

quote:

Op maandag 21 mei 2012 09:57 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ik moet toch uitkomen op een dikke gare wortel met 500x i? Of is dat te 'vereenvoudigen' tot 2cos4pi/9?

Je hebt twee complexe getallen m³ = -½ + i∙½√3 en n³ = -½ - i∙½√3 en je probleem is nu dat je van deze twee complexe getallen de derdemachtswortels moet bepalen. Maar dat is niet zuiver algebraïsch te doen en dat is precies waarop je stuk loopt.

De kubische vergelijking x³ - 3x + 1 = 0 die je op moet lossen heeft uitsluitend reële wortels, maar opmerkelijk genoeg zijn deze wortels met de formules van Cardano toch niet zonder complexe getallen uit te drukken. Daarom noemde men dit casus irreducibilis ('het onherleidbare geval').

Je kunt nu een paar dingen doen, namelijk verder werken met complexe getallen en gebruik maken van de formule van De Moivre, of zonder complexe getallen werken door een goniometrische substitutie in je oorspronkelijke kubische vergelijking uit te voeren.

Meh.

m³ = -1/2 - 1/2i√3
3*argz = 240 graden, dus arg z = 80 graden.

m = cos80 + i*sin80
n = 1/m
a = m+n
cos 80 + isin80 + 1/(cos80 + i*sin80)

quote:

Op maandag 21 mei 2012 10:10 schreef Amoeba het volgende:
Meh.

m³ = -1/2 - 1/2i√3
3*argz = 240 graden, dus arg z = 80 graden.

m = cos80 + i*sin80
n = 1/m
a = m+n
cos 80 + isin80 + 1/(cos80 + i*sin80)

Inderdaad, daar komt het wel op neer, dat heb je snel gevonden (er zijn natuurlijk drie reële wortels, maar deze moet je hebben).

Als je nu nog ziet dat 1/(cos 80° + i*sin 80°) = cos 80° - i*sin80° (waarom?) dan ben je klaar.

(cos80 + i sin80)^-1 = cos-80 + isin-80

cos-x = cosx
sin-x = -sinx

Gonio + De Moivre.
Maar even een vraagje uit nieuwsgierigheid, wat heb jij (allemaal) gestudeerd?

quote:

Op maandag 21 mei 2012 10:18 schreef Amoeba het volgende:
(cos80 + i sin80)^-1 = cos-80 + isin-80

cos-x = cosx
sin-x = -sinx

Gonio + De Moivre.
Maar even een vraagje uit nieuwsgierigheid, wat heb jij (allemaal) gestudeerd?

Ah, je zit in mijn postgeschiedenis te kijken? Sorry, maar ik beantwoord geen privé vragen.

En cos 80 = cos 4pi/9..

quote:

Op maandag 21 mei 2012 10:20 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ah, je zit in mijn postgeschiedenis te kijken? Sorry, maar ik beantwoord geen privé vragen.

Neen. Ik kwam toevallig je post tegen bij de vraag over dat gedicht van (Schrijver?), ik zie je regelmatig in DIG en hier. Sorry, ik was enkel benieuwd.

quote:

Op maandag 21 mei 2012 01:05 schreef Riparius het volgende:

[..]

Het lijkt erop alsof je hier het interval waarover je r neemt als constant beschouwt, maar dat is niet zo als je p varieert ...

Ohja, het volgens mij integreer ik nu een stuk van de bol waaruit nog een kegel ontbreekt. Dat zou je er wel weer bij op kunnen tellen: 1/3 pi r² h, met r=cos(p), h=sin(p). Dan krijg je


Maar dat is nog steeds wat anders geloof ik, want dan krijg ik numeriek p=0.28.

[ Bericht 1% gewijzigd door thenxero op 21-05-2012 11:19:07 ]

quote:

Op maandag 21 mei 2012 11:13 schreef thenxero het volgende:

[..]

Ohja, het volgens mij integreer ik nu een stuk van de bol waaruit nog een kegel ontbreekt. Dat zou je er wel weer bij op kunnen tellen

Je maakt het allemaal veel te moeilijk met die drievoudige integraal, want eigenlijk maak je gebruik van het feit dat de oppervlakte van een cirkel met straal r gelijk is aan:

∫₀^2π ∫₀^r ρdρdθ

Je kunt veel beter een enkelvoudige integraal met ϕ als variabele opstellen.

Ik krijg een beetje een punthoofd van WolframAlpha, want die wil mijn bolcoördinaten met (r,θ,ϕ) niet herkennen, dus ik heb me even moeten behelpen met f voor ϕ, maar de integraal die je zoekt is deze.

Maar goed, dat is alleen om even te laten zien wat je dan krijgt. Voor p = π/2 krijg je het volume van de halve bol, zijnde (2/3)∙π.

Eenvoudiger gaat het als volgt. Beschouw een snijvlak op een hoogte h vanaf het grondvlak van de halve bol en zij r de straal van de snijcirkel. Dan hebben we:

r = cos ϕ,

en:

h = sin ϕ,

dus ook:

dh = cos ϕ∙dϕ

Dit geeft voor de volumedifferentiaal dV:

dV = π∙r²∙dh = π∙cos³ϕ∙dϕ

En dus krijgen we voor het volume V met ϕ = p:

∫₀^p π∙cos³ϕ∙dϕ

Je kunt nu gemakkelijk in WolframAlpha nagaan (weer met f voor ϕ) dat dit precies hetzelfde resultaat oplevert als die onnodig lastige drievoudige integraal.

[ Bericht 5% gewijzigd door Riparius op 21-05-2012 13:03:29 ]

Maargoed, heb je nog meer van zulke interessante dilemma's?

quote:

Op maandag 21 mei 2012 12:56 schreef Amoeba het volgende:
Maargoed, heb je nog meer van zulke interessante dilemma's?

Nou ja, dilemma's, het is gewoon een opgave (uit het boek Beknopte Hoogere Algebra van Fred Schuh uit 1926, p. 287 als je het precies wil weten). Maar probeer eerst eens of je die kubische vergelijking op kunt lossen met een goniometrische substitutie, dus zonder gebruik van complexe getallen. Of kijk eens of je verder komt met de aanpak van thenxero.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 21-05-2012 13:20:33 ]

Ik heb er nog wel een voor jou als je wil? Maar hoe kon ik nou uitkomen op die oplossing van Wolframalpha, ofwel dat 'wortelantwoord'? Daar wil ik nog wel mee verder. Een zetje, gaarne.

quote:

Op maandag 21 mei 2012 13:30 schreef Amoeba het volgende:
Ik heb er nog wel een voor jou als je wil?

Post hier maar. Als ik het niet weet op te lossen dan iemand anders wellicht wel. Is altijd leerzaam, ook voor de meelezers.

quote:

Op maandag 21 mei 2012 13:33 schreef Riparius het volgende:

[..]

Post hier maar. Als ik het niet weet op te lossen dan iemand anders wellicht wel. Is altijd leerzaam, ook voor de meelezers.

Ja leuk, dan kan ik weer domme opmerkingen maken enzo.

quote:

Op maandag 21 mei 2012 13:30 schreef Amoeba het volgende:
Ik heb er nog wel een voor jou als je wil? Maar hoe kon ik nou uitkomen op die oplossing van Wolframalpha, ofwel dat 'wortelantwoord'? Daar wil ik nog wel mee verder. Een zetje, gaarne.

Wat had je precies ingevoerd bij WolframAlpha?

Goed, het gaat over een driehoek.

De oppervlakte O wordt gegeven door een functie:

O = sin(2a) + sin(a)√(21+4cos²(a))

Bereken exact de maximale waarde van O met behulp van differentieren. Met berekening gaarne, numeriek oplossen is te simpel.

Verder heb ik geen les gehad over bolcoördinaten en dubbele integralen, zoals gezegd: Buiten een CE Wiskunde B en 2 boeken Wiskunde D en een goede motivatie heb ik niet zo veel parate wiskundekennis.

quote:

Op maandag 21 mei 2012 13:37 schreef Riparius het volgende:

[..]

Wat had je precies ingevoerd bij WolframAlpha?

De kubische functie. Naar de exacte antwoorden gekeken, ofwel de middelste daarvan die op het gevraagde interval ligt.

quote:

Op maandag 21 mei 2012 13:38 schreef Amoeba het volgende:
Goed, het gaat over een driehoek.

De oppervlakte O wordt gegeven door een functie:

O = sin(2a) + sin(a)√(21+4cos²(a))

Bereken exact de maximale waarde van O met behulp van differentieren. Met berekening gaarne, numeriek oplossen is te simpel.

Als ik even kijk dan zie ik daar op het eerste gezicht geen interessant of elegant antwoord uitkomen, dus óf je hebt de opgave verkeerd overgenomen, óf ik mis iets.

quote:

Op maandag 21 mei 2012 13:51 schreef Riparius het volgende:

[..]

Als ik even kijk dan zie ik daar op het eerste gezicht geen interessant of elegant antwoord uitkomen, dus óf je hebt de opgave verkeerd overgenomen, óf ik mis iets.

Je mist iets. Dit was een vraag op mijn proefwerk, om dit numeriek op te lossen. Maar zoals gegeven, eerst differentieren. De afgeleide moet 0 zijn.

Numeriek oplossen geeft O = 5. Dit gaf ons de drive om dit proberen exact te doen. Wat gelukt is.

quote:

Op maandag 21 mei 2012 13:40 schreef Amoeba het volgende:

[..]

De kubische functie. Naar de exacte antwoorden gekeken, ofwel de middelste daarvan die op het gevraagde interval ligt.

OK. Dit is gewoon wat je met de formule's van Cardano krijgt. Je had:

m³ = -½ + i∙½√3 en n³ = -½ - i∙½√3

Elk van deze vergelijkingen heeft niet één maar drie oplossingen. Je krijgt dus 3 complexe getallen m₁, m₂, m₃ en drie complexe getallen n₁, n₂, n₃. Aangezien x = m + n kun je zo 9 combinaties maken, maar daarvan voldoen er maar 3, omdat je ook nog aan de voorwaarde mn = 1 moet voldoen.

Heb je één set oplossingen die voldoen, laten we zeggen m₁ en n₁ , dan kun je de twee andere waarden voor m en n vinden door te vermenigvuldigen met de beide primitieve derdemachts eenheidswortels, namelijk

ε₁ = -½ + i∙½√3 en ε₂ = -½ - i∙½√3

Aangezien ε₁ε₂ = 1 krijg je dan:

x₁ = m₁ + n₁
x₂ = ε₁m₁ + ε₂n₁
x₃ = ε₂m₁ + ε₁n₁

Ik neem aan dat het nu wel wat duidelijker wordt hoe de uitdrukkingen die WolframAlpha geeft zijn opgebouwd.

Ach zo. Nuttig, dank.

quote:

Op maandag 21 mei 2012 12:35 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je maakt het allemaal veel te moeilijk met die drievoudige integraal, want eigenlijk maak je gebruik van het feit dat de oppervlakte van een cirkel met straal r gelijk is aan:

∫₀^2π ∫₀^r ρdρdθ

Je kunt veel beter een enkelvoudige integraal met ϕ als variabele opstellen.

Ik krijg een beetje een punthoofd van WolframAlpha, want die wil mijn bolcoördinaten met (r,θ,ϕ) niet herkennen, dus ik heb me even moeten behelpen met f voor ϕ, maar de integraal die je zoekt is deze.

Maar goed, dat is alleen om even te laten zien wat je dan krijgt. Voor p = π/2 krijg je het volume van de halve bol, zijnde (2/3)∙π.

Eenvoudiger gaat het als volgt. Beschouw een snijvlak op een hoogte h vanaf het grondvlak van de halve bol en zij r de straal van de snijcirkel. Dan hebben we:

r = cos ϕ,

en:

h = sin ϕ,

dus ook:

dh = cos ϕ∙dϕ

Dit geeft voor de volumedifferentiaal dV:

dV = π∙r²∙dh = π∙cos³ϕ∙dϕ

En dus krijgen we voor het volume V met ϕ = p:

∫₀^p π∙cos³ϕ∙dϕ

Je kunt nu gemakkelijk in WolframAlpha nagaan (weer met f voor ϕ) dat dit precies hetzelfde resultaat oplevert als die onnodig lastige drievoudige integraal.

Dan kom ik inderdaad ook uit op q³-3q+1=0 met q=sin(p) .

Ik snap hoe je die enkele integraal bepaalt, maar ik snap niet wat er mis was met mijn redenatie en hoe jij aan de correcte drievoudige integraal bent gekomen (ik zie bijvoorbeeld de jacobiaan niet meer terug).

Ik beweer dat { (r,θ,ϕ) : 0<r<1, 0<θ<2pi, 0<ϕ<p } gelijk is aan de verzameling van de afgezaagde bovenhelft van de bol minus de kegel. Zie plaatje.

een wss heel domme vraag van mij hier:

hoe vereenvoudig je het volgende?

?