pi *a*b reduceert gewoon tot pi*r^2 (de bol wordt in de richting van de z-as uitgerekt door c)quote:Op zaterdag 17 maart 2012 23:58 schreef thabit het volgende:
Maakt het überhaupt iets uit dat daar een c staat? Het is toch alleen maar een schalingsfactor?
Wat je dan nog kan schrijven als:quote:Op zondag 18 maart 2012 12:18 schreef Anoonumos het volgende:
Dus eerst de haakjes uitwerken en dan gebruiken dat
Fixedquote:Op zondag 18 maart 2012 14:33 schreef Riparius het volgende:
[..]
Het antwoord van Nelis89 klopt niet, want 0,43 = 0,064.
Ik kan het nog net volgen tot: (k + 1)2 = k2 + 2k + 1 > ....quote:Bewijs dat n2 > 7n + 1 for alle n >= 8
Oplossing: Het resultaat is waar wanneer n = 8, want 82 = 64 en 7 * 8 + 1 = 57. Veronderstel dat het waar is voor iedere n wanneer k ≥ 8, dat wil zeggen k2 > 7k + 1
(k + 1)2 = k2 + 2k + 1 > (7k + 1) + 2k + 1 = 7(k + 1) + 1 + (2k - 6)
Omdat k ≥ 8, is 2k - 6 een natuurlijk nummer, en de laatste uitdrukking boven is groter dan 7(k + 1). De inductie stap is geverifiëerd, en dus is het resultaat waar voor alle n ≥ 8.
(vrij vertaald uit het Engels uit Discrete Mathematics van Normal L. Biggs)
Uit de kut van tante Sjaan!quote:Op maandag 19 maart 2012 21:28 schreef RedVampire het volgende:
Ik ben mijn wiskunde aan het oppoetsen en me langzaam door een dik wiskunde boek aan het werken.
Ik kom echter bij het volgende voorbeeld niet verder:
[..]
Ik kan het nog net volgen tot: (k + 1)2 = k2 + 2k + 1 > ....
Maar daarna wordt me het spoor bijster. Waar komt die "+ 2k + 1" vandaan, en waar komt daarna de "+ 1 + (2k - 6)" vandaan?
quote:Bewijs dat n² > 7n + 1 for alle n >= 8
Oplossing: Het resultaat is waar wanneer n = 8, want 82 = 64 en 7 * 8 + 1 = 57. Veronderstel dat het waar is voor een k ≥ 8, dat wil zeggen k² > 7k + 1. (Hiermee willen we aantonen dat het ook geldt voor k+1). Dan
(k + 1)² = k² + 2k + 1
> (7k + 1) + 2k + 1 (vanwege de inductiehypothese: k² > 7k + 1)
= 7(k + 1) + 1 + (2k - 6) (herschrijven)
Omdat k ≥ 8, is 2k - 6>0, dus de laatste uitdrukking boven is groter dan 7(k + 1). De inductie stap is geverifiëerd, en dus is het resultaat waar voor alle n ≥ 8.
(vrij vertaald uit het Engels uit Discrete Mathematics van Normal L. Biggs)
Dus als ik het goed begrijpt, volg je de volgende stappen:quote:Op maandag 19 maart 2012 22:24 schreef thenxero het volgende:
Ik heb het een beetje herschreven en verduidelijkt:
[..]
En dus ook vanaf k = 8.quote:Op maandag 19 maart 2012 22:57 schreef RedVampire het volgende:
[..]
De volgende stap snap ik nog steeds niet helemaal, want als k = 8, dan is 2k - 6 toch 10? En (2k - 6) is toch al groter dan 0 vanaf k = 4?
Wat je met stap 2 bedoelt is nogal vaag. Ik heb het idee dat je inductie nog niet helemaal snapt.quote:Op maandag 19 maart 2012 22:57 schreef RedVampire het volgende:
[..]
Dus als ik het goed begrijpt, volg je de volgende stappen:
1. schrijf de (k + 1)2 uit
2. voeg het verschil tussen k2 en (k + 1)2 bij 7k + 1
3. herschrijf je die functie naar het format 7(k + 1) + 1 + ...
De volgende stap snap ik nog steeds niet helemaal, want als k = 8, dan is 2k - 6 toch 10? En (2k - 6) is toch al groter dan 0 vanaf k = 4?
Je hebt gelijk, ik heb inderdaad wat moeite met het concept. Ik snapte het met de voorgaande voorbeelden wel, die begonnen met sommatie waar dan een functie voor was gegeven en die je dan voor k=1 en k=k+1 moest bewijzen dat die functie de sommatie correct beschreef.quote:Op maandag 19 maart 2012 23:44 schreef thenxero het volgende:
[..]
Wat je met stap 2 bedoelt is nogal vaag. Ik heb het idee dat je inductie nog niet helemaal snapt.
Het idee van inductie is dat je een uitspraak P bewijst vanaf een 'basis' (in dit geval n=8). Dan stel je dat dat P(k) waar is (dat heet de inductiehypothese), en dan laat je zien dat P(k+1) waar is. Als dat lukt, dan heb je bewezen dat het waar is voor iedere n groter dan de basis. Want uit het geval n=8 volgt het voor n=9, daaruit weer voor n=10, etc, als een soort domino-effect.
In dit specifieke neem je voor P(n) de uitspraak n² > 7n + 1. Dan bewijs je P(8), en stel je dat P(k) : k² > 7k + 1waar is (dat is je inductiehypothese). Je wil laten zien dat P(k+1) ook waar is, oftewel (k+1)² > 7(k+1) + 1. Dat doe je door (k+1)² uit te werken, je inductiehypothese te gebruiken, en te herschrijven. Dan zie je dat inderdaad (k + 1)² > 7(k + 1) + 1 + (2k - 6) > 7(k+1)+1, omdat (2k-6)>0 voor k>8. We bekijken k>8, omdat we het willen bewijzen voor k >= 8 (en k=8 is al bewezen). Dat het ook al geldt vanaf k=4 is fijn, maar dat heb je niet eens nodig.
Nee, niet helemaal. Je hebt niet bewezen dat n=8 het kleinste getal is waar de uitspraak waar wordt (maar dat is natuurlijk wel eenvoudig na te gaan door n=7 in te vullen en te concluderen dat de uitspraak onwaar wordt). Je hebt wel al bewezen dat de uitspraak waar is vanaf n=8.quote:Op dinsdag 20 maart 2012 00:07 schreef RedVampire het volgende:
[..]
Je hebt gelijk, ik heb inderdaad wat moeite met het concept. Ik snapte het met de voorgaande voorbeelden wel, die begonnen met sommatie waar dan een functie voor was gegeven en die je dan voor k=1 en k=k+1 moest bewijzen dat die functie de sommatie correct beschreef.
Maar begrijp ik je nu goed dat de eerste stap in de inductie heeft bewezen waar het punt ligt dat k2 groter wordt dan 7k + 1
Probeer dit eens helder te formuleren.quote:en dat de k+1 stap in deze heeft bewezen dat de k2 tegenover 7k + 1 alsmaar groter wordt?
Nee, k = k + 1 is onmogelijk, dus zo moet je het om te beginnen al niet formuleren. De gedachte achter een bewijs met inductie is dat je eerst laat zien dat de te bewijzen uitspraak geldt voor de startwaarde (in jouw geval dus n = 8) en dat je vervolgens laat zien dat de juistheid van de uitspraak voor een natuurlijk getal n = k + 1 volgt uit de juistheid van de uitspraak voor een zekere n = k. Uiteraard mag je niet beginnen met te stellen, zoals je hierboven doet, dat de uitspraak waar is voor elke n ≥ 8, want dat is een petitio principii, d.w.z. dan neem je datgene wat je wil bewijzen al op voorhand voor waar aan, en dan bewijs je dus niets.quote:Op dinsdag 20 maart 2012 00:07 schreef RedVampire het volgende:
[..]
Je hebt gelijk, ik heb inderdaad wat moeite met het concept. Ik snapte het met de voorgaande voorbeelden wel, die begonnen met sommatie waar dan een functie voor was gegeven en die je dan voor k=1 en k=k+1 moest bewijzen dat die functie de sommatie correct beschreef.
Het helpt als je je stappen helder opschrijft, bijvoorbeeld als volgt. We hebben al gezien datquote:[cut crap]
Vermenigvuldig beide leden van je eerste vergelijking met 3 en trek dan de leden van de tweede vergelijking af van de leden van de eerste vergelijking, zodat je een vergelijking in uitsluitend b overhoudt. Als je alleen in de antwoorden geïnteresseerd bent, kun je natuurlijk WolframAlpha gebruiken.quote:Op zaterdag 24 maart 2012 16:17 schreef Klonker het volgende:
weet iemand hoe je hier makkelijk a en b uit kan halen?
3/(1+a) + 103/(1+b)^2 = 100.41
9/(1+a) + 109/(1+b)^2 = 104.32
Het lukt me om het op te lossen door eerst te schrijven in de vorm a = , en dan a te substituten voor b, maar dat duurt veel te lang.
Bedankt!quote:Op zaterdag 24 maart 2012 16:46 schreef Riparius het volgende:
[..]
Vermenigvuldig beide leden van je eerste vergelijking met 3 en trek dan de leden van de tweede vergelijking af van de leden van de eerste vergelijking, zodat je een vergelijking in uitsluitend b overhoudt. Als je alleen in de antwoorden geïnteresseerd bent, kun je natuurlijk WolframAlpha gebruiken.
aight ok bedanktquote:Op zondag 25 maart 2012 17:57 schreef GlowMouse het volgende:
Er staat 5*log(3). Voor 5log3 moet je log3/log5 intypen.
Forum Opties | |
---|---|
Forumhop: | |
Hop naar: |