Tweelingparadox - (relativiteitstheorie)

Wie kent de oplossing van deze paradox?

2 personen, Pietje en Klaasje, bevinden zich beiden op een raketlanceerinstallatie.

Pietje onderneemt een reis naar ster A, Klaasje naar ster B.

Beide sterren bevinden zich op een afstand van 1 lichtjaar, in tegengestelde richting.

Beiden bewegen dus met gelijke snelheid in tegengestelde richting, en keren na aankomst op de respectievelijke sterren weer terug.

Als gevolg van een bekend relativistisch effect, tijddilitatie, ziet Pietje de klok van Klaasje langzamer lopen, zowel op de heenreis als de terugweg, omdat Klaasje zich tenopzichte van Pietje met grote snelheid beweegt.

Volgens Pietje zou de klok van Klaasje dus bij terugkomst een kleinere tijd moeten aangeven dan die van zichzelf.

Klaasje kan echter precies dezelfde redening houden, wat inhoudt dat zowel de klok van Klaasje een kleinere tijd zou moeten aangeven dan die van Pietje, als andersom. Dit kan natuurlijk niet, beide klokken staan bij terugkomst natuurlijk gelijk, omdat het hele probleem volkomen symmetrisch is.

Waar zit de fout in deze redenering?

[ Bericht 3% gewijzigd door kleinduimpje3 op 17-01-2012 18:17:54 ]

quote:

Op dinsdag 17 januari 2012 15:56 schreef xibalba het volgende:
Op de terugweg reizen ze toch naar elkaar toe?

Dat doet er niet toe, de snelheid waarmee een waarnemer een bewegende klok ziet lopen hangt alleen af van de snelheid van de raket, niet de richting.

Hoe groter het snelheidsverschil van de raketten, hoe groter het tijdseffect.

quote:

Op dinsdag 17 januari 2012 16:18 schreef PeeJay1980 het volgende:
Welke klok daadwerkelijk minder tijd aangeeft, staat los van of de waarnemer de klok van de andere reiziger langzamer heeft zien lopen.

Nee hoor, als ik een klok voortdurend langzamer heb zien lopen, en die klok keert terug, zal die klok ook een kleinere tijd aangeven.

quote:

Als een waarnemer stilstaat en een reiziger gaat er langs met hoge snelheid zullen ze allebei waarnemen dat de klok van de ander langzamer loopt. Bij aankomst zal blijken dat de klok van de reiziger minder tijd aangeeft.

In jouw geval zien ze dus allebei een langzamer lopende klok bij de ander, ondanks dat hun klokken bij terugkeer gelijk lopen.

Je constateert hier alleen maar feiten, in dit geval betreffende de meer bekende tweelingparadox, waarbij de ene helft van de tweeling thuis blijft en de andere de reis onderneemt.

Een oplossing van de paradox geef je niet.

quote:

Op dinsdag 17 januari 2012 20:55 schreef Schonedal het volgende:
De klok van Piet en die van Klaas gaan beide langzamer ten opzichte van de aarde, maar niet ten opzichte van elkaar.

Ze gaan inderdaad langzamer ten opzichte van de aarde, maar ook ten opzichte van elkaar.

In de relativiteitstheorie gaat het alleen om relatieve snelheden.

Als er een relatief snelheidsverschil is treedt het effect van tijddilitatie op.

quote:

Op woensdag 18 januari 2012 17:33 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Dit is het punt, inderdaad. Je moet een derde stelsel introduceren, het aarde-stelsel, en dit is (bij benadering) een inertiaalstelsel. Wanneer beide helften van de tweeling een constante snelheid hebben, dan zal je vanaf de aarde in beide gevallen meten dat de tijd trager loopt. Wanneer de tweeling bij elkaar komt zullen ze nog steeds even oud zijn, mits het ruimtetijd-pad wat ze afleggen even lang is (wat hier zo is; deze worden immers symmetrisch gekozen).

Allemaal waar, maar je hebt hier nog niet de paradox opgelost, namelijk dat beide waarnemers de klokken langzamer zien lopen, maar dat de klokken bij aankomst toch gelijk staan

quote:

Op donderdag 19 januari 2012 11:11 schreef PeeJay1980 het volgende:

[..]

Een kleinere tijd dan wat?

Een kleinere tijd dan mijn klok.

quote:

De eigenaar van de andere klok heeft jouw klok namelijk ook langzamer zien lopen.

Ja, dat is juist de paradox waarover we het hebben, je hebt het gegrepen

quote:

[..]

Maar je geeft in de OP aan dat er geen snelheidsverschil is en dat hun reis symmetrisch verloopt.

Natuurlijk is er een onderling snelheidsverschil als de een met 100 km per uur naar links gaat en de ander met die zelfde snelheid naar rechts.

Als er geen snelheidsverschil was zou de onderlinge afstand gelijk blijven.

quote:

Op donderdag 19 januari 2012 13:19 schreef PeeJay1980 het volgende:

[..]

Niet als die met dezelfde snelheid heeft bewogen.
En we hebben het hier over een snelheid ten opzichte van de aarde, aangezien dat het startpunt van jullie beiden is. Jullie richting heeft geen invloed.

[..]

Er is geen paradox. Jullie zien allebei de klok van de ander daadwerkelijk langzamer gaan en bij terugkomst lopen jullie klokken gelijk.

[..]

Het snelheidsverschil tussen jullie heeft geen invloed. Je hebt allebei een Vmax tov de aarde, dat bepaalt je tijdsdilatie (tov de aarde dus).

Je kennis van deze materie is beneden een bepaald minimum niveau.
Ik ga geen verdere discussie voeren onder dat niveau.

Ik denk dat ik de oplossing van de paradox kan geven, maar ik vind het een beetje flauw dat nu al te doen.

Ik zal dus nog een week wachten, een week na de OP dus, en als ik dan nog geen antwoorden heb gekregen die ik bevredigend vind, zal ik mijn visie geven.

quote:

Op donderdag 19 januari 2012 17:46 schreef Haushofer het volgende:

[..]
Kleinduimpjes vraag is wat dat betreft wmb volstrekt gelijk aan de gewone tweelingparadox:

Ja, dat klopt, hetzelfde probleem treedt ook op bij de gewone tweelingparadox.

Veel mensen zullen dat echter niet beseffen, en denken dat de paradox er uitsluitend in gelegen is dat in het geval van de gewone tweelingparadox de klok van de reiziger bij terugkomst een kleinere tijd aangeeft dan de klok van de thuisblijver.

Het is op zichzelf wel zeer ongewoon dat de leeftijd van de reiziger daarmee kleiner is dan die van de thuisblijver, maar daarmee nog geen paradox.

In mijn versie treedt de paradox duidelijker naar voren, vind ik tenminste, zonder dat de aandacht afgeleid wordt door het leeftijdsverschil bij terugkomst.

quote:

Op donderdag 19 januari 2012 17:35 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Ok, iets uitgebreider dan. Neem eerst es de conventionele tweeling paradox, en neem aan dat de acceleratie van de versnellende tweeling zo groot is dat dit een discontinue knik in het ruimtetijd-diagram is. Voor en na de knik kun je dus de SRT toepassen.

Als je simultane events gaat bekijken van de reizende tweeling en de aarde, dan zal bij deze knik de simultane coordinaat in het aardestelsel een stuk "omhoog springen". Er is dus opeens meer tijd verstreken op aarde, vanuit het astronautenstelsel. Dit is ook de reden waarom de astronaut daadwerkelijk jonger is, ook al zal gedurende het grootste deel van de reis astronaut en aarde bij elkaar tijddilatatie meten.

[..]

De truuk is dus om naar simultane events te kijken, en te analyseren wat de versnelling hiermee doet.

Ja, dat klopt. Dat is de oplossing van de paradox.

Het tragere tijdsverloop van de klok van de thuisblijver, dat door de reiziger als gevolg van tijddilitatie wordt waargenomen wordt gecompenseerd door een plotselinge sprong omhoog van de tijd van de thuisblijver, gezien vanuit de reiziger, op het moment van omkering.

Ik zou het in mijn eigen woorden als volgt formuleren:

Tijddilitatie is niet het enige relativistische fenomeen met betrekking tot de tijd waarmee we rekening moeten houden. Tijddilitatie houdt in dat de reiziger waarneemt dat de klok van de thuisblijver langzamer loopt, en omgekeerd dat de thuisblijver waarneemt dat de klok van de reiziger langzamer loopt.

Dit effect is dus symmetrisch.

Er treedt ook nog een ander effect op, namelijk dat klokken niet meer gelijk lopen. Dit effect is er ook verantwoordelijk voor dat er geen absolute gelijktijdigheid bestaat in de relativiteitstheorie.

Stel dat de thuisblijver de reis zeer goed had voorbereid, en precies bij wilde houden wat er gebeurde, en daartoe de hele afstand tussen de aarde en de ster had vol gezet met klokken, die allemaal gelijk lopen en even snel.

Het is een gedachte-experiment, dus dat mogen we doen.

Bij het vertrek zet de astronaut zijn klok gelijk.

We weten nu wat de astronaut zal waarnemen als hij vertrokken is: hij ziet de klaargezette klokken langzamer lopen.
Maar het tweede effect zorgt ervoor dat de klaargezette klokken niet meer gelijk lopen. De klokken dichterbij de ster geven een veel hogere tijd aan, en dit tijdsverschil is evenredig met de afstand, dus bij een verdubbeling van de afstand treedt een verdubbeling van de tijd waarmee deze klokken voorlopen op (niet sneller lopen dus).

Als hij uiteindelijk bij de ster aankomt, en daar kijkt op de klok die daar al klaar stond ziet hij daarop dus een andere tijd dan op zijn eigen klok, als gevolg van de beide genoemde effecten.

Maar wat belangrijker is, als hij kijkt naar de klok op de aarde geeft die dus een kleinere tijd aan dan de klaar gezette klok.

Als hij nu terugkeert, en dus zijn snelheid omkeert, resulteert dit effect van niet gelijk lopende klokken erin dat de klokken in de buurt van de aarde juist voorlopen tenopzichte van de klokken bij hem in de buurt.

Dus achterlopende klokken worden in een keer voorlopende klokken.

Vandaar de plotselinge sprong voorwaarts in de tijd die hij op de aardse klok waarneemt.

Als we aannemen dat er op het moment van omkering geen plotseling tijdverschil optreedt tussen zijn eigen klok en de klok die daar als stond, is de zwiep in de tijd van de aardse klok dus 2 maal het tijdsverschil tussen de klaargezette klok op de ster en die op de aarde.

Dit effect is precies voldoende om de paradox op te heffen.

Dat er geen plotselinge sprong in de tijd optreedt tussen zijn eigen klok en de klaargezette klok ligt voor de hand, want bij zijn vertrek trad zulk een plotseling tijdverschil ook niet op, hoewel hij ook daar sterk versnelde.

quote:

Op zaterdag 21 januari 2012 13:06 schreef PeeJay1980 het volgende:

[..]

Waarom zit er tussen de klaargezette klokken verschil?
Zwaartekracht die het tijdsverloop beïnvloedt?

Ik dacht dat ze volgens de SRT gelijk zouden moeten lopen, dus de effecten worden verklaard in ART?

Nee, dit is gewone speciale relativiteitstheorie.

Dit volgt rechtstreeks uit de Lorentz transformaties.

Het leuke aan de speciale relativiteitstheorie is dat de basis hiervan, de Lorentz transformaties, eigenlijk heel simpele vergelijkingen zijn, het zijn er eigenlijk 2, een voor de transformatie van de tijdcoördinaten en de ander voor de transformatie van de plaatscoördinaten.

De transformaties betreffen in dit geval transformaties tussen 2 referentiestelsels die met een constante snelheid ten opzichte van elkaar bewegen, waarbij alleen het onderling snelheidsverschil van deze stelsels van belang is, niet de absolute snelheid.

Het zijn eenvoudige lineaire vergelijkingen.

Hieruit valt alles af te leiden.

Het enige wat iets moeilijker is is dat er een constante optreedt, die aangeduid wordt met de Griekse letter gamma, en die op een iets ingewikkelder manier afhangt van het snelheidsverschil tussen de beide referentiestelsels.

Gamma is bijna altijd gelijk aan 1, en wordt pas groter als we in de buurt van de lichtsnelheid komen. Als we hier willekeurig dichtbij komen kan gamma willekeurig groot worden.

Het is deze factor gamma die de tijddilitatie bepaalt en de Lorentzcontractie.

Het tijdverschil tussen de aardse klok en de klok op de ster is de afstand tot de ster maal de snelheid gedeeld door de (lichtsnelheid)².

Voor een goed begrip van de effecten van de speciale relativiteitstheorie moet je de Lorentz transformaties eigenlijk kennen, want alle vreemde effecten, zoals tijddilitatie, niet gelijk lopende klokken, en een derde effect, wat we hier nog niet genoemd hebben, namelijk lengte contractie, ofwel Lorentz contractie, volgen hieruit.

quote:

Op zondag 22 januari 2012 14:52 schreef Asphias het volgende:
wacht heel even. je oppert een vraag, en beantwoord hem daarna zelf, maar pas nadat iemand het ook heeft uitgelegd.

was dit een soort quiz om te kijken hoeveel slimmer dan de meeste W&T'ers je wel niet bent ofzo? want ik zie het nut van dit topic niet zoveel in, behalve dat jij een vraag stelt waarop je het antwoord al weet, en dat je zelf dat users die er iets minder verstand van hebben gaat verbeteren, terwijl zij jou probeerden te helpen

wat is nou precies het doel van dit topic?

Het was een topic dat bedoeld was voor mensen die dit soort problemen interessant vinden, het leuk vinden erover na te denken, en niet te beroerd zijn iets bij te leren.

Maar dat had ik er in de OP misschien inderdaad beter bij kunnen zetten, ten behoeve van mensen zoals jij.
Dan was jij hier niet verdwaald en had jij je nuttiger kunnen maken met constructieve bijdragen in andere topics.

quote:

Op zondag 22 januari 2012 17:08 schreef LostInSpace het volgende:
Hmmz, mijn boerenslimheid zegt het volgende: ze bewegen van elkaar af, dus duurt het steeds langer voordat ze elkaars toestandsverandering waarnemen -> de klokken lijken langzamer te lopen.

Wat ik niet begrijp, is de veronderstelling dat de klokken alsnog langzamer lijken te lopen wanneer ze weer naar elkaar toe bewegen.

Ik zou dus denken dat ze waarnemen op de terugweg dat de klok van de ander ze weer inhaalt en ze daardoor bij een ontmoeting weer dezelfde tijd hebben.

Dat klopt, dat effect treedt inderdaad op.

We kennen dit effect wel in het geval van geluid, waarbij de frequentie van een geluidsbron wordt verhoogd of verlaagd naar gelang deze op ons toekomt of zich verwijdert. Dit het Dopper effect.

Dit zelfde Dopplereffect treedt inderdaad ook op in het geval van lichtwaarneming.

Maar om het niet nodeloos gecompliceerd te maken gaan we ervan uit dat de waarnemers al voor deze effecten gecorrigeerd hebben, en na deze correctie treden de genoemde effecten dus nog altijd op.

quote:

Heeft iemand een goed linkje met informatie waarom dit anders zou zijn? Ik vind het wel interessant.

quote:

Tijddilatatie, tijdsdilatatie of tijdsrek (dilatatie = uitrekking) is het verschijnsel dat volgens een stilstaande waarnemer de tijd van een bewegende waarnemer trager verloopt. Het effect is uiterst gering bij alledaagse snelheden, maar wordt merkbaar als de snelheid de lichtsnelheid nadert. Een veel aangehaald voorbeeld om de consistentie van dit effect aan te tonen, is de tweelingparadox. Tijddilatatie wordt verklaard door de speciale relativiteitstheorie en kan eenvoudig afgeleid worden uit het gedachte-experiment met de Lorentzklok.

Wederkerigheid

Het lijkt er op dat de tijddilatatie hiermee een objectieve methode geeft om te bepalen welke waarnemer stilstaat en welke beweegt: de waarnemer wiens klok het snelst loopt, staat stil. Dit is echter niet het geval; de relativiteitstheorie gaat er juist vanuit dat alle snelheden (behalve de lichtsnelheid c) relatief zijn. Dus terwijl de eerste waarnemer ervan overtuigd is dat de klok van de tweede te traag loopt, vindt de tweede waarnemer datzelfde van de klok van de eerste.
Dit klinkt onmogelijk, maar het kan wel, doordat ook het begrip gelijktijdigheid relatief is. Volgens de eerstgenoemde waarnemer is bijvoorbeeld het moment dat zijn klok 1 uur aangeeft, gelijktijdig met het moment dat de klok van de ander een half uur aangeeft – de ander zou dus vertraagde tijd hebben. Maar volgens de ander was dat moment, waarop zijn klok een half uur aangaf, juist gelijktijdig met het moment waarop de klok van de eerste een kwartier aangaf – dus díe had vertraagde tijd. Wie van de twee "gelijk" heeft is op geen enkele manier na te gaan, want de genoemde klok-aflezingen gebeuren op verschillende plaatsen. Ook met licht- of radiosignalen is het niet objectief vast te stellen, want die signalen doen ook enige tijd over het afleggen van de afstand, en ook over die tijdsduur zouden de waarnemers het niet eens worden.
Ter illustratie van de tijddilatatie heeft Albert Einstein de tweelingparadox bedacht, een gedachte-experiment waarbij twee waarnemers van elkaar denken dat de tijd van de ander vertraagd is.

http://nl.wikipedia.org/wiki/Tijddilatatie

quote:

Op zondag 22 januari 2012 23:13 schreef 3-voud het volgende:

[..]

Het is dan ook bullshit. Tijd dilitatie is tov de aarde.

Nee:

quote:

Relative velocity time dilation

When two observers are in relative uniform motion and uninfluenced by any gravitational mass, the point of view of each will be that the other's (moving) clock is ticking at a slower rate than the local clock. The faster the relative velocity, the greater the magnitude of time dilation. This case is sometimes called special relativistic time dilation. It is often interpreted as time "slowing down" for the other (moving) clock. But that is only true from the physical point of view of the local observer, and of others at relative rest (i.e. in the local observer's frame of reference). The point of view of the other observer will be that again the local clock (this time the other clock) is correct and it is the distant moving one that is slow. From a local perspective, time registered by clocks that are at rest with respect to the local frame of reference (and far from any gravitational mass) always appears to pass at the same rate.[1]

http://en.wikipedia.org/w(...)locity_time_dilation