[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op vrijdag 11 november 2011 16:38 schreef Siddartha het volgende:
Hoe laat je zien hoeveel reflexieve en symmetrische relaties er zijn op een verzameling A met n elementen?

Wat is de context? Ik denk niet dat daar een algemene methode voor is.

quote:

Op vrijdag 11 november 2011 16:40 schreef thenxero het volgende:

[..]

Wat is de context? Ik denk niet dat daar een algemene methode voor is.

Er hoeft geen formeel bewijs voor gegeven te worden, meer een uitleg waarom het klopt wat ik zeg.
Er zijn volgens mij 2^(1/2)n(n-1) relaties die reflexief en symmetrisch zijn, maar ik vind het erg moeilijk om dat op te schrijven.

quote:

Op vrijdag 11 november 2011 16:38 schreef Siddartha het volgende:
Hoe laat je zien hoeveel reflexieve en symmetrische relaties er zijn op een verzameling A met n elementen?

Er zijn (n boven 2) paren van verschillende elementen. Elk paar kan wel of niet in de relatie zitten, dat zijn 2 mogelijkheden. Dus we hebben 2^{(n boven 2)} van zulke relaties.

quote:

Op vrijdag 11 november 2011 16:47 schreef thabit het volgende:

[..]

Er zijn (n boven 2) paren van verschillende elementen. Elk paar kan wel of niet in de relatie zitten, dat zijn 2 mogelijkheden. Dus we hebben 2^{(n boven 2)} van zulke relaties.

Combinaties mag ik niet gebruiken, maar dit geeft me wel een idee om het op te schrijven:
R is reflexief, dus voor alle a in A geld (a,a) is in R. Daar valt verder niks te kiezen.
Stel we zetten a in de eerste positie neer, dan zijn er n-1 mogelijkheden voor een paar (a,b) zodat a is niet b. Dus zijn er n(n-1) paren van verschillende elementen.
Maar R is symmetrisch, dus als (a,b) erin zit, moet (b,a) er ook inzitten. Dus zijn er nog maar (1/2)n(n-1) paren van verschillende elementen waaruit we kunnen kiezen.
Elk paar kan er wel of niet inzitten, dus 2^(1/2)n(n-1).

Nog even een snelle vraag:
Alle symmetrische relaties zijn dan:
2^{(1/2)n^2 (n-1)}
Omdat je nu ook nog de keuze hebt voor de n gelijke paren, dus zijn er (1/2)n²(n-1) paren, etc.
Toch?

quote:

Op zaterdag 12 november 2011 13:13 schreef Siddartha het volgende:
Nog even een snelle vraag:
Alle symmetrische relaties zijn dan:
2^{(1/2)n^2 (n-1)}
Omdat je nu ook nog de keuze hebt voor de n gelijke paren, dus zijn er (1/2)n²(n-1) paren, etc.
Toch?

Het totaal aantal relaties is 2^{n^2}. Het aantal symmetrische relaties kan natuurlijk nooit groter zijn dan dat.

quote:

Op zaterdag 12 november 2011 13:30 schreef thabit het volgende:

[..]

Het totaal aantal relaties is 2^{n^2}. Het aantal symmetrische relaties kan natuurlijk nooit groter zijn dan dat.

Oeps..

Is het dan niet: 2^(1/2)n(n+1)?
Want alle symmetrische paren met verschillende elementen zijn (1/2)n(n-1). Dan zijn er nog n paren over, namelijk alle paren van de vorm (a,a).
(1/2)n(n-1)+n=(1/2)n(n+1).

Juist.

Bedankt.

a² is een geheel getal. Waarom is a dan een geheel getal?

a=sqrt2?

Hmm. Dat klopt niet inderdaad, maar dat is toch wat hier staat? Het gaat om het bewijzen van de transiviteit van de relatie x y <-> xy is een kwadraat( op Z):

Stel xy = p² en yz = q²2 dan is xz = (pq/y)² . Om-
dat dit kwadraat een geheel getal is, is ook pq/y
geheel (!) en dus is xz een kwadraat van een
geheel getal.

[ Bericht 1% gewijzigd door Anoonumos op 12-11-2011 15:32:38 ]

quote:

Op zaterdag 12 november 2011 15:27 schreef Anoonumos het volgende:
Hmm. Dat klopt niet inderdaad, maar dat is toch wat hier staat? Het gaat om het bewijzen van de transiviteit van de relatie x y <-> xy is een kwadraat( op Z):

Stel xy = p² en yz = q²2 dan is xz = (pq/y)² . Om-
dat dit kwadraat een geheel getal is, is ook pq/y
geheel (!) en dus is xz een kwadraat van een
geheel getal.

Je maakt hier gebruik van het feit dat als het kwadraat van een rationaal getal geheel is, dat dan dat rationale getal geheel is. En dat is iets heel anders dan je hierboven beweerde.

Zijn x,y,z uit Z?

Ja, uit Z/0. Ik snap het nu dankzij Riparius. Bedankt.

Al eerder gepost, alleen blijkbaar op de verkeerde plek!

Ik heb momenteel een probleem. In mijn methode, getal en ruimte, wordt blijkbaar niet uitgelegd hoe je integralen en riemannsommen (de Sigma-notatie) uitrekent, slechts op je GR.

Hierbij de vraag: hoe moet ik uit het hoofd en
uitrekenen?

quote:

Op zondag 13 november 2011 13:38 schreef Lukep het volgende:
Al eerder gepost, alleen blijkbaar op de verkeerde plek!

Ik heb momenteel een probleem. In mijn methode, getal en ruimte, wordt blijkbaar niet uitgelegd hoe je integralen en riemannsommen (de Sigma-notatie) uitrekent, slechts op je GR.

Hierbij de vraag: hoe moet ik uit het hoofd [ afbeelding ] en
[ afbeelding ] uitrekenen?

Riemannsommen worden in de praktijk alleen met de computer gebruikt om integralen uit te rekenen die "lastig" zijn. Als je een goede benadering wil met een Riemannsom dan moet je een hele kleine nemen, dus dan moet je flink veel termen gaan uitrekenen. Met de hand is dat niet zo leuk, tenzij er misschien een mooi patroon in zit maar dat zal in het algemeen niet het geval zijn.

Het kan natuurlijk wel met de hand. Neem bijvoorbeeld de eenvoudige functie f(x)=x (dan krijgen we ook niet zo'n moeilijke som). Stel dat we die willen integreren (met een Riemann som) van 0 tot 2. Neem nu een Delta x van bijvoorbeeld 0.1 (hoe kleiner je die neemt, hoe beter je benadering). Nu moeten we dus 20 termen gaan sommeren:

.

Nu is x_k de x-waarde in het k-de interval. Maar in zo'n interval is f niet constant, dus laten we het punt nemen aan de linkerkant van ieder interval. Dan moeten we berekenen



Ik gebruik hier dus dat x_k = 0.1k en de standaardformule voor een rekenkundige reeks.

We hebben dus berekend dat de oppervlakte onder de grafiek f(x)=x met x tussen 0 en 2 ongeveer 1.9 is. Omdat je in feite de oppervlakte van een eenvoudige driehoek berekent in dit geval, hadden we direct kunnen inzien dat de oppervlakte (exact) 2 is. (basis*hoogte /2 = 2*2/2=2).

Ik nam nu voor x_n steeds het meest linker punt in een intervalletje. Dat is de waarde waar f zijn kleinste waarde aanneemt. Op deze manier hebben we dus met Riemannsommatie bepaald dat de oppervlakte minstens 1.9 is (dat klopt dus ook). Verder kan je ook op ieder interval het maximum bepalen van de functie en daarover sommeren, zodat je ook een bovengrens voor de integraal hebt. Als je je steeds kleiner en kleiner maakt, convergeren die "bovensom" en "ondersom" naar de werkelijke integraal.

Dit hele proces doe je eigenlijk alleen maar als je een lastige integraal hebt. Daarmee bedoelde ik een integraal die geen primitieve heeft. Een primitieve is het omgekeerde van een afgeleide. In andere woorden: als F de primitieve is van f, dan geldt F'=f. Als een functie wel een primietieve heeft dan kan je een integraal als volgt berekenen:



waarbij F dus weer de primitieve is van f.

Voorbeeld:



Ik gebruik hier dat de primitieve is van x. Dat kan je heel makkelijk controleren door er weer de afgeleide van te nemen van . Met de integraal hebben we dus bepaald dat de oppervlakte exact 2 is.

Helaas kan dit niet altijd. De functie f(x)=e^x² heeft bijvoorbeeld geen primitieve (d.w.z. je kan het niet uitdrukken in standaard functies als sin, log, exp, etc). Om toch een waarde te vinden voor je integraal kan je dan Riemannsommatie gebruiken.

Als je de bewijzen wil zien, zie: http://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_calculus .

[ Bericht 0% gewijzigd door thenxero op 13-11-2011 14:21:53 ]

Bravo, geweldig uitgelegd! Te zeggen dat je uitleg goed was, zou een understatement zijn .

Ik heb echter een klein probleem (waarschijnlijk een zeer simpele en 'domme' vraag, alleen ik zie hem op het moment niet).

Waarom is x_k = 0.1k? Waarom verdwijnt de functie f(x_k) en komt er slechts x_k voor in de plaats als je voor Δx 0.1 neemt?
Als laatste stel vragen: waar komt de 20 vandaan (en waarom), en waarom vermenigvuldig je die met 19/2 (hoe komt 19/2 er überhaupt te staan)?

quote:

Op zondag 13 november 2011 17:54 schreef Lukep het volgende:
Bravo, geweldig uitgelegd! Te zeggen dat je uitleg goed was, zou een understatement zijn .

Ik heb echter een klein probleem (waarschijnlijk een zeer simpele en 'domme' vraag, alleen ik zie hem op het moment niet).

Waarom is x_k = 0.1k? Waarom verdwijnt de functie f(x_k) en komt er slechts x_k voor in de plaats als je voor Δx 0.1 neemt?
Als laatste stel vragen: waar komt de 20 vandaan (en waarom), en waarom vermenigvuldig je die met 19/2 (hoe komt 19/2 er überhaupt te staan)?

Probeer eens een tekening te maken bij het (eenvoudige) voorbeeld dat thenxzero uitwerkt. Het idee is dat je de 'oppervlakte onder de curve' (in dit geval een rechte lijn) over een bepaald interval (hier [0,2]) kunt benaderen door die oppervlakte in smalle verticale 'reepjes' te verdelen, en dan elk reepje bij benadering te beschouwen als een rechthoek, waarvan de oppervlakte uiteraard eenvoudig is te bepalen. De benadering wordt dan steeds beter naarmate de rechthoeken (reepjes) smaller worden. We nemen verticale reepjes, omdat de 'hoogte' van elk reepje (rechthoek) dan bij benadering de functiewaarde ter plaatse is, terwijl we de breedte van alle reepjes hetzelfde kunnen nemen (dat hoeft niet, maar is wel zo gemakkelijk). Als je nu het interval [0, 2] in bijvoorbeeld 20 gelijke stukjes (deelintervallen) verdeelt, dan heeft elk verticaal reepje dus een breedte van 0,1. Die twintig deelintervallen kun je voorstellen als [x_k, x_k+1] met x_k = 0,1∙k. en k = 0..19.

Jazeker, zo ver was ik ook, toch bedankt voor het ophelderen van x_k = 0,1∙k!

Alleen het is mij nog steeds niet duidelijk waarom de functie f(x_k) plaats maakt voor de standaardformule x_k = 0,1∙k. Immers: x_k = 0,1∙k is alleen goed voor de x-coordinaten van de deelintervallen, niet de y-waarde/hoogte zoals f(x_k).

Daarnaast is het mijn nog steeds onduidelijk waarom plotseling het sigma-teken met een 20 en 19/2 verwisselt wordt. Het is mij natuurlijk duidelijk dat 20 de hoeveelheid deelintervallen is enz enz, maar waarom de 20 dan te vermenigvuldigen met 19/2?

quote:

Op zondag 13 november 2011 19:00 schreef Lukep het volgende:
Jazeker, zo ver was ik ook, toch bedankt voor het ophelderen van x_k = 0,1∙k!

Alleen het is mij nog steeds niet duidelijk waarom de functie f(x_k) plaats maakt voor de standaardformule x_k = 0,1∙k. Immers: x_k = 0,1∙k is alleen goed voor de x-coordinaten van de deelintervallen, niet de y-waarde/hoogte zoals f(x_k).

Daarnaast is het mijn nog steeds onduidelijk waarom plotseling het sigma-teken met een 20 en 19/2 verwisselt wordt. Het is mij natuurlijk duidelijk dat 20 de hoeveelheid deelintervallen is enz enz, maar waarom de 20 dan te vermenigvuldigen met 19/2?

We zijn bezig met de functie f(x)=x. In het bijzonder geldt dus f(x_k)=x_k.

Wat betreft de sommatie, voor een rekenkundige rij geldt in het algemeen dat de som gelijk is aan het aantal termen gedeeld door twee, maal (de eerste term + de laatste term). In dit geval dus 20/2 * (0+19). Zie ook de wiki.

Bedankt voor het compliment

Dringend vraagje mensen...

Ik wil graag het volgende berekenen.

Ik heb een bord van 5x5. Nu kan ik 1 steen op 25 verschillende plekken leggen. Nu wil ik graag weten hoeveel combinaties er zijn wanneer 2 stenen op het veld leg (antwoord weet ik al). De enigste twee regels die er zijn is dat de 2 stenen niet direct langs elkander mogen liggen. Hieronder zie je 2 voorbeelden. In de linker zijn er nog 22 mogelijkheden en in de rechter 20.



Nu wil ik dus weten op hoeveel combinaties er zijn als er 1 steen (25), 2 stenen (22*4 + 21*12 + 20*9 = 520), 3 stenen (???) op het veld liggen.

Is er een elegante methode om dit te berekenen?

quote:

Op zondag 13 november 2011 20:36 schreef Dale. het volgende:
Dringend vraagje mensen...

Ik wil graag het volgende berekenen.

Ik heb een bord van 5x5. Nu kan ik 1 steen op 25 verschillende plekken leggen. Nu wil ik graag weten hoeveel combinaties er zijn wanneer 2 stenen op het veld leg (antwoord weet ik al). De enigste twee regels die er zijn is dat de 2 stenen niet direct langs elkander mogen liggen. Hieronder zie je 2 voorbeelden. In de linker zijn er nog 22 mogelijkheden en in de rechter 20.

[ afbeelding ]

Nu wil ik dus weten op hoeveel combinaties er zijn als er 1 steen (25), 2 stenen (22*4 + 21*12 + 20*9 = 520), 3 stenen (???) op het veld liggen.

Is er een elegante methode om dit te berekenen?

En wat is regel 2?

quote:

Op maandag 14 november 2011 11:56 schreef Don_Vanelli het volgende:

[..]

En wat is regel 2?

Euh sorry 1 regel geen idee waarom ik 2 regels schreef. Maar iig, het aantal combo's is 8844

verkeerd gelezen.. oops