[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

Een vraag uit een oefententamen:

quote:

Let S = [-1, 1] x [-1, 1] and C = { (x, y) | x² + y² <= 1 }.
Prove that |C| = |S|.

Mijn antwoord:

quote:

De eerste set kan je zien als alle elementen binnen of op de rand van een vierkant, de tweede set als alle elementen binnen of op de rand van een cirkel (waarschijnlijk hebben ze daarom ook C en S als letters voor de verzamelingen gekozen).

Ik zie dat er een injectieve functie bestaat van S naar C en omgekeerd. Van S naar C: Definieer r als (.5 + s₁ / 2) waar s1 het eerste element uit het tupel uit S is, en a als (pi * s₂ + pi) waar s₂ het tweede element uit het tupel uit S is. Het bijbehorende tupel uit C is dan (r*cos(a), r*sin(a)).

De injectieve functie van C naar S is. (arctan2(c₁, c₂), sqrt(c₁² + x₂²)) met c₁ het eerste element uit het tupel uit C en c₂ het tweede element uit het tupel uit C.

En omdat er een injectieve functie van C naar S is en andersom, geldt:
|C| <= |S|
|S| <= |C|
en volgens het theorem van Cantor-Schroeder-Bernstein ook:
|C| = |S|

Hoe noteer ik dit eerste verhaal, over de bijectie, kort en duidelijk? Of moet ik gewoon dit verhaal uitleggen?

Alvast dank!

Het punt (-1,0) van het vierkant wordt op hetzelfde punt afgebeeld als het punt (-1,1) van het vierkant.

[ Bericht 1% gewijzigd door twaalf op 25-10-2011 16:42:28 ]

quote:

Op dinsdag 25 oktober 2011 16:32 schreef twaalf het volgende:
Het punt (-1,0) van het vierkant wordt op hetzelfde punt afgebeeld als het punt (-1,1) van het vierkant.

Oh crap

Ik snap het al, je mag stellen |C| <= |S| omdat elk tupel in C ook in S zit, en dan gebruik je (ik leg het even geometrisch uit) een geschaald vierkant (bijvoorbeeld: [-.5, 5]²) en gebruik je dat elk geordend tupel uit het geschaalde vierkant in de cirkel zit.
Maar hoe noteer je nou een concrete functie die als domein C heeft en als codomein S (of andersom, of nog meer in het algemeen een functie die twee verzameling geordende n-tupels met n > 1 op elkaar afbeeldt, om het maar even wiskundig uit te drukken ).

Het bereik is , want...
De functie is injectief, want...

Het bereik is , want...
De functie is injectief, want...

Thanks, dat is duidelijk

Kan iemand mij het nut van het berekenen van een limit van een functie uitleggen? Je bepaalt dus de waarde die een bepaalde functie nooit zal bereiken, maar wat heb je daar aan?

quote:

Op dinsdag 25 oktober 2011 18:48 schreef Burbujas het volgende:
Kan iemand mij het nut van het berekenen van een limit van een functie uitleggen? Je bepaalt dus de waarde die een bepaalde functie nooit zal bereiken

Of wel, als de functie continu is in dat punt. Limieten zijn heel belangrijk, bijvoorbeeld voor de afgeleide (waarbij de functie zelf continu moet zijn).

Achilles en de schildpad, daar zie je een fijne limiet in een praktische situatie.

quote:

Op dinsdag 25 oktober 2011 18:48 schreef Burbujas het volgende:
Kan iemand mij het nut van het berekenen van een limit van een functie uitleggen? Je bepaalt dus de waarde die een bepaalde functie nooit zal bereiken, maar wat heb je daar aan?

klein voorbeeldje:

g(x) = sin(x) is een relatief lelijke functie
f(x) = x is een relatief makkelijke functie

als je de limiet x ->0 pakt van sin(x)/x kun je laten zien dat deze limiet gelijk is aan 1. Dit betekent dus dat sin(x) zich in de buurt van x=0 gedraagt als de functie f(x) = x en je dus voor kleine waarden van x kunt zeggen: sin(x) is ongeveer gelijk aan x.

Ander voorbeeld:
Asymptoten berekenen gaat met behulp van limieten.

Ik denk dat limieten wel het belangrijkst zijn voor differentiëren, zoals glowmouse al noemde. De afgeleide van een functie is namelijk gedefinieerd als een limiet:

quote:

Problem:

Let f, g: ℝ -> ℝ be continuous functions. Prove: For all α > 0 and β > 0, the function F: ℝ -> ℝ defined by F(x) = α * f(x) + β * g(x) is continuous.

Als het goed is moet ik het doen via de epsilon-delta definitie.

Dit is wat ik tot nu toe heb:

quote:

Because it is given that f(x) is continuous, it follows through the epsilon-delta definition that there exists a δ for which δ > |x-p| ≥ |f(x)-f(p)| holds. Then, it follows that δ * α > α * |x-p| ≥ α * |f(x)-f(p)|, which implies that f(x) * α is continuous if you choose α times the δ for which f(x) was continuous, as the δ for f(x) * α.

Maar dat lijkt me dus veel te simpel. Pak ik het totaal verkeerd aan?

quote:

Op woensdag 26 oktober 2011 03:25 schreef Thas het volgende:

[..]

Als het goed is moet ik het doen via de epsilon-delta definitie.

Dit is wat ik tot nu toe heb:

Because it is given that f(x) is continuous, it follows through the epsilon-delta definition that there exists a δ for which δ > |x-p| ≥ |f(x)-f(p)| holds.

[snip]

Nee, dit gaat al verkeerd. Uit de ε,δ definitie van continuïteit volgt helemaal niet wat jij hier beweert. Als je functie f: R ↦ R continu is in x = p, dan bestaat er voor elke ε > 0 een δ > 0 zodanig dat | f(x) - f(p) | < ε voor elke x zodanig dat | x - p | < δ. Maar dat impliceert niet wat jij stelt.

quote:

Op woensdag 26 oktober 2011 04:04 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, dit gaat al verkeerd. Uit de ε,δ definitie van continuïteit volgt helemaal niet wat jij hier beweert. Als je functie f: R ↦ R continu is in x = p, dan bestaat er voor elke ε > 0 een δ > 0 zodanig dat | f(x) - f(p) | < ε voor elke x zodanig dat | x - p | < δ. Maar dat impliceert niet wat jij stelt.

Ik zie het, jij hebt inderdaad de correcte, volledige definitie, ik maakte fouten.
Als ik een simpele functie krijg als f(x)=sqrt(x) kan ik ook wel bewijzen of deze wel of niet continuous is in het punt P, door op zoek te gaan naar, zoals jij stelt, de δ waaruit blijkt dat |p - x| < δ impliceert dat |f(p) - f(x)| < ε waar gegeven is dat ε > 0 en δ > 0.

Ik probeer die methode nu op mijn probleem toe te passen. Mij lijkt het dan dat ik in dit geval de δ moet vinden waardoor δ > |p - x| impliceert dat ε > |f(p)*α-f(x)*α|, waar gegeven is dat ε > 0 en δ > 0.

En dan loop ik dus vast, omdat ik niet zou weten hoe ik die δ zou moeten vinden.
Ik kom niet verder dan |*f(x)-*f(p)|<|*f(p)-*f(p+δ)|

[ Bericht 1% gewijzigd door Thas op 26-10-2011 06:34:19 ]

Je moet juist niet op zoek gaan naar de delta, maar naar de epsilon. Uiteindelijk moet je de som nemen van twee functies, en daar moet iets uitkomen dat kleiner is dan epsilon. Logisch is dan om te kijken naar . Als je uitgaat van een bepaalde epsilon waaraan f+g moet voldoen, dan kun je voor een vinden voor f en een vinden voor g.

Vergeef mijn domheid, maar ik volg het niet helemaal (voorkennis slechts vwo Wiskunde A ).

quote:

Op dinsdag 25 oktober 2011 18:50 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

Of wel, als de functie continu is in dat punt. Limieten zijn heel belangrijk, bijvoorbeeld voor de afgeleide (waarbij de functie zelf continu moet zijn).

quote:

Op dinsdag 25 oktober 2011 22:21 schreef thenxero het volgende:
Ik denk dat limieten wel het belangrijkst zijn voor differentiëren, zoals glowmouse al noemde. De afgeleide van een functie is namelijk gedefinieerd als een limiet:

Afgeleiden berekenen kan toch ook zonder je het limiet weet? (tenminste dat is hoe we op dit moment afgeleiden berekenen). En wat bedoel je met een functie die continu is?

quote:

Op dinsdag 25 oktober 2011 19:45 schreef Don_Vanelli het volgende:

[..]

klein voorbeeldje:

g(x) = sin(x) is een relatief lelijke functie
f(x) = x is een relatief makkelijke functie

als je de limiet x ->0 pakt van sin(x)/x kun je laten zien dat deze limiet gelijk is aan 1. Dit betekent dus dat sin(x) zich in de buurt van x=0 gedraagt als de functie f(x) = x en je dus voor kleine waarden van x kunt zeggen: sin(x) is ongeveer gelijk aan x.

Ander voorbeeld:
Asymptoten berekenen gaat met behulp van limieten.

Dus door het limiet te bepalen kun je in sommige gevallen een ingewikkelde functie benaderen door dezelfde waarde in een simpelere functie in te vullen? Is dat het voordeel?

quote:

Op woensdag 26 oktober 2011 04:33 schreef Thas het volgende:

[..]

Ik zie het, jij hebt inderdaad de correcte, volledige definitie, ik maakte fouten.
Als ik een simpele functie krijg als f(x)=sqrt(x) kan ik ook wel bewijzen of deze wel of niet continu is in het punt P, door op zoek te gaan naar, zoals jij stelt, de δ waaruit blijkt dat |x - p| < δ impliceert dat |f(p) - f(x)| < ε waar gegeven is dat ε > 0 en δ > 0.

Het gaat er niet om dat je voor een 'gegeven' ε > 0 aantoont dat er zo'n δ is, maar dat je aantoont dat er voor elke ε > 0 een δ > 0 bestaat zodanig dat | f(x) - f(p) | < ε indien | x - p | < δ. Je moet dus een existentiebewijs leveren, en dat niet voor één ε > 0 maar voor elke ε > 0. In het algemeen doe je dat door te laten zien dat je bij elke ε > 0 een δ > 0 kunt construeren die aan het gestelde voldoet.

quote:

[snip]

Gegeven is dat f: R ↦ R en g: R ↦ R continue functies zijn. Gevraagd wordt nu te bewijzen dat de functie F: R ↦ R gedefinieerd door F(x) = α∙f(x) + β∙g(x) met α,β > 0 eveneens continu is op R.

De continuïteit van f en g op R houdt in dat f en g continu zijn in elk punt op R. We kunnen daarom volstaan met aan te tonen dat de continuïteit van f en g voor een willekeurige x = p de continuïteit van F in x = p impliceert.

De continuïteit van f in x = p impliceert per definitie dat er voor elke ε_f > 0 een δ_f > 0 bestaat zodanig dat:

(1) | f(x) - f(p) | < ε_f voor | x - p | < δ_f

En de continuïteit van g in x = p impliceert evenzo dat er voor elke ε_g > 0 een δ_g > 0 bestaat zodanig dat:

(2) | g(x) - g(p) | < ε_g voor | x - p | < δ_g

We kiezen nu een willekeurige ε > 0 en kiezen dan vervolgens:

(3) ε_f = ε/2α en ε_g = ε/2β

Aangezien ε > 0 en tevens α,β > 0 volgt uit (3) dat ook ε_f > 0 en ε_g > 0. En dus bestaan er op grond van de continuïteit van f en g in x = p een δ_f > 0 en een δ_g > 0 waarmee voldaan wordt aan (1) resp. (2). Vermenigvuldiging van de leden van de eerste ongelijkheid in (1) met α resp. vermenigvuldiging van de leden van de eerste ongelijkheid in (2) met β levert nu dat geldt:

(4) | α∙f(x) - α∙f(p) | < α∙ε_f = ε/2 voor | x - p | < δ_f

En:

(5) | β∙g(x) - β∙g(p) | < β∙ε_g = ε/2 voor | x - p | < δ_g

Zij nu δ = min(δ_f,δ_g). Dan is δ ≤ δ_f en tevens δ ≤ δ_g zodat uit (4) en (5) volgt dat ook geldt:

(6) | α∙f(x) - α∙f(p) | < ε/2 voor | x - p | < δ

En:

(7) | β∙g(x) - β∙g(p) | < ε/2 voor | x - p | < δ

Optelling van de leden van de eerste ongelijkheden in (6) en(7) levert nu dat geldt:

(8) | α∙f(x) - α∙f(p) | + | β∙g(x) - β∙g(p) | < ε voor | x - p | < δ

En op grond van de driehoeksongelijkheid geldt ook:

(9) | (α∙f(x) + β∙g(x)) - (α∙f(p) + β∙g(p)) | ≤ | α∙f(x) - α∙f(p) | + | β∙g(x) - β∙g(p) |

Uit (8) en (9) alsmede F(x) = α∙f(x) + β∙g(x) volgt aldus dat:

(10) | F(x) - F(p) | < ε voor | x - p | < δ

Aangezien ε > 0 willekeurig was gekozen hebben we nu laten zien dat er voor elke ε > 0 een δ > 0 is te vinden waarmee aan (10) wordt voldaan, en dat betekent niets anders dan dat F continu is in x = p,

QED

Kun je een opgave mbt lineair programmeren ook makkelijk zonder grafieken oplossen?

Bij onderstaand voorbeeld kom ik ook tot de volgende regels:
Doelfunctie:
Maximaliseer: C = 5a + 4b
Voorwaarden:
Xeneen: 8a + 4b ≤ 16000
Ypreen: 2a + 6b ≤ 12000
Arbeid: 5a + 6b ≤ 15000
a ≥ 0
b ≥ 0

Echter lossen ze het daarna op met door middel van grafiekjes. Kan dit dus ook zonder grafiekjes?

Opgave: http://www.wiskundebijles(...)air_programmeren.htm

quote:

Op woensdag 26 oktober 2011 16:09 schreef GuitarJJ het volgende:
Kun je een opgave mbt lineair programmeren ook makkelijk zonder grafieken oplossen?

Bij onderstaand voorbeeld kom ik ook tot de volgende regels:
Doelfunctie:
Maximaliseer: C = 5a + 4b
Voorwaarden:
Xeneen: 8a + 4b ≤ 16000
Ypreen: 2a + 6b ≤ 12000
Arbeid: 5a + 6b ≤ 15000
a ≥ 0
b ≥ 0

Echter lossen ze het daarna op met door middel van grafiekjes. Kan dit dus ook zonder grafiekjes?

Opgave: http://www.wiskundebijles(...)air_programmeren.htm

http://nl.wikipedia.org/wiki/Simplexmethode

edit: ik bekijk nu pas je link. Ze komen bij de a=1285.71 en b= 1428.57 door ook naar de figuur te kijken, anders weet je niet welke voorwaardevergelijkingen je moet oplossen. Hoe ze het in jouw link doen, heb je dus nog steeds de grafiekjes nodig. Het kan wel zonder, met het simplexalgoritme, maar dat is wel veel werk.

[ Bericht 12% gewijzigd door freiss op 26-10-2011 16:37:25 ]

weten jullie hoe ik op het antwoord kom? ik kom steeds op andere getallen.
thx

Maak er eens getallen van? Dus eerst de delingen doen, daarna pas de macht verheffen?

187 gedeeld door 555, dat is 0,3369 dat doe je vervolgens tot de macht 0,2 (is immers hetzelfde als 1/5) en voila 0,804

quote:

Op woensdag 26 oktober 2011 17:48 schreef Alfje het volgende:
187 gedeeld door 555, dat is 0,3369 dat doe je vervolgens tot de macht 0,2 (is immers hetzelfde als 1/5) en voila 0,804

aight bedankt man
kan ik verder met de berekening

quote:

Op woensdag 26 oktober 2011 17:45 schreef DeRakker. het volgende:
[ link | afbeelding ]

weten jullie hoe ik op het antwoord kom? ik kom steeds op andere getallen.
thx

Zoek de handleiding van je calculator eens op ...

quote:

Op woensdag 26 oktober 2011 16:28 schreef freiss het volgende:

[..]

http://nl.wikipedia.org/wiki/Simplexmethode

edit: ik bekijk nu pas je link. Ze komen bij de a=1285.71 en b= 1428.57 door ook naar de figuur te kijken, anders weet je niet welke voorwaardevergelijkingen je moet oplossen. Hoe ze het in jouw link doen, heb je dus nog steeds de grafiekjes nodig. Het kan wel zonder, met het simplexalgoritme, maar dat is wel veel werk.

Bedankt voor je reactie. Helaas dus geen simpele oplossing!