[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

Thanks, dat is duidelijk

Kan iemand mij het nut van het berekenen van een limit van een functie uitleggen? Je bepaalt dus de waarde die een bepaalde functie nooit zal bereiken, maar wat heb je daar aan?

quote:

Op dinsdag 25 oktober 2011 18:48 schreef Burbujas het volgende:
Kan iemand mij het nut van het berekenen van een limit van een functie uitleggen? Je bepaalt dus de waarde die een bepaalde functie nooit zal bereiken

Of wel, als de functie continu is in dat punt. Limieten zijn heel belangrijk, bijvoorbeeld voor de afgeleide (waarbij de functie zelf continu moet zijn).

Achilles en de schildpad, daar zie je een fijne limiet in een praktische situatie.

quote:

Op dinsdag 25 oktober 2011 18:48 schreef Burbujas het volgende:
Kan iemand mij het nut van het berekenen van een limit van een functie uitleggen? Je bepaalt dus de waarde die een bepaalde functie nooit zal bereiken, maar wat heb je daar aan?

klein voorbeeldje:

g(x) = sin(x) is een relatief lelijke functie
f(x) = x is een relatief makkelijke functie

als je de limiet x ->0 pakt van sin(x)/x kun je laten zien dat deze limiet gelijk is aan 1. Dit betekent dus dat sin(x) zich in de buurt van x=0 gedraagt als de functie f(x) = x en je dus voor kleine waarden van x kunt zeggen: sin(x) is ongeveer gelijk aan x.

Ander voorbeeld:
Asymptoten berekenen gaat met behulp van limieten.

Ik denk dat limieten wel het belangrijkst zijn voor differentiëren, zoals glowmouse al noemde. De afgeleide van een functie is namelijk gedefinieerd als een limiet:

quote:

Problem:

Let f, g: ℝ -> ℝ be continuous functions. Prove: For all α > 0 and β > 0, the function F: ℝ -> ℝ defined by F(x) = α * f(x) + β * g(x) is continuous.

Als het goed is moet ik het doen via de epsilon-delta definitie.

Dit is wat ik tot nu toe heb:

quote:

Because it is given that f(x) is continuous, it follows through the epsilon-delta definition that there exists a δ for which δ > |x-p| ≥ |f(x)-f(p)| holds. Then, it follows that δ * α > α * |x-p| ≥ α * |f(x)-f(p)|, which implies that f(x) * α is continuous if you choose α times the δ for which f(x) was continuous, as the δ for f(x) * α.

Maar dat lijkt me dus veel te simpel. Pak ik het totaal verkeerd aan?

quote:

Op woensdag 26 oktober 2011 03:25 schreef Thas het volgende:

[..]

Als het goed is moet ik het doen via de epsilon-delta definitie.

Dit is wat ik tot nu toe heb:

Because it is given that f(x) is continuous, it follows through the epsilon-delta definition that there exists a δ for which δ > |x-p| ≥ |f(x)-f(p)| holds.

[snip]

Nee, dit gaat al verkeerd. Uit de ε,δ definitie van continuïteit volgt helemaal niet wat jij hier beweert. Als je functie f: R ↦ R continu is in x = p, dan bestaat er voor elke ε > 0 een δ > 0 zodanig dat | f(x) - f(p) | < ε voor elke x zodanig dat | x - p | < δ. Maar dat impliceert niet wat jij stelt.

quote:

Op woensdag 26 oktober 2011 04:04 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, dit gaat al verkeerd. Uit de ε,δ definitie van continuïteit volgt helemaal niet wat jij hier beweert. Als je functie f: R ↦ R continu is in x = p, dan bestaat er voor elke ε > 0 een δ > 0 zodanig dat | f(x) - f(p) | < ε voor elke x zodanig dat | x - p | < δ. Maar dat impliceert niet wat jij stelt.

Ik zie het, jij hebt inderdaad de correcte, volledige definitie, ik maakte fouten.
Als ik een simpele functie krijg als f(x)=sqrt(x) kan ik ook wel bewijzen of deze wel of niet continuous is in het punt P, door op zoek te gaan naar, zoals jij stelt, de δ waaruit blijkt dat |p - x| < δ impliceert dat |f(p) - f(x)| < ε waar gegeven is dat ε > 0 en δ > 0.

Ik probeer die methode nu op mijn probleem toe te passen. Mij lijkt het dan dat ik in dit geval de δ moet vinden waardoor δ > |p - x| impliceert dat ε > |f(p)*α-f(x)*α|, waar gegeven is dat ε > 0 en δ > 0.

En dan loop ik dus vast, omdat ik niet zou weten hoe ik die δ zou moeten vinden.
Ik kom niet verder dan |*f(x)-*f(p)|<|*f(p)-*f(p+δ)|

[ Bericht 1% gewijzigd door Thas op 26-10-2011 06:34:19 ]

Je moet juist niet op zoek gaan naar de delta, maar naar de epsilon. Uiteindelijk moet je de som nemen van twee functies, en daar moet iets uitkomen dat kleiner is dan epsilon. Logisch is dan om te kijken naar . Als je uitgaat van een bepaalde epsilon waaraan f+g moet voldoen, dan kun je voor een vinden voor f en een vinden voor g.

Vergeef mijn domheid, maar ik volg het niet helemaal (voorkennis slechts vwo Wiskunde A ).

quote:

Op dinsdag 25 oktober 2011 18:50 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

Of wel, als de functie continu is in dat punt. Limieten zijn heel belangrijk, bijvoorbeeld voor de afgeleide (waarbij de functie zelf continu moet zijn).

quote:

Op dinsdag 25 oktober 2011 22:21 schreef thenxero het volgende:
Ik denk dat limieten wel het belangrijkst zijn voor differentiëren, zoals glowmouse al noemde. De afgeleide van een functie is namelijk gedefinieerd als een limiet:

Afgeleiden berekenen kan toch ook zonder je het limiet weet? (tenminste dat is hoe we op dit moment afgeleiden berekenen). En wat bedoel je met een functie die continu is?

quote:

Op dinsdag 25 oktober 2011 19:45 schreef Don_Vanelli het volgende:

[..]

klein voorbeeldje:

g(x) = sin(x) is een relatief lelijke functie
f(x) = x is een relatief makkelijke functie

als je de limiet x ->0 pakt van sin(x)/x kun je laten zien dat deze limiet gelijk is aan 1. Dit betekent dus dat sin(x) zich in de buurt van x=0 gedraagt als de functie f(x) = x en je dus voor kleine waarden van x kunt zeggen: sin(x) is ongeveer gelijk aan x.

Ander voorbeeld:
Asymptoten berekenen gaat met behulp van limieten.

Dus door het limiet te bepalen kun je in sommige gevallen een ingewikkelde functie benaderen door dezelfde waarde in een simpelere functie in te vullen? Is dat het voordeel?

quote:

Op woensdag 26 oktober 2011 04:33 schreef Thas het volgende:

[..]

Ik zie het, jij hebt inderdaad de correcte, volledige definitie, ik maakte fouten.
Als ik een simpele functie krijg als f(x)=sqrt(x) kan ik ook wel bewijzen of deze wel of niet continu is in het punt P, door op zoek te gaan naar, zoals jij stelt, de δ waaruit blijkt dat |x - p| < δ impliceert dat |f(p) - f(x)| < ε waar gegeven is dat ε > 0 en δ > 0.

Het gaat er niet om dat je voor een 'gegeven' ε > 0 aantoont dat er zo'n δ is, maar dat je aantoont dat er voor elke ε > 0 een δ > 0 bestaat zodanig dat | f(x) - f(p) | < ε indien | x - p | < δ. Je moet dus een existentiebewijs leveren, en dat niet voor één ε > 0 maar voor elke ε > 0. In het algemeen doe je dat door te laten zien dat je bij elke ε > 0 een δ > 0 kunt construeren die aan het gestelde voldoet.

quote:

[snip]

Gegeven is dat f: R ↦ R en g: R ↦ R continue functies zijn. Gevraagd wordt nu te bewijzen dat de functie F: R ↦ R gedefinieerd door F(x) = α∙f(x) + β∙g(x) met α,β > 0 eveneens continu is op R.

De continuïteit van f en g op R houdt in dat f en g continu zijn in elk punt op R. We kunnen daarom volstaan met aan te tonen dat de continuïteit van f en g voor een willekeurige x = p de continuïteit van F in x = p impliceert.

De continuïteit van f in x = p impliceert per definitie dat er voor elke ε_f > 0 een δ_f > 0 bestaat zodanig dat:

(1) | f(x) - f(p) | < ε_f voor | x - p | < δ_f

En de continuïteit van g in x = p impliceert evenzo dat er voor elke ε_g > 0 een δ_g > 0 bestaat zodanig dat:

(2) | g(x) - g(p) | < ε_g voor | x - p | < δ_g

We kiezen nu een willekeurige ε > 0 en kiezen dan vervolgens:

(3) ε_f = ε/2α en ε_g = ε/2β

Aangezien ε > 0 en tevens α,β > 0 volgt uit (3) dat ook ε_f > 0 en ε_g > 0. En dus bestaan er op grond van de continuïteit van f en g in x = p een δ_f > 0 en een δ_g > 0 waarmee voldaan wordt aan (1) resp. (2). Vermenigvuldiging van de leden van de eerste ongelijkheid in (1) met α resp. vermenigvuldiging van de leden van de eerste ongelijkheid in (2) met β levert nu dat geldt:

(4) | α∙f(x) - α∙f(p) | < α∙ε_f = ε/2 voor | x - p | < δ_f

En:

(5) | β∙g(x) - β∙g(p) | < β∙ε_g = ε/2 voor | x - p | < δ_g

Zij nu δ = min(δ_f,δ_g). Dan is δ ≤ δ_f en tevens δ ≤ δ_g zodat uit (4) en (5) volgt dat ook geldt:

(6) | α∙f(x) - α∙f(p) | < ε/2 voor | x - p | < δ

En:

(7) | β∙g(x) - β∙g(p) | < ε/2 voor | x - p | < δ

Optelling van de leden van de eerste ongelijkheden in (6) en(7) levert nu dat geldt:

(8) | α∙f(x) - α∙f(p) | + | β∙g(x) - β∙g(p) | < ε voor | x - p | < δ

En op grond van de driehoeksongelijkheid geldt ook:

(9) | (α∙f(x) + β∙g(x)) - (α∙f(p) + β∙g(p)) | ≤ | α∙f(x) - α∙f(p) | + | β∙g(x) - β∙g(p) |

Uit (8) en (9) alsmede F(x) = α∙f(x) + β∙g(x) volgt aldus dat:

(10) | F(x) - F(p) | < ε voor | x - p | < δ

Aangezien ε > 0 willekeurig was gekozen hebben we nu laten zien dat er voor elke ε > 0 een δ > 0 is te vinden waarmee aan (10) wordt voldaan, en dat betekent niets anders dan dat F continu is in x = p,

QED

Kun je een opgave mbt lineair programmeren ook makkelijk zonder grafieken oplossen?

Bij onderstaand voorbeeld kom ik ook tot de volgende regels:
Doelfunctie:
Maximaliseer: C = 5a + 4b
Voorwaarden:
Xeneen: 8a + 4b ≤ 16000
Ypreen: 2a + 6b ≤ 12000
Arbeid: 5a + 6b ≤ 15000
a ≥ 0
b ≥ 0

Echter lossen ze het daarna op met door middel van grafiekjes. Kan dit dus ook zonder grafiekjes?

Opgave: http://www.wiskundebijles(...)air_programmeren.htm

quote:

Op woensdag 26 oktober 2011 16:09 schreef GuitarJJ het volgende:
Kun je een opgave mbt lineair programmeren ook makkelijk zonder grafieken oplossen?

Bij onderstaand voorbeeld kom ik ook tot de volgende regels:
Doelfunctie:
Maximaliseer: C = 5a + 4b
Voorwaarden:
Xeneen: 8a + 4b ≤ 16000
Ypreen: 2a + 6b ≤ 12000
Arbeid: 5a + 6b ≤ 15000
a ≥ 0
b ≥ 0

Echter lossen ze het daarna op met door middel van grafiekjes. Kan dit dus ook zonder grafiekjes?

Opgave: http://www.wiskundebijles(...)air_programmeren.htm

http://nl.wikipedia.org/wiki/Simplexmethode

edit: ik bekijk nu pas je link. Ze komen bij de a=1285.71 en b= 1428.57 door ook naar de figuur te kijken, anders weet je niet welke voorwaardevergelijkingen je moet oplossen. Hoe ze het in jouw link doen, heb je dus nog steeds de grafiekjes nodig. Het kan wel zonder, met het simplexalgoritme, maar dat is wel veel werk.

[ Bericht 12% gewijzigd door freiss op 26-10-2011 16:37:25 ]

weten jullie hoe ik op het antwoord kom? ik kom steeds op andere getallen.
thx

Maak er eens getallen van? Dus eerst de delingen doen, daarna pas de macht verheffen?

187 gedeeld door 555, dat is 0,3369 dat doe je vervolgens tot de macht 0,2 (is immers hetzelfde als 1/5) en voila 0,804

quote:

Op woensdag 26 oktober 2011 17:48 schreef Alfje het volgende:
187 gedeeld door 555, dat is 0,3369 dat doe je vervolgens tot de macht 0,2 (is immers hetzelfde als 1/5) en voila 0,804

aight bedankt man
kan ik verder met de berekening

quote:

Op woensdag 26 oktober 2011 17:45 schreef DeRakker. het volgende:
[ link | afbeelding ]

weten jullie hoe ik op het antwoord kom? ik kom steeds op andere getallen.
thx

Zoek de handleiding van je calculator eens op ...

quote:

Op woensdag 26 oktober 2011 16:28 schreef freiss het volgende:

[..]

http://nl.wikipedia.org/wiki/Simplexmethode

edit: ik bekijk nu pas je link. Ze komen bij de a=1285.71 en b= 1428.57 door ook naar de figuur te kijken, anders weet je niet welke voorwaardevergelijkingen je moet oplossen. Hoe ze het in jouw link doen, heb je dus nog steeds de grafiekjes nodig. Het kan wel zonder, met het simplexalgoritme, maar dat is wel veel werk.

Bedankt voor je reactie. Helaas dus geen simpele oplossing!

quote:

Op woensdag 26 oktober 2011 18:38 schreef GuitarJJ het volgende:

[..]

Bedankt voor je reactie. Helaas dus geen simpele oplossing!

Hij kan simpeler: je kunt het toegelaten gebied tekenen, en de optimale oplossing ligt in een hoekpunt.

quote:

Op woensdag 26 oktober 2011 12:33 schreef Burbujas het volgende:
Afgeleiden berekenen kan toch ook zonder je het limiet weet? (tenminste dat is hoe we op dit moment afgeleiden berekenen). En wat bedoel je met een functie die continu is?

Je kan wel berekenen wat de afgeleide is van een functie, maar je kan het niet bewijzen als je niet weet wat een limiet is. Je krijgt een kookboek aangeboden van zo en zo moet het, maar eigenlijk heb je geen idee waarom het echt zo is.

Een continue functie is informeel een functie die geen sprongen maakt, oftewel een functie die je kan tekenen zonder je pen van het papier te halen. Maar dit is natuurlijk niet echt een exacte wiskundige definitie. Je kan niet een bewijs opschrijven waarom je iets kan tekenen zonder je pen van het papier te halen... kortom: je hebt goede wiskundige definities nodig voor bewijzen.

Maar nu ga je voorbij aan de oorspronkelijke vraag: wat is het nut van limieten? Dan is het antwoord 'om een bewijs rond te maken' natuurlijk niet bevredigend.

quote:

Op woensdag 26 oktober 2011 22:01 schreef twaalf het volgende:
Maar nu ga je voorbij aan de oorspronkelijke vraag: wat is het nut van limieten? Dan is het antwoord 'om een bewijs rond te maken' natuurlijk niet bevredigend.

Waarom is dat niet bevredigend? Ik vind het juist onbevredigend als iemand me wijsmaakt dat de afgeleide van x^n gelijk is aan nx^(n-1) zonder dat ie uitlegt waarom.

Bewijzen, daar draait het allemaal om in de pure wiskunde.

De scores op een Citotoets rekenen voor kinderen in de laatste groep van de
basisschool zijn normaal verdeeld en hebben een landelijk gemiddelde van 20 en
een standaardafwijking van 5. Hoe groot is de kans dat er in een random sample
van 9 kinderen een gemiddelde score van 23 wordt gevonden?

1. 0.04.
2. 0.27
3. 0.73.

Volgens het antwoordmodel is het antwoord 1. Maar ik kan nergens in het betreffende hoofdstuk gevonden krijgen hoe ik dit getal moet uitrekenen. Ze hebben het daar alleen maar over cumulatieve kansen en niet over wat de kans is dat je één specifiek getal krijgt..

De kans op één specifiek getal is 0.

Je moet P(X=23) zien als P(22.5<X<23.5), dan kun je dat omschrijven tot twee cumulatieve kansen P(X<23.5) en P(X<22.5).

quote:

Op donderdag 27 oktober 2011 16:25 schreef twaalf het volgende:
Je moet P(X=23) zien als P(22.5<X<23.5), dan kun je dat omschrijven tot twee cumulatieve kansen P(X<23.5) en P(X<22.5).

Je lijkt de aanname te maken dat scores discreet zijn (terwijl juist gegeven is dat scores normaal verdeeld zijn), en trekt daaruit de onjuiste conclusie dat het gemiddelde dat dan ook wel zal zijn.

Maar als het tussen 22.5 en 23.5 ligt is het afgerond 23...

Je lijkt naar een antwoord toe te werken in plaats van zuiver naar de vraag te kijken.

Dus jij zou bij een meerkeuzetoets deze vraag gewoon open laten? Terwijl je met mijn voorstel ongeveer op 0.04 uitkomt?

ja

Dat is pure puntenverspilling.

nee hoor, voor zoiets kunnen in redelijkheid geen punten worden afgetrokken

Het zou gewoon uit te rekenen moeten zijn met een of andere formule, dus dit is een beetje tijdverspilling van elkaar

quote:

Op donderdag 27 oktober 2011 17:54 schreef Zweefkaak het volgende:
Het zou gewoon uit te rekenen moeten zijn met een of andere formule, dus dit is een beetje tijdverspilling van elkaar

GlowMouse zegt juist dat het juiste antwoord er niet tussen staat...

Als dat zo is, dan geef ik het meteen op om erachter te komen hoe het werkt

Maar stel dat ik de vraag zou versimpelen tot 'wat is de kans dat het gemiddelde afgerond 23 is?', zou je het dan wel kunnen?

Je begrijpt dat het hier om een normaal verdeling gaat en dat alles omgerekend kan worden naar kansen, maar ik krijg namelijk antwoord 2 eruit.

z-score = (23-20) / 5 = 0,6
opzoeken in de tabel, etc

Je moet niet met 23 werken want zoals Glowmouse al zei is die kans gelijk aan 0. Ik stel voor om de vraag te herformuleren; gebruik bijvoorbeeld 22.5 en 23.5 als grenzen.