[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

Nee, pak bv. R₊, met x=5 en y=-1. dan zitten x en x+y er wel in, maar y niet. Hier kun je aantonen dat je op een tegenspraak uitkomt als x+y in U1 zit, maar dat moet je dan wel doen.

quote:

Op zaterdag 24 september 2011 16:22 schreef thenxero het volgende:
Hoe bereken ik dat

?

Binom staat voor het binomiaalcoëfficiënt.

Het is geen meetkundige rij ... maar het staat als rekenopgave in mijn textboek, dus zou toch met pen en papier moeten kunnen.

Graag wil ik nog even terugkomen op deze opgave omdat het toch met aanzienlijk minder rekenwerk blijkt te kunnen dan ik gisteren had aangegeven. Laten we de factor ½ van alle termen van de reeks even buiten beschouwing, dan gaat het om het sommeren van een reeks waarvan de termen van de volgende gedaante zijn:

(1) k²(k -1)(1 - p)^k-2

Als het nu ging om het sommeren van een reeks met termen van de gedaante k(k -1)(1 - p)^k-2, dan was het eenvoudig, aangezien de termen dan zijn op te vatten als de tweede afgeleide van termen van de gedaante (1 - p)^k, die een meetkundige reeks vormen. Maar in (1) hebben de termen een extra factor k.

Nemen we daarentegen de derde afgeleide van een meetkundige reeks met termen met een exponent k+1, dan krijgen we in de afgeleide reeks bij elke term een factor (k+1)k(k-1), en dus ook niet de gewenste factor k²(k-1). Maar nu kunnen we opmerken dat:

(2) k²(k-1) = (k+1-1)k(k-1) = (k+1)k(k-1) - k(k-1)

En dus hebben we ook:

(3) k²(k-1)(1 - p)^k-2 = (k+1)k(k-1)(1 - p)^k-2 - k(k-1)(1 - p)^k-2

Dit betekent niets anders dan dat je de reeks met termen van de gedaante (1) kunt opvatten als het verschil van twee reeksen waarvan de eerste de derde afgeleide is van een geometrische reeks met termen van de gedaante -(1 - p)^k+1 terwijl de tweede reeks de tweede afgeleide is van een geometrische reeks met termen van de gedaante (1 - p)^k. Dus:

(4) Σ_k=2^∞ k²(k-1)(1 - p)^k-2 = Σ_k=2^∞ (k+1)k(k-1)(1 - p)^k-2 - Σ_k=2^∞ k(k-1)(1 - p)^k-2 (|1 - p| <1)

De som van elk van beide reeksen in het rechterlid van (4) is eenvoudig te bepalen. Nemen we eerst de geometrische reeks met termen van de gedaante -(1 - p)^k+1, k = 2..∞. De eerste term hiervan is -(1 - p)³ en de reden (1 - p), dus:

(5) Σ_k=2^∞ -(1 - p)^k+1 = -(1 - p)³/p = p² - 3p + 3 - p^-1 (|1 - p| < 1)

Beide leden driemaal differentiëren naar p levert dan:

(6) Σ_k=2^∞ (k+1)k(k-1)(1 - p)^k-2 = 6p^-4 (|1 - p| < 1)

Nu de geometrische reeks met termen van de gedaante (1 - p)^k, k = 2..∞. De eerste term hiervan is (1 - p)² en de reden (1 - p), dus:

(7) Σ_k=2^∞ (1 - p)^k = (1 - p)²/p = p - 2 + p^-1 (|1 - p| < 1)

Beide leden tweemaal differentiëren naar p geeft:

(8) Σ_k=2^∞ k(k-1)(1 - p)^k-2 = 2p^-3 (|1 - p| < 1)

Uit (4), (6) en (8) volgt nu:

(9) Σ_k=2^∞ k²(k-1)(1 - p)^k-2 = 6p^-4 - 2p^-3 = (6 - 2p)/p⁴ (|1 - p| < 1)

Beide leden vermenigvuldigen met ½ en terugsubstitueren van ½k(k - 1) = (^k₂) levert dan:

(10) Σ_k=2^∞ k(^k₂)(1 - p)^k-2 = (3 - p)/p⁴ (|1 - p| < 1)

QED

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 26-09-2011 03:02:11 ]

quote:

Op zondag 25 september 2011 16:07 schreef GlowMouse het volgende:
Nee, pak bv. R₊, met x=5 en y=-1. dan zitten x en x+y er wel in, maar y niet. Hier kun je aantonen dat je op een tegenspraak uitkomt als x+y in U1 zit, maar dat moet je dan wel doen.

De tegenspraak zou kunnen zijn dat U1 toch een deelverzameling is van U2 of andersom, of dat y toch in U1 zit of x toch in U2. Maar ik zie niet hoe dit volgt als x + y in U1 zit. Ik begrijp dat ik lastig ben, maar ik waardeer jullie hulp.

x zit in U₁-U₂ en y in U₂-U₁.

Stel x+y zit in U₁, kun je dan aantonen dat y ook in U₁ zit, om zo op een tegenspraak te komen? Je weet dat x in U₁ zit, dus -x ook.

Aha. Dus (x+y) + -x = y ook want het is een deelruimte. Ik hoop dat het me binnenkort zelf lukt om zoiets te bedenken. Bedankt.

Brengen de vectoren (1,0,-1), (2,1,1) en (1,0,1) R³ voort?
Ja, voor elke x.y,z in R³ geldt dat het een lineaire combinatie is van deze 3 vectoren. (neem scalars c1 = 1/2 (x - y - z), c2 = y , c3 = 1/2 (x - 3y + z)

Brengen de vectoren (1,2,3), (4,5,6) en (7,8,9) R³ voort?
Nee, c1 c2 en c3 blijf ik afhankelijk van elkaar houden. Dus er is geen lineaire combinatie mogelijk.

Doe ik dit goed? In het dictaat staat het amper uitgelegd, dus ik moet me redden met filmpjes van Khan Academy.

quote:

Op zondag 25 september 2011 18:30 schreef Anoonumos het volgende:
Brengen de vectoren (1,2,3), (4,5,6) en (7,8,9) R³ voort?
Nee, c1 c2 en c3 blijf ik afhankelijk van elkaar houden. Dus er is geen lineaire combinatie mogelijk.

Waarom volgt daaruit dat ze R³ niet voortbrengen?

Als een element in R³ niet geschreven kan worden als een lineaire combinatie van 3 bepaalde vectoren, dan brengen die 3 vectoren R³ niet voort.

En waarom is er een element dat geen lineaire combinatie is?

Leuk die oneliners van thabit die in één keer de vinger op de zere plek legt.

OT:Heeft iemand een leuke denk opgave over analystische meetkunde; rechte lijnen en cirkels?

- toch niet zo geschikt -

[ Bericht 95% gewijzigd door twaalf op 25-09-2011 20:50:20 ]

quote:

Op zondag 25 september 2011 19:29 schreef Borizzz het volgende:


OT:Heeft iemand een leuke denk opgave over analytische meetkunde; rechte lijnen en cirkels?

Tja, wat zoek je, en voor wie is het bestemd (niveau)?

quote:

Op zondag 25 september 2011 20:02 schreef Riparius het volgende:

[..]

Tja, wat zoek je, en voor wie is het bestemd (niveau)?

6 vwo; wiskunde D
5 vwo mag ook.

quote:

Op zondag 25 september 2011 20:09 schreef Borizzz het volgende:

[..]

6 vwo; wiskunde D

Pak dan het echte werk:
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html
Pak boek 1, lees alles door wat boven de 'propositions' staat en werk dan stap voor stap de propositions door.

Boek 3 gaat over cirkels.

quote:

Op zondag 25 september 2011 20:12 schreef Siddartha het volgende:

[..]

Pak dan het echte werk:
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html
Pak boek 1, lees alles door wat boven de 'propositions' staat en werk dan stap voor stap de propositions door.

Boek 3 gaat over cirkels.

Dat is Euclidische meetkunde, niet wat gewoonlijk wordt verstaan onder analytische meetkunde.

quote:

Op zondag 25 september 2011 20:12 schreef Siddartha het volgende:

[..]

Pak dan het echte werk:
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html
Pak boek 1, lees alles door wat boven de 'propositions' staat en werk dan stap voor stap de propositions door.

Boek 3 gaat over cirkels.

Dit is euclidische meetkunde geen analystische. En ik vroeg geen bronmateriaal maar een denk opgave die uitdaagt
Wel aardige site overigens, wist niet dat er een site was waar dit online stond.

quote:

Op zondag 25 september 2011 20:09 schreef Borizzz het volgende:

[..]

6 vwo; wiskunde D
5 vwo mag ook.

Kijk of ze de coördinaten van het middelpunt van de ingeschreven cirkel van een driehoek uit kunnen drukken in de coördinaten van de hoekpunten. Bespreek verschillende manieren om zoiets aan te pakken.

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 26-09-2011 02:28:40 ]

Een denkopgave is in mijn ogen toch iets anders dan domweg gaan zitten rekenen aan coördinaten.

Jawel, maar in het tweede deel zit wel de overweging of het ook op andere, slimmere manieren kan worden aangepakt.

Bijvoorbeeld dit: cirkel en lijn snijden in punt A en B. C: (x-2)^2 + (y+3)^2=23 en l: 3x+py=6.
De afstand tussen A en B is 5. Bereken p.
Zo'n opdracht zou ik graag nog wat moeilijker maken d.m.v een uitbreiding.

quote:

Op zondag 25 september 2011 20:19 schreef Borizzz het volgende:

[..]
Wel aardige site overigens, wist niet dat er een site was waar dit online stond.

Er zijn uiteraard talloze sites waar je alle denkbare klassiekers kunt vinden. Ik vind dit wel een goede editie van de Elementen omdat die de oorspronkelijke Griekse tekst (ed. Heiberg) bevat, met een moderne Engelse vertaling.

Ik heb de vergelijking e^(x+y)-e^(x-y)-(1/2) = e^(x+y) + e^(x-y) - (3/2)

Nu wil ik x uitdrukken in y.
Na wat vereenvoudigen komt er bij mij uit 2*e^(x-y) = 1
e^(x-y) = 1/2
(x-y) = ln(1/2)
x = ln(1/2) + y

Wolfram komt op x = log(2) + y
Wat doe ik fout?

Ik zie vast iets simpels over het hoofd, ik schaam me zelfs dat ik het vraag.

log(2) = -log(1/2) dus daar zit ergens jouw fout.
Geeft wolfram niet per ongeluk y = log(2) + x?

quote:

Op maandag 26 september 2011 17:32 schreef Fingon het volgende:
log(2) = -log(1/2) dus daar zit ergens jouw fout.
Geeft wolfram niet per ongeluk y = log(2) + x?

Sorry inderdaad y = log(2) + x
x = y - log(2)

Maar ik begrijp niet hoe ze x = ln(1/2) + y veranderen in x = y - log(2)
ln(1/2) geeft iets anders in m'n rekenmachine dan -log(2)

hun log heeft grondtal e

en log(a^b) = b log(a), pak nu b=-1.

quote:

Op maandag 26 september 2011 17:51 schreef GlowMouse het volgende:
hun log heeft grondtal e

en log(a^b) = b log(a), pak nu b=-1.

Aha! Ik dacht dat log automatisch grondtal 10 had.
Bedankt.