SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
ik haalde het inderdaad door elkaar met -2 invullen bij x², dan zou je dus (-2)² moeten doenquote:Op vrijdag 22 juli 2011 16:26 schreef thenxero het volgende:
[..]
Je hebt gelijk. Maar machtsverheffen kan je zien als vermenigvuldigen en dan staat er gewoon -x*x. Als je -2x² hebt betekent dit natuurlijk niet (-2x)² maar -2(x²).
niemand een antwoord op mijn vraag?
quote:
Hoe ziet, bij ANOVA (A1-A2 en B1-B2, een tabel en/of grafiek eruit met:
a) een interactie effect van A, maar geen hoofd-effect van B
b) een interactie effect, hoofd-effect van A, maar geen hoofd-effect van B
c) een interactie effect, maar geen hoofd-effect
(of zijn vraag a en b eigenlijk hetzelfde?)
Herb is the healing of a nation, alcohol is the destruction.
Nee, ik heb geen verstand van anova. Wel een vraag over topologie:
Zij (X,T) een lokaal compacte topologische Hausdorffruimte. Ik wil bewijzen dat voor iedere x in X de collectie van alle compacte omgevingen van x een basis vormt van omgevingen van x. Dat wil zeggen, voor iedere open omgeving U van x bestaat er een compacte omgeving K van x zodat K een deelverzameling is van U.
Poging tot het bewijs:
Zij x een willekeurig punt in X. Neem een willekeurige vaste open omgeving U van x. Omdat (X,T) lokaal compact is bestaat er een compacte omgeving K van x. Als K een deelverzameling is van U zijn we klaar, dus stel dat het niet zo is... en dan loop ik vast.
Zij (X,T) een lokaal compacte topologische Hausdorffruimte. Ik wil bewijzen dat voor iedere x in X de collectie van alle compacte omgevingen van x een basis vormt van omgevingen van x. Dat wil zeggen, voor iedere open omgeving U van x bestaat er een compacte omgeving K van x zodat K een deelverzameling is van U.
Poging tot het bewijs:
Zij x een willekeurig punt in X. Neem een willekeurige vaste open omgeving U van x. Omdat (X,T) lokaal compact is bestaat er een compacte omgeving K van x. Als K een deelverzameling is van U zijn we klaar, dus stel dat het niet zo is... en dan loop ik vast.
(als ik pn of fn zeg bedoel ik de n'de afgeleide functie van p of f)
Ik ben bezig met het approximeren van een functie f(x) met behulp van Taylor's formula.
Ik begrijp niet zo goed waarom ik de differentieerbare functie f(x) kan benaderen rond x = a door een functie
p(x) = f(a) + f'(a)*(x-a) + f''(a)*(x-a)^2 / 2! .... fn(a)*(x-a)^n / n! etc
Ik begrijp dat door p(x) zo op te stellen dat er uit volgt: p(a) = f(a) en p'(a) = f'(a) ...fn(a) = pn(a) en dat dus zowel de functie waarde als de afgeleide(en tweede afgeleide...etc) gelijk zijn van functie f en p bij x = a.
Hoe kan het alleen dat deze functie zelfs een benadering (of zelfs exacte waarde als n tot de oneindigheid is) kan vinden door eerst te kijken wat de waarde en de afgeleide van f'(a), f"(a), f'''(a)....fn(a)?
Je weet tenslotte alleen dat de afgeleide f(x) = p(x) op x = a, maar mysterieus vormt de functie p(x) dan naar f(x) toe als je bij de taylor formule n -> oneindig.
Als ik het probeer te visualiseren kom ik vast te zitten:
Stel ik heb de fiets functie f(x) = 5x^2 , waarbij x = tijd en f(x) = afstand.
f'(x) = 10x
f''(x) = 10
Deze functie is dus 2 keer differentieerbaar.
Ik benader rond x = 0 dus volgens Taylor's formule
p(x) = 0 + 10*0*(x-0)^2 + 10*(x-0)^2/2!
= 5*(x-0)^2
= 5x^2
Dezelfde functie weer, perfecte benadering(dus eigenlijk geen benadering meer).
Stel ik vul in f(x) in x = 2
f(2) = 5*2^2 = 20
Ik weet dus mijn afstand(20) die ik heb gefietst op tijdstip 2.
Door f(x) te benaderen door p(x) zeg ik eigenlijk dat ik mijn gefietste afstand ook kan benaderen door:
0 km heb gefietst op tijdstip 0 + een snelheid heb van 0 op tijdstip 0 + een groei in mijn snelheid van 10....
Nu kom ik vast te zitten en weet niet meer hoe ik het mij moet voorstellen..
[ Bericht 1% gewijzigd door JohnSpek op 23-07-2011 22:42:05 ]
Ik ben bezig met het approximeren van een functie f(x) met behulp van Taylor's formula.
Ik begrijp niet zo goed waarom ik de differentieerbare functie f(x) kan benaderen rond x = a door een functie
p(x) = f(a) + f'(a)*(x-a) + f''(a)*(x-a)^2 / 2! .... fn(a)*(x-a)^n / n! etc
Ik begrijp dat door p(x) zo op te stellen dat er uit volgt: p(a) = f(a) en p'(a) = f'(a) ...fn(a) = pn(a) en dat dus zowel de functie waarde als de afgeleide(en tweede afgeleide...etc) gelijk zijn van functie f en p bij x = a.
Hoe kan het alleen dat deze functie zelfs een benadering (of zelfs exacte waarde als n tot de oneindigheid is) kan vinden door eerst te kijken wat de waarde en de afgeleide van f'(a), f"(a), f'''(a)....fn(a)?
Je weet tenslotte alleen dat de afgeleide f(x) = p(x) op x = a, maar mysterieus vormt de functie p(x) dan naar f(x) toe als je bij de taylor formule n -> oneindig.
Als ik het probeer te visualiseren kom ik vast te zitten:
Stel ik heb de fiets functie f(x) = 5x^2 , waarbij x = tijd en f(x) = afstand.
f'(x) = 10x
f''(x) = 10
Deze functie is dus 2 keer differentieerbaar.
Ik benader rond x = 0 dus volgens Taylor's formule
p(x) = 0 + 10*0*(x-0)^2 + 10*(x-0)^2/2!
= 5*(x-0)^2
= 5x^2
Dezelfde functie weer, perfecte benadering(dus eigenlijk geen benadering meer).
Stel ik vul in f(x) in x = 2
f(2) = 5*2^2 = 20
Ik weet dus mijn afstand(20) die ik heb gefietst op tijdstip 2.
Door f(x) te benaderen door p(x) zeg ik eigenlijk dat ik mijn gefietste afstand ook kan benaderen door:
0 km heb gefietst op tijdstip 0 + een snelheid heb van 0 op tijdstip 0 + een groei in mijn snelheid van 10....
Nu kom ik vast te zitten en weet niet meer hoe ik het mij moet voorstellen..
[ Bericht 1% gewijzigd door JohnSpek op 23-07-2011 22:42:05 ]
De afstand die je aflegt wordt in de natuurkunde vaak opgeschreven als:
s = s0 + v0 t + a t² / 2,
waarbij s0 de beginafstand is, v0 de beginsnelheid en a de versnelling. Merk de overeenkomsten op met de Taylorbenadering!
Het is trouwens niet zo dat iedere (differentieerbare) functie een Taylorbenadering heeft. Dit geldt alleen voor de zogenaamde analytische functies. Dat zijn per definitie functies die te schrijven zijn als een oneindige som over n van an (x-b)n. Als die som uniform convergeert dan mag je differentiëren binnen het somteken. Als je n keer differentieert dan vindt je voor an precies de coëfficiënt van de Taylorreeks.
[ Bericht 0% gewijzigd door thenxero op 23-07-2011 22:45:06 ]
s = s0 + v0 t + a t² / 2,
waarbij s0 de beginafstand is, v0 de beginsnelheid en a de versnelling. Merk de overeenkomsten op met de Taylorbenadering!
Het is trouwens niet zo dat iedere (differentieerbare) functie een Taylorbenadering heeft. Dit geldt alleen voor de zogenaamde analytische functies. Dat zijn per definitie functies die te schrijven zijn als een oneindige som over n van an (x-b)n. Als die som uniform convergeert dan mag je differentiëren binnen het somteken. Als je n keer differentieert dan vindt je voor an precies de coëfficiënt van de Taylorreeks.
[ Bericht 0% gewijzigd door thenxero op 23-07-2011 22:45:06 ]
Kan iemand mij het volgende uitleggen?
De vraag luidt:
Voor een hoek a in het interval [0,π/2) is gegeven dat cos(a)=7/9.
Bepaal cos(7/2⋅π+a) exact.
Antwoord is:
cos(7/2⋅π + a) = cos(3/2⋅π + a) en dat is weer gelijk aan sin(a). (en sin(a) is weer makkelijk te berekenen dmv sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1).
Wat ik niet begrijp:
Maar ik begrijp niet waarom cos(3/2⋅π + a) gelijk is aan sin(a). Ik zie wel in dat zodra je een eenheidscirkel tekent en af gaat op cos(3/2⋅π + a), dat je dan 'onder' in de cirkel komt te zitten (bijv. een klok met de beide wijzers op de 6).
Maar zou cos(3/2⋅π + a) dan niet -sin(a) (dus negatief) moeten zijn???
Of heeft het wat te maken met het interval?
De vraag luidt:
Voor een hoek a in het interval [0,π/2) is gegeven dat cos(a)=7/9.
Bepaal cos(7/2⋅π+a) exact.
Antwoord is:
cos(7/2⋅π + a) = cos(3/2⋅π + a) en dat is weer gelijk aan sin(a). (en sin(a) is weer makkelijk te berekenen dmv sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1).
Wat ik niet begrijp:
Maar ik begrijp niet waarom cos(3/2⋅π + a) gelijk is aan sin(a). Ik zie wel in dat zodra je een eenheidscirkel tekent en af gaat op cos(3/2⋅π + a), dat je dan 'onder' in de cirkel komt te zitten (bijv. een klok met de beide wijzers op de 6).
Maar zou cos(3/2⋅π + a) dan niet -sin(a) (dus negatief) moeten zijn???
Of heeft het wat te maken met het interval?
Bekijk het eens als volgt. De cosinus en de sinus zijn periodieke functies met een periode 2π. Dat betekent dus dat:quote:
Kan iemand mij het volgende uitleggen?
De vraag luidt:
Voor een hoek a in het interval [0,π/2) is gegeven dat cos(a)=7/9.
Bepaal cos(7/2⋅π+a) exact.
Antwoord is:
cos(7/2⋅π + a) = cos(3/2⋅π + a) en dat is weer gelijk aan sin(a). (en sin(a) is weer makkelijk te berekenen dmv sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1).
Wat ik niet begrijp:
Maar ik begrijp niet waarom cos(3/2⋅π + a) gelijk is aan sin(a). Ik zie wel in dat zodra je een eenheidscirkel tekent en af gaat op cos(3/2⋅π + a), dat je dan 'onder' in de cirkel komt te zitten (bijv. een klok met de beide wijzers op de 6).
Maar zou cos(3/2⋅π + a) dan niet -sin(a) (dus negatief) moeten zijn???
Of heeft het wat te maken met het interval?
(1) cos(3/2∙π + α) = cos (α - 1/2∙π)
Je weet ook dat de cosinusfunctie een even functie is, i.e. cos(-θ) = cos θ, en dus:
(2) cos (α - 1/2∙π) = cos (1/2∙π - α)
Nu is de cosinus van een hoek gelijk aan de sinus van het complement (daar komt ook de naam cosinus vandaan), dus:
(3) cos (1/2∙π - α) = sin α
Uit (1), (2) en (3) volgt uiteraard dat cos(3/2∙π + α) = sin α
Met een tekening is dit ook te zien aan de hand van de eenheidscirkel. Kies een punt op de eenheidscirkel boven de x-as, en noem de hoek van de radius naar dat punt met de positieve x-as α, dan is de sinus van die hoek positief, de sinus van α is immers per definitie de y-coördinaat van het beeldpunt van (1;0) bij een rotatie over een hoek α om de oorsprong. Doe je er nu 3/2∙π bij, dan kom je uit op een punt op de eenheidscirkel in de rechter helft van het vlak, aangezien 3/2∙π rad correspondeert met 3/4 van de omtrek van de eenheidscirkel. Ik denk dat je over het hoofd ziet dat de cosinus van een hoek (c.q. rotatie) per definitie de x-coördinaat is van het beeldpunt van (1;0) bij een rotatie om de oorsprong. En de x-coördinaat van een punt rechts van de y-as is positief. Ergo, als sin α positief is, dan moet cos(α + 3/2∙π) ook positief zijn, en omgekeerd. Je kunt dus ook zonder herleidingen meteen inzien dat cos(α + 3/2π) niet gelijk kan zijn aan -sin α.
Oke bedankt voor de toevoeging.quote:
[..]
Inderdaad moet je eerst vermenigvuldigen, maar hier vermenigvuldig je niet - hier verhef je een macht (machtsverhef je?)! Dat heeft een nog hogere prioriteit.
Wat betreft haakjes om negatieve getallen: alleen doen als je een negatief getal invult voor x. Hier stond de min al gewoon in de formule, dus moet je de hele x2 als een negatief getal zien (en dus niet alleen x).
Ik heb nog een simpel vraagje.
In mijn boek staat het volgende: Afspraak in plaats van x ligt tussen 1 en 5 schrijven we 1<x<5.
Maar ik snap de logica daar achter niet als < groter dan betekend zou er staan 1 is groter dan x en x is groter dan 5 wat natuurlijk kan.
Ik snap dat dit misschien niet zon belangrijke vraag is maar ik wil graag weten hoe dit zit want dan kan ik het beter onthouden zonder domme fouten te maken.
moet ik het misschien van links naar rechts lezen, of het vanuit x naar links en rechts lezen?
alvast bedankt
A < b betekent a is kleiner dan b. C > d betekent c is groter dan d. Als we nu kijken naar 1<x<5, zien we dat er eigenlijk twee ongelijkheden staan, namelijk 1<x en x<5 (dit is eigenlijk de belangrijkste stap, zorg dat je deze goed begrijpt, dan is de rest relatief eenvoudig denk ik).quote:
[..]
Oke bedankt voor de toevoeging.
Ik heb nog een simpel vraagje.
In mijn boek staat het volgende: Afspraak in plaats van x ligt tussen 1 en 5 schrijven we 1<x<5.
Maar ik snap de logica daar achter niet als < groter dan betekend zou er staan 1 is groter dan x en x is groter dan 5 wat natuurlijk kan.
Ik snap dat dit misschien niet zon belangrijke vraag is maar ik wil graag weten hoe dit zit want dan kan ik het beter onthouden zonder domme fouten te maken.
moet ik het misschien van links naar rechts lezen, of het vanuit x naar links en rechts lezen?
alvast bedankt
Als we nu naar deze twee ongelijkheden kijken, zegt de eerste (1<x) dat x groter moet zijn dan 1 (1 is namelijk kleiner dan x). De tweede (x<5) zegt dat x kleiner moet zijn dan 5. Als we deze twee ongelijkheden samenvoegen, zien we dat x groter moet zijn dan 1, maar kleiner moet zijn dan 5, dus tussen 1 en 5 in moet liggen.
Onbelangrijke vragen zijn er trouwens niet, het is belangrijk dat je alles wat je doet goed begrijpt bij wiskunde
.
The biggest argument against democracy is a five minute discussion with the average voter.
Helder bedankt voor de goede uitleg.quote:
[..]
Als we nu kijken naar 1<x<5, zien we dat er eigenlijk twee ongelijkheden staan, namelijk 1<x en x<5 (dit is eigenlijk de belangrijkste stap, zorg dat je deze goed begrijpt, dan is de rest relatief eenvoudig denk ik).
Ja inderdaad ik heb ook voordat ik aan deze theorie begon (kwadratische ongelijkheden) eerst de stof ervoor nog een keer doorgekeken zodat ik alles tot in de puntjes snap. Dan vergeet je het ook niet meer en begin ik wiskunde steeds leuker te vinden.quote:
[..]
Onbelangrijke vragen zijn er trouwens niet, het is belangrijk dat je alles wat je doet goed begrijpt bij wiskunde
Om < en > niet door elkaar te halen: de "grote" kant van het teken geeft aan wat het grootste getal is.quote:
[..]
Helder bedankt voor de goede uitleg.
[..]
Ja inderdaad ik heb ook voordat ik aan deze theorie begon (kwadratische ongelijkheden) eerst de stof ervoor nog een keer doorgekeken zodat ik alles tot in de puntjes snap. Dan vergeet je het ook niet meer en begin ik wiskunde steeds leuker te vinden.
Riparius een idee?quote:
Nee, ik heb geen verstand van anova. Wel een vraag over topologie:
Zij (X,T) een lokaal compacte topologische Hausdorffruimte. Ik wil bewijzen dat voor iedere x in X de collectie van alle compacte omgevingen van x een basis vormt van omgevingen van x. Dat wil zeggen, voor iedere open omgeving U van x bestaat er een compacte omgeving K van x zodat K een deelverzameling is van U.
Poging tot het bewijs:
Zij x een willekeurig punt in X. Neem een willekeurige vaste open omgeving U van x. Omdat (X,T) lokaal compact is bestaat er een compacte omgeving K van x. Als K een deelverzameling is van U zijn we klaar, dus stel dat het niet zo is... en dan loop ik vast.
Toon eerst maar eens aan dat elke compacte omgeving van x in de deelruimte K ook een compacte omgeving van x in de hele ruimte X is. Als je dat eenmaal hebt, kun je X door K vervangen en dus zonder verlies van algemeenheid aannemen dat X compact is.quote:
Nee, ik heb geen verstand van anova. Wel een vraag over topologie:
Zij (X,T) een lokaal compacte topologische Hausdorffruimte. Ik wil bewijzen dat voor iedere x in X de collectie van alle compacte omgevingen van x een basis vormt van omgevingen van x. Dat wil zeggen, voor iedere open omgeving U van x bestaat er een compacte omgeving K van x zodat K een deelverzameling is van U.
Poging tot het bewijs:
Zij x een willekeurig punt in X. Neem een willekeurige vaste open omgeving U van x. Omdat (X,T) lokaal compact is bestaat er een compacte omgeving K van x. Als K een deelverzameling is van U zijn we klaar, dus stel dat het niet zo is... en dan loop ik vast.
Zij L compact in K. Stel dat L niet compact is in X. Dan bestaat er een open cover C in X waarvan geen eindige subcover bestaat. De doorsnede van C en K is een open cover van L in de geïnduceerde topologie op K. Dat we uit C geen eindige subcover kunnen halen in X impliceert dat we ook geen eindige subcover uit C doorsneden met K kunnen halen. Dus dan is L niet compact in K, tegenspraak.
Je weet alleen dat er een open deel U in X, om x, bestaat zdd de doorsnede van U met K in L bevat is. U zelf hoeft niet in L bevat te zijn.
Ja, nu haal je er een U bij maar ik had ook alleen maar bewezen wat je zei dat ik eerst moest bewijzen, ik ben natuurlijk nog niet klaar. Ik weet niet hoe ik verder moet en wat ik eraan heb dat als L compact is in K dat ie dan ook compact is in X.
Kan je een wat duidelijkere hint geven? Dit schiet niet echt op.
Kan je een wat duidelijkere hint geven? Dit schiet niet echt op.
Een compacte omgeving van x is een verzameling die x bevat, compact is, en een open deelverzameling heeft die ook x bevat.quote:Op woensdag 27 juli 2011 18:06 schreef thabit het volgende:
Weet je wel wat het begrip "compacte omgeving" inhoudt?
Juist. Dus als iets een omgeving is in K, dan hoeft het nog niet per se een omgeving te zijn in X (dat is het wel, maar dat moet je aantonen door te gebruiken dat K zelf ook weer een omgeving is).quote:
[..]
Een compacte omgeving van x is een verzameling die x bevat, compact is, en een open deelverzameling heeft die ook x bevat.
Ik snap wat je zegt maar ik weet niet hoe het moet. Je hebt een open omgeving van x in L (open t.o.v. K) en moet laten zien dat ie open is t.o.v. X.quote:
[..]
Juist. Dus als iets een omgeving is in K, dan hoeft het nog niet per se een omgeving te zijn in X (dat is het wel, maar dat moet je aantonen door te gebruiken dat K zelf ook weer een omgeving is).
Maar stel dat ik dat bewezen heb, wat heb je daar dan aan? Ik ben er al zeker 1-2 uur mee bezig geweest en het lukt me gewoon niet. Het is vast niet moeilijk maar ik loop gewoon steeds vast.
[ Bericht 3% gewijzigd door thenxero op 27-07-2011 19:16:02 ]
Wat je daaraan hebt, is dat je je volledig tot K kan beperken en het probleem op die manier gereduceerd hebt tot compacte X.quote:
[..]
Ik snap wat je zegt maar ik weet niet hoe het moet. Je hebt een open omgeving van x in L (open t.o.v. K) en moet laten zien dat ie open is t.o.v. X.
Maar stel dat ik dat bewezen heb, wat heb je daar dan aan?
Tsja. Misschien moet je eerst zelf nadenken. Dus neem maar aan dat X compact is, neem x in X, U om x en laat maar zien dat er een compacte omgeving van x bestaat die in U bevat is.
Tip: gebruik de compactheid in combinatie met de Hausdorff-eigenschap.
Tip: gebruik de compactheid in combinatie met de Hausdorff-eigenschap.
L is een omgeving in X.
Bewijs: Omdat L een omgeving is in K bestaat er een L' die open is in K en deelverzameling van L en omdat K een omgeving is in X bestaat er een K' die open is en deelverzameling van K. Schrijf L' = L'' doorsneden met K (L'' open in X). Neem K' doorsneden met L'', dan heb je een open in X die binnen L' en dus binnen L ligt.
Bewijs: Omdat L een omgeving is in K bestaat er een L' die open is in K en deelverzameling van L en omdat K een omgeving is in X bestaat er een K' die open is en deelverzameling van K. Schrijf L' = L'' doorsneden met K (L'' open in X). Neem K' doorsneden met L'', dan heb je een open in X die binnen L' en dus binnen L ligt.
Ik snap dat als ik nu een compacte omgeving in K heb, dat ik er ook direct één in X heb. Maar waarom mag ik dan aannemen dat X compact is?
Ja ik zie het .
Oke, dus neem x in X en U om x en neem aan dat X compact is. Neem voor iedere x in U een open omgeving Ux van x. Dan is {Ux : x in X} een open cover van U. Omdat X compact is bestaat er een eindige subcover {Vxi : xi in X en i in I, met #I eindig}. Omdat X Hausdorff is, zit er voor iedere xi en xj in U ( i =! j) opens Vxi en Vxj in de subcover zdd Vxi en Vxj lege doorsnede hebben.
Is dit een goed begin?
Ik denk dat ik een open in U moet vinden zodat de afsluiting ook in U ligt. Want gesloten in compact is ook compact.
.Oke, dus neem x in X en U om x en neem aan dat X compact is. Neem voor iedere x in U een open omgeving Ux van x. Dan is {Ux : x in X} een open cover van U. Omdat X compact is bestaat er een eindige subcover {Vxi : xi in X en i in I, met #I eindig}. Omdat X Hausdorff is, zit er voor iedere xi en xj in U ( i =! j) opens Vxi en Vxj in de subcover zdd Vxi en Vxj lege doorsnede hebben.
Is dit een goed begin?
Ik denk dat ik een open in U moet vinden zodat de afsluiting ook in U ligt. Want gesloten in compact is ook compact.
Oke ik heb het denk ik.
Zij x in X en Ux een open omgeving van x. Als Ux=X dan zijn we klaar, want X is compact en Ux bevat X. Dus neem aan dat Ux is niet gelijk aan X. Dan is er een y in Y:= X - U. Neem een open Uy om y met de eigenschap dat Uy doorsneden met Ux leeg is. We kunnen nu y variëren, en op die manier krijgen we een open cover van Y. Omdat Y gesloten is in X en omdat X compact is, is Y ook compact. Dus er bestaat een eindige subcover {Uyi : yi in Y en i in I met #I eindig}. Beschouw nu X - Uyi voor iedere i. Die verzameling is gesloten voor iedere i. De (eindige) doorsnede van X - Uyi over i geeft een verzameling K die gesloten is, en dus ook compact. Ik beweer dat K bevat is in Ux. Neem een z in Ux. Dan zit z in X - Uyi voor iedere i in I, want Ux is bevat in X-Uyi omdat Ux en Uyj lege doorsnede hebben. Dus z zit in K.
[ Bericht 61% gewijzigd door thenxero op 28-07-2011 14:33:54 ]
Zij x in X en Ux een open omgeving van x. Als Ux=X dan zijn we klaar, want X is compact en Ux bevat X. Dus neem aan dat Ux is niet gelijk aan X. Dan is er een y in Y:= X - U. Neem een open Uy om y met de eigenschap dat Uy doorsneden met Ux leeg is. We kunnen nu y variëren, en op die manier krijgen we een open cover van Y. Omdat Y gesloten is in X en omdat X compact is, is Y ook compact. Dus er bestaat een eindige subcover {Uyi : yi in Y en i in I met #I eindig}. Beschouw nu X - Uyi voor iedere i. Die verzameling is gesloten voor iedere i. De (eindige) doorsnede van X - Uyi over i geeft een verzameling K die gesloten is, en dus ook compact. Ik beweer dat K bevat is in Ux. Neem een z in Ux. Dan zit z in X - Uyi voor iedere i in I, want Ux is bevat in X-Uyi omdat Ux en Uyj lege doorsnede hebben. Dus z zit in K.
[ Bericht 61% gewijzigd door thenxero op 28-07-2011 14:33:54 ]
De Hausdorffeigenschap garandeert niet dat zo'n Uy bestaat.quote:
Oke ik heb het denk ik.
Zij x in X en Ux een open omgeving van x. Als Ux=X dan zijn we klaar, want X is compact en Ux bevat X. Dus neem aan dat Ux is niet gelijk aan X. Dan is er een y in Y:= X - U. Neem een open Uy om y met de eigenschap dat Uy doorsneden met Ux leeg is.
Verdomd, maar eigenlijk is het al voldoende dat ie x niet bevat.quote:
[..]
De Hausdorffeigenschap garandeert niet dat zo'n Uy bestaat.
Hoe toon je dan aan dat K een omgeving van x is?quote:
[..]
Verdomd, maar eigenlijk is het al voldoende dat ie x niet bevat.
Ohja dan moet ik ook nog een open in K vinden... voor iedere k in K en x in X - K bestaan er open omgevingen Uk om k en Ux om x zodat Uk en Ux elkaar niet doorsnijden. Neem k vast. Dan hebben we voor iedere Ux een Uk zodat ze een lege doorsnede hebben. Omdat X - K compact is kunnen we het bedekken door een eindig aantal opens Ux. Op die manier krijgen we een eindig aantal Uk's. Als we daarvan de doorsnede nemen krijgen we een verzameling V die geen enkele Ux in de cover van X - K doorsnijdt, dus ook niet X - K zelf. Oftewel V ligt binnen K en is open.
X - K zal in het algemeen niet compact zijn.quote:Op donderdag 28 juli 2011 21:20 schreef thenxero het volgende:
Ohja dan moet ik ook nog een open in K vinden... voor iedere k in K en x in X - K bestaan er open omgevingen Uk om k en Ux om x zodat Uk en Ux elkaar niet doorsnijden. Neem k vast. Dan hebben we voor iedere Ux een Uk zodat ze een lege doorsnede hebben. Omdat X - K compact is
K moet U zijn. Maar dan heb ik wel het probleem dat V in U ligt, en niet per se in K.quote:
[..]
X - K zal in het algemeen niet compact zijn.
Denk dat het wel werkt om de afsluiting van X - K te nemen ipv X -K zelf, die is wel compact.
[ Bericht 4% gewijzigd door thenxero op 28-07-2011 21:44:18 ]
Dan moet je nog wel aantonen dat die afsluiting het punt x niet bevat.quote:
[..]
K moet U zijn. Maar dan heb ik wel het probleem dat V in U ligt, en niet per se in K.
Denk dat het wel werkt om de afsluiting van X - K te nemen ipv X -K zelf, die is wel compact.
Hmm is dat wel aan te tonen? Als (intuïtief) x op het randje van K zit heb je een probleem.quote:
[..]
Dan moet je nog wel aantonen dat die afsluiting het punt x niet bevat.
Nee, je moet het anders aanpakken.quote:
[..]
Hmm is dat wel aan te tonen? Als (intuïtief) x op het randje van K zit heb je een probleem.
Laten we eerst even recapituleren wat we nog moeten bewijzen.
Zij X een compacte Hausdorffruimte en zij x in X een punt, en U een open deel van X dat x bevat. Te bewijzen: er is een compacte omgeving K van x die in U bevat is.
Voor elk punt y in X - U bestaan er disjuncte open delen Vy en Uy met x in Vy en y in Uy. Door U en alle Uy bij elkaar te nemen krijgen we een open overdekking van X.
Nu jij weer.
Zij X een compacte Hausdorffruimte en zij x in X een punt, en U een open deel van X dat x bevat. Te bewijzen: er is een compacte omgeving K van x die in U bevat is.
Voor elk punt y in X - U bestaan er disjuncte open delen Vy en Uy met x in Vy en y in Uy. Door U en alle Uy bij elkaar te nemen krijgen we een open overdekking van X.
Nu jij weer.
Dat is gewoon dit stukje wat ik al had, alleen verenig jij het met U:quote:
Laten we eerst even recapituleren wat we nog moeten bewijzen.
Zij X een compacte Hausdorffruimte en zij x in X een punt, en U een open deel van X dat x bevat. Te bewijzen: er is een compacte omgeving K van x die in U bevat is.
Voor elk punt y in X - U bestaan er disjuncte open delen Vy en Uy met x in Vy en y in Uy. Door U en alle Uy bij elkaar te nemen krijgen we een open overdekking van X.
Nu jij weer.
Op zich heb ik die K dus ook al gevonden; ik hoef er alleen nog maar een open verzameling in te vinden.quote:Zij x in X en Ux een open omgeving van x. Als Ux=X dan zijn we klaar, want X is compact en Ux bevat X. Dus neem aan dat Ux is niet gelijk aan X. Dan is er een y in Y:= X - U. Neem een open Uy om y met de eigenschap dat Uy doorsneden met Ux leeg is. We kunnen nu y variëren, en op die manier krijgen we een open cover van Y.
Bij mij is het ook voldoende dat ie x niet bevat, niet per se lege doorsnede. Is mijn K niet goed genoeg omdat het misschien niet per se een omgeving is?
Inderdaad, K zal op deze manier niet altijd een omgeving zijn.quote:
Bij mij is het ook voldoende dat ie x niet bevat, niet per se lege doorsnede. Is mijn K niet goed genoeg omdat het misschien niet per se een omgeving is?
