SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Tsja. Misschien moet je eerst zelf nadenken. Dus neem maar aan dat X compact is, neem x in X, U om x en laat maar zien dat er een compacte omgeving van x bestaat die in U bevat is.
Tip: gebruik de compactheid in combinatie met de Hausdorff-eigenschap.
Tip: gebruik de compactheid in combinatie met de Hausdorff-eigenschap.
L is een omgeving in X.
Bewijs: Omdat L een omgeving is in K bestaat er een L' die open is in K en deelverzameling van L en omdat K een omgeving is in X bestaat er een K' die open is en deelverzameling van K. Schrijf L' = L'' doorsneden met K (L'' open in X). Neem K' doorsneden met L'', dan heb je een open in X die binnen L' en dus binnen L ligt.
Bewijs: Omdat L een omgeving is in K bestaat er een L' die open is in K en deelverzameling van L en omdat K een omgeving is in X bestaat er een K' die open is en deelverzameling van K. Schrijf L' = L'' doorsneden met K (L'' open in X). Neem K' doorsneden met L'', dan heb je een open in X die binnen L' en dus binnen L ligt.
Ik snap dat als ik nu een compacte omgeving in K heb, dat ik er ook direct één in X heb. Maar waarom mag ik dan aannemen dat X compact is?
Ja ik zie het 
.
Oke, dus neem x in X en U om x en neem aan dat X compact is. Neem voor iedere x in U een open omgeving Ux van x. Dan is {Ux : x in X} een open cover van U. Omdat X compact is bestaat er een eindige subcover {Vxi : xi in X en i in I, met #I eindig}. Omdat X Hausdorff is, zit er voor iedere xi en xj in U ( i =! j) opens Vxi en Vxj in de subcover zdd Vxi en Vxj lege doorsnede hebben.
Is dit een goed begin?
Ik denk dat ik een open in U moet vinden zodat de afsluiting ook in U ligt. Want gesloten in compact is ook compact.
.Oke, dus neem x in X en U om x en neem aan dat X compact is. Neem voor iedere x in U een open omgeving Ux van x. Dan is {Ux : x in X} een open cover van U. Omdat X compact is bestaat er een eindige subcover {Vxi : xi in X en i in I, met #I eindig}. Omdat X Hausdorff is, zit er voor iedere xi en xj in U ( i =! j) opens Vxi en Vxj in de subcover zdd Vxi en Vxj lege doorsnede hebben.
Is dit een goed begin?
Ik denk dat ik een open in U moet vinden zodat de afsluiting ook in U ligt. Want gesloten in compact is ook compact.
Oke ik heb het denk ik.
Zij x in X en Ux een open omgeving van x. Als Ux=X dan zijn we klaar, want X is compact en Ux bevat X. Dus neem aan dat Ux is niet gelijk aan X. Dan is er een y in Y:= X - U. Neem een open Uy om y met de eigenschap dat Uy doorsneden met Ux leeg is. We kunnen nu y variëren, en op die manier krijgen we een open cover van Y. Omdat Y gesloten is in X en omdat X compact is, is Y ook compact. Dus er bestaat een eindige subcover {Uyi : yi in Y en i in I met #I eindig}. Beschouw nu X - Uyi voor iedere i. Die verzameling is gesloten voor iedere i. De (eindige) doorsnede van X - Uyi over i geeft een verzameling K die gesloten is, en dus ook compact. Ik beweer dat K bevat is in Ux. Neem een z in Ux. Dan zit z in X - Uyi voor iedere i in I, want Ux is bevat in X-Uyi omdat Ux en Uyj lege doorsnede hebben. Dus z zit in K.
[ Bericht 61% gewijzigd door thenxero op 28-07-2011 14:33:54 ]
Zij x in X en Ux een open omgeving van x. Als Ux=X dan zijn we klaar, want X is compact en Ux bevat X. Dus neem aan dat Ux is niet gelijk aan X. Dan is er een y in Y:= X - U. Neem een open Uy om y met de eigenschap dat Uy doorsneden met Ux leeg is. We kunnen nu y variëren, en op die manier krijgen we een open cover van Y. Omdat Y gesloten is in X en omdat X compact is, is Y ook compact. Dus er bestaat een eindige subcover {Uyi : yi in Y en i in I met #I eindig}. Beschouw nu X - Uyi voor iedere i. Die verzameling is gesloten voor iedere i. De (eindige) doorsnede van X - Uyi over i geeft een verzameling K die gesloten is, en dus ook compact. Ik beweer dat K bevat is in Ux. Neem een z in Ux. Dan zit z in X - Uyi voor iedere i in I, want Ux is bevat in X-Uyi omdat Ux en Uyj lege doorsnede hebben. Dus z zit in K.
[ Bericht 61% gewijzigd door thenxero op 28-07-2011 14:33:54 ]
De Hausdorffeigenschap garandeert niet dat zo'n Uy bestaat.quote:Op donderdag 28 juli 2011 14:10 schreef thenxero het volgende:
Oke ik heb het denk ik.
Zij x in X en Ux een open omgeving van x. Als Ux=X dan zijn we klaar, want X is compact en Ux bevat X. Dus neem aan dat Ux is niet gelijk aan X. Dan is er een y in Y:= X - U. Neem een open Uy om y met de eigenschap dat Uy doorsneden met Ux leeg is.
Verdomd, maar eigenlijk is het al voldoende dat ie x niet bevat.quote:
[..]
De Hausdorffeigenschap garandeert niet dat zo'n Uy bestaat.
Hoe toon je dan aan dat K een omgeving van x is?quote:
[..]
Verdomd, maar eigenlijk is het al voldoende dat ie x niet bevat.
Ohja dan moet ik ook nog een open in K vinden... voor iedere k in K en x in X - K bestaan er open omgevingen Uk om k en Ux om x zodat Uk en Ux elkaar niet doorsnijden. Neem k vast. Dan hebben we voor iedere Ux een Uk zodat ze een lege doorsnede hebben. Omdat X - K compact is kunnen we het bedekken door een eindig aantal opens Ux. Op die manier krijgen we een eindig aantal Uk's. Als we daarvan de doorsnede nemen krijgen we een verzameling V die geen enkele Ux in de cover van X - K doorsnijdt, dus ook niet X - K zelf. Oftewel V ligt binnen K en is open.
X - K zal in het algemeen niet compact zijn.quote:Op donderdag 28 juli 2011 21:20 schreef thenxero het volgende:
Ohja dan moet ik ook nog een open in K vinden... voor iedere k in K en x in X - K bestaan er open omgevingen Uk om k en Ux om x zodat Uk en Ux elkaar niet doorsnijden. Neem k vast. Dan hebben we voor iedere Ux een Uk zodat ze een lege doorsnede hebben. Omdat X - K compact is
K moet U zijn. Maar dan heb ik wel het probleem dat V in U ligt, en niet per se in K.quote:
[..]
X - K zal in het algemeen niet compact zijn.
Denk dat het wel werkt om de afsluiting van X - K te nemen ipv X -K zelf, die is wel compact.
[ Bericht 4% gewijzigd door thenxero op 28-07-2011 21:44:18 ]
Dan moet je nog wel aantonen dat die afsluiting het punt x niet bevat.quote:
[..]
K moet U zijn. Maar dan heb ik wel het probleem dat V in U ligt, en niet per se in K.
Denk dat het wel werkt om de afsluiting van X - K te nemen ipv X -K zelf, die is wel compact.
Hmm is dat wel aan te tonen? Als (intuïtief) x op het randje van K zit heb je een probleem.quote:
[..]
Dan moet je nog wel aantonen dat die afsluiting het punt x niet bevat.
Nee, je moet het anders aanpakken.quote:
[..]
Hmm is dat wel aan te tonen? Als (intuïtief) x op het randje van K zit heb je een probleem.
Laten we eerst even recapituleren wat we nog moeten bewijzen.
Zij X een compacte Hausdorffruimte en zij x in X een punt, en U een open deel van X dat x bevat. Te bewijzen: er is een compacte omgeving K van x die in U bevat is.
Voor elk punt y in X - U bestaan er disjuncte open delen Vy en Uy met x in Vy en y in Uy. Door U en alle Uy bij elkaar te nemen krijgen we een open overdekking van X.
Nu jij weer.
Zij X een compacte Hausdorffruimte en zij x in X een punt, en U een open deel van X dat x bevat. Te bewijzen: er is een compacte omgeving K van x die in U bevat is.
Voor elk punt y in X - U bestaan er disjuncte open delen Vy en Uy met x in Vy en y in Uy. Door U en alle Uy bij elkaar te nemen krijgen we een open overdekking van X.
Nu jij weer.
Dat is gewoon dit stukje wat ik al had, alleen verenig jij het met U:quote:
Laten we eerst even recapituleren wat we nog moeten bewijzen.
Zij X een compacte Hausdorffruimte en zij x in X een punt, en U een open deel van X dat x bevat. Te bewijzen: er is een compacte omgeving K van x die in U bevat is.
Voor elk punt y in X - U bestaan er disjuncte open delen Vy en Uy met x in Vy en y in Uy. Door U en alle Uy bij elkaar te nemen krijgen we een open overdekking van X.
Nu jij weer.
Op zich heb ik die K dus ook al gevonden; ik hoef er alleen nog maar een open verzameling in te vinden.quote:Zij x in X en Ux een open omgeving van x. Als Ux=X dan zijn we klaar, want X is compact en Ux bevat X. Dus neem aan dat Ux is niet gelijk aan X. Dan is er een y in Y:= X - U. Neem een open Uy om y met de eigenschap dat Uy doorsneden met Ux leeg is. We kunnen nu y variëren, en op die manier krijgen we een open cover van Y.
Bij mij is het ook voldoende dat ie x niet bevat, niet per se lege doorsnede. Is mijn K niet goed genoeg omdat het misschien niet per se een omgeving is?
Inderdaad, K zal op deze manier niet altijd een omgeving zijn.quote:
Bij mij is het ook voldoende dat ie x niet bevat, niet per se lege doorsnede. Is mijn K niet goed genoeg omdat het misschien niet per se een omgeving is?
