[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

Die tweede term (1/x)*x^2/3 kun je schrijven als

x^-1 x^2/3 = x^-1/3.

Oh ja natuurlijk, ik ben te lang bezig
Bedankt!

quote:

Op zondag 22 mei 2011 15:07 schreef ukga het volgende:

[..]

Oke top man! thanks. ik heb het zojuist geinstalleerd (vanaf de officie cd)

Ik kan je ook MathType aanraden, ik vind dat zelf nog wat fijner werken.

quote:

Op zondag 22 mei 2011 21:09 schreef Pipo1234 het volgende:
Ik ben bezig met somformules en verdubbelingsformules. Nu moet ik de volgende opgave met behulp van die twee dingen oplossen, alleen zie ik het even niet: tan t = sin 2t

Wil iemand mij een aanwezig geven? Ik kom niet verder dan tan naar sin/cos te herleiden en sin 2t naar 2 sin t keer cos t.

Wel, laten we eens kijken ...

De vergelijking is:

(1) tan t = sin 2t

Gebruik van tan t = sin t / cos t en sin 2t = 2∙sin t∙cos t geeft, zoals je zelf al had gevonden:

(2) sin t / cos t = 2∙sin t∙cos t

Nu wil ik de breuk in het linkerlid kwijt raken. Dat kunnen we doen door beide leden met cos t te vermenigvuldigen. Dit geeft:

(3) sin t = 2∙sin t∙cos²t

Hierbij is cos²t de conventionele notatie voor het kwadraat van cos t. Nu herleiden we het rechterlid op nul door van beide leden 2∙sint∙cos²t af te trekken. Dit geeft:

(4) sin t - 2∙sin t∙cos²t = 0

Nu hebben de twee termen in het linkerlid een factor sin t gemeenschappelijk, die ik dus buiten haakjes kan halen. Dit geeft:

(5) sin t∙(1 - 2∙cos²t) = 0

Hier stop ik even. Bedenk nu zelf hoe je deze vergelijking verder (exact) oplost.

quote:

Op zondag 22 mei 2011 21:32 schreef Riparius het volgende:

...
Hier stop ik even. Bedenk nu zelf hoe je deze vergelijking verder (exact) oplost.

Cos² herleid naar 1 - sin²:
(6) sin t ∙ (1 - 2(1 - sin²t)) = 0

Vereenvoudigd/vermenigvuldigd:
(7) -sin t + 2sin³t = 0

Ontbonden in factoren:
(8) ( sin t )( -1 + 2sin t² ) => sin t = 0 v -1 + 2sin² t = 0

Antwoord:
t = k ∙ 2π v t = ¼π + k ∙ 2π

Is dit iets? Ik geloof overigens dat ik bij stap 5 vastzat, want dat zag ik eerst niet.

[ Bericht 0% gewijzigd door Pipo1234 op 22-05-2011 22:21:20 ]

quote:

Op zondag 22 mei 2011 22:10 schreef Pipo1234 het volgende:

[..]

Cos² herleid naar 1 - sin²:
(6) sin t ∙ (1 - 2(1 - sin²t)) = 0

Vereenvoudigd/vermenigvuldigd:
(7) -sin t + 2sin³t = 0

Ontbonden in factoren:
(8) ( sin t )( -1 + 2t² ) => sin t = 0 v -1 + 2sin² t = 0

Antwoord:
t = k ∙ 2π v t = ¼ + k ∙ 2π

Is dit iets? Ik geloof overigens dat ik bij stap 5 vastzat, want dat zag ik eerst niet.

Tot en met stap (8) klopt het (behalve dat het 2sin² t moet zijn ipv 2t², maar dat is een typfout geloof ik). Het antwoord wat je er daarna uitkrijgt zou ik nog eens goed nakijken .

Edit: Let trouwens goed op, sin² t betekent (sin(t))², dus sin t * t² is niet sin³ t, maar t²*sin(t). Ik weet niet of je dat dacht, of dat het inderdaad een typfout was, maar let er goed op.

quote:

Op zondag 22 mei 2011 22:17 schreef M.rak het volgende:

[..]

Tot en met stap (8) klopt het (behalve dat het 2sin² t moet zijn ipv 2t², maar dat is een typfout geloof ik). Het antwoord wat je er daarna uitkrijgt zou ik nog eens goed nakijken .

Há. Het moet 1/4 pi zijn. Het is alweer laat... Bedank voor de opmerkzaamheid.

Het is trouwens gewoon een typfout.

quote:

Op zondag 22 mei 2011 22:21 schreef GlowMouse het volgende:
waarom niet gelijk cos²t = 1/2 oplossen?

Goede vraag? Ik ben nog redelijk onbekend met dit soort dingen, dus ik weet niet wat je bedoelt.

quote:

Op zondag 22 mei 2011 22:23 schreef Pipo1234 het volgende:

[..]

Goede vraag? Ik ben nog redelijk onbekend met dit soort dingen, dus ik weet niet wat je bedoelt.

Dan is (5) ook nul

quote:

Op zondag 22 mei 2011 22:24 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

Na riparius heb je sin t = 0 V 2-cos t = 0.

Natuurlijk. Dat is feitelijk hetzelfde. Ik probeer dingen zo uitgebreid mogelijk te doen, omdat ik de oefening wel kan gebruiken. Dus ik kijk niet zo naar de kortste weg.

In ieder geval bedankt allemaal! Ik ga maar eens richting mijn bed. Morgen weer een dag vol met wiskunde.

quote:

Op zondag 22 mei 2011 22:28 schreef Pipo1234 het volgende:
In ieder geval bedankt allemaal! Ik ga maar eens richting mijn bed. Morgen weer een dag vol met wiskunde.

Ik zou morgen trouwens wel nog eens naar je oplossing van

quote:

Ontbonden in factoren:
(8) ( sin t )( -1 + 2sin t² ) => sin t = 0 v -1 + 2sin² t = 0

Antwoord:
t = k ∙ 2π v t = ¼π + k ∙ 2π

hier kijken, met jouw oplossing heb je namelijk niet alle oplossingen gevonden .

quote:

Op zondag 22 mei 2011 22:10 schreef Pipo1234 het volgende:

[..]

Cos² herleid naar 1 - sin²:
(6) sin t ∙ (1 - 2(1 - sin²t)) = 0

Vereenvoudigd/vermenigvuldigd:
(7) -sin t + 2sin³t = 0

Ontbonden in factoren:
(8) ( sin t )( -1 + 2sin²t ) => sin t = 0 v -1 + 2sin² t = 0

Antwoord:
t = k ∙ 2π v t = ¼π + k ∙ 2π

Is dit iets? Ik geloof overigens dat ik bij stap 5 vastzat, want dat zag ik eerst niet.

Je bent wel goed op weg, hoewel je het jezelf enerzijds wat te moeilijk maakt en anderzijds ook nogal wat vergeet en stappen overslaat.

Na de (overbodige!) substitutie cos²t = 1 - sin²t kom je inderdaad uit op

sin t = 0 ∨ -1 + 2∙sin²t = 0

Maar nu vergeet je een deel van de mogelijke oplossingen, want als:

sin t = 0 ∨sin²t = ½

Dan geldt:

sin t = 0 ∨sin t = ½√2 ∨sin t = -½√2

Verder vergeet je te bedenken dat sin t niet alleen nul is voor t = 2kπ maar voor t = kπ. Maak weer even een schetsje van de eenheidcirkel als je dit niet ziet. Als oplossingen krijgen we nu:

t = kπ ∨ t = ¼π + 2kπ ∨ t = ¾π + 2kπ ∨ t = -¼π + 2kπ ∨ t = -¾π + 2kπ, k∈Z

En dit kun je weer vereenvoudigen tot:

t = kπ ∨ t = ¼π + kπ ∨ t = ¾π + kπ, k∈Z

En dit kun je nog combineren tot:

t = kπ ∨ t = ¼π + ½kπ, k∈Z

Maar: het kan veel eleganter. Je hebt net de formules voor de dubbele hoek geleerd. Door β=α te nemen in de somformule voor cos(α+β) vinden we:

(1) cos 2α = cos²α - sin²α

Er zijn nog twee andere nuttige formules voor de cosinus van de dubbele hoek, die we vinden door sin²α = 1 - cos²α resp. cos²α = 1 - sin²α te substitueren in (1). Dit geeft:

(2) cos 2α = 2∙cos²α - 1

En:

(3) cos 2α = 1 - 2∙sin²α

Hier kunnen we gebruik maken van (2). De vergelijking wordt dan:

(4) sin t∙(-cos 2t) = 0

En dus:

(5) sin t∙cos 2t = 0

En dus:

(6) sin t = 0 ∨cos 2t = 0

Werk dit even verder uit.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 23-05-2011 02:23:44 ]

quote:

Op zondag 22 mei 2011 22:38 schreef Riparius het volgende:

[..]

...

Werk dit even verder uit.

Dat gaat helaas te ver voor mij. Ik zie namelijk niet wat ik na stap 6 moet doen... Ik krijg het idee dat ik hier echt ballen van snap, want ik ben totaal vastgelopen in mijn stof. Zit nu al een uur naar deze opgave te staren: Stel een formule voor cos 3t op waarin alleen cos t en machten van cos t voorkomen. Vervolgens kom ik niet verder dan: cos 2t + t => cos 2t · cos t - sin 2t · sin t.

quote:

Op maandag 23 mei 2011 14:13 schreef GlowMouse het volgende:
Als je nu cos2t en sin2t omschrijft, ben je er al bijna hoor.

Bedoel je zo:

cos 3t = (1 - 2 sin² t) · cos t - (2 sin t · cos t) · sin t

Ik zie eerlijk gezegd niet hoe ik hier verder mee moet... vooral dat tweede deel kan ik niks mee.

quote:

Op maandag 23 mei 2011 14:00 schreef Pipo1234 het volgende:

[..]

Dat gaat helaas te ver voor mij. Ik zie namelijk niet wat ik na stap 6 moet doen... Ik krijg het idee dat ik hier echt ballen van snap, want ik ben totaal vastgelopen in mijn stof. Zit nu al een uur naar deze opgave te staren: Stel een formule voor cos 3t op waarin alleen cos t en machten van cos t voorkomen. Vervolgens kom ik niet verder dan: cos 2t + t => cos 2t · cos t - sin 2t · sin t.

OK. Niet in paniek raken of gaan wanhopen. Ik ga eerst nog even de bespreking van de vergelijking van gisteren afronden. Ik pak de draad weer even op bij mijn eerste post hierover. Ik was gekomen tot:

(5) sin t∙(1 - 2∙cos²t) = 0

Een product van twee factoren kan alleen nul zijn als (tenminste) één van de twee factoren nul is, dus dit levert dan op sin t = 0 óf cos²t = ½ waaruit weer volgt sin t = 0 óf cos t = ½√2 óf cos t = -½√2. Drie mogelijkheden dus, en voor elk van deze drie mogelijkheden moet je dan nagaan welke waarden van t voldoen.

Maar, zoals gezegd, het kan eleganter. Met behulp van de identiteit cos 2t = 2∙cos²t - 1 herleiden we (5) tot:

(6) sin t∙cos 2t = 0

En dus geldt:

(7) sin t = 0 ∨cos 2t = 0

Aan de hand van de eenheidscirkel zien we gemakkelijk dat de sinus (y-coördinaat) nul wordt voor kπ en dat de cosinus (x-coördinaat) nul wordt voor ½π + kπ. Dus krijgen we:

(8) t = kπ ∨2t = ½π + kπ

En dus:

(9) t = kπ ∨t = ¼π + ½kπ, k∈Z

Zo eenvoudig kan het dus. We hoeven nu niet alle oplossingen die we op de andere manier voor cos²t = ½ krijgen apart te bekijken.

Nu je vraag over de herleiding van een identiteit voor cos 3t uitgedrukt in cos t. Deze opgave sluit trouwens naadloos aan bij wat ik gisteren al opmerkte over de drie verschillende identiteiten voor de cosinus van de dubbele hoek, dus ik vraag me toch af of je mijn antwoorden wel goed bestudeert.

Maar goed. We gaan nog even uit van de somformule voor cos(α+β). Deze luidt, zoals bekend:

(10) cos(α+β) = cos α∙cos β - sin α∙sin β

We nemen nu α = 2t en β = t, zodat α+β = 3t. Dit geeft:

(11) cos 3t = cos 2t∙cos t - sin 2t∙sin t

Nu weet je ook dat geldt:

(12) cost 2t = 2∙cos²t - 1 en sin 2t = 2∙sin t∙cos t

Substitutie van (12) in (11) levert:

(13) cos 3t = (2∙cos²t - 1)∙cos t - 2∙sin t∙cos t∙sin t

Uitwerken geeft:

(14) cos 3t = 2∙cos³t - cos t - 2∙sin²t∙cos t

Nu is ook:

(15) sin²t = 1 - cos²t

Substitutie van (15) in (14) geeft dus:

(16) cos 3t = 2∙cos³t - cos t - 2∙(1 - cos²t)∙cos t

Weer haakjes uitwerken:

(17) cos 3t = 2∙cos³t - cos t - 2∙cos t + 2∙cos³t

Nu nog termen met dezelfde macht samennemen, en we krijgen:

(18) cos 3t = 4∙cos³t - 3∙cos t

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 23-05-2011 15:47:20 ]

quote:

Op maandag 23 mei 2011 14:35 schreef Riparius het volgende:

[..]

...
Nu nog termen met dezelfde macht samennemen, en we krijgen:

(18) cos 3t = 4∙cos³t - 3∙cos t

Oké. Het lijkt zo simpel als jij het zo uitlegt, maar ik raak altijd in de war door alle haakjes en vermenigvuldigingen. Ik lees trouwens al jouw uitleg uitvoerig, want ik wil Wiskunde B graag halen en heb al gemerkt dat jij er zeer veel van weet. Daarvoor mijn dank. Helaas blijft niet alles altijd even goed hangen en gaan sommige dingen nog te ver voor mij om het te snappen.

quote:

Op maandag 23 mei 2011 15:10 schreef Pipo1234 het volgende:

[..]

Oké. Het lijkt zo simpel als jij het zo uitlegt, maar ik raak altijd in de war door alle haakjes en vermenigvuldigingen.

Dat alles zo simpel lijkt als ik het uitleg is iets wat ik veel vaker hoor. Het zouden didactische kwaliteiten kunnen zijn, maar ik heb eerder het idee dat er tegenwoordig niet meer goed les wordt gegeven, en van veel 'uitleg' (of wat dat voor door moet gaan) in Nederlandse (school)boeken gaan mijn haren ook recht overeind staan. Verder lijken veel dingen niet alleen simpel, ze zijn het ook. Je moet alleen wel heel consequent te werk gaan.

quote:

Ik lees trouwens al jouw uitleg uitvoerig, want ik wil Wiskunde B graag halen en heb al gemerkt dat jij er zeer veel van weet. Daarvoor mijn dank. Helaas blijft niet alles altijd even goed hangen en gaan sommige dingen nog te ver voor mij om het te snappen.

Waar heb je deze wiskunde voor nodig als ik vragen mag? Om meer inzicht te krijgen moet je een goede balans zien te vinden tussen het doornemen en begrijpen van de 'theorie' en het maken van opgaven. Als je je pas in een stukje theorie gaat verdiepen op het moment dat je merkt dat je even niet verder komt met een opgave dan krijg je een veel te fragmentarisch beeld van de stof. Anderzijds is het ook zo dat je inderdaad veel moet oefenen en niet alleen maar kijken hoe anderen (of antwoordenboekjes) het doen. Je kunt ook geen profvoetballer worden door elke avond met een krat bier voor de TV te gaan zitten en naar voetbalwedstrijden te kijken.

goddomme, leraar heeft 2 oefenopgaven gemaakt maar snap er geen kut van;
1: bij de rij Un=3n²+2n+4 hoort een recursieve formule van de vorm Un=Un-1+an-1 met U0=4.
Bereken a.

2: gegeven is de rij Wn=an+5 en 4ΣK=0 Wk = 49. Bereken a.

iemand die me dit kan uitleggen ?