[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

Heb zelf op de middelbare school niet echt bewijzen gehad van Goniometrische formules. Die formules van Mollweide/Simpson kwamen we overigens ook echt sporadisch tegen. Nu met mijn studie Econometrics kom ik ook weinig sinussen en cosinussen tegen, maar moest even mijn examentraining voorbereiden voor morgen..

Ik zit nu met iets waar ik finaal in vastloop. Ik moet van de volgende functie de afgeleide bepalen:

Tot zover geen probleem, namelijk:

Echter dien ik dan te bepalen bij welke waarde van p de vergelijking f' = 0 geen oplossing heeft en dan snap ik het even niet meer. Het antwoord is het bereik van de negatieve wortel van 2 keer 3 tot zijn positieve tegenhanger.

Wanneer heeft een kwadratische vergelijking geen oplossing?

Hint: discriminant

quote:

Op maandag 2 mei 2011 19:43 schreef thenxero het volgende:
Wanneer heeft een kwadratische vergelijking geen oplossing?

Hint: discriminant

De discriminant is negatief in dit geval, dus er is geen oplossing. Maar het moet op één of andere manier toch op te lossen zijn? Hoe moet ik anders aan het antwoord komen?

quote:

Op maandag 2 mei 2011 21:50 schreef Pipo1234 het volgende:

[..]

De discriminant is negatief in dit geval, dus er is geen oplossing. Maar het moet op één of andere manier toch op te lossen zijn? Hoe moet ik anders aan het antwoord komen?

Schrijf de discriminant eens uit, let daarbij op de p .

quote:

Op maandag 2 mei 2011 21:54 schreef M.rak het volgende:

[..]

Schrijf de discriminant eens uit, let daarbij op de p .

quote:

Op maandag 2 mei 2011 21:56 schreef Pipo1234 het volgende:

[..]

?

quote:

Op maandag 2 mei 2011 21:58 schreef M.rak het volgende:

[..]

?

Ja dat zet me even aan het denken, aangezien ik de materie niet zo heel goed beheers.

quote:

Op maandag 2 mei 2011 21:58 schreef Pipo1234 het volgende:

[..]

Ja dat zet me even aan het denken, aangezien ik de materie niet zo heel goed beheers.

Je weet de formule voor de discriminant? Die moet je nu toepassen op de formule die je eerder hebt gegeven. Schrijf deze eens op, en probeer voor jezelf te bedenken wat dit betekent.

quote:

Op maandag 2 mei 2011 21:50 schreef Pipo1234 het volgende:

[..]

De discriminant is negatief in dit geval, dus er is geen oplossing. Maar het moet op één of andere manier toch op te lossen zijn? Hoe moet ik anders aan het antwoord komen?

Het feit dat een kwadratische vergelijking geen oplossing heeft betekent niet dat jij het vraagstuk niet op kunt lossen, dat zijn twee heel verschillende dingen.

Een kwadratische veelterm in een variabele x heeft de algemene gedaante:

(1) ax² + bx + c

Hierbij neem ik aan dat a,b en c reële grootheden zijn. Tevens mogen we a ongelijk aan nul veronderstellen, aangezien je anders geen kwadratische term zou hebben.

De discriminant D van deze kwadratische veelterm is:

(2) D = b² - 4ac

De waarde van D is bepalend voor het aantal (reële) nulpunten van veelterm (1). Indien D negatief is, dan heeft (1) geen (reële) nulpunten.

De kwadratische veelterm die je nu hebt is:

(3) f'_p(x) = 3x² + 2px + 6

De vraag is nu voor welke waarde(n) van p f'_p(x), en dus de kwadratische veelterm in (3), geen nulpunten heeft.

Uit een vergelijk van (3) met de algemene gedaante (1) van een kwadratische veelterm zie je dat hier geldt a = 3, b = 2p en c = 6. In overeenstemming met (2) is de discriminant van (3) dus:

(4) D = (2p)² - 4*3*6 = 4p² - 72

Het vraagstuk is nu herleid tot de vraag voor welke waarde(n) van p de uitdrukking 4p² - 72 negatief is. Bedenk nu zelf eens hoe je deze laatste vraag oplost. Hint: bepaal eerst voor welke waarde(n) van p de uitdrukking 4p² - 72 gelijk is aan nul.

Ik moet voor datastructuren een algoritme schrijven waar we te maken hebben met een recursieve functie:
f is gedefinieerd van 2 tot een zeker natuurlijk getal m>2:
f(2) = a
f_n = f_n-1 + ceiling(f_n-1 / b)
(Waarin ceiling een functie is die afrondt naar het dichtbijzijnde natuurlijke getal dat gelijk aan of groter dan het argument is _{wat een zin})

Ik vroeg me af of je zo'n recursieve functie kunt benaderen met een niet-recursieve functie, dat zou namelijk erg kunnen helpen (hoewel het me onwaarschijnlijk lijkt dat dat de oplossing is die de docent voor ogen heeft, als het al kan)

BETA-genieën; de volgende vraag. Echt superveel waardering als jullie hier zouden kunnen helpen.. ik heb geen flauw idee of ik dit goed doe..

[Blijkbaar staat fok.nl geen grote hoeveelheden spaties toe, bij de voorgestelde oplossingen moeten die spaties in de regels boven en onder 'SIGMA' er dus bij worden gedacht... Die regels waarin extra spaties moeten worden 'gedacht' zijn nu dikgedrukt]

Ik weet in principe wel hoe de som notatie werkt, en kan al zeg ik het zelf ook wel redelijk logisch nadenken, maar heb helaas nooit wiskunde B gehad, en loop nu toch echt goed vast. Ik zal eerst uitleggen waar ik een (sigma) som-formule voor wil hebben:

We hebben voor 5 mensen (i=5), over een periode van 10 jaar (t=10), waardes voor een bepaalde variabele genaamd A(i,t). Niet voor alle jaren is er voor iedere persoon een waarde van A bekend.

PART I
Nu wordt voor iedere persoon -individueel- de reeks A geïndexeerd. Laten we de nieuwe variabele IA(i,t) (IA = 'Index A') noemen. Per persoon wordt de gemiddelde waarde van A over de gehele periode gelijkgesteld aan 100. (Let op: aangezien dus niet voor alle personen over de gehele periode waardes van A bekend zijn, kun je de som van alle A-waardes van een bepaalde persoon niet simpelweg door 10 delen om het gemiddelde te krijgen. ~ik weet niet of delen door 'n' voldoet, of dat dat sigma-notatie-technisch incorrect is??)

PART II
Nadat de variabele IA(i,t) gecreëerd is, introduceren we de variabele B(t). B is gelijk aan een gewogen gemiddelde van de variabele IA in jaar t. De weights van IA(i,t) in B(t) hangen af van de waardes van weer een andere variabele: C(i,t). Als 'in jaar 5 de C-waarde voor persoon 1 gelijk is aan 8' (oftewel C(1,5)=8), en de som van alle C's in dat jaar gelijk is aan 80 (oftewel C(1,5)+C(2,5)+C(3,5)+...+C(10,5)=80), dan is het gewicht van IA(1,5) in B(5) 10% (=8/80).

Hopelijk is het probleem zo in ieder geval duidelijk (ik heb in ieder geval al veel vereenvoudigd...) De bedoeling is om uiteindelijk 1 som formule voor dit gehele verhaal te krijgen, maar het opsplitsen in twee problemen ligt hier uiteraard voor de hand en mag ook. (Uiteindelijk kunnen ze dan misschien nog worden samengevoegd, al wordt dan -ben ik bang- het een groot probleem dat sommige '"n's" betrekking hebben op i en andere op t)

OPLOSSING PART I
Mijn poging (geen flauw idee of dit correct is);

n
IA(i,t) = A(i,t) / { { SIGMA [ A(i,t) ] } / n } x 100
t=1

OPLOSSING PART II
Met betrekking tot PART II, klopt de formule zo??; (laat je vooral niet op het verkeerde been zetten door wat ik aan het doen ben, ik ben echt een leek..)

n n
B(t) = SIGMA [ IA(i,t) * { C(i,t) / SIGMA [ C(i,t) ] }
i=1 i=1

Klopt dat zo? Of zou ik bijvoorbeeld onder de tweede SIGMA niet 'i=1' maar gewoon 'i' moeten zetten (omdat het om een SIGMA binnen een SIGMA gaat)??

ALLES SAMENVOEGEN
Dan krijg je dit: probleem is nu alleen misschien dat sommige "n's" betrekking heb op i, en andere op t???

n n n
B(t) = SIGMA [ {{ A(i,t) / { { SIGMA [ A(i,t) ] } / n } x 100 }} * { C(i,t) / SIGMA [ C(i,t) ] }
i=1 t=1 i=1

Alvast heeeeeeeel erg veel dank en respect voor de slimmerik die dit weet op te lossen!

MrMiguel, probeer er in word (of latex) iets fatsoenlijks van te maken en gooi dan hier een printscreen neer. Dit leest echt heel erg matig. Als je een mooie printscreen neerplempt wil ik me er wel over buigen.

//herschreven:

Het enige wat mijn paper erbij heeft is dat de phases een functie van de tijd zijn en als uitkomst naast 'delta Theta' (dus d Theta_i / d t)) nog een breuk '1/2pi' staan.

Kan helaas het paper niet op internet vinden...

Mijn issues zijn:
Hoe teken ik een lijn met behulp van phase/frequency/amplitude als de phase varieert? Tenminste, ik hoop dat ik Kuramoto goed doe :| bij mij gaan de phases steeds hoger en hoger.
voor de eerste 4 stappen, 6 oscillators diens phases op de tijdstippen:
0 1.4144 5.3829 6.9669
0 2.5284 6.2316 8.2936
5.1191 8.2058 10.1751 13.1296
5.6913 8.8670 10.6988 14.3709
0.7979 2.6108 5.2027 8.9379
5.7389 10.4320 13.0786 15.7821

Tenminste, in begin zijn ze nog zeer chaotisch, maar uiteindelijk is er een stabiel patroon, maar het fluctueert enorm nog altijd, terwijl in de paper het naar één lijn toe gaat (frequency tegenover tijd).

// nog een update:
als ze met allemaal dezelfde frequencies beginnen en de phases zijn schommelend, krijg ik alleen een rechte lijn als ik delta tijd iets van 0.001 of kleiner neem. Zodra ik verschillende frequencies probeer echter, krijg ik mega hoeveelheid schommelingen...

[ Bericht 12% gewijzigd door koffiegast op 04-05-2011 22:58:01 ]

quote:

Geen huiswerk vraag maar gezien de bovenstaande post:
Snappen de meeste VWO wiskunde B/D'ers waarom bijvoorbeeld sin(A+B) gelijk staat aan SinACosB + CosASinB? Ik heb, dankzij falend onderwijs, nooit iets over sin/cos/tan gehad en zie vaak mensen met dit soort regels komen. Hoor je al die regels te snappen? Of is het een kwestie van de regels stampen en toepassen?

(Wil wellicht zelf Wiskunde B/D doen dus vraag dit uit interesse)

Hier een bewijsje.
http://www.khanacademy.or(...)cos-b?p=Trigonometry
http://www.khanacademy.or(...)sin-b?p=Trigonometry

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 01:10 schreef Bram_van_Loon het volgende:

[..]

Hier een bewijsje.
http://www.khanacademy.or(...)cos-b?p=Trigonometry
http://www.khanacademy.or(...)sin-b?p=Trigonometry

Die bewijzen met behulp van rechthoekige driehoeken vind ik niet fraai, omdat ze uitsluitend gelden voor scherpe hoeken α en β, terwijl er in de figuren bovendien vanuit wordt gegaan dat ook α+β een scherpe hoek is. De additietheorema's gelden echter voor willekeurige hoeken (rotaties), zowel positief als negatief. Er is een veel fraaier bewijs mogelijk met vectoren en de eenheidscirkel dat wél geldt voor willekeurige hoeken (rotaties), maar ik vind zo gauw geen webpagina waar dat goed wordt uitgelegd.

Ze zijn vrij makkelijk te bewijzen met de e-macht

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 09:17 schreef thenxero het volgende:
Ze zijn vrij makkelijk te bewijzen met de e-macht

Dat lijkt maar zo. Als je, zoals op de middelbare school gebeurt, de goniometrische functies meetkundig definieert aan de hand van de eenheidscirkel, dan zou je eerst nog complexe getallen en de formules van De Moivre en Euler moeten behandelen (en afleiden) alvorens je daarmee dan de additietheorema's aantoont. Maar afgezien daarvan dat je dan didactisch een enorme omweg hebt gemaakt begeef je je dan in een cirkelredenering (no pun intended), want om te laten zien dat bij vermenigvuldiging van twee complexe getallen de argumenten optellen heb je dan ook al van de additietheorema's voor de cosinus en sinus gebruik gemaakt. Ik heb daar een hele tijd geleden op dit forum ook al eens op gewezen.

Kan iemand mij verklaren waarom de afgeleide van x keer e^x = (1+x) keer e^x?

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 13:46 schreef Pipo1234 het volgende:
Kan iemand mij verklaren waarom de afgeleide van x keer e^x gelijk is aan (1+x) keer e^x?

Pas de productregel toe om xe^x te differentiëren naar x en haal dan bij het resultaat e^x buiten haakjes.

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 13:56 schreef Riparius het volgende:

[..]

Pas de productregel toe om xe^x te differentiëren naar x en haal dan bij het resultaat e^x buiten haakjes.

x keer e^x keer (1) = 1x keer e^x... waarom moet die e^x eruit gehaald worden?

Even iets tussendoor: Hoe kan ik van de wortel van 4,5 naar 1,5 keer de wortel van 2 komen? Aangezien het antwoord daarmee komt en het feitelijk hetzelfde is. Is het trouwens zo dat een negatieve wortel niet mag. Dus op de volgende wijze: -SRT(2) (en dus niet de wortel van een negatief getal).

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 14:37 schreef Pipo1234 het volgende:

[..]

x keer e^x keer (1) = 1x keer e^x... waarom moet die e^x eruit gehaald worden?

Je kent de productregel? Deze toepassen op de functie levert .

quote:

Even iets tussendoor: Hoe kan ik van de wortel van 4,5 naar 1,5 keer de wortel van 2 komen? Aangezien het antwoord daarmee komt en het feitelijk hetzelfde is.

quote:

Is het trouwens zo dat een negatieve wortel niet mag. Dus op de volgende wijze: -SRT(2) (en dus niet de wortel van een negatief getal).

Dat klopt, de wortel van een negatief getal bestaat niet (niet in de reële getallen in ieder geval).

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 14:37 schreef Pipo1234 het volgende:

[..]

x keer e^x keer (1) = 1x keer e^x... waarom moet die e^x eruit gehaald worden?

wordt enkel gedaan om het eenvoudiger op te schrijven e^x + x*e^x = e^x * (1+x)
beetje hetzelfde als een breuk vereenvoudigen 2/4 is niet fout als antwoord maar toch schrijf je dan altijd 1/2 op

quote:

Even iets tussendoor: Hoe kan ik van de wortel van 4,5 naar 1,5 keer de wortel van 2 komen?

quote:

Aangezien het antwoord daarmee komt en het feitelijk hetzelfde is. Is het trouwens zo dat een negatieve wortel niet mag. Dus op de volgende wijze: -SRT(2) (en dus niet de wortel van een negatief getal).

Wortel van een negatief getal bestaat niet (enkel complex), maar je kan wel min de wortel van een positief getal hebben.

niet: wortel(-4)
wel: - wortel(4)

Bedankt voor alle verhelderende antwoorden!

quote:

Op woensdag 4 mei 2011 10:47 schreef thabit het volgende:
f_n is ongeveer f_n-1 * (1 + 1/b). In elk geval zit het tussen f_n-1 * (1 + 1/b) en f_n-1 * (1 + 1/b) + 1. Dus f_n zal ongeveer a * (1 + 1/b)^n-2 zijn. Dat is in elk geval een ondergrens. Voor een bovengrens moet je de recursie f_n = 1 + f_n-1 * (1 + 1/b) oplossen. Dat doe je door eerst een c te vinden zdd deze vergelijking tot f_n - c = (1 + 1/b) * (f_n-1 - c) herleidt.

Bedankt! Daar kan ik denk ik wel wat mee

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 13:03 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat lijkt maar zo. Als je, zoals op de middelbare school gebeurt, de goniometrische functies meetkundig definieert aan de hand van de eenheidscirkel, dan zou je eerst nog complexe getallen en de formules van De Moivre en Euler moeten behandelen (en afleiden) alvorens je daarmee dan de additietheorema's aantoont. Maar afgezien daarvan dat je dan didactisch een enorme omweg hebt gemaakt begeef je je dan in een cirkelredenering (no pun intended), want om te laten zien dat bij vermenigvuldiging van twee complexe getallen de argumenten optellen heb je dan ook al van de additietheorema's voor de cosinus en sinus gebruik gemaakt. Ik heb daar een hele tijd geleden op dit forum ook al eens op gewezen.

De formule van Euler kan ook eenvoudig bewezen worden met calculus en wat basisalgebra, zie http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_formula#Using_calculus .
Het enige resultaat dat je daarvoor nodig hebt is dat d/dx e^ix = i e^ix.... Dit feit volgt direct uit de machtreeks van e^ix. We kunnen e^ix definiëren als die machtreeks, waardoor we ook geen kennis van Taylorreeksen nodig hebben.
Het enige wat je dus moet doen is e^ix definiëren als een machtreeks, toch? Op die manier zitten we niet in een cirkelredenering.

edit: ik bedenk me wel dat je nog uniforme convergentie moet aantonen om termgewijs te differentiëren, waardoor het toch wel iets gecompliceerder wordt. Niet echt stof voor de middelbare school. Aan de andere kant hebben ze bij mij op de middelbare school ook nooit aangetoond dat d/dx e^kx = k e^x voor reële k, dus ze zouden het ook gewoon als onbewezen stelling kunnen poneren.

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 18:07 schreef thenxero het volgende:

[..]

De formule van Euler kan ook eenvoudig bewezen worden met calculus en wat basisalgebra, zie http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_formula#Using_calculus .

Met die bewijzen voor de formule van Euler die in het Wikipedia artikel worden opgevoerd is ook van alles mis, lees de - inmiddels zeer omvangrijke - discussie er maar eens op na. Er is overigens een bewijs mogelijk zonder differentiaal- of integraalrekening uitgaande van een definitie van exp(z) als de limiet van (1 + z/n)ⁿ voor n naar oneindig, maar uitgerekend dat bewijs staat niet in het engelstalige Wikipedia artikel.

quote:

Het enige resultaat dat je daarvoor nodig hebt is dat d/dx e^ix = i e^ix.... Dit feit volgt direct uit de machtreeks van e^ix. We kunnen e^ix definiëren als die machtreeks, waardoor we ook geen kennis van Taylorreeksen nodig hebben.

Toch wel, want als je exp(z) definieert aan de hand van een machtreeks, dan moet je wel aantonen dat die reeks convergeert voor elke z uit C.

quote:

Het enige wat je dus moet doen is e^ix definiëren als een machtreeks, toch? Op die manier zitten we niet in een cirkelredenering.

edit: ik bedenk me wel dat je nog uniforme convergentie moet aantonen om termgewijs te differentiëren, waardoor het toch wel iets gecompliceerder wordt. Niet echt stof voor de middelbare school.

Inderdaad. En dan blijft didactisch het bezwaar dat je wel een enorme omweg maakt om de additietheorema's te bewijzen. Feitelijk moet je dan ook cos(z) en sin(z) definiëren als (exp(iz)+exp(-iz))/2 resp. (exp(iz)-exp(-iz))/2i waarmee de formule van Euler tot een tautologie wordt. Niet geschikt voor een elementaire behandeling van de goniometrie op school.

quote:

Aan de andere kant hebben ze bij mij op de middelbare school ook nooit aangetoond dat d/dx e^kx = k e^x voor reële k, dus ze zouden het ook gewoon als onbewezen stelling kunnen poneren.

Nee, dan heb je een slechte docent gehad. Dit volgt onmiddellijk met behulp van de kettingregel.

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 18:29 schreef Riparius het volgende:
Nee, dan heb je een slechte docent gehad. Dit volgt onmiddellijk met behulp van de kettingregel.

Dat je er een k voor zet komt inderdaad door de kettingregel, maar dat de afgeleide van e^x gelijk is aan e^x is bij mij nooit bewezen. Volgens mij werd e^x geïntroduceerd als lim (1+x/n)^n, en daarvoor zou dan toevallig gelden dat d/dx e^x = e^x , maar dat is niet helemaal duidelijk.

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 19:34 schreef thenxero het volgende:

[..]

Dat je er een k voor zet komt inderdaad door de kettingregel, maar dat de afgeleide van e^x gelijk is aan e^x is bij mij nooit bewezen. Volgens mij werd e^x geïntroduceerd als lim (1+x/n)^n, en daarvoor zou dan toevallig gelden dat d/dx e^x = e^x , maar dat is niet helemaal duidelijk.

Voorlaatste regel moet starten met lim_h→0

[ Bericht 3% gewijzigd door Nelis89 op 05-05-2011 21:35:36 ]