[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op dinsdag 12 april 2011 12:40 schreef M.rak het volgende:

[..]

x² is sowieso niet gelijk aan 2x, de afgeleide van x² is 2x. Dat is ook niet zo omdat het twee blauwe vierkanten vormt (los daarvan, er is maar één blauw vierkant), dat is slechts een tussenstap die je nodig hebt om de limiet op te lossen.

Het vierkant laat zien dat je (a+b)² kunt schrijven als a²+2ab+b². Als je dat invult in de limiet kom je uit op de oplossing .

Je moet het niet te simpel maken voor jezelf door stappen simpelweg over te slaan, dan klopt het niet meer.

Het is de afgeleide natuurlijk. Misschien probeer ik het inderdaad te simpel voor mezelf te maken.

Die merkwaardige producten is precies wat ik nodig had! Alleen nu heb ik er nog een vraag over. Als ik X³ heb en dan op h³ + 3x²h + 3xh² uitkom, wat gebeurd er dan met die overtollige 3x van de laatste samenstelling? Als ik h wegstreep houd ik namelijk 3x over... en ik weet dat het antwoord 3x² moet zijn.

quote:

Op dinsdag 12 april 2011 14:49 schreef Pipo1234 het volgende:
Die merkwaardige producten is precies wat ik nodig had! Alleen nu heb ik er nog een vraag over. Als ik X³ heb en dan op h³ + 3x²h + 3xh² uitkom, wat gebeurd er dan met die overtollige 3x van de laatste samenstelling? Als ik h wegstreep houd ik namelijk 3x over... en ik weet dat het antwoord 3x² moet zijn.

Ik begrijp niet precies wat je bedoelt? Als ik het uitwerk kom ik uit op(h³ + 3x²h + 3xh² + x³ - x³)/h. Als je dat uitwerkt komt het gewoon uit hoor . Misschien dat je vergeten bent om in het begin f(x+h) - f(x) te doen?

quote:

Op dinsdag 12 april 2011 14:56 schreef M.rak het volgende:

[..]

Ik begrijp niet precies wat je bedoelt? Als ik het uitwerk kom ik uit op(h³ + 3x²h + 3xh² + x³ - x³)/h. Als je dat uitwerkt komt het gewoon uit hoor . Misschien dat je vergeten bent om in het begin f(x+h) - f(x) te doen?

Nee die formule heb ik ook. Ik probeer het te gebruiken voor een differentatie van X³. Bij X² kom ik er door H weg te strepen. Maar bij X³ houd ik op de volgende manier 3X² en 3X over: h³ + 3x²h + 3xh² + x³ - x³)/h

quote:

Op dinsdag 12 april 2011 08:30 schreef Don_Vanelli het volgende:

[..]

ok, laten we gewoon eens wat gaan rekenen en kijken hoever we komen:

x²-3y²=1997
3y²=x²-1997
y²=(x²-1997)/3

Nu maken we de observatie dat als dit een oplossing heeft voor x en y gehele getallen, dan moet x²-1997 deelbaar zijn door 3. met andere woorden:
x² = 1997 mod 3

Aan jou de vraag, waarom heeft dit geen oplossing?

Ah, nu begrijp ik het denk ik:
x² = 1997 mod 3
x² = 2 mod 3
De enige manier om in modulo 3 verzameling 2 te krijgen is door 1 met 2 of 2 met 1 te vermenigvuldigen. Voor x² is er us geen oplossing in gehele getallen.
Dit betekent als ik het goed begrijp ook dat x² -2 nooit deelbaar is door 3, wat ik best opmerkelijk vind .
Dank voor de hulp

quote:

Op dinsdag 12 april 2011 15:02 schreef Pipo1234 het volgende:

[..]

Nee die formule heb ik ook. Ik probeer het te gebruiken voor een differentatie van X³. Bij X² kom ik er door H weg te strepen. Maar bij X³ houd ik op de volgende manier 3X² en 3X over: h³ + 3x²h + 3xh² + x³ - x³)/h

Ik denk dat je de limiet van h naar 0 vergeet. Je deelt een keer een h weg, zodat je h² + 3xh + 3x² overhoudt. De limiet van h naar 0 nemen zorgt er voor dat alleen de 3x² overblijft.

quote:

Op dinsdag 12 april 2011 15:29 schreef freiss het volgende:

[..]

Ik denk dat je de limiet van h naar 0 vergeet. Je deelt een keer een h weg, zodat je h² + 3xh + 3x² overhoudt. De limiet van h naar 0 nemen zorgt er voor dat alleen de 3x² overblijft.

Ik snap dat even niet. Betekent dit dat de lim h->0 de 3xh² wegstreept omdat deze 0 is? Er zit toch 3X in, of is dat 3xh en geen 3x?

quote:

Op dinsdag 12 april 2011 15:58 schreef Pipo1234 het volgende:

[..]

Ik snap dat even niet. Betekent dit dat de lim h->0 de 3xh² wegstreept omdat deze 0 is? Er zit toch 3X in, of is dat 3xh en geen 3x?

Even tussendoor, snap je wat er bedoelt wordt met de limiet? Dat is namelijk wel redelijk belangrijk om dit echt te begrijpen .

Ik zal proberen uit te leggen wat er gebeurt, eerst heb je de limiet van (f(x+h) - f(x) )/h. Daarna schrijf je dit uit, in jouw geval krijg je dan de limiet van (h³ + 3x²h + 3xh² + x³ - x³)/h. Eerst werk je dit uit, je deelt de h weg uit alle termen, je krijgt nu de limiet van h² + 3x² + 3xh. Nu ga je de limiet invullen, als h in deze uitdrukking naar nul gaat zullen alle termen nul worden behalve 3x², dat is dus de uitkomst van dit probleem. Ik ben er in deze uitleg een beetje van uitgegaan dat je snapt wat de limiet is, als je dat niet snapt moet je dat maar even proberen op te zoeken of te vragen .

quote:

Op dinsdag 12 april 2011 15:58 schreef Pipo1234 het volgende:

[..]

Ik snap dat even niet. Betekent dit dat de lim h->0 de 3xh² wegstreept omdat deze 0 is? Er zit toch 3X in, of is dat 3xh en geen 3x?

Differentiëren is geen 'wegstrepen'. Je bepaalt van een functie y = f(x) eerst het differentiequotiënt:

Δy/Δx = (f(x+h) - f(x))/((x+h) - x) = (f(x+h) - f(x))/h

Deze verhouding zegt iets over hoeveel de afhankelijke variabele y (i.e. de functiewaarde) verandert in verhouding tot een verandering van de onafhankelijke variabele x. Meetkundig kun je dit opvatten als de gemiddelde steilheid van de curve van f(x) over een klein intervalletje [x, x+h]. Door nu het intervalletje steeds kleiner te maken (en dus de limiet te bepalen als h naar 0 gaat) krijgen we dan de steilheid van de curve van f(x) c.q. de steilheid van de raaklijn aan de curve van f(x) in één bepaald punt. Die steilheid (en dus de afgeleide) is een maat voor de snelheid waarmee de waarde van f(x) op dat punt verandert.

Hebben we f(x) = x³, dan vinden we voor het differentiequotiënt:

(f(x+h) - f(x))/h = ((x+h)³ - x³)/h = (x³ + 3x²h + 3xh² + h³ - x³)/h = 3x² + 3xh + h²

Om nu de afgeleide f'(x) te vinden moet ik de limiet van dit differentiequotiënt bepalen voor h→ 0. Dus krijg ik:

f'(x) = lim _h→0 (f(x+h) - f(x))/h = lim _h→0 (3x² + 3xh + h²) = 3x²

De beide termen 3xh en h² naderen immers tot 0 als we h naar nul laten gaan, zodat 3x² resulteert.

quote:

Op dinsdag 12 april 2011 15:58 schreef Pipo1234 het volgende:

[..]

Ik snap dat even niet. Betekent dit dat de lim h->0 de 3xh² wegstreept omdat deze 0 is? Er zit toch 3X in, of is dat 3xh en geen 3x?

Bedankt voor alle antwoorden. Ik denk dat ik al begrijp wat ik fout heb gedaan. Ik moest het namelijk nog daar H delen, alleen had er niet bij stil gestaan dat dit voor het limiet noodzakelijk is.

De volgende benadering heb ik nu:

f(x) = x³

f'(x) = lim(h>0) (x+h)³ - (x)³ / h
f'(x) = lim(h>0) x³ + h³ - x³ / h
f'(x) = lim(h>0) x³ + h³ + 3x²h + 3xh² - x³ / h (Volgens het merkwaardig product)
f'(x) = lim(h>0) h³ + 3x²h + 3xh²/ h (x³ - x³)
f'(x) = lim(h>0) h² + 3x² + 3xh (Gedeeld door h)
f'(x) = 3x² (Limiet 0 is benaderd)

Mijn boek merkt trouwens op dat dit de beste maar moeilijkste methode is om te differentiëren. Is dat zo? Ik vind het voor uitvoerig, maar kan me wel voorstellen dat dit op een examen een beetje teveel van het goed is.

quote:

Op woensdag 13 april 2011 11:13 schreef Pipo1234 het volgende:
Bedankt voor alle antwoorden. Ik denk dat ik al begrijp wat ik fout heb gedaan. Ik moest het namelijk nog daar H delen, alleen had er niet bij stil gestaan dat dit voor het limiet noodzakelijk is.

De volgende benadering heb ik nu:

f(x) = x3

f'(x) = lim(h>0) (x+h)3 - (x)3 / h
f'(x) = lim(h>0) x3 + h3 - x3 / h
f'(x) = lim(h>0) x3 + h3 + 3x2h + 3xh2 - x3 / h (Volgens het merkwaardig product)
f'(x) = lim(h>0) h3 + 3x2h + 3xh2/ h (x3 - x3)
f'(x) = lim(h>0) h2 + 3x2 + 3xh (Gedeeld door h)
f'(x) = 3x2 (Limiet 0 is benaderd)

Mijn boek merkt trouwens op dat dit de beste maar moeilijkste methode is om te differentiëren. Is dat zo? Ik vind het voor uitvoerig, maar kan me wel voorstellen dat dit op een examen een beetje teveel van het goed is.

In grote lijnen klopt het zo, alleen nog een paar opmerkingen . Je zou wat meer haakjes mogen gebruiken voor de duidelijkheid, zoals je het nu doet is het voor jou en voor mij duidelijk, maar in een examen moet je ipv (x+h)³ - (x)³ / h toch echt ((x+h)³ - (x)³) / h schrijven. Verder vraag ik me af wat je precies tussen het eerste en tweede punt doet? Je haakjes zijn daar weg, maar je hebt ze nog niet uitgewerkt? Die stap kan je weglaten.

Wat je boek zegt klopt, het is de beste manier, maar zoals je zelf al zegt, dit kan je in een examen niet iedere keer doen. Daarom zijn er regels voor het differentiëren, waarschijnlijk staan ze ook wel ergens in je boek in een volgende paragraaf, anders kan je hier even kijken .

quote:

Op woensdag 13 april 2011 11:21 schreef M.rak het volgende:

[..]

In grote lijnen klopt het zo, alleen nog een paar opmerkingen . Je zou wat meer haakjes mogen gebruiken voor de duidelijkheid, zoals je het nu doet is het voor jou en voor mij duidelijk, maar in een examen moet je ipv (x+h)³ - (x)³ / h toch echt ((x+h)³ - (x)³) / h schrijven. Verder vraag ik me af wat je precies tussen het eerste en tweede punt doet? Je haakjes zijn daar weg, maar je hebt ze nog niet uitgewerkt? Die stap kan je weglaten.

Wat je boek zegt klopt, het is de beste manier, maar zoals je zelf al zegt, dit kan je in een examen niet iedere keer doen. Daarom zijn er regels voor het differentiëren, waarschijnlijk staan ze ook wel ergens in je boek in een volgende paragraaf, anders kan je hier even kijken .

Ik begrijp wat je bedoeld. Heb het even uitvoerig gedaan zodat het voor mezelf duidelijk is en voor anderen ook. Meer haakjes? Oké. Ik zal het proberen te onthouden. Ben er juist zuinig mee, omdat het er zo chaotisch uit gaat zien. Er staan trouwens regels op de volgende pagina's. Maar ik wil graag de basis beheersen, zodat ik weet waar het vandaan komt.

Even nog een vraag hierover... Hoe komt het dat bij een deling met x (dus 1/x²) een negatieve functie voortvloeit? Ik begrijp dat 1 delen door iets altijd een afname betekent als x hoger dan 1 is in ieder geval, maar welke stap zorgt daar voor. Mijn boek geeft totaal geen uitleg over dit onderwerp...

quote:

Op woensdag 13 april 2011 11:25 schreef Pipo1234 het volgende:

[..]

Ik begrijp wat je bedoeld. Heb het even uitvoerig gedaan zodat het voor mezelf duidelijk is en voor anderen ook. Meer haakjes? Oké. Ik zal het proberen te onthouden. Ben er juist zuinig mee, omdat het er zo chaotisch uit gaat zien. Er staan trouwens regels op de volgende pagina's. Maar ik wil graag de basis beheersen, zodat ik weet waar het vandaan komt.

Ik zou niet al te zuinig zijn met de haakjes, je kan er beter te veel dan te weinig hebben . Het ziet er misschien niet altijd even mooi uit, maar het is tenminste wel duidelijk. Verder is het heel goed dat je de basis wil beheersen, maar in een examen zal je nooit zo hoeven te differentiëren, dus als je snapt hoe het werkt zou ik verder gaan met die regels .

quote:

Even nog een vraag hierover... Hoe komt het dat bij een deling met x (dus 1/x²) een negatieve functie voortvloeit? Ik begrijp dat 1 delen door iets altijd een afname betekent als x hoger dan 1 is in ieder geval, maar welke stap zorgt daar voor. Mijn boek geeft totaal geen uitleg over dit onderwerp...

Ik snap niet helemaal wat je bedoelt, wat bedoel je met een negatieve functie?

quote:

Op woensdag 13 april 2011 11:25 schreef Pipo1234 het volgende:

[..]

Even nog een vraag hierover... Hoe komt het dat bij een deling met x (dus 1/x²) een negatieve functie voortvloeit? Ik begrijp dat 1 delen door iets altijd een afname betekent als x hoger dan 1 is in ieder geval, maar welke stap zorgt daar voor. Mijn boek geeft totaal geen uitleg over dit onderwerp...

Je bedoelt dat de afgeleide negatief is?

quote:

Op woensdag 13 april 2011 11:40 schreef Siddartha het volgende:

[..]

Je bedoelt dat de afgeleide negatief is?

Precies. f(x) = 1 / x2 wordt f'(x) = - (2 / x³)

quote:

Op woensdag 13 april 2011 11:41 schreef Pipo1234 het volgende:

[..]

Precies. f(x) = 1 / x2 wordt f'(x) = - (2 / x³)

Je kan het zien als je de grafiek plot, 1/x² is een dalende functie (als we even alleen naar positieve x kijken), van een dalende functie is de afgeleide negatief. Ik weet niet of je dat bedoelt?

quote:

Op woensdag 13 april 2011 11:41 schreef Pipo1234 het volgende:

[..]

Precies. f(x) = 1 / x2 wordt f'(x) = - (2 / x³)

Teken eens de grafiek van 1/x².
Vertel eens wat er met die grafiek gebeurt als je langs de x-as gaat: neemt de grafiek toe of af, hoe snel gaat die stijging/daling, etc.
Probeer aan de hand van dat verhaal het verloop van de afgeleide te vertellen.

Ik heb je eerdere posts bekeken:
Vertel liever eerst eens wat de afgeleide is?

quote:

Op woensdag 13 april 2011 11:44 schreef Siddartha het volgende:

[..]

Teken eens de grafiek van 1/x².
Vertel eens wat er met die grafiek gebeurt als je langs de x-as gaat: neemt de grafiek toe of af, hoe snel gaat die stijging/daling, etc.
Probeer aan de hand van dat verhaal het verloop van de afgeleide te vertellen.

Ik heb je eerdere posts bekeken:
Vertel liever eerst eens wat de afgeleide is?

De afgeleide van 1 / x² of in het algemeen? Ik heb trouwens een grafiek uitgetekend en zie dat de rico steeds kleiner wordt. Dit klopt ook wanneer het vergeleken wordt met - (1/x³).

quote:

Op woensdag 13 april 2011 11:55 schreef Pipo1234 het volgende:

[..]

De afgeleide van 1 / x² of in het algemeen? Ik heb trouwens een grafiek uitgetekend en zie dat de rico steeds kleiner wordt. Dit klopt ook wanneer het vergeleken wordt met - (1/x³).

De grafiek van 1/x², vertel eerst eens wat daarmee gebeurt als je langs de x-as loopt.

Daarna vertel je wat er met de afgeleide gebeurt als je langs de x-as loopt.

quote:

Op woensdag 13 april 2011 11:58 schreef Siddartha het volgende:

[..]

De grafiek van 1/x², vertel eerst eens wat daarmee gebeurt als je langs de x-as loopt.

Daarna vertel je wat er met de afgeleide gebeurt als je langs de x-as loopt.

De lijn loopt in een vrij scherp hoek omlaag en komt na 7 op een punt dat niet meer te tekenen is. Dus de formule geeft steeds kleinere waarden: 1, 0.25, 0.037, 0.0625, 0.04, 0.028, 0.0204.

De afgeleide wordt ook steeds kleiner alleen dan wel in negatieve waarden: -1, -0.125, -0.037, -0.016, -0.008, -0.0046, -0.0029. Dat die waarden negatief zijn is logisch omdat de afname in een negatieve richting plaats vindt.

Als ik het goed begrijp is dus de afgeleide bij een afnemende waarde altijd negatief...?

quote:

Op woensdag 13 april 2011 12:08 schreef Pipo1234 het volgende:

[..]

De lijn loopt in een vrij scherp hoek omlaag en komt na 7 op een punt dat niet meer te tekenen is. Dus de formule geeft steeds kleinere waarden: 1, 0.25, 0.037, 0.0625, 0.04, 0.028, 0.0204.

De afgeleide wordt ook steeds kleiner alleen dan wel in negatieve waarden: -1, -0.125, -0.037, -0.016, -0.008, -0.0046, -0.0029. Dat die waarden negatief zijn is logisch omdat de afname in een negatieve richting plaats vindt.

Als ik het goed begrijp is dus de afgeleide bij een afnemende waarde altijd negatief...?

De grafiek van 1/x² daalt als je langs de x-as naar rechts gaat, zoals je zelf ook zegt.
Wat je ook zou moeten opvallen, is dat die daling steeds langzamer gaat: In het begin neemt de grafiek een enorme duik, terwijl de grafiek wat later steeds een beetje afneemt.

Dus: De grafiek neemt constant af, maar de daling zelf neemt ook af.
De beschrijving van dit stijgen/dalen geven we weer met de afgeleide, de afgeleide in een punt is de 'rico'. De afgeleide geeft in elk punt weer hoe de grafiek gaat veranderen: Dalen of stijgen, en met welke snelheid.

Neem nu een punt op de grafiek 1/x² dicht bij de oorsprong (dus dicht bij het punt x=0).
Je ziet aan de grafiek dat je met een kleine stap naar rechts, een grote daling gaat maken. Dus moet de afgeleide in dat punt:
-Negatief zijn: Want de grafiek neemt af, de rico van de grafiek in dat punt is negatief.
- Groot zijn: De afname/toename in dat punt is groot (in dit geval is het een afname, maar het kon net zo goed een toename zijn.)

Neem nu bijvoorbeeld x=12.
Dan zie je: De grafiek neemt in dat punt nog steeds af, is dus dalend. Maar de daling is nog maar heel klein. Dus de afgeleide ziet er zo uit:
-Negatief, want dalend
-Klein, want de afname/toename is klein

Nu weet je dus de rol van de afgeleide: Die beschrijft de richting van de grafiek (dalen of stijgen) en met hoeveel de grafiek stijgt of daalt( de absolute waarde van de afgeleide).

( Je gaf als afgeleide de functie : f ' (x)= -1/x³.
Bekijk die grafiek eens, en zie waarom die grafiek ook echt de afgeleide is van 1/x².)

Kan iemand mij alsjeblieft met deze vragen helpen? Ik heb zelf al het één en ander geprobeerd maar ik kom er niet uit.

Op langere vluchten wil Hoogeland Air maaltijden serveren. Voor het leveren van de verpakte maaltijden komen twee leveranciers in aanmerking. Om de verpakte maaltijden te testen op houdbaarheid wordt van beide leveranciers een partij maaltijden gedurende langere tijd bewaard. Vervolgens wordt gekeken nar de fractie van elke partij die moet worden afgekeurd wegens te veel bacteriën.

De resultaten:
Leverancier 1: 96 van de 240 maaltijden moesten worden afgekeurd.
Leverancier 2: 144 van de 320 maaltijden moesten worden afgekeurd.

A.
Een betrouwbaarheidsinterval (confidence interval) voor de populatiefractie (population proportion) van maaltijden van leverancier 2 die moeten worden afgekeurd heeft als ondergrens 0,3835 en als bovengrens 0,5165. Bereken welke betrouwbaarheid hier gebruikt is (in procenten tot op 2 decimalen nauwkeurig).

B.
Toets of de proportie afgekeurde maaltijden verschilt voor beide leveranciers.

C.
Volgens 1 leverancier 1 is er met de geteste partij maaltijden iets misgegaan. Er wordt besloten om een nieuw onderzoek te doen naar de maaltijden van leverancier 1. Bereken hoe groot deze nieuwe steekproef moet worden, indien het 95%-betrouwbaarheidsinterval van de proportie afgekeurde maaltijden van leverancier 1 maximaal 0,06 breed mag worden (NB: breedte = 2x marge)

Alvast bedankt!

Hoever kom je met http://www.sigmazone.com/binomial_confidence_interval.htm ? En wat heb je al wel?

A. p is X / N = 144 / 320 = 0.45
p ± m = 0.3835, 0.5165
m = z* x SEp
m = 0.0665
z* is onbekend daar ben je naar op zoek
SEp = (0.45(1-0.45)) / 320 = 0.0278
m / SEp = 0.0665/0.0278 = 2,3921
z* = 2,3921
oftewel het Confidence level zit tussen 98% en 99% volgens tabel D
maar het moet dus op 2 decimalen nauwkeurig dus ik zou niet weten wat dan te doen.

B. H0; p1=p2
Ha; p1p2
Z = (p1-p2)/SEdp
SEdp = p(1-p) (1/n1 + 1/n2) = 0.0423
p1 = x1/n1 = 0.4
p2 = x2/n2 = 0.45
p = (x1+x2)/(n1+n2) = 0.4286
n1 = 240
n2 = 320
Als je dan alles invult een Zwaarde van -1.1832
Dan kijk je in tabel A bij -1.19
Geeft een kans van 0.1170
Deze doe je keer 2, want het is een dubbelzijdige toets = 0.2340
En dan zit ik vast.

C. Hier heb ik eerlijk gezegd nog niet echt naar gekeken aangezien ik er al niet al
te veel vertrouwen meer in had

Dat gaat best goed.

A. Bij SEp vergeet je de wortel op te schrijven; 0.0278 klopt wel. Je moet dus geen tabel gebruiken maar wat nauwkeurigers. Met je rekenmachine zal het vast kunnen. Vergeet ook niet dat je tweezijdig toetst.

B. Je hebt geen significantieniveau gekozen. Gebruikelijk is alpha=0.05 of alpha=0.01. Omdat alpha < 0.2340 verwerp je H0 niet.

Dankje! Heb nu inderdaad A uitgevonden dat je dan kan doen met een functie genaamd 'Shadenorm' kom dan op een Confidence van 99,16% ?

En dat je deze testen ook allemaal uit kan voeren op je rekenmachine, wat natuurlijk een handig controleermiddel is dan.

Bij B is geen significantieniveau genoemd, dan moet je er dus zelf van één uitgaan?

Nu maar eens even bezig met C .

A. nee, ik zei nog dat je tweezijdig kijkt
B. klopt.

Jaa ik denk dat ik dan 0.0665/2 = 0.03325 --> 0.003325/0.0278 = 1.1960 moet doen dus mijn z* waarde wordt dan 1,1960 wat een Confidence-interval geeft van 88,42%?

Bepaal je een confidence interval mbv 0.0665 of ga je die 0.0665 opnieuw schatten? p(1-p) is het grootst als p=1/2.