[Bèta wiskunde] Huiswerk-en-vragentopic

quote:

Op maandag 22 november 2010 12:44 schreef GlowMouse het volgende:
Geen probleem, wel mooi zelfs. De uiteindelijke implementatie op FOK! zal [tex] gebruiken ipv $, omdat $ te algemeen is.

Bedankt. En mee eens, ik heb het nu even zo gedaan dat je zelf kunt kiezen welke tags je wilt gebruiken.

quote:

Op maandag 22 november 2010 12:44 schreef GlowMouse het volgende:
Geen probleem, wel mooi zelfs. De uiteindelijke implementatie op FOK! zal [tex] gebruiken ipv $, omdat $ te algemeen is.

Leuk, kan je eindelijk fatsoenlijke formules schrijven
(wel eerst tex leren )
-vraag weggehaald, ik probeer het nog even zelf -

Ik zie vooralsnog het nut/de relevantie van Gdelta sets niet in...


Ik ben bij puntje (iv). Dat A gesloten is, is nog makkelijk aan te tonen. Maar hoe laat ik nu zien dat het een intersectie is van aftelbaar veel open verzamelingen?

{0} is een doorsnede van aftelbaar veel open verzamelingen: {0} is de doorsnede van {[0, 1/n): n in Z_>0}.

quote:

Op donderdag 25 november 2010 00:02 schreef thabit het volgende:
{0} is een doorsnede van aftelbaar veel open verzamelingen: {0} is de doorsnede van {[0, 1/n): n in Z_>0}.

D'accord. Maar voor A? Gebruik je dan een of ander lemma?

f^-1(doorsnede) = doorsnede(f^-1)

Ik kom er weer even niet uit...

f(x) = x² - 2x + 2
f'(x) = 2x - 2
Minimum in (1,1), snap ik totaal.
Randmaximum in (5,17), snap ik niet?

Zoals ik het meen geleerd te hebben geldt er als f'(x) <= 0 dan randmaximum.
f'(5) = 8?

wat is een randmaximum?

Ik ben leerkracht wiskunde geweest, maar van randmaximum heb ik nog nooit gehoord.

waarschijnlijk een of andere middelbare schoolterm. Zijn ze dol op op de middelbare school, voor elk wissewasje een term/naampje bedenken.

Zinvol? NEE ABSOLUUT NIET!

quote:

Op donderdag 25 november 2010 17:17 schreef Outlined het volgende:
waarschijnlijk een of andere middelbare schoolterm. Zijn ze dol op op de middelbare school, voor elk wissewasje een term/naampje bedenken.

Zinvol? NEE ABSOLUUT NIET!

Universiteit helaas.

quote:

Op donderdag 25 november 2010 17:12 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

Dat geldt alleen voor een randmaximum aan de linkerzijde. Wat betekent f'(5) > 0 eigenlijk? Heb je iets links van 5 een grotere functiewaarde?

f'(5) > 0 betekent dat in x=5 de functie stijgend is.
Links van 5 zijn de waarden kleiner, zowel in de afgeleide functie als de oorspronkelijke functie.
Ik kan helaas ook niet veel vinden op internet hoe het nu precies zit.

[ Bericht 5% gewijzigd door Granaatappel op 25-11-2010 17:25:38 ]

quote:

Op donderdag 25 november 2010 17:19 schreef Granaatappel het volgende:

[..]

f'(5) > 0 betekent dat in x=5 de functie stijgend is.
Links van 5 zijn de waarden kleiner, zowel in de afgeleide functie als de oorspronkelijke functie.
Ik kan helaas ook niet veel vinden op internet hoe het nu precies zit.

Het zal wel zo zijn dat je een domein bij de funktie hebt gekregen, misschien [0,5]? Ik kan me voorstellen dat er sprake is van een randmaximum als de functie zijn grootste waarde aan de rand van het domein aanneemt? Inderdaad is 17 de hoogste waarde die aangenomen wordt op dat domein, in x=5, zoals je makkelijk kunt zien door naar het teken van de afgeleide te kijken.

Gezien het feit dat de antwoorden die jij vermelt het niet hebben over een randmaximum aan de linkerkant van je domein, en je het hebt over een (gewoon) minimum in x=1 vermoed ik dat de ondergrens van je domein strikt kleiner dan 1 en strikt groter dan de negatieve oplossing van f(x)=17 is, en in dat geval zou je gezien de antwoorden het begrip randmaximum globaal en niet lokaal moeten opvatten. Mocht dat allemaal kloppen, dan kun je niet een randmaximum vinden door enkel naar de afgeleide in dat specifieke punt te kijken. (Ik doe hier meer aannames dan de gemiddelde PVV-er though ).

Sorry was inderdaad het interval [0,5] vergeten te vermelden.
Dus zoals ik begrijp kan ik beter naar de functiewaarde kijken dan naar de afgeleide functiewaarde?

quote:

Op donderdag 25 november 2010 17:56 schreef Granaatappel het volgende:
Sorry was inderdaad het interval [0,5] vergeten te vermelden.
Dus zoals ik begrijp kan ik beter naar de functiewaarde kijken dan naar de afgeleide functiewaarde?

Voor een randmaximum/mimum dan wel ja. Voor een 'gewoon' maximum/minimum doe je het standaard ding. Dus algemene strategie kan zijn: tekenschemaatje maken van afgeleide, eerst kijken naar 'gewone' maxima en minima op je domein, en dan kijken naar de waarden die je functie aanneemt op de rand van je domein. Als de functiewaarde in een van die punten groter is dan het 'gewone' maximum, is er sprake van een randmaximum, anders niet. Idem voor een randminimum: als in een van de randpunten de waarde kleiner is dan het 'gewone' minimum dan is er sprake van een randminimum, anders niet.

Nog een voorbeeld: als je jouw functie 'omklapt', i.e. spiegelt in de lijn y=5/2, dan is de afgeleide aan de rand x=5 nog steeds positief, maar het is geen randmaximum meer. Dat randmximum ligt nu bij x=0, en daar is de afgeleide zelfs negatief.

[ Bericht 1% gewijzigd door keesjeislief op 25-11-2010 18:10:27 ]

Ok bedankt, ik snap het nu.
Enige wat ik nog wel probeer uit te vogelen is om een randmaximum/minimum te zoeken d.m.v. de afgeleide.
In mijn boek staat het volgende:
f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 4
f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x
Interval [-1, ->]
Minimum in (0,4) en (2,4)
Maximum in (1,5)
Citaat uit boek "Randmaximum: Omdat y'(x) < 0 op het interval [-1,0], is de functie afnemend op [-1,0]. De functie heeft dus een maximum in het randpunt -1, het randmaximum heeft de waarde y(-1) = 13."

Hier interpreteer ik dus dat randmaximum als f'(x) =< 0 onder de voorwaarde dat x =< 0.
Kan ik hieruit concluderen dat:

randminimum als f'(x) =< 0 onder de voorwaarde dat x >= 0.
randmaximum als f'(x) >=0 onder de voorwaarde dat x >= 0.
randminimum als f'(x) >=0 onder de voorwaarde dat x =< 0

quote:

Op donderdag 25 november 2010 18:16 schreef Granaatappel het volgende:
Ok bedankt, ik snap het nu.
Enige wat ik nog wel probeer uit te vogelen is om een randmaximum/minimum te zoeken d.m.v. de afgeleide.
In mijn boek staat het volgende:
f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 4
f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x
Interval [-1, ->]
Minimum in (0,4) en (2,4)
Maximum in (1,5)
Citaat uit boek "Randmaximum: Omdat y'(x) < 0 op het interval [-1,0], is de functie afnemend op [-1,0]. De functie heeft dus een maximum in het randpunt -1, het randmaximum heeft de waarde y(-1) = 13."

Hier interpreteer ik dus dat randmaximum als f'(x) =< 0 onder de voorwaarde dat x =< 0.
Kan ik hieruit concluderen dat:

randminimum als f'(x) =< 0 onder de voorwaarde dat x >= 0.
randmaximum als f'(x) >=0 onder de voorwaarde dat x >= 0.
randminimum als f'(x) >=0 onder de voorwaarde dat x =< 0

Ik vind dat citaat uit het boek heel slecht. Het klopt dat er een randmaximum is, omdat in x=-1 de functie de grootste waarde op het domein [-1,\infty) aanneemt (het is immers een hogere waarde dan het 'gewone' maximum in x=1 met waarde 5). Maar dat kun je niet direct afleiden uit de afgeleide. Je kunt daaraan weliswaar zien waar de functie toe- en afneemt, maar dat heeft maar beperkt nut bij het bepalen van randmaxima/minima. Het gevolg is dat jij in de war raakt en zulke regels gaat opstellen als de laatste drie regels van je post (die overigens niet kloppen!). Bovendien helpt het gebruiken van de afgeleide daarvoor uiteindelijk niet, omdat je nog steeds de funktiewaarde in dat randpunt echt moet uitrekenen om hem te vergelijken met het 'gewone' maximum. Dat moet je sowieso doen, en dat geeft je ook sowieso het antwoord, ongeacht of je nu wel of niet eerst naar de afgeleide hebt gekeken. Dus, nogmaals, ik zou het gewoon zo doen: eerst de 'gewone' minima en maxima bepalden op de gebruikelijke manier, vervolgens de functiewaarde(n) op de rand(en) uitrekenen en die vergelijken met de gewone maxima/minima om te zien of er sprake is van een randmaximum/minimum.

quote:

Op donderdag 25 november 2010 18:33 schreef keesjeislief het volgende:

[..]

Ik vind dat citaat uit het boek heel slecht. Het klopt dat er een randmaximum is, omdat in x=-1 de functie de grootste waarde op het domein [-1,\infty) aanneemt (het is immers een hogere waarde dan het 'gewone' maximum in x=1 met waarde 5). Maar dat kun je niet direct afleiden uit de afgeleide. Je kunt daaraan weliswaar zien waar de functie toe- en afneemt, maar dat heeft maar beperkt nut bij het bepalen van randmaxima/minima. Het gevolg is dat jij in de war raakt en zulke regels gaat opstellen als de laatste drie regels van je post (die overigens niet kloppen!). Bovendien helpt het gebruiken van de afgeleide daarvoor uiteindelijk niet, omdat je nog steeds de funktiewaarde in dat randpunt echt moet uitrekenen om hem te vergelijken met het 'gewone' maximum. Dat moet je sowieso doen, en dat geeft je ook sowieso het antwoord, ongeacht of je nu wel of niet eerst naar de afgeleide hebt gekeken. Dus, nogmaals, ik zou het gewoon zo doen: eerst de 'gewone' minima en maxima bepalden op de gebruikelijke manier, vervolgens de functiewaarde(n) op de rand(en) uitrekenen en die vergelijken met de gewone maxima/minima om te zien of er sprake is van een randmaximum/minimum.

Ok hartelijk dank, dan gaan we dat mooi gebruiken.

quote:

Op donderdag 25 november 2010 18:37 schreef Granaatappel het volgende:

[..]

Ok hartelijk dank, dan gaan we dat mooi gebruiken.

Het spijt me, ik moet even rectificeren. . Het antwoord wat ik gaf op de som klopt niet. Ik zie nu pas dat er staat f(x)=x^4+..., hetgeen betekent dat de functie onbeperkt groot wordt als je x maar groot genoeg neemt (ik dacht om de een of andere reden dat f naar -\infty zou gaan als x naar \infty). Dus heb je in het randpunt x=-1 inderdaad, zoals Glowmouse al terecht opmerkte, geen globaal randmaximum. Het probleem is nu dat deze interpretatie inconsistent is met het antwoord uit jouw boek op je eerste opgave. Als je alleen lokaal kijkt, had die functie nl. een randmaximum in x=0 moeten hebben, en dat heb jij niet vermeld bij de antwoorden. Kortom, het is (mij in ieder geval) nu volslagen onduidelijk wat de precieze definitie van een randmax./min. nu is. Ik zou het boek in de brand steken. .

[ Bericht 2% gewijzigd door keesjeislief op 25-11-2010 18:56:18 ]

quote:

Op donderdag 25 november 2010 18:51 schreef keesjeislief het volgende:

[..]

Kortom, het is (mij in ieder geval) nu volslagen onduidelijk wat de precieze definitie van een randmax./min. nu is. Ik zou het boek in de brand steken. .

Vijf seconden googelen leert dat de term kennelijk is overgewaaid uit Duitsland. En de definitie wordt dan ook meteen duidelijk, kijk even hier.

quote:

Op donderdag 25 november 2010 19:04 schreef Riparius het volgende:

[..]

Vijf seconden googelen leert dat de term kennelijk is overgewaaid uit Duitsland. En de definitie wordt dan ook meteen duidelijk, kijk even hier.

quote:

f sei stetig in [ a ; b ]. Sei h>0.

An der Stelle a hat f ein Randmaximum, wenn gilt f(a) > f(a+h).

Das ist aber eine fremde Definition, sollte "fuer jede h>0 klein genug" sein, oder? Und damit haben wir auch noch nicht die Frage geloesst wie es dann mit der erste Aufgabe aussieht glaube ich mal? .

Van die ene site:

f sei stetig in [ a ; b ] und differenzierbar in ] a ; b [. Sei h>0.

An der Stelle a hat f ein Randmaximum, wenn gilt f '(a+h) < 0.
An der Stelle a hat f ein Randminimum, wenn gilt f '(a+h) > 0.

An der Stelle b hat f ein Randmaximum, wenn gilt f '(b-h) > 0.
An der Stelle b hat f ein Randminimum, wenn gilt f '(b-h) < 0.

Toepassen op mijn 2 voorbeelden:

Voorbeeld 1:

f(x) = x² - 2x + 2
f'(x) = 2x - 2
Interval [0,5]
Minimum in (1,1)
Randmaximum in (5,17)
------> Het randpunt x = 5 is hier de b, nl. [a,b].
f'(5) = 8
An der Stelle b hat f ein Randmaximum, wenn gilt f '(b-h) > 0.
8 > 0 -> randmaximum (klopt)

Voorbeeld 2:

f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 4
f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x
Interval [-1, ->]
Minimum in (0,4) en (2,4)
Maximum in (1,5)
Randmaximum in (-1,13)
---> Het randpunt x = -1 is hier de a, nl. [a,b].
f'(-1) = -24
An der Stelle a hat f ein Randmaximum, wenn gilt f '(a+h) < 0.
-24 < 0 -> randmaximum (klopt)

Zie ik dit goed?