[Bèta wiskunde] Huiswerk-en-vragentopic

quote:

Een klein raadsel dat ik ergens op een forum vond een tijd geleden.
Er is een gelijkbenige driehoek met op de hoekpunten, met de klok mee, de punten A B en C.
A beweegt richting B, B richting C en C richting A.
De benen hebben lengte 5, en de punten bewegen allemaal met snelheid 2.
Hoe lang duurt het voordat de punten allemaal op het middelpunt liggen?

Geen flauw idee hoe je dit kan oplossen, als iemand het leuk vindt of weet hoe dit moet hoor ik graag iets, laat anders maar zitten, want het heeft geen enkele prioriteit.

Je bedoelt ongetwijfeld een gelijkzijdige driehoek. Je vraag is zo niet te beantwoorden omdat je bij de snelheid geen eenheid van tijd opgeeft. Maar aangenomen dat je 2 eenheden per seconde bedoelt kom ik zelf uit op 5/3 seconde.

quote:

Op woensdag 15 september 2010 11:07 schreef minibeer het volgende:
haha, ja ik bedoelde inderdaad een gelijkzijdige driehoek en per seconde. Hoe heb je die berekening dan ongeveer gemaakt?

Op grond van symmetrie overwegingen is het duidelijk dat driehoek ABC gelijkzijdig blijft en dat ook het centrum (zwaartepunt) van de driehoek zich niet verplaatst. Bij een gelijkzijdige driehoek is het centrum (zwaartepunt) tevens het middelpunt O van de omgeschreven cirkel. Duiden we de straal van de omgeschreven cirkel aan met r, dan geldt dus OA = OB = OC = r.

Voor een willekeurige driehoek ABC laat de straal van de omgeschreven cirkel zich berekenen met de uitgebreide sinusregel:

(1) a : sin α = b : sin β = c : sin γ = 2r

Voor een gelijkzijdige driehoek ABC is α = β = γ = 60° en aangezien sin 60° = ½∙√3 vinden we dus voor een gelijkzijdige driehoek met zijden a = b = c = 5 dat 2r = 5/(½∙√3) en dus r = 5/√3 = (5/3)∙√3.

Het vraagstuk is nu herleid tot de vraag hoe de straal r van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC afhangt van de tijd t. Immers, als we r uit kunnen drukken als functie van t, dan kunnen we ook bepalen voor welke waarde van t geldt dat r = 0, en op welk tijdstip de drie hoekpunten A,B en C dus samenvallen met O.

Aangezien OA = OB = OC = r kunnen we volstaan met te kijken naar de afstand r van punt A tot het middelpunt O van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC.

We beschouwen nu een zeer klein tijdsinterval [t, t + ∆t] waarin driehoek ABC overgaat in driehoek A'B'C'. We denken ons hierbij ∆t zó klein, dat de verplaatsing van punt A naar punt A' zeer klein is ten opzichte van de lengte van de zijde AB van de driehoek ABC op tijdstip t. Aangezien punt A zich beweegt naar punt B en ook de afstand van punt B' tot B zeer klein is ten opzichte van de lengte van de zijde AB, volgt dat de baan van A naar A' dan bij benadering een recht lijnstuk is dat bovendien vrijwel langs zijde AB ligt.

Duiden we de straal van de omgeschreven cirkel op tijdstip t aan met r en op tijdstip t + ∆t met r + ∆r (waarbij is te bedenken dat het increment ∆r ook negatief kan zijn) dan hebben we dus:

(2) OA = r en OA' = r + ∆r

Om nu een verband te vinden tussen het increment ∆r en daarbij behorende increment van het tijdsinterval ∆t beschouwen we driehoek OAA'. Volgens de cosinusregel geldt:

(3) (OA')² = (OA)² + (AA')² - 2∙OA∙AA'∙cos ∠OAA'

Nu zagen we al dat de baan van A naar A' nagenoeg samenvalt met het lijnstuk AA'. Gegeven is verder dat punt A zich met een snelheid van 2 eenheden per tijdseenheid (seconde) beweegt in de richting van B, zodat voor de lengte van lijnstuk AA' in goede benadering geldt:

(4) AA' ≈ 2∙∆t

Verder zagen we al dat AA' nagenoeg langs AB ligt, zodat ook geldt:

(5) ∠OAA' ≈ ∠OAB = 30°

En dus ook:

(6) cos ∠OAA' ≈ cos 30° = ½∙√3

Op grond van (2), (4) en (6) volgt nu uit (3) dat geldt:

(7) (r + ∆r)² ≈ r² + (2∙∆t)² - 2∙r∙2∙∆t∙½∙√3

Uitwerken geeft:

(8) r² + 2∙r∙∆r + (∆r)² ≈ r² + 4∙(∆t)² - 2∙r∙√3∙∆t

En van beide leden r² aftrekken geeft:

(9) 2∙r∙∆r + (∆r)² ≈ 4∙(∆t)² - 2∙r∙√3∙∆t

Nu is ∆t zeer klein, wat tot gevolg heeft dat (∆t)² weer zeer klein is ten opzichte van ∆t en daarmee verwaarloosbaar ten opzichte van ∆t. En omdat ∆t zeer klein is, is ook ∆r zeer klein, waarmee ook (∆r)² verwaarloosbaar is ten opzichte van ∆r. Aldus volgt uit (9) dat ook geldt:

(10) 2∙r∙∆r ≈ - 2∙r∙√3∙∆t

Deling van beide leden van (10) door 2r geeft dan:

(11) ∆r ≈ - √3∙∆t

En dus:

(12) ∆r/∆t ≈ -√3

Deze benadering wordt beter naarmate ∆t tot 0 nadert, zodat we kunnen concluderen dat geldt:

(13) lim _{∆t → 0} (∆r/∆t) = -√3

Oftewel:

(14) dr/dt = -√3

De straal r van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC neemt dus lineair af met de tijd, en wel met √3 eenheden per eenheid van tijd (seconde). En daar, zoals we hebben gezien, op tijdstip t = 0 geldt r = (5/3)∙√3 volgt dus dat r = 0 op tijdstip t = ((5/3)∙√3)/√3 = 5/3 seconde. Daarmee is het vraagstuk opgelost.

We kunnen r als volgt als functie van t schrijven:

(15) r = (5/3 - t)∙√3

Hiermee kunnen we bepalen wanneer de lengten van de zijden van driehoek ABC een bepaalde waarde bereiken door eerst aan de hand van (1) de straal van de omgeschreven cirkel te bepalen. Voor een gelijkzijdige driehoek met zijden van lengte 1 bijvoorbeeld geldt r = (1/3)∙√3 en dus t = 4/3 seconde.

Dit probleem is net wat anders dan Achilles en de schildpad, en daarom ook lastiger om te begrijpen. Je redenering loopt nu juist voor 0 <= t < 5/3. Op grond van het resultaat kan r(t) niet kloppen voor t > 5/3. Waarom zou r(5/3) = 0 gedefinieerd zijn? Het is wel duidelijk dat het midden willekeurig dicht benaderd wordt.

quote:

Op woensdag 15 september 2010 18:48 schreef GlowMouse het volgende:
Dit probleem is net wat anders dan Achilles en de schildpad, en daarom ook lastiger om te begrijpen. Je redenering loopt nu juist voor 0 <= t < 5/3. Op grond van het resultaat kan r(t) niet kloppen voor t > 5/3. Waarom zou r(5/3) = 0 gedefinieerd zijn? Het is wel duidelijk dat het midden willekeurig dicht benaderd wordt.

Ik zie je probleem natuurlijk wel, ik heb slechts aangetoond dat geldt dr/dt = -√3 op het open interval (0, 5/3). Maar uit het feit dat r(t) niet is gedefinieerd voor t > 5/3 en (dus) ook niet differentieerbaar is voor t = 5/3 volgt niet dat r(5/3) zelf niet gedefinieerd zou zijn.

Als je r(t) = 0 definieert voor t >= 5/3, dan heb je een continue functie, de unieke die aan het gestelde probleem voldoet.

Ken je complexe getallen, minibeer? Daarmee kan het namelijk een stuk simpeler.

quote:

Op donderdag 16 september 2010 11:33 schreef minibeer het volgende:

[..]

pff, respect hoor, ff kijken wat ik ervan begrijp

De baan die elk van de hoekpunten van de driehoek aflegt is een logaritmische spiraal. Eén van de eigenschappen daarvan is dat er oneindig veel omwentelingen nodig zijn om de pool (het centrum O) te bereiken, terwijl de totale lengte van de curve vanaf ieder punt op de curve tot aan de pool niettemin eindig is. Dat is denk ik een beetje de paradox waarmee GlowMouse worstelt.

quote:

Op donderdag 16 september 2010 14:19 schreef minibeer het volgende:

[..]

Volgens Riparius neemt de radius van de cirkel waarop de hoekpunten liggen af met sqrt(3) eenheden per seconde. Dit is geen logaritmische spiraal, en dat vond Glowmouse raar als ik het allemaal goed begrijp.

Je haalt wat dingen door elkaar, namelijk de lineaire afname in de tijd van de straal van de omgeschreven cirkel van de driehoek en de baan die elk van de hoekpunten van de driehoek beschrijft.

quote:

En even over de redenatie van Riparius: mag dat wel, delta t en delta r als 'klein' beschouwen, en dan delta r kwadraat en delta t kwadraat verwaarlozen? Volgens mij mag je alleen een infinitesimaal (ofzo) maken van delta t en delta r, waardoor je die dus als het ware als 0 beschouwt.

Wat ik doe mag inderdaad, maar als je liever een afleiding hebt zonder verwaarlozing van hogere-orde termen dan kan dat ook. Ik heb echter gekozen voor een elementaire aanpak die direct aansluit bij het vraagstuk en ben bij mijn uitwerking niet ingegaan op het feit dat de hoekpunten van de driehoek elk een logaritmische spiraal doorlopen.

Goed, we stellen het middelpunt van de driehoek op 0. Dan komen A, B, en C overeen met complexe getallen. Als
A = z,
dan zit B 120 graden gedraaid tenopzichte van A en is dus
B = zeta_3 * z (zeta_3 = e^(2*pi*i/3)).
A wil naar B toe bewegen dus gaat in de richting
B - A = zeta_3 * z - z = (zeta_3 - 1) * z.

Als we ons even niks van de snelheid aantrekken (het gaat uiteindelijk alleen om de lengte van het pad), dan kan de beweging worden beschreven als
z'(t) = (zeta_3 -1) * z
en dus
z(t) = e^((zeta_3 - 1) * t) * z(0), waarbij z(0) het beginpunt is, dus z(0 )is bijvoorbeeld 5 / wortel(3). De lengte van het pad is dan de integraal van ||z'(t)||dt over t van 0 naar oneindig. Probeer dat nu zelf maar eens uit te werken. .

quote:

Op donderdag 16 september 2010 17:55 schreef minibeer het volgende:

[..]

Mmm. Maar als de straal linear afneemt in de tijd, zou er wel een tijdstip zijn waarop de straal 0 is. En dat zou weer niet moeten kunnen toch? Een logaritmische spiraal belandt toch uiteindelijk ook niet precies op het middelpunt?

Dat is precies de paradox waar ik hierboven op doelde. Het lineair afnemen in de tijd van de afstand van A tot het centrum O en het niet bereiken van punt O in een eindig aantal omwentelingen rond O sluiten elkaar niet uit. De totale baanlengte die punt A aflegt op weg naar O is wel degelijk eindig, namelijk 10/3, zodat het bij een constante baansnelheid van 2 eenheden per seconde dus 5/3 seconde duurt om O te bereiken.

quote:

Wat ik me afvroeg was of je oplossing wel exact was. Je verwaarloost immers wel enkele termen...

Ja, mijn oplossing is exact omdat ik beredeneer dat exact geldt dr/dt = -√3.

quote:

Sowieso heb ik hier niet zoveel verstand van, dus het is niet bedoeld om jou oplossing te ontkrachten ofzo, ik snap alleen niet alles...

Vertel maar wat je niet snapt. Je kunt natuurlijk ook beginnen met de oplossing van Thabit uit te werken, dan zul je zien dat het antwoord exact hetzelfde is. Thabit gebruikt alleen een andere insteek. Hij berekent niet de afstand van punt A tot het centrum O in functie van de tijd maar berekent de totale baanlengte die punt A aflegt op weg naar O. En aangezien deze baanlengte eindig is kun je dan de tijd die punt A nodig heeft om O te bereiken berekenen door de baanlengte te delen door de vaste baansnelheid van 2 lengte-eenheden per seconde.

(Latex doet het niet op dit forum?)

Ik heb een simpele vraag waar ik niet uitkom.

Zij E een subset van X.


Bewijs dat:

E is open <=> doorsnede E met de rand van E is leeg


rand van E is gedefinieerd als doorsnede van de afsluiting van E en de afsluiting van X\E

Ik zie het conceptueel wel, alleen het formele bewijs ontbreekt.

=>: Zij E open en zij P een punt in de doorsnede van E met z'n rand. Dan zit P in E en in de afsluiting van X-E. Echter, omdat E open is, is X-E gesloten, dus gelijk aan z'n afsluiding. Dus P zit in E en in X-E. Dat kan niet.

<=: Als E niet open is, is er een punt P in E zdd geen enkele open omgeving van P in E bevat is. Dus elke open omgeving van P bevat een punt van X-E. Dit betekent dat P in de afsluiting van X-E zit en dus ook in de rand van E.

Duidelijk. Merci!

quote:

Op woensdag 15 september 2010 11:07 schreef minibeer het volgende:
haha, ja ik bedoelde inderdaad een gelijkzijdige driehoek en per seconde. Hoe heb je die berekening dan ongeveer gemaakt?

WTF. Ben ik achterlijk als ik niet eens snap wat je precies bedoelt?

Ik zie wel in dat de driehoek verandert (hij wordt kleiner en draait met de klok mee en wordt dan weer groter toch?), maar wanneer komt elk punt dan bij elkaar in het middelpunt? Ik denk dat ik er geen goede voorstelling van maak.

quote:

Op vrijdag 17 september 2010 01:02 schreef Zwansen het volgende:

[..]

WTF. Ben ik achterlijk als ik niet eens snap wat je precies bedoelt?

Ik zie wel in dat de driehoek verandert (hij wordt kleiner en draait met de klok mee en wordt dan weer groter toch?),

Nee, dat is niet zo. Ik heb het hierboven allemaal al uitgelegd, dus als het vraagstuk je interesseert neem dan tenminste de moeite om ook de reacties op de vraag van minibeer door te lezen.

quote:

Op vrijdag 17 september 2010 01:40 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, dat is niet zo. Ik heb het hierboven allemaal al uitgelegd, dus als het vraagstuk je interesseert neem dan tenminste de moeite om ook de reacties op de vraag van minibeer door te lezen.

Uhm, dat heb ik natuurlijk gedaan voordat ik die post plaatste. Anders ga ik het ook niet vragen.

quote:

Op vrijdag 17 september 2010 11:08 schreef Zwansen het volgende:

[..]

Uhm, dat heb ik natuurlijk gedaan voordat ik die post plaatste. Anders ga ik het ook niet vragen.

Als je het zou proberen te begrijpen, denk je dan niet dat je gerichte vragen hebt?
Dus niet 'ik snap het niet, kun je nog eens een compleet ander verhaal ophangen', maar 'ik snap dit niet' of 'hoe kom je van dit naar dat?', etc.

Riparius geeft een verhaal waar hij duidelijk van stap naar stap gaat, met overal een korte uitleg. En dan kom jij met 'Ik snap er niks van, kun je het nog eens uitleggen'.

quote:

Op vrijdag 17 september 2010 11:11 schreef Siddartha het volgende:

[..]

Als je het zou proberen te begrijpen, denk je dan niet dat je gerichte vragen hebt?
Dus niet 'ik snap het niet, kun je nog eens een compleet ander verhaal ophangen', maar 'ik snap dit niet' of 'hoe kom je van dit naar dat?', etc.

Riparius geeft een verhaal waar hij duidelijk van stap naar stap gaat, met overal een korte uitleg. En dan kom jij met 'Ik snap er niks van, kun je het nog eens uitleggen'.

Ik was vrij duidelijk dacht ik.

Ik snap de probleemstelling zelf niet. Dat heb ik proberen weer te geven met dat plaatje. Hoe kunnen de punten ooit in een middelpunt samenkomen als het een gelijkzijdige driehoek is en ze allen even snel gaan?

Voor mijn gevoel wordt de driehoek kleiner tot aan de helft van de zijde en daarna weer groter. Als A in punt B is, B in C, etc. dan is de driehoek weer in zijn oorspronkelijk staat (alleen dan gedraaid natuurlijk). En daarna begint deze cyclus weer opnieuw. Ik zie dus niet in hoe de driehoek steeds kleiner wordt en de punten dus dichter op elkaar.

[ Bericht 5% gewijzigd door Zwansen op 17-09-2010 12:19:08 ]

Punt B beweegt, en A gaat altijd naar de actuele positie van B.