SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Om te beginnen zou ik een plaatje tekenen.quote:Op dinsdag 15 juni 2010 09:16 schreef Jac0bus het volgende:
Use a triple integral to find the volume of the solid enclosed by the cylinder x = y2 and the planes z=0 and x+z=1.
Iemand enig idee? Ik weet dat het een triple integraal van 1 is maar ik heb ontzettende moeite met boundaries in problemen als dit. Hoe moet ik dit aanpakken als ik wil weten van waar naar waar de integralen gaan en in welke volgorde?
Als ik een vlak heb gegeven door x+y+z=1 met restrictie x² + 2y² =< 1, kan je dan nog poolcoördinaten gebruiken voor de oppervlakte-integraal? Wat zijn dan de grenzen van r?
Andere vraag:
Opgave:
Let
and D the unit disk in the u,v-plane. Find the area of Phi(D).
De unit disk is: u² + v² =< 1. De integraal die we moeten berekenen is:
.
Waarbij T_x = partiële afgeleide van phi naar x, en T_y partiële naar y.
Dus
.
Substitutie van poolcoördinaten geeft:
Het antwoord zou moeten zijn,
.
Waar gaat het fout
?
Opgave:
Let
De unit disk is: u² + v² =< 1. De integraal die we moeten berekenen is:
Waarbij T_x = partiële afgeleide van phi naar x, en T_y partiële naar y.
Dus
Substitutie van poolcoördinaten geeft:
Het antwoord zou moeten zijn,
Waar gaat het fout
?
Ik zie het al... vergeten de ondergrens er vanaf te trekken. Bah, ik maak altijd van die lame foutjes met integreren
Gedaan, zowel 3d als 2d, ik zie alleen totaal niet hoe dat object er uit zou moeten zien, iets wat mijn grootste probleem is met die integralen. Zo zijn de integralen ook veel lastiger op te stellen.quote:Op dinsdag 15 juni 2010 11:43 schreef thabit het volgende:
[..]
Om te beginnen zou ik een plaatje tekenen.
I had this song playing when Mary Ellen was born. Had her right there on the pool table, and they didn't stop the game...
Ik neem aan dat je de unit cilinder bedoelt (straal =1) ?quote:Op dinsdag 15 juni 2010 09:16 schreef Jac0bus het volgende:
Use a triple integral to find the volume of the solid enclosed by the cylinder x = y2 and the planes z=0 and x+z=1.
Iemand enig idee? Ik weet dat het een triple integraal van 1 is maar ik heb ontzettende moeite met boundaries in problemen als dit. Hoe moet ik dit aanpakken als ik wil weten van waar naar waar de integralen gaan en in welke volgorde?
x=y² is een gekantelde parabool
z=0 is het xy-vlak
x+z=1 is een vlak, wat je kan tekenen door het x,z vlak te nemen (want in y is die constant) en z=1-x te tekenen, en die lijn dan "uit te rekken" in de y-richting.
Ik heb het heel groot getekend en ik denk dat eruit moet komen:
(< en > betekenen groter of gelijk)
0 < x < 1
-wortel (x) < y < wortel (x)
0 < z < 1-x
Maar ik ben hier ook niet supergoed in, dus onder voorbehoud.
In dit geval integreer je dan eerst over z of y omdat die uitgedrukt zijn in andere variabelen. Tot slot integreer je over x.
(< en > betekenen groter of gelijk)
0 < x < 1
-wortel (x) < y < wortel (x)
0 < z < 1-x
Maar ik ben hier ook niet supergoed in, dus onder voorbehoud.
In dit geval integreer je dan eerst over z of y omdat die uitgedrukt zijn in andere variabelen. Tot slot integreer je over x.
Probeer eerst eens y = te vinden. Teken die. Daarna ga je tekenen wat je weet van z = ....quote:Op dinsdag 15 juni 2010 13:26 schreef Jac0bus het volgende:
[..]
Gedaan, zowel 3d als 2d, ik zie alleen totaal niet hoe dat object er uit zou moeten zien, iets wat mijn grootste probleem is met die integralen. Zo zijn de integralen ook veel lastiger op te stellen.
Ten slotte zou je x = kunnen vinden.
Waar het hierom draait is dat het slim is als je eerst 3 onafhankelijke tekening maakt voor de xy-plane, yz-plane en xz- plane. Zodoende kun je het vaak wel vinden.
In fact, recent observations and simulations have suggested that a network of cosmic strings stretches across the entire universe.
Geen idee over die cylinder, zoals ik de vraag typte is hij letterlijk zoals hij in het boek staat. Het antwoord is 8/15 btw.quote:Op dinsdag 15 juni 2010 13:38 schreef BasementDweller het volgende:
[..]
Ik neem aan dat je de unit cilinder bedoelt (straal =1) ?
x=y² is een gekantelde parabool
z=0 is het xy-vlak
x+z=1 is een vlak, wat je kan tekenen door het x,z vlak te nemen (want in y is die constant) en z=1-x te tekenen, en die lijn dan "uit te rekken" in de y-richting.
I had this song playing when Mary Ellen was born. Had her right there on the pool table, and they didn't stop the game...
Als je mijn boundaries gebruikt kom je inderdaad op 8/15 (met de unit cilinder dus).quote:Op dinsdag 15 juni 2010 13:44 schreef Jac0bus het volgende:
[..]
Geen idee over die cylinder, zoals ik de vraag typte is hij letterlijk zoals hij in het boek staat. Het antwoord is 8/15 btw.
Druk eerst x^-2.25 uit in een getal.quote:
Neem de reciproke van beide kanten, en doe beide kanten tot de 4e macht. Trek nu de 9e machtswortel aan beide kanten.
Sense?quote:Op dinsdag 15 juni 2010 17:21 schreef BasementDweller het volgende:
[..]
Druk eerst x^-2.25 uit in een getal.
Neem de reciproke van beide kanten, en doe beide kanten tot de 4e macht. Trek nu de 9e machtswortel aan beide kanten.
Ik zou zeggen probeer het eens. Als je met je rekenmachine ook de 2.25e machtswortel kan berekenen kan je dat tot de 4e verheffen weglaten.quote:
-2.25 machtswortel ((11/0,37)) = -4.516quote:
In fact, recent observations and simulations have suggested that a network of cosmic strings stretches across the entire universe.
Ik zoek een internetsite die vertelt wat de simple continued fraction van e^2 is, een andere dan wikipedia. M'n googleskills laten het hierin even afweten (zoeken op e is al heel vervelend, laat staan op e^2).
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Mja, zat ik aan te denken, maar ik wil iets dat echt vertelt dat er regelmaat in zit. We hebben al wel mooie plaatjes, maar dat is niet afdoende bewijs ("Is de regelmaat die in deze plaatjes te zien is voor $e^2$ er ook echt, en kunnen wij dit bewijzen?
Deze regelmaat is er echt, en dat is ook wel te bewijzen. Op dit moment is dat bewijs nog in progress, maar kunnen we ons wel beroepen op andere bronnen.", wikipedia is geen bron
)
Deze regelmaat is er echt, en dat is ook wel te bewijzen. Op dit moment is dat bewijs nog in progress, maar kunnen we ons wel beroepen op andere bronnen.", wikipedia is geen bron
)
Je wil dus zeg maar een algemene formule die de kettingbreuk geeft ipv dat het eindigt in "...."? En die formule dan bewijzen.
En het bewijs in dat ene artikel, kun je niet kijken hoe je de technieken aldaar kunt toepassen op e2?
De formule heb ik al. Het bewijs ben ik nog mee bezig (alleen snap ik nog niet helemaal hoe ze aan de integralen komen, en dat is zeg maar het meest essentiele deel van het bewijs). Maar los daarvan hoopte ik een site te vinden die de formule bevestigd. Als bron waar ik me op beroep in die zin, dus. ;o
Toffe plaatjes 
. Vind het altijd bijzonder dat e en pi van die regelmatige kettingbreuken hebben, maar heb me er nooit echt in verdiept.
. Vind het altijd bijzonder dat e en pi van die regelmatige kettingbreuken hebben, maar heb me er nooit echt in verdiept.
Ja hè, groepsgenootje die met mathematica om kan gaan 
(Y)
Overigens hebben we door zulke plaatjes ook besloten dat er geen regelmaat in e^3 zit, wat de "bronnen"(wikipedia, dus :p) ook lijken te bevestigen.
Maar dat geheel terzijde!
(Y) Overigens hebben we door zulke plaatjes ook besloten dat er geen regelmaat in e^3 zit, wat de "bronnen"(wikipedia, dus :p) ook lijken te bevestigen.
Maar dat geheel terzijde!
Hier staan ook wat links naar bronnen voor e2: http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=7%2C+2%2C+1%2C+1%2C+3%2C+18&sort=0&fmt=0&language=english&go=Search
Uit het ongerijmde. Kies maar een epsilon (bijvoorbeeld 1 om het simpel te houden), dan zou er een delta moeten zijn zodat blabla, maar als je x heel groot maakt, dan zie je dat dat niet kan.quote:Op woensdag 16 juni 2010 00:17 schreef BasementDweller het volgende:
Hoe kan ik bewijzen dat x³ niet uniform continu is op R?
Ah, merci.quote:Op woensdag 16 juni 2010 00:26 schreef thabit het volgende:
Hier staan ook wat links naar bronnen voor e2: http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=7%2C+2%2C+1%2C+1%2C+3%2C+18&sort=0&fmt=0&language=english&go=Search
Ik zou als ik jou was beginnen met het bekende artikel van Euler over kettingbreuken. Het origineel staat hier en een Engelse vertaling (met annotaties en bibliografie) vind je hier. Lees ook even wat Ed Sandifer hier over dit artikel van Euler heeft te zeggen. Euler leidt in zijn artikel o.m. een kettingbreuk af voor e2p/a. Er is dus wel een regelmatige kettingbreuk te geven voor bijv. e3, alleen zijn de elementen daarvan dan niet louter integers.quote:Op dinsdag 15 juni 2010 23:26 schreef Hanneke12345 het volgende:
Mja, zat ik aan te denken, maar ik wil iets dat echt vertelt dat er regelmaat in zit. We hebben al wel mooie plaatjes, maar dat is niet afdoende bewijs ("Is de regelmaat die in deze plaatjes te zien is voor $e^2$ er ook echt, en kunnen wij dit bewijzen?
Deze regelmaat is er echt, en dat is ook wel te bewijzen. Op dit moment is dat bewijs nog in progress, maar kunnen we ons wel beroepen op andere bronnen.", wikipedia is geen bron
Dat idee had ik al, maar het netjes opschrijven lukte nog niet.quote:Op woensdag 16 juni 2010 00:29 schreef thabit het volgende:
[..]
Uit het ongerijmde. Kies maar een epsilon (bijvoorbeeld 1 om het simpel te houden), dan zou er een delta moeten zijn zodat blabla, maar als je x heel groot maakt, dan zie je dat dat niet kan.
Kies e=1 en zij d>0. Kies x,y zo dat d(x,y) < d en
| f(x) - f(y) | = | x³ - y³ | >= ... > e.
Wat moet er op de puntjes?
Het is duidelijk dat als je x en y groot genoeg kies dat het altijd groter dan 1 is, maar ik weet niet of ze daar op een tentamen alle punten voor geven.
schrijf x³ - y³ = (x-y)(x² + xy + y²)
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Vraag was: Sketch the solid whose volume is given by the integral and evaluate it. Integraal zelf staat dus onderaan in het plaatje. Maar ik snap totaal niet waarom dat volume twee verschillende delen heeft? r=2 en theta = pi/2 kan ik zo uit het plaatje opmaken, maar vanwaar die twee verschillende delen(dus 1 cylinder en 1 parabool 9-r2)?
I had this song playing when Mary Ellen was born. Had her right there on the pool table, and they didn't stop the game...
Ook dat had ik zelf al bedacht (quote:Op donderdag 17 juni 2010 13:13 schreef GlowMouse het volgende:
schrijf x³ - y³ = (x-y)(x² + xy + y²)
), alleen ik wist niet wat je daarmee moest doen omdat |x-y|<d en je wil juist een '>' teken krijgen.edit:
Je kan wel zeggen x³ - y³ = (x-y)(x² + xy + y²) > (x-y)(xy) = x²y - y²x... maar dan...
Dus x²y - y²x = y(y+d/2)² - y²(y+d/2) = y³ + dy² + d²/4 - y³ - y²d/2 = dy² + d²/4 - y²d/2
Als y>1, dan dy² + d²/4 - y²d/2 > d + d²/4 - d/2 = d/2 + d²/4
Als je e de helft neemt van d/2 + d²/4 dan is x³-y³>e.
Ik denk dat dit wel goed is uitgewerkt zo.
Als y>1, dan dy² + d²/4 - y²d/2 > d + d²/4 - d/2 = d/2 + d²/4
Als je e de helft neemt van d/2 + d²/4 dan is x³-y³>e.
Ik denk dat dit wel goed is uitgewerkt zo.
Wat bedoel je met twee verschillende delen?quote:Op donderdag 17 juni 2010 16:07 schreef Jac0bus het volgende:
[ afbeelding ]
Vraag was: Sketch the solid whose volume is given by the integral and evaluate it. Integraal zelf staat dus onderaan in het plaatje. Maar ik snap totaal niet waarom dat volume twee verschillende delen heeft? r=2 en theta = pi/2 kan ik zo uit het plaatje opmaken, maar vanwaar die twee verschillende delen(dus 1 cylinder en 1 parabool 9-r2)?
Als je bedoelt waarom die parabool opeens ophoudt en overgaat in de cilinder... dat heeft er mee te maken dat de gedefinieerde verzameling uit punten bestaat waar voor (x,y,z) binnen de cilinder én binnen de paraboloïde ligt.
Nee. e moet je vantevoren kiezen en dan moet het daarna voor elke d fout gaan.quote:Op donderdag 17 juni 2010 18:25 schreef BasementDweller het volgende:
Dus x²y - y²x = y(y+d/2)² - y²(y+d/2) = y³ + dy² + d²/4 - y³ - y²d/2 = dy² + d²/4 - y²d/2
Als y>1, dan dy² + d²/4 - y²d/2 > d + d²/4 - d/2 = d/2 + d²/4
Als je e de helft neemt van d/2 + d²/4 dan is x³-y³>e.
Ik denk dat dit wel goed is uitgewerkt zo.
Ik neem e dus (d/2 + d²/4) / 2, en dan gaat het voor iedere d fout in die zin dat x³-y³>e, maar ik moet e dus vast kiezen? e=1 ofzo
Je zou ook een algemene redenering kunnen opzetten voor een willekeurige ε > 0 en aan de hand van de definitie van uniforme continuïteit laten zien dat de aanname dat je functie f(x) = x3 uniform continu is tot een tegenstrijdigheid leidt omdat er wel degelijk getallen x en y zijn met |x - y| < δ zodanig dat |f(x) - f(y)| > ε.quote:Op donderdag 17 juni 2010 18:45 schreef BasementDweller het volgende:
Ik neem e dus (d/2 + d²/4) / 2, en dan gaat het voor iedere d fout in die zin dat x³-y³>e, maar ik moet e dus vast kiezen? e=1 ofzo
Kies e=1/2. Zij d>0 willekeurig. Neem y>0 zo, dat y²=1/d en laat x=y+d/2 (dus y=x-d/2). Er is voldaan aan |x-y|<d en
|x³-y³| = |(x-y)(x²+2xy+y²)| = |d/2 (x²+2xy+y²) | > d |xy| > d y² = 1 > 1/2 = e
Zo goed? :p
[ Bericht 0% gewijzigd door BasementDweller op 17-06-2010 19:27:27 ]
|x³-y³| = |(x-y)(x²+2xy+y²)| = |d/2 (x²+2xy+y²) | > d |xy| > d y² = 1 > 1/2 = e
Zo goed? :p
[ Bericht 0% gewijzigd door BasementDweller op 17-06-2010 19:27:27 ]
Dus omdat de radius niet hoger mag zijn dan 2 zegmaar? Dat hij dan overgaat op een cylinder, omdat de paraboloïde anders er overheen zou gaan?quote:Op donderdag 17 juni 2010 18:28 schreef BasementDweller het volgende:
[..]
Wat bedoel je met twee verschillende delen?
Als je bedoelt waarom die parabool opeens ophoudt en overgaat in de cilinder... dat heeft er mee te maken dat de gedefinieerde verzameling uit punten bestaat waar voor (x,y,z) binnen de cilinder én binnen de paraboloïde ligt.
I had this song playing when Mary Ellen was born. Had her right there on the pool table, and they didn't stop the game...
Precies, de paraboloïde valt daar buiten de (x,y,z) waarvoor r<2.quote:Op donderdag 17 juni 2010 19:50 schreef Jac0bus het volgende:
[..]
Dus omdat de radius niet hoger mag zijn dan 2 zegmaar? Dat hij dan overgaat op een cylinder, omdat de paraboloïde anders er overheen zou gaan?
Dank, nu snap ik hemquote:Op donderdag 17 juni 2010 19:53 schreef BasementDweller het volgende:
[..]
Precies, de paraboloïde valt daar buiten de (x,y,z) waarvoor r<2.
I had this song playing when Mary Ellen was born. Had her right there on the pool table, and they didn't stop the game...
Laten we eens aannemen dat de functie f(x) = x3 wel uniform continu zou zijn. Dan zou er volgens de definitie van uniforme continuïteit bij elke ε > 0 een δ > 0 moeten bestaan zodanig datquote:Op donderdag 17 juni 2010 19:45 schreef BasementDweller het volgende:
Zou iemand voor me willen opschrijven hoe het wel moet?
(1) | f(x) - f(y) | < ε voor elke x en y die voldoen aan | x - y | < δ
Kies nu een ε > 0, dan is er volgens onze aanname een δ > 0 die aan (1) voldoet. Kies nu verder een positief getal h zodanig dat:
(2) 0 < h < δ
Kies verder:
(3) x > √(ε/3h)
En:
(4) y = x + h,
Zodat:
(5) | x - y | = h
Uit (2) volgt dan dat x en y voldoen aan | x - y | < δ terwijl uit (3) en (4) volgt dat ook geldt:
(6) y > √(ε/3h)
Nu volgt uit (3) en (6) dat geldt:
(7) x2 > ε/3h, xy > ε/3h, y2 > ε/3h,
en dus ook:
(8) | x2 + xy + y2 | > ε/h
Maar aangezien geldt:
(9) | f(x) - f(y) | = | x3 - y3 | = | x - y |∙| x2 + xy + y2 |
Volgt nu uit (9) met behulp van (5) en (8) dat:
(10) | f(x) - f(y) | > ε,
en dit is in tegenspraak met de aanname dat f(x) uniform continu zou zijn. De aanname voert dus tot een tegenstrijdigheid, zodat de conclusie is dat f(x) niet uniform continu is.
