De fraaiste wiskundige bewijzen #1

Alsem, volgens mij snap je toch niet heel veel van fractals. Ik zal het t.z.t. – nu is het te laat – eens proberen uit te leggen. Merk ook op dat je formule niet juist was, jij gaf de formule voor de Tricorn-fractal waarbij je de complex toegevoegde neemt. De gewone Mandelbrotiteratie wordt gegeven door .

Overigens is het wel razend interessant, dus goed dat je het noemt.

Oké, fractaluitleg. Een fractal is wiskundig gezien eigenlijk alleen een verzameling punten. in een vlak (het complexe vlak om precies te zijn). Een punt hoort of wél bij die verzameling, of niet.


^{Bron: Wikimedia Commons. Maker: Connelly. Publiek Domein.}

Hier boven zie je dus de Mandelbrotverzameling in het complexe vlak. Zwart hoort er wel bij, wit niet. Waar komen dan die kleurtjes vandaan? Dat heeft te maken met het rekenproces dat bepaalt of zo’n punt in het vlak zit of niet.

Een complex getal bestaat uit een reële en een imaginaire component, doorgaans geschreven als a + bi, a is de reële component, b de imaginaire. Dit zie je ook hierboven. Het punt (1 + 0i) ligt bijvoorbeeld ‘op de x-as’, d.w.z. de horizontale, of eigenlijk reële as, het punt (0 + i) ligt op de verticale as, of imaginaire as. En het punt (1 + i) ligt in het kwadrant rechtsboven.

Complexe getallen kun je vrij eenvoudig optellen en aftrekken, dat is ongeveer zoals je zou verwachten: (2 + 3i) + (5 + 4i) = 7 + 7i. Vermenigvuldigen is ook niet zo raar, dat geeft: (2 + 3i)(5 + 4i) = (10 + 8i + 15i + 12i²) = (10 + 23i + 12i²). Alleen nu is er wel een ding speciaal, er geldt namelijk i² = -1. Dus we kunnen het vorige getal schrijven als (-2 + 23i).

Dat is dus de bekende i² = -1, of soms ook als i = √(-1) geschreven. Als je dit weet, weet je eigenlijk al genoeg om die Mandelbrot fractal te kunnen teken.

Je pakt namelijk een punt uit dit complexe vlak, zeg c, en dan zeg je: z₁ = c, z₂ = z₁*z₁ + c, z₃ = z₂*z₂ + c, en zo voort. Of in z’n algemeenheid: z_n+1 = z_n*z_n + c. Voor sommige waarden van c levert dit een heel groot getal op, dat steeds maar groter wordt. Die zitten niet in je verzameling. Voor sommige waarden geldt dat het getal niet steeds groter wordt. Neem bijvoorbeeld i:

z₁ = i
z₂ = i*i + i = -1 + i
z₃ = (-1 + i)² + i = (i² - 2i + 1) + i = -i
z₄ = (-i)² + i = -1 + i
z₅ = z₃

En zo voort. We komen dus in een rondje terecht. Probeer het eens voor c = 1:

z₁ = 1
z₂ = 1*1 + 1 = 2
z₃ = 2*2 + 1 = 5
z₄ = 5*5 + 1 = 26.

Dit gaat dus hopeloos mis, dit punt verdwijnt. De truc is nu: wanneer weet je zeker dat zo’n punt verdwijnt? Zoals je ziet kan een punt namelijk ‘op en neer klappen’ zoals in het geval van c = i. Als je rond de oorsprong een cirkel trekt met straal 2 in bovenstaand figuur, dan is het zeker dat als je iteratie een keertje buiten die cirkel komt, dat het dan misgaat.

Op deze manier kunnen we ook tot de kleuren komen: We tellen hoe vaak we bovenstaand proces moeten uitvoeren om buiten die cirkel te geraken. Dan krijg je zoiets:


^{Bron: Wikimedia Commons. Maker: Wolfgang Beyer. Licentie: CC-BY-SA.}

De zwarte punten zitten dus in de verzameling, de gekleurde niet. En je ziet heel duidelijke banden met dezelfde kleur. De meer roodachtige aan de buitenkant zijn direct al weg in feite; de rood-paarse kleur daarbinnen doet er 1 iteratie over, die daarbinnen 2, de blauw tinten nog langer, en de groen tinten nog weer langer, en de paarse tinten binnenin, grenzend aan het zwarte vlak, doen er nóg weer langer over.

Die kleuren geven dus eigenlijk vooral het berekeningsproces weer, en hoe lang je erover doet om te berekenen dat zo’n punt niet in de verzameling zit, maar zijn niet ‘de fractal zelf’ ook al wordt misschien vaak wel zo geassocieerd. De fractal zelf, de Mandelbrotverzameling in dit geval is dus het zwarte.

Maar hoe komt men dan aan zo’n afbeelding?


^{Bron: Wikimedia Commons. Maker: Wolfgang Beyer. Licentie: CC-BY-SA.}

Waarom zie je daar niet van die duidelijke strepen met dezelfde kleur? Dat is in feite gewoon een bewerkingstruc. Die strepen worden als het ware uitgevlakt en in een continue overgang geplaatst. Stel dat je een punt c hebt dat na n iteraties ‘buiten de cirkel is gekomen’ dan hoort daar dan de volgende waarde bij: v = n - log₂log₂ |z_n|, hier is z_n dus het punt dat voor het eerst buiten de cirkel valt, |z_n| geeft de afstand van dat punt tot de oorsprong (dus als rechte lijn gezien). Op deze manier krijg je een continu waardenverloop: immers punten die net ietsje verder weg komen krijgen een iets andere kleur. De truc is nu om die waarden ook nog op geschikte kleuren af te beelden.. Maar als je dat doet, dan krijg je dus zulke mooie, vloeiende, afbeeldingen.

De moeilijkheid, en het fascinerende aan fractals is, dat je op een gegeven moment je iteratie moet afkappen. Je kunt wel zeker weten dat een punt niet in de verzameling zit, en van sommige punten is ook duidelijk dat ze er wél inzitten, maar op het grensvlak is het vaak niet duidelijk. Het enige dat je dan kunt doen is gewoon rekenen. 100 iteraties proberen en kijken of het punt al ontsnapt. Of 1000. Of 10000. En zo voort. In die zin is een fractal dus altijd een benadering. Die grenspunten ontsnappen misschien niet na 1000 iteraties, en zijn daarom zwart gekleurd, maar mogelijk wel na 10000!

Dat is ook de reden dat men (alleen) kan zeggen: de oppervlakte van de verzameling is 1,506 591 77 ± 0,000 000 08. Om dat precies uit te rekenen zou je oneindig lang moeten doorrekenen. Er is geen formule met een exacte uitkomst te geven.

Zo’n tekening is dus altijd een benadering. Het grappige is ook dat de uitvinder van deze verzameling, Benoît Mandelbrot, in het begin, op basis van zulke computerafbeeldingen dacht dat de verzameling niet verbonden was, m.a.w. dat je niet via een zwart punt over alleen maar zwarte punten naar elk ander zwart punt kunt komen. Er zouden dus eilandjes zijn. Dat vermoeden was gebaseerd op tekeningen gerenderd door de computer waarbij heel dunne haarlijntjes niet zichtbaar waren. Je moet immers kiezen hoe nauwkeurig je zoiets doet. Als je c = -1.1 en c = 1.2 uitrekent, moet je dan c = 1.15 ook nog doen? En c = 1.155? En c = 1.1555? Je moet ergens stoppen. Het kan best dat dus in je tekening twee pixels naast elkaar beiden een kleurtje hebben, maar dat er tussen eigenlijk nog een – in die tekening onzichtbaar – zwart lijntje loopt.

Inmiddels is bewezen dat de gehele verzameling wel verbonden is, maar die inzoomfilmpjes die je ziet tonen aan dat je in principe steekds maar kunt vergroten en vergroten op de grens en telkens nieuw detail ziet. En wát je dan precies ziet, dat is pas te zeggen nadat het is uitgerekend. Je kunt dus niet een patroon ontdekken voorspellen. Ter vergelijking, een breuk als 1/7 ≈ 1,142857142857, maar die herhaalt zichzelf telkens. Je kunt zo voorspellen dat cijfer 1, 7, 13, 19, enz. een 1 zijn. Als iemand dus wil weten wat cijfer 283043 achter de komma is kun je dat direct zeggen zonder tot 283043 cijfers achter de komma door te rekenen omdat er een patroon in zit. Dat kan bij zo’n fractal niet. Je moet het helemaal uitrekenen.

quote:

Op woensdag 7 oktober 2009 12:42 schreef speknek het volgende:
Ik ben altijd bijzonder zwak in formele bewijzen geweest, toch teveel een chaoot, dus even een domme vraag:
[..]

Moet je dan niet eerst bewijzen dat combinaties van priemgetallen alleen weer deelbaar zijn door priemgetallen? Of zit dat besloten in de vermenigvuldiging?

Ik heb inderdaad nagelaten te vermelden dat elk getal een unieke priemfactorisatie heeft. Dat was op zich opzettelijk. Elk getal heeft een unieke factorisatie in priemgetallen. En we weten dus dat die factorisatie niet de getallen kan bevatten uit ons rijtje. Ergo, ons rijtje is niet compleet.

Overigens laat ik formeel gezien wel meer steekjes vallen, maar het is niet mijn bedoeling om strikt formeel te zijn. In die fractaluitleg praat ik b.v. over ‘complexe getallen die steeds maar groter worden’, alhoewel dat natuurlijk formeel gezien niet zo zinnig is.

Ik denk dat ook zonder die formaliteiten echter het idee, de slimmigheid van de redenering, wel over komt. (Of het fascinerende erachter.)

Nog een keer de stelling van Pythagoras:

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

quote:

Op vrijdag 9 oktober 2009 00:10 schreef speknek het volgende:

[..]

Eh ja, ik weet hoe je over Informatica denkt, maar zo'n wiskundeleek ben ik ook weer niet . Ik bedoelde als een fraai bewijs tegenover het andere.

Ik heb er nu een zonder woorden voor je.