[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

Ah, ik zie het al!

[ Bericht 95% gewijzigd door friekin_ op 11-12-2013 19:42:55 ]

http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm

2008b, opgave 2.

Ik heb een strategie om dit op te lossen, maar die gaat uit van iets, namelijk dat deze waarden correct zijn:

F(X)=1/2 x^2
f(x)=x
f''(x)=1

G(X)= -sin(x) - cos(x)
g(x)= -cos(x) + sin(x)
g'(x)= sin(x) + cos(x)

Kloppen deze waarden?

In de opgave wordt er een formule gegeven. Ik bereken rechts van de eerste formule alles voor x=pi en daar trek ik vanaf: alles rechts van de formule maar voor x=0. Klopt dat?

Edit:

Daarbij merk ik op dat voor cos(x) er geen verschil zit wat betreft een waarde x=pi en x=0, deze geven allebei uiteindelijk 1. Voor sin(x) is dat ook hetzelfde, maar dan krijg je voor de waarde x=pi en x=0 allebei uiteindelijk 0. Dat maakt de opgave wat eenvoudiger denk ik.

quote:

Op donderdag 12 december 2013 00:06 schreef DefinitionX het volgende:
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm

2008b, opgave 2.

Ik heb een strategie om dit op te lossen, maar die gaat uit van iets, namelijk dat deze waarden correct zijn:

F(X) = 1/2 x^2
f(x) = x
f'(x) = 1

G(X) = -sin(x) - cos(x)
g(x) = -cos(x) + sin(x)
g'(x) = sin(x) + cos(x)

Kloppen deze waarden?

Ja, dit klopt, afgezien van je typo f''(x) voor f'(x), maar je hebt dit niet allemaal nodig om van de regel voor partieel integreren gebruik te kunnen maken.

quote:

In de opgave wordt er een formule gegeven. Ik bereken rechts van de eerste formule alles voor x=pi en daar trek ik vanaf: alles rechts van de formule maar voor x=0. Klopt dat?

Ja, je past in feite de hoofdstelling van de integraalrekening toe om een bepaalde integraal te berekenen, en bij gebruik van de regel voor partieel integreren is dat niet anders. Alleen werk je de integraal dan eerst om naar een integraal waarbij je gemakkelijker een primitieve van de integrand kunt opschrijven.

De hoofdstelling van de integraalrekening zegt dat als f: [a,b] → R een functie is die continu is op [a,b] en F een primitieve is van f, dat je dan hebt



Als je uitleg wil hebben (van mij) waarom dit geldt, dan kan ik je aanbevelen dit eens goed door te nemen.

De regel voor partieel integreren is de tegenhanger van de productregel uit de differentiaalrekening. Heb je een product h(x) = f(x)g(x) van twee functies f(x) en g(x), dan is de afgeleide van het product h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x). Omgekeerd kun je dus zeggen dat f(x)g(x) een primitieve is van f'(x)g(x) + f(x)g'(x), zodat je in overeenstemming met de hoofdstelling van de integraalrekening hebt



en dus



en dus



Hierbij wordt met de notatie [f(x)g(x)]_a^b bedoeld de waarde van f(x)g(x) voor de bovengrens x = b verminderd met de waarde van f(x)g(x) voor de ondergrens x = a. Deze notatie wordt gebruikt bij het berekenen van bepaalde integralen omdat we dan toch eerst een primitieve opschrijven voordat we de grenzen a en b van het interval waarover we integreren in gaan vullen. In plaats van blokhaken wordt ook wel gebruik gemaakt van een enkele verticale streep rechts van de uitdrukking waarvan we de waarde voor de bovengrens x = b verminderd met de waarde voor de ondergrens x = a moeten bepalen.

Bovenstaande regel kun je nu gebruiken om bijvoorbeeld de integraal uit de opgave uit te rekenen. Maar zoals altijd is het bij gebruik van deze regel van belang dat je je functies f(x) en g(x) handig kiest. Bij deze opgave kies je f(x) = x zodat f'(x) = 1 en dan moet je g(x) zodanig kiezen dat g'(x) = sin x + cos x, zodat je g(x) = −cos x + sin x kunt nemen. Werk nu zelf de opgave verder uit.

quote:

Edit:

Daarbij merk ik op dat voor cos(x) er geen verschil zit wat betreft een waarde x=pi en x=0, deze geven allebei uiteindelijk 1.

Nee, dat klopt niet. Kijk nog eens naar de eenheidscirkel: als we het startpunt (1;0) over π radialen oftewel een halve slag tegen de klok in roteren om de oorsprong, dan komen we uit in het punt (−1;0). De cosinus van π is dus −1 en niet +1 zoals de cosinus van 0.

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 12-12-2013 03:50:58 ]

quote:

Op donderdag 12 december 2013 01:01 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ja, dit klopt, afgezien van je typo f''(x) voor f'(x), maar je hebt dit niet allemaal nodig om van de regel voor partieel integreren gebruik te kunnen maken.

[..]

Ja, je past in feite de hoofdstelling van de integraalrekening toe om een bepaalde integraal te berekenen, en bij gebruik van de regel voor partieel integreren is dat niet anders. Alleen werk je de integraal dan eerst om naar een integraal waarbij je gemakkelijker een primitieve van de integrand kunt opschrijven.

De hoofdstelling van de integraalrekening zegt dat als f: [a,b] → R een functie is die continu is op [a,b] en F een primitieve is van f, dat je dan hebt



Als je uitleg wil hebben (van mij) waarom dit geldt, dan kan ik je aanbevelen dit eens goed door te nemen.

De regel voor partieel integreren is de tegenhanger van de productregel uit de differentiaalrekening. Heb je een product h(x) = f(x)g(x) van twee functies f(x) en g(x), dan is de afgeleide van het product h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x). Omgekeerd kun je dus zeggen dat f(x)g(x) een primitieve is van f'(x)g(x) + f(x)g'(x), zodat je in overeenstemming met de hoofdstelling van de integraalrekening hebt



en dus



en dus



Hierbij wordt met de notatie [f(x)g(x)]_a^b bedoeld de waarde van f(x)g(x) voor de bovengrens x = b verminderd met de waarde van f(x)g(x) voor de ondergrens x = a. Deze notatie wordt gebruikt bij het berekenen van bepaalde integralen omdat we dan toch eerst een primitieve opschrijven voordat we de grenzen a en b van het interval waarover we integreren in gaan vullen. In plaats van blokhaken wordt ook wel gebruik gemaakt van een enkele verticale streep rechts van de uitdrukking waarvan we de waarde voor de bovengrens x = b verminderd met de waarde voor de ondergrens x = a moeten bepalen.

Bovenstaande regel kun je nu gebruiken om bijvoorbeeld de integraal uit de opgave uit te rekenen. Maar zoals altijd is het bij gebruik van deze regel van belang dat je je functies f(x) en g(x) handig kiest. Bij deze opgave kies je f(x) = x zodat f'(x) = 1 en dan moet je g(x) zodanig kiezen dat g'(x) = sin x + cos x, zodat je g(x) = −cos x + sin x kunt nemen. Werk nu zelf de opgave verder uit.

[..]

Nee, dat klopt niet. Kijk nog eens naar de eenheidscirkel: als we het startpunt (1;0) over π radialen oftewel een halve slag tegen de klok in roteren om de oorsprong, dan komen we uit in het punt (−1;0). De cosinus van π is dus −1 en niet +1 zoals de cosinus van 0.

Dank u! De opgave heb ik opgelost en snap ik nu.

----

Zij {f_n} een functierij op een deelinterval D van R, nu moet ik een voorbeeld van zo'n functierij verzinnen die puntsgewijs convergeert naar een onbegrensde functie f* waarbij alle functies f_n begrensd zijn.

Ik zat te denken aan f(x) = 1/x, maar ik kan nu geen functierij vinden die convergeert naar f(x).

Wederom geen antwoord gevraagd, maar een trapje in de goede richting.

Hoe reken je uit wat de kans is dat een de helft (200 van de 400) van een steekproef iets antwoord met antwoord X als je er vanuit gaat dat de kans op antwoord X bij een populatie 0.25 is? Dus dat het met een normale verdeling is met een gemiddelde van 0.25 en een standaardafwijking heeft van 0.022?

[ Bericht 3% gewijzigd door Trinitrobenzeen op 16-12-2013 13:19:49 ]

quote:

Op maandag 16 december 2013 12:38 schreef Amoeba het volgende:
Zij {f_n} een functierij op een deelinterval D van R, nu moet ik een voorbeeld van zo'n functierij verzinnen die puntsgewijs convergeert naar een onbegrensde functie f* waarbij alle functies f_n begrensd zijn.

Ik zat te denken aan f(x) = 1/x, maar ik kan nu geen functierij vinden die convergeert naar f(x).

Wederom geen antwoord gevraagd, maar een trapje in de goede richting.

Hint: lim_n→∞ 1/n = 0.

quote:

Op maandag 16 december 2013 13:01 schreef Trinitrobenzeen het volgende:
Hoe reken je uit wat de kans is dat een de helft (200 van de 400) van een steekproef iets antwoord met antwoord X als je er vanuit gaat dat de kans op antwoord X bij een populatie 0.25 is? Dus dat het met een normale verdeling is met een gemiddelde van 0.25 en een standaardafwijking heeft van 0.022?

http://nl.wikipedia.org/wiki/Normale_verdeling

Ik loop tijdens mijn profielwerkstuk over misleidende statistiek tegen iets aan. Van Maanen stelt in zijn boek 'Goochelen met Getallen' dat je bij een onbekende standaardfout (standaarddeviatie gedeeld door de wortel van het aantal metingen), deze kan berekenen als wortel van het gemeten aantal. Hij geeft een voorbeeld van een plein met op een moment van de dag 2500 mensen erop. De standaardfout is dan 50. Weet iemand hoe dit heet (zodat ik er meer over kan vinden) en/of wanneer dit nu wel/niet kan?

quote:

Op maandag 16 december 2013 13:01 schreef Trinitrobenzeen het volgende:
Hoe reken je uit wat de kans is dat een de helft (200 van de 400) van een steekproef iets antwoord met antwoord X als je er vanuit gaat dat de kans op antwoord X bij een populatie 0.25 is? Dus dat het met een normale verdeling is met een gemiddelde van 0.25 en een standaardafwijking heeft van 0.022?

Klinkt ook wel als een binomiale verdeling. N = 400. P = 0,25. Je wil weten wat de kans op X = 200 is.

quote:

Op maandag 16 december 2013 15:54 schreef Riparius het volgende:

[..]

Hint: lim_n→∞ 1/n = 0.

Dus f* = 1/x, en f_n(x) = 1/x + 1/n?

Voor vaste x convergeert f_n dan in ieder geval naar f*, maar is f_n dan begrensd voor alle n?

quote:

Op maandag 16 december 2013 18:01 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Dus f* = 1/x, en f_n(x) = 1/x + 1/n?

Voor vaste x convergeert f_n dan in ieder geval naar f*, maar is f_n dan begrensd voor alle n?

Nee. Close but no cigar zou een Amerikaan zeggen. Kies D := (0,1) dan is f(x) in ieder geval niet begrensd op D. Nu moet je nog f_n(x) definiëren op D zodanig dat lim_n→∞ f_n(x) = f(x) voor elke x ∈ D terwijl f_n voor elke n ∈ N wél begrensd is op D.

quote:

Op maandag 16 december 2013 18:10 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee. Close but no cigar zou een Amerikaan zeggen. Kies D := (0,1) dan is f(x) in ieder geval niet begrensd op D. Nu moet je nog f_n(x) definiëren op D zodanig dat lim_n→∞ f_n(x) = f(x) voor elke x ∈ D terwijl f_n voor elke n ∈ N wél begrensd is op D.

Dat dacht ik al, want nabij x = 0 gaat het voor mijn 'begrensde functie' f_n hard mis.
Ik moet hier even over nadenken. Überhaupt van de laatste 2 college's weinig begrepen, dus even de aantekeningen nog eens goed doornemen. Uniforme convergentie..

quote:

Op maandag 16 december 2013 17:38 schreef Aardappeltaart het volgende:

[..]

Klinkt ook wel als een binomiale verdeling. N = 400. P = 0,25. Je wil weten wat de kans op X = 200 is.

Mja ik heb uiteindelijk standardizing gebruikt (weet helaas de nederlandse term niet, doe een engelse opleiding), dus Z scores enzo uitgerekend. Weet niet of het de gewenste methode was, want er waren meerdere subvragen en bij sommigen kreeg ik erg hoge Z scores (rond de 9 en 22), waardoor P (probability) dus erg laag was. Maar bij andere subvragen waren mijn antwoorden wel logisch, dus ik weet niet zeker of ik het goed heb gedaan. Waar staat N btw voor? Is denk ik ander symbool in het engels. De formule die ik iig heb gebruikt is deze:

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Al is het een steekproef (en is deze formule voor een populatie), de formule blijft hetzelfde, alleen kon de steekproef formule niet vinden waarbij de sigma en mu zijn vervangen voor de juiste symbolen.

Ik heb bij toeval een boek "Schriftelijke opgaven van de eindexamens der Hoogere Burgerescholen" vanaf 1868 gekregen. Diep respect voor de mensen die deze vragen zonder rekenmachines beatwoorden, want sommige vragen zijn niet echt moeilijk, maar vergen flink doorrekenen. Ik ga er overigens vanuit dat men er wel tabellenboekjes bij mocht gebruiken. Het vak wiskunde beslaat meer dan de helft van het boek, want het wordt gesplitst in algebra, trigonometrie, meetkunde en beschrijvende meetkunde.
Nu pieker ik al dagen over een van de opgaven uit het algebra-examen van 1870:

Twee koeriers A en B vertrekken op denzelfden tijd uit de steden P en Q elkander tegemoet. Aan het ontmoetingspunt gekomen, heeft A 30 kilometers meer afgelegd dan B en heeft hij nog 2 2/3 uur noodig om te Q te komen, terwijl B nog 13 1/2 uur noodig zou hebben om P te bereiken. Men vraagt den afstand P tot Q, alsmede de snelheid waarmee de koeriers gereisd hebben.

Iemand enig (eenig) idee hoe die HBS'ers van zo'n 1 1/2 eeuw geleden dit aanpakten?

sorry verkeerd

quote:

Op maandag 16 december 2013 19:53 schreef la_perle_rouge het volgende:
Ik heb bij toeval een boek "Schriftelijke opgaven van de eindexamens der Hoogere Burgerescholen" vanaf 1868 gekregen. Diep respect voor de mensen die deze vragen zonder rekenmachines beatwoorden, want sommige vragen zijn niet echt moeilijk, maar vergen flink doorrekenen. Ik ga er overigens vanuit dat men er wel tabellenboekjes bij mocht gebruiken. Het vak wiskunde beslaat meer dan de helft van het boek, want het wordt gesplitst in algebra, trigonometrie, meetkunde en beschrijvende meetkunde.
Nu pieker ik al dagen over een van de opgaven uit het algebra-examen van 1870:

Twee koeriers A en B vertrekken op denzelfden tijd uit de steden P en Q elkander tegemoet. Aan het ontmoetingspunt gekomen, heeft A 30 kilometers meer afgelegd dan B en heeft hij nog 2 2/3 uur noodig om te Q te komen, terwijl B nog 13 1/2 uur noodig zou hebben om P te bereiken. Men vraagt den afstand P tot Q, alsmede de snelheid waarmee de koeriers gereisd hebben.

Iemand enig (eenig) idee hoe die HBS'ers van zo'n 1 1/2 eeuw geleden dit aanpakten?

4 Lineaire vergelijking met 4 onbekenden, niks moeilijks aan alleen wat veel rekenwerk als je geen rekenmachine mag gebruiken. Ik kom iig uit op een afstand van 78 km tussen P en Q en snelheid koerier A = 9km/h en B = 4km/h

quote:

Op maandag 16 december 2013 20:31 schreef spacer730 het volgende:

[..]

4 Lineaire vergelijking met 4 onbekenden, niks moeilijks aan alleen wat veel rekenwerk als je geen rekenmachine mag gebruiken. Ik kom iig uit op een afstand van 78 km tussen P en Q en snelheid koerier A = 9km/h en B = 4km/h

Is het je gelukt om de correcte vergelijkingen op te stellen?

quote:

Op maandag 16 december 2013 20:57 schreef DeHuig het volgende:

[..]

Is het je gelukt om de correcte vergelijkingen op te stellen?

Hoe zou ik anders op een antwoord komen?
Deze vergelijkingen zijn het:

Vb * 13.5 = x+30
Va * 8/3 = x
Vb * t = x
Va * t = x +30

Met Va en Vb de snelheden van koerier A en B in km/h, x de afstand tussen het ontmoetingspunt en P in km, en t de tijd in uren van wanneer de koeriers vertrokken tot ze elkaar ontmoeten op het ontmoetingspunt.
De afstand tussen P en Q is dan 2x + 30 km

quote:

Op maandag 16 december 2013 20:31 schreef spacer730 het volgende:

[..]

4 Lineaire vergelijking met 4 onbekenden, niks moeilijks aan alleen wat veel rekenwerk als je geen rekenmachine mag gebruiken. Ik kom iig uit op een afstand van 78 km tussen P en Q en snelheid koerier A = 9km/h en B = 4km/h

Je antwoord klopt. Maar dat het veel rekenwerk is of dat je vier vergelijkingen met vier onbekenden zou moeten opstellen klopt niet. Je stelsel is overigens niet lineair, want in je derde en vierde vergelijking heb je een product van twee onbekenden.

Op het moment dat de koeriers elkaar ontmoeten in een punt R op de route tussen P en Q geldt dat de tot dan toe door de koeriers afgelegde afstanden zich verhouden als hun snelheden, die we a en b kunnen noemen. Aangezien koerier B dan nog 27/2 uur zal doen over het stuk RP dat A op dat moment heeft afgelegd en koerier A nog 8/3 uur zal doen over het stuk RQ dat B al heeft afgelegd geldt dan

(27/2)·b : (8/3)·a = RP : RQ = a : b

en dit levert

16a² = 81b²

en daarmee

a : b = 9 : 4

Maar dit is tevens de verhouding van de afgelegde afstanden in het ontmoetingspunt R, zodat

PR : RQ = 9 : 4

en omdat PR = RQ + 30 geeft dit

(RQ + 30) : RQ = 9 : 4

30 : RQ = 5 : 4

RQ = 24

en dus PR = RQ + 30 = 54 en daarmee PQ = PR + RQ = 54 + 24 = 78 km. Koerier A doet nog 8/3 uur over RQ = 24 km en heeft dus een snelheid van 24·(3/8) = 9 km/h en koerier B doet nog 27/2 uur over RP = 54 km en heeft dus een snelheid 54·(2/27) = 4 km/h.

[ Bericht 3% gewijzigd door Riparius op 17-12-2013 10:35:04 ]

quote:

Op maandag 16 december 2013 13:01 schreef Trinitrobenzeen het volgende:
Hoe reken je uit wat de kans is dat een de helft (200 van de 400) van een steekproef iets antwoord met antwoord X als je er vanuit gaat dat de kans op antwoord X bij een populatie 0.25 is?

Ik denk zelf aan: 0.25^200 * 0.75^200.

quote:

Op maandag 16 december 2013 23:20 schreef DefinitionX het volgende:

[..]

Ik denk zelf aan: 0.25^200 * 0.75^200.

Je vergeet de binomiaalcoëfficiënt.

quote:

Op maandag 16 december 2013 23:55 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je vergeet de binomiaalcoëfficiënt.

0.25^200 * 0.75^200. * ( 400 200)


Klik

quote:

Op maandag 16 december 2013 21:08 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je antwoord klopt. Maar dat het veel rekenwerk is of dat je vier vergelijkingen met vier onbekenden zou moeten opstellen klopt niet.

Op het moment dat de koeriers elkaar ontmoeten in een punt R op de route tussen P en Q geldt dat de tot dan toe door de koeriers afgelegde afstanden zich verhouden als hun snelheden, die we a en b kunnen noemen. Aangezien koerier B dan nog 27/2 uur zal doen over het stuk RP dat A op dat moment heeft afgelegd en koerier A nog 8/3 uur zal doen over het stuk RQ dat B al heeft afgelegd geldt dan

(27/2)·b : (8/3)·a = RP : RQ = a : b

en dit levert

16a² = 81b²

en daarmee

a : b = 9 : 4

Maar dit is tevens de verhouding van de afgelegde afstanden in het ontmoetingspunt R, zodat

PR : RQ = 9 : 4

en omdat PR = RQ + 30 geeft dit

(RQ + 30) : RQ = 9 : 4

30 : RQ = 5 : 4

RQ = 24

en dus PR = RQ + 30 = 54 en daarmee PQ = PR + RQ = 54 + 24 = 78 km. Koerier A doet nog 8/3 uur over RQ = 24 km en heeft dus een snelheid van 24·(3/8) = 9 km/h en koerier B doet nog 27/2 uur over RP = 54 km en heeft dus een snelheid 54·(2/27) = 4 km/h.

Bedankt allebei. Ik heb wel een heleboel met verhoudingen zitten frutten, en met vergelijkingen, maar ik raakte steeds maar de draad kwijt. Die antwoorden kloppen (die staan ook in het boek). Ik snapte alleen niet hoe ze eraan kwamen, maar nu dus wel. Ik zal eens kijken of ik met deze methode zelf opgave 1 van het examen van 1910 kan oplossen, dat is iets soortgelijks, met een voetganger en een rijtuig. (Die koeriers gingen overigens niet snel, handkar en bakfiets? En dan koudweg vertrekken voor een afstand van 78 km?)