De vraag staat er verkeerd, de rij waar het om gaat is an(-1)n. Als je an = (-1)n+1 pakt dan zie je dat jouw antwoord niet klopt.quote:Op dinsdag 4 december 2012 21:06 schreef kutkloon7 het volgende:
[..]
-edit: wacht even hoor, even wat beter kijken nog-
Als de limiet van de rij > 0 is, is de reeks sowieso niet convergent
Hier is zo geen chocola van te maken. Je praat over een reeks, maar geeft dan de notatie van een rij, en wat moet ik me bij die notatie voorstellen?quote:Op dinsdag 4 december 2012 20:49 schreef flopsies het volgende:
als je een alternerende reeks hebt zoals { (n+1)(-1)n } ,
Hoezo, de reeks ∑n=0an heeft toch geen limiet als n naar oneindig gaat?quote:Op dinsdag 4 december 2012 21:12 schreef GlowMouse het volgende:
[..]
De vraag staat er verkeerd, de rij waar het om gaat is an(-1)n. Als je an = (-1)n+1 pakt dan zie je dat jouw antwoord niet klopt.
I see. Maar wat als de limiet van de rij (an) niet bestaat?quote:Op dinsdag 4 december 2012 21:06 schreef kutkloon7 het volgende:
[..]
-edit: wacht even hoor, even wat beter kijken nog-
Als de limiet van de rij > 0 is, is de reeks sowieso niet convergent
Dan bestaat de limiet van de bijbehorende reeks ook niet? (maar ik had het over het geval dat de limiet wel bestaat)quote:Op dinsdag 4 december 2012 21:28 schreef GlowMouse het volgende:
[..]
I see. Maar wat als de limiet van de rij (an) niet bestaat?
Het criterium van Leibniz is voldoende maar niet noodzakelijk voor convergentie van een reeks met alternerende termen. Beschouw bijvoorbeeld de rij {an} gedefinieerd door:quote:Op dinsdag 4 december 2012 21:34 schreef flopsies het volgende:
of dit de enige test is om te kijken of een alternerende reeks convergeert. Als de rij {an} niet voldoet
aan de voorwaarden die riparius ook heeft gepost, is de reeks ∑n=0 ∞ an dan sowieso NIET convergent? misschien een domme vraag maar ik wil het even zeker weten
Ja, maar dat is niet in tegenspraak met wat ik hierboven beweer.quote:Op dinsdag 4 december 2012 23:53 schreef kutkloon7 het volgende:
Het criterium van Leibniz is wel sluitend voor alternerende, dalende reeksen. Als je alleen naar alternerende, dalende reeksen kijkt voldoet elke convergerende reeks aan het criterium en geen enkele niet-convergerende reeks.
Ik dacht dat de algemene term van de gedaante ((-1)k∙4∙cos kx)/k2 is. En dan nog een constante term π2/3 erbij.quote:Ik kom er nu net een tegen bij de inleveropgave voor functies en reeksen. We moeten de Fourier-coefficienten van de 2π-periodieke functie die op het interval [-π, π] gelijk is aan x2 bepalen.
Die blijkt gelijk te zijn aan (-1)k . 2/k2.
Inderdaad ... Vul trouwens eens x = 0 in, dan krijg je een alternerende reeks voor π2/12. Daarmee kun je gemakkelijk aantonen dat ∑k=1∞ 1/k2 = π2/6 (Bazel probleem).quote:Om te bepalen of de bijbehorende Fourierreeks convergent is, moet je kijken of de som van al deze coefficienten convergeert. Ja dus, wat je aan kan tonen met Leibniz' criterium.
(er kunnen nog foutjes inzitten, ik ben er nog mee bezig )
Uhuh, het was een aanvulling, geen verbeteringquote:Op woensdag 5 december 2012 00:14 schreef Riparius het volgende:
[..]
Ja, maar dat is niet in tegenspraak met wat ik hierboven beweer.
[..]
Ik dacht dat de algemene term van de gedaante ak = ((-1)k∙4∙cos kx)/k2 is. En dan nog een constante term π2/3 erbij.
[..]
Inderdaad ... Vul trouwens eens x = 0 in, dan krijg je een alternerende reeks voor π2/12. Daarmee kun je gemakkelijk aantonen dat ∑k=1∞ 1/k2 = π2/6 (Bazel probleem).
Inderdaad, je moet natuurlijk twee complexe coëfficiënten ck en c-k hebben om de reële coëfficiënten ak = ck + c-k van de cosinustermen te krijgen.quote:Op woensdag 5 december 2012 00:27 schreef kutkloon7 het volgende:
[..]
Uhuh, het was een aanvulling, geen verbetering
0 invullen is inderdaad een deel van de opgave.
Hm, ik ga er morgen nog maar even naar kijken denk ik... Volgens mij klopt het wel wat ik nu heb. Hoe kom je aan die algemene term?
In mijn dictaat staat dat de fourier coefficient gelijk is aan
En dat heb ik nagerekend, en dat lijkt te kloppen.
De constante term zou dan geloof ik 2/3π3 worden.
Ik heb wel complexe coefficienten gebruikt, misschien zit het hem daarin
Ja, ik had nog niet helemaal door hoe dat precies werkte, ik werkte gewoon vanuit de uit het dictaat gegeven definities.quote:Op woensdag 5 december 2012 00:46 schreef Riparius het volgende:
[..]
Inderdaad, je moet natuurlijk twee complexe coëfficiënten ck en c-k hebben om de reële coëfficiënten ak = ck + c-k van de cosinustermen te krijgen.
Als je a0 berekent met de algemene integraal voor ak, dan moet je hiervan de helft nemen, de eerste term in de reeks geeft men daarom aan met ½a0. Dan krijg je dus π2/3 voor de constante term.quote:Op woensdag 5 december 2012 00:37 schreef kutkloon7 het volgende:
Ja, je had gelijk, ik ben eruit, het kwam inderdaad door die complexe coefficienten. Alleen die constante term heb ik nog wel anders.
Ja, wat ik de hele tijd al doe: de factor 1/2π vergeten, waardoor ik ook op π^3 uitkwam ipv π^2. Dank voor je hulp!quote:Op woensdag 5 december 2012 00:50 schreef Riparius het volgende:
[..]
Als je a0 berekent met de algemene integraal voor ak, dan moet je hiervan de helft nemen, de eerste term in de reeks geeft men daarom aan met ½a0. Dan krijg je dus π2/3 voor de constante term.
Je kunt je Fourier reeksen gemakkelijk controleren in WolframAlpha, zowel in goniometrische als in exponentiële vorm.quote:Op woensdag 5 december 2012 00:56 schreef kutkloon7 het volgende:
[..]
Ja, wat ik de hele tijd al doe: de factor 1/2π vergeten, waardoor ik ook op π^3 uitkwam ipv π^2. Dank voor je hulp!
Maak het allemaal niet zo moeilijk. Je hebt:quote:Op woensdag 5 december 2012 17:23 schreef Sokz het volgende:
Ja tot die conclusie kwam ik dus ook, hoe reflecteert dat zich tot deze vraag waarbij P=0 geen antwoord kan zijn (want wie verkoopt zijn product gratis?)
[ afbeelding ]
Forum Opties | |
---|---|
Forumhop: | |
Hop naar: |