Record grootste bekende priemgetal gebroken

quote:

Op vrijdag 19 september 2008 00:24 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je maakt een elementaire denkfout. Heel ver weg betekent niet oneindig ver weg. Er zijn inderdaad priemwoestijnen van willekeurige lengte aan te wijzen, maar dat impliceert niet dat het aantal priemgetallen eindig zou zijn. Ze worden wel steeds dunner gezaaid, om het zo maar te noemen: het aantal priemgetallen kleiner dan N nadert asymptotisch tot N/ln(N).

Ik zou juist redeneren dat de oneindige interval waar geen priemgetallen voorkomen, oneindig ver weg is en dat er daarom dus ook oneindig veel priemen zijn.
toch blijf ik het raar vinden dat beiden oneindig groot zijn, zit toch iets van een paradox in, beide beweringen zijn juist.

quote:

Op vrijdag 19 september 2008 00:54 schreef DuracelPlus het volgende:

[..]

Ik zou juist redeneren dat de oneindige interval waar geen priemgetallen voorkomen, oneindig ver weg is en dat er daarom dus ook oneindig veel priemen zijn.

Nee, dat is geen geldige redenatie, dan zou het aantal priemgetallen nog steeds eindig kunnen zijn.

quote:

toch blijf ik het raar vinden dat beiden oneindig groot zijn, zit toch iets van een paradox in, beide beweringen zijn juist.

Ik begrijp niet precies waar je nu een paradox in ziet, je betoog is warrig.

quote:

Op vrijdag 19 september 2008 01:03 schreef Riparius het volgende:


Nee, dat is geen geldige redenatie, dan zou het aantal priemgetallen nog steeds eindig kunnen zijn.
[..]

dat begrijp ik, maar dat zou een in mijn ogen een redelijke argument kunnen zijn waarom beiden oneindig groot kunnen zijn.

quote:

Ik begrijp niet precies waar je nu een paradox in ziet, je betoog is warrig.

excuses, het is alweer zo'n 10 jaar geleden dat ik voor het laatst een wiskunde boek heb ingekeken. gevoelsmatig zou ik zeggen dat de ene stelling de andere uitsluit.

quote:

Op vrijdag 19 september 2008 01:30 schreef DuracelPlus het volgende:

[..]

dat begrijp ik, maar dat zou een in mijn ogen een redelijke argument kunnen zijn waarom beiden oneindig groot kunnen zijn.
[..]

excuses, het is alweer zo'n 10 jaar geleden dat ik voor het laatst een wiskunde boek heb ingekeken. gevoelsmatig zou ik zeggen dat de ene stelling de andere uitsluit.

Tja... redelijk argument ... gevoelsmatig ... Dit is niet echt wiskundig te noemen.

quote:

Op vrijdag 19 september 2008 01:33 schreef Riparius het volgende:

[..]

Tja... redelijk argument ... gevoelsmatig ... Dit is niet echt wiskundig te noemen.

ik ben dan ook geen wiskundige... En indien jij dat wel bent, heb ik van jou ook niet echt een wiskundige argument gezien dat de ene de andere niet uitsluit.

quote:

Op vrijdag 19 september 2008 01:45 schreef DuracelPlus het volgende:

[..]

ik ben dan ook geen wiskundige... En indien jij dat wel bent, heb ik van jou ook niet echt een wiskundige argument gezien dat de ene de andere niet uitsluit.

Je probleem is dat je worstelt met het begrip oneindigheid. De uitspraak dat er oneindig veel priemgetallen zijn betekent niets anders dan dat er geen grootste priemgetal bestaat: voor ieder priemgetal p is aan te tonen dat er tenminste één priemgetal groter dan p bestaat.

Verder is het elementair om aan te tonen dat er voorbij elke priemwoestijn, hoe lang die ook is, nog tenminste één priemgetal ligt. Die priemwoestijnen, hoe lang ook, staan dus de oneindigheid van het aantal priemgetallen niet in de weg. Misschien dat dat je probleem oplost?

quote:

Op vrijdag 19 september 2008 01:52 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je probleem is dat je worstelt met het begrip oneindigheid. De uitspraak dat er oneindig veel priemgetallen zijn betekent niets anders dan dat er geen grootste priemgetal bestaat: voor ieder priemgetal p is aan te tonen dat er tenminste één priemgetal groter dan p bestaat.

Verder is het elementair om aan te tonen dat er voorbij elke priemwoestijn, hoe lang die ook is, nog tenminste één priemgetal ligt. Die priemwoestijnen, hoe lang ook, staan dus de oneindigheid van het aantal priemgetallen niet in de weg. Misschien dat dat je probleem oplost?

Yup, het probleem is inderdaad het oneindigheidsbegrip. Je 2de alinea brengt wat licht in de duisternis
goede nacht

Er is nog een leuk resultaat: Bertrands postulaat, dat stelt dat voor elke n > 1 er altijd een priemgetal p te vinden is zodat n < p < 2n. Dit geeft ook aan dat er oneindig veel priemgetallen moeten zijn.