Record grootste bekende priemgetal gebroken

quote:

Op maandag 18 september 2006 17:53 schreef thabit het volgende:

[..]

We hebben een winnaar!

dat er maar eens iemand effe een formule uitvindt voor die mersenne priemgetallen.

kom op zo moeilijk kan dat toch niet zijn?

wat is het nut van een priemgetal? :S

quote:

Op donderdag 21 september 2006 08:43 schreef jd1982 het volgende:
wat is het nut van een priemgetal? :S

Das net zoiets als vragen wat het nut van Bier is...

quote:

Op woensdag 20 september 2006 21:24 schreef Monocultuur het volgende:
dat er maar eens iemand effe een formule uitvindt voor die mersenne priemgetallen.

kom op zo moeilijk kan dat toch niet zijn?

Toch wel. Het is eenvoudig te bewijzen dat het priem zijn van n een noodzakelijke voorwaarde is voor het priem zijn van 2ⁿ - 1, maar het priem zijn van n is geen voldoende voorwaarde voor het priem zijn van 2ⁿ - 1, en daarin schuilt nu juist de moeilijkheid. Er is geen echt patroon te ontdekken in de priemgetallen n waarvoor 2ⁿ - 1 priem is, en dus zit er met onze huidige kennis niets anders op dan voor elk priemgetal n te testen of 2ⁿ - 1 priem is. Er bestaan overigens heel efficiente methoden om te testen of een getal van de gedaante 2ⁿ - 1 priem is, en die methoden vormen de basis voor het GIMPS project.

Getallen van de gedaante 2ⁿ - 1 worden nu vernoemd naar Mersenne, maar het al dan niet priem zijn van deze getallen is al veel langer onderwerp van onderzoek, vanwege de relatie tussen priemgetallen van de gedaante 2ⁿ - 1 en de zogeheten volmaakte getallen. Een volmaakt getal is een natuurlijk getal waarvan de som van de echte delers (inclusief 1) gelijk is aan dat getal zelf. Zo is 6 een volmaakt getal, want 6 is deelbaar door 1,2 en 3, terwijl 6 = 1 + 2 + 3. Het eerstvolgende volmaakte getal is 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

Volmaakte getallen speelden een rol in de getallenmystiek van de Pythagoreërs, en zo werden deze getallen ook al in de Griekse oudheid onderwerp van onderzoek in de wiskunde. Het is eenvoudig aan te tonen dat een getal van de gedaante 2^n-1(2ⁿ - 1) een volmaakt getal is dan en alleen dan als 2ⁿ - 1 priem is. Er bestaat dus een nauwe relatie tussen de volmaakte getallen en de priemgetallen van Mersenne, en zodoende was men ook in de oudheid al geïnteresseerd in de vraag voor welke (priem)getallen n een getal van de gedaante 2ⁿ - 1 priem is. De eerste vier waarden van n waarvoor dit het geval is zijn n = 2, 3, 5 en 7, en daarmee waren ook de eerste vier volmaakte getallen 6, 28, 496 en 8128 bekend. Het eerstvolgende priemgetal n=11 levert echter geen volmaakt getal op, want 2¹¹ - 1 = 2047 = 23 x 89 en dus niet priem. De vraag waaraan n precies moet voldoen wil 2ⁿ - 1 priem zijn wordt dus al meer dan 2000 jaar gesteld, maar een antwoord op deze vraag is niet in zicht.

interessant!

ik denk dat mijn firefox aan het vastlopen is omdat ik het getal wil bekijken

quote:

Op donderdag 21 september 2006 08:43 schreef jd1982 het volgende:
wat is het nut van een priemgetal? :S

Lees het fantatische en zeer toegankelijke boek "The music of the primes - why an unsolved problem in mathematics matters" van Marcus du Sautoy. Je kunt ook zijn website bezoeken op: http://www.musicoftheprimes.com/

Enige voorbeelden van het nut van priemgetallen:
1. Ze zijn de "moleculen" van alle andere niet-priem getallen.
2. Zonder priemgetallen zou de RSA security methodiek niet bestaan en werd efficient handelen op Internet onmogelijk.
3. Er zijn links gevonden tussen priemgetallen and de quantumfysica (o.a. via Freeman Dyson).
4. Ze beïnvloeden belangrijke beslissingen van mensen. Zo hoorde ik onlangs dat uit onderzoek is gebleken dat zowel officieren van justitie (straf eis) en de rechters (opgelegde straf) alle priemgetallen boven de 10 vermijden. Er wordt dus wel 15 jaar geëist en gegeven maar uiterst zelden 11, 13, 17 of 19 jaar. Priemgetallen zitten dieper in ons dan we denken...

Ik ben al jaren gefascineerd door priemgetallen en heb vele, (creatieve) pogingen ondernomen om een patroon te ontdekken. Tot zover nog niet gelukt en het lijkt er steeds meer op dat "primes indeed grow like weed between the composites". We kunnen het aantal priemgetallen onder een bepaald getal n al zeer nauwkeurig voorspellen (als de Riemann hypothese tenminste ooit bewezen wordt). Zodra we echter inzoomen op een enkel getal en proberen om de volgende priem te voorspellen dan neemt de kans op succes drastisch af. Het begint steeds meer te lijken op een nieuwe "onzekerheidsrelatie"...

Toch blijf ik hopen op een totaal andere benadering om het probleem te kraken (bijv. gebaseerd op heel nieuw stelsel van axioma's, kwalitatief, een toevallig bijproduct van abstracte wiskunde, een fractal die de priem "golf" oplevert, etc.).

Sta open voor ideeën !

Ok dank voor de uitleg.

het aantal cijfers is toch met ln(getal) te bepalen? of iets in de buurt..:D

quote:

Op maandag 25 september 2006 19:22 schreef teletubbies het volgende:
het aantal cijfers is toch met ln(getal) te bepalen? of iets in de buurt..:D

Ja, maar dan moet je wel gebruik maken van gewone logarithmen (met grondtal 10) en niet van natuurlijke logaritmen als je het aantal cijfers van een groot getal in decimale notatie wilt bepalen. Een voorbeeld: de log van een getal tussen 1000 en 10000 (4 cijfers) ligt tussen 3 en 4, dus het gedeelte vóór de komma, vermeerderd met 1 geeft het aantal cijfers.

Stel nu dat we willen weten uit hoeveel cijfers het laatst gevonden priemgetal van Mersenne 2^32582657 - 1 bestaat. We kunnen gebruik maken van het feit dat 2ⁿ geen macht van 10 is, zodat het getal 2^{n - 1} evenveel cijfers heeft als het getal 2ⁿ. Om het aantal cijfers van het getal N = 2^32582657 te bepalen nemen we de logarithme. We vinden dan (met behulp van de calculator in Windows):

log(N) = log(2^32582657) = 32582657 * log(2) =
32582657 * 0.30102999566398119521373889472449... =
9808357.0954309865380992960943673...

Het getal N, en dus ook 2^32582657 - 1, bestaat derhalve uit 9808358 cijfers, zoals ook wordt gemeld op de site van het GIMPS project. Het bestand met daarin het nieuw gevonden priemgetal is overigens 9808360 bytes groot, omdat er aan het einde van het bestand nog 2 bytes zijn toegevoegd, nl. een CR (carriage return, ASCII 0D hex) en een LF (line feed, ASCII 0A hex).

Volgens mij is dat toch vrij lucratief? Volgens mij hoorde ik iemand laatst nog over een beloning van 100.000 euro spreken. :

quote:

Op maandag 25 september 2006 21:31 schreef Zwansen het volgende:
Volgens mij is dat toch vrij lucratief? Volgens mij hoorde ik iemand laatst nog over een beloning van 100.000 euro spreken. :

Het is maar wat je lucratief noemt. Een persoon die anoniem wenst te blijven heeft (al jaren geleden) een aantal geldprijzen uitgeloofd. Dit geld is in bewaring gegeven aan de Electronic Frontier Foundation, die het prijzengeld ook zal uitkeren, zie hier.

De kans dat jij met je PC-tje door deelname aan het GIMPS project een nieuw priemgetal (met meer dan 10 miljoen cijfers) zult vinden en dus die 100.000 dollar (niet euro) zult kunnen incasseren is echter uitermate klein, temeer omdat er een aantal grote instituten deelnemen die dag en nacht een groot aantal PCs laten rekenen. Als het je om het geld te doen is kun je beter een lot kopen in een loterij.

Bij het verkennen van de zogenaamde "twin primes", priemgetallen die slechts 2 van elkaar veschillen zoals 17,19 of 41,43, vond ik een opvallend verband. Wellicht is er een hele logische verklaring voor, maar mijn wiskundige kennis is te beperkt om dit volledig te doorgronden.

Mijn vermoeden is dat alle "twin primes" evenredig rondom een kwadraat gedistribueerd zijn. Neem bijvoorbeeld:
* 5,7 en 11,13 (kwadraat van 3, afstand 2)
* 29,31 en 41,43 (kwadraat van 6, afstand 5)
* 59,61 en 101,103 (kwadraat van 9, afstand 20)
* 17,19 en 269, 271 (kwadraat 12, afstand 125)

Ik heb dit in Excel empirisch getest (enkel voor kwadraten deelbaar door 3) tot ca het 5000ste priemgetal en het blijkt te kloppen.

Paar opmerkingen:
* Er kunnen meerdere "twin prime" ringen voorkomen rondom elk kwadraat.
* Opvallend is de deelbaarheid door 3 van het kwadraat.
* Daarna natuurlijk gepoogd om te testen of deze distributie wellicht gewoon voor alle priemgetallen geldt en dat blijkt ook te kloppen.
* Ook gekeken of er wellicht een verband zit in de afstanden tot het kwadraat, maar na vele avonden proberen zie ik enkel willekeurige patronen.

Mijn vraag is of hier een logische verklaring voor is. Als het klopt dan zou elk priemgetal aan een "maatje" gekoppeld zijn dat, zich op gelijke afstand aan de andere kant van een kwadraat bevindt. Je weet natuurlijk niet aan welk kwadraat(-en) hij gekoppeld is, maar de kans om een nieuwe priem te vinden kan je wellicht zo vergroten.

Je kunt dit mooi laten zien door cirkels rondom het kwadraat te plotten. Heb zelfs gepoogd om de snijpunten van deze cirkels te berekenen in de hoop dat dit een nieuw priemgetal zou opleveren, maar ben vastgelopen in de benodigde wiskunde.

Wie heeft er een wiskundige verklaring ?

post eens zo'n getal

quote:

Op maandag 25 september 2006 22:53 schreef Agno_Sticus het volgende:
Bij het verkennen van de zogenaamde "twin primes", priemgetallen die slechts 2 van elkaar veschillen zoals 17,19 of 41,43, vond ik een opvallend verband. Wellicht is er een hele logische verklaring voor, maar mijn wiskundige kennis is te beperkt om dit volledig te doorgronden.

Mijn vermoeden is dat alle "twin primes" evenredig rondom een kwadraat gedistribueerd zijn. Neem bijvoorbeeld:
* 5,7 en 11,13 (kwadraat van 3, afstand 2)
* 29,31 en 41,43 (kwadraat van 6, afstand 5)
* 59,61 en 101,103 (kwadraat van 9, afstand 20)
* 17,19 en 269, 271 (kwadraat 12, afstand 125)

Ik heb dit in Excel empirisch getest (enkel voor kwadraten deelbaar door 3) tot ca het 5000ste priemgetal en het blijkt te kloppen.

Paar opmerkingen:
* Er kunnen meerdere "twin prime" ringen voorkomen rondom elk kwadraat.
* Opvallend is de deelbaarheid door 3 van het kwadraat.
* Daarna natuurlijk gepoogd om te testen of deze distributie wellicht gewoon voor alle priemgetallen geldt en dat blijkt ook te kloppen.
* Ook gekeken of er wellicht een verband zit in de afstanden tot het kwadraat, maar na vele avonden proberen zie ik enkel willekeurige patronen.

Ik denk niet dat je iets bijzonders op het spoor bent. Zoals thabit hierboven al bewijst moet het kwadraat een drievoud zijn, dus dat is niet opmerkelijk. Uit het feit dat je geen patroon ziet in de afstanden tot het kwadraat blijkt dat je geen wetmatigheid hebt ontdekt. Je zou je hypothese verder kunnen testen door een eenvoudig computerprogramma te schrijven dat voor elk kwadraat van een drievoud op zoek gaat naar twee stel twin primes op gelijke afstanden en het programma laat stoppen zodra er een kwadraat van een drievoud is waarbij er geen twee stel twin primes op gelijke afstanden zijn. Is op zich een leuke programmeeropdracht lijkt me.

Ik vraag me af, aangezien we zelf het getalsysteem hebben bedacht... Is het niet meer dan logisch dat er een imperfectie inzit in de vorm van een chaotische verdeling? Moet het hele getallenstelsel niet op de schop? Ik noem maar een radicaal ideetje

quote:

Op maandag 25 september 2006 23:46 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik denk niet dat je iets bijzonders op het spoor bent. Zoals thabit hierboven al bewijst moet het kwadraat een drievoud zijn, dus dat is niet opmerkelijk. Uit het feit dat je geen patroon ziet in de afstanden tot het kwadraat blijkt dat je geen wetmatigheid hebt ontdekt. Je zou je hypothese verder kunnen testen door een eenvoudig computerprogramma te schrijven dat voor elk kwadraat van een drievoud op zoek gaat naar twee stel twin primes op gelijke afstanden en het programma laat stoppen zodra er een kwadraat van een drievoud is waarbij er geen twee stel twin primes op gelijke afstanden zijn. Is op zich een leuke programmeeropdracht lijkt me.

Dank voor jullie reactie, Riparius en Thabit.

Inderdaad een hele leuke programmeeropdracht!

Wie vindt er het eerste kwadraat van een drievoud, waar op gelijke afstanden geen twee sets van "twin primes" omheen liggen? Volgende test is om hetzelfde uit te voeren, maar dan met gewone priemgetallen.

P.S.
De reden waarom ik niet in hogere getallen gezocht heb is omdat ik in mijn "spelen met priemgetallen".xls spreadsheet geen priemalgoritme heb geprogrammeerd, maar voor de snelheid van VBA simpelweg de eerste 10000 priemgetallen in twee begrensde arrays heb opgeslagen: eentje in de vorm P(priem) = 1 en eentje als P (n) = n-e priemgetal.

[ Bericht 1% gewijzigd door Agno_Sticus op 26-09-2006 11:47:43 ]

quote:

Op dinsdag 26 september 2006 00:09 schreef Agno_Sticus het volgende:

[..]

Dank voor jullie reactie, Riparius en Thabit.

Inderdaad een hele leuke programmeeropdracht!

Ik heb de daad maar even bij het woord gevoegd en zelf een programma geschreven om de dichtstbijzijnde priemtweelingen op gelijke afstanden van kwadraten op te sporen. Geen hoogstandje van programmeerkunst, maar het doet wat het moet doen, en snel.

quote:

Wie vindt er het eerste kwadraat van een drievoud, waar op gelijke afstanden geen twee sets van "twin primes" omheen liggen? Volgende test is om hetzelfde uit te voeren, maar dan met gewone priemgetallen.

Met mijn programma heb ik alle kwadraten van een drievoud tot aan 1 miljard (!) getest, en het blijkt dat er steeds twee priemtweelingen op gelijke afstanden te vinden zijn.

Sterker nog, bij grote getallen zijn er steeds al twee priemtweelingen op relatief geringe afstand, zodat het er niet naar uitziet dat er een kwadraat van een drievoud bestaat waarbij je geen twee priemtweelingen op gelijke afstand zou kunnen vinden. Eenvoudig gezegd komt het er op neer dat priemtweelingen kennelijk zo dicht gezaaid zijn dat er altijd wel een tweetal op gelijke afstand ligt van een kwadraat.

Enkele resultaten:

De grootste afstand die ik heb gevonden (bij de kwadraten tot 1 miljard) is deze (kwadraat van 26646):

710009316: Twins (709837241,709837243) en (710181389,710181391) Afstand: 172073

We zien hier dat de afstand nog steeds heel gering is in verhouding tot de grootte van het kwadraat zelf, nl. ca. 1/4126.

Verder komen er ook bij zeer grote kwadraten nog steeds priemtweelingen op heel kleine afstanden voor, bijvoorbeeld:

640798596: Twins (640798589,640798591) en (640798601,640798603) Afstand: 5

680114241: Twins (680114231,680114233) en (680114249,680114251) Afstand: 8

quote:

P.S.
De reden waarom ik niet in hogere getallen gezocht heb is omdat ik in mijn "spelen met priemgetallen".xls spreadsheet geen priemalgoritme heb geprogrammeerd, maar voor de snelheid van VBA simpelweg de eerste 10000 priemgetallen in twee begrensde arrays heb opgeslagen: eentje in de vorm P(priem) = 1 en eentje als P (n) = n-e priemgetal.

Tja, een spreadsheet en VBA zijn nu niet direct de aangewezen hulpmiddelen om onderzoek te doen naar (grote) priemgetallen. Ik heb mijn programma geschreven in Borland Pascal, in DOS. Die compiler is inmiddels rijp voor het museum, maar nog steeds onovertroffen voor klusjes als dit (je kon er zelfs 20 jaar geleden op een 8-bits XT al eenvoudig programma's mee schrijven die met 64-bits integers om konden gaan). Als je serieus onderzoek wil gaan doen naar (grote) priemgetallen dan kom je er - naast een solide wiskundekennis natuurlijk - nauwelijks om heen om te leren programmeren in een 'echte' programmeertaal. Als je dat niet wilt of niet kunt, dan zou je eens moeten kijken naar programma's als Maple, Mathematica of Matlab.

Ja, en voor iedereen die nu nieuwsgierig is geworden naar mijn programmaatje, dat kun je hier downloaden, inclusief broncode en een door het programma gegenereerde lijst van priemtweelingen op gelijke afstanden van kwadraten van drievouden tot 1 miljard. Het is, zoals gezegd, een DOS programma, maar het loopt ook gewoon onder XP.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 26-09-2006 18:52:35 ]

quote:

Op dinsdag 26 september 2006 19:31 schreef thabit het volgende:
Test het nu eens met gewone getallen ipv kwadraten. Welke daarvan voldoen experimenteel aan het criterium?

Formuleer eens wat preciezer wat je bedoelt met "voldoen experimenteel aan het criterium".

quote:

Op dinsdag 26 september 2006 18:34 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik heb de daad maar even bij het woord gevoegd en zelf een programma geschreven om de dichtstbijzijnde priemtweelingen op gelijke afstanden van kwadraten op te sporen. Geen hoogstandje van programmeerkunst, maar het doet wat het moet doen, en snel.
[..]

Met mijn programma heb ik alle kwadraten van een drievoud tot aan 1 miljard (!) getest, en het blijkt dat er steeds twee priemtweelingen op gelijke afstanden te vinden zijn.

Sterker nog, bij grote getallen zijn er steeds al twee priemtweelingen op relatief geringe afstand, zodat het er niet naar uitziet dat er een kwadraat van een drievoud bestaat waarbij je geen twee priemtweelingen op gelijke afstand zou kunnen vinden. Eenvoudig gezegd komt het er op neer dat priemtweelingen kennelijk zo dicht gezaaid zijn dat er altijd wel een tweetal op gelijke afstand ligt van een kwadraat.

Enkele resultaten:

De grootste afstand die ik heb gevonden (bij de kwadraten tot 1 miljard) is deze (kwadraat van 26646):

710009316: Twins (709837241,709837243) en (710181389,710181391) Afstand: 172073

We zien hier dat de afstand nog steeds heel gering is in verhouding tot de grootte van het kwadraat zelf, nl. ca. 1/4126.

Verder komen er ook bij zeer grote kwadraten nog steeds priemtweelingen op heel kleine afstanden voor, bijvoorbeeld:

640798596: Twins (640798589,640798591) en (640798601,640798603) Afstand: 5

680114241: Twins (680114231,680114233) en (680114249,680114251) Afstand: 8
[..]

Tja, een spreadsheet en VBA zijn nu niet direct de aangewezen hulpmiddelen om onderzoek te doen naar (grote) priemgetallen. Ik heb mijn programma geschreven in Borland Pascal, in DOS. Die compiler is inmiddels rijp voor het museum, maar nog steeds onovertroffen voor klusjes als dit (je kon er zelfs 20 jaar geleden op een 8-bits XT al eenvoudig programma's mee schrijven die met 64-bits integers om konden gaan). Als je serieus onderzoek wil gaan doen naar (grote) priemgetallen dan kom je er - naast een solide wiskundekennis natuurlijk - nauwelijks om heen om te leren programmeren in een 'echte' programmeertaal. Als je dat niet wilt of niet kunt, dan zou je eens moeten kijken naar programma's als Maple, Mathematica of Matlab.

Ja, en voor iedereen die nu nieuwsgierig is geworden naar mijn programmaatje, dat kun je hier downloaden, inclusief broncode en een door het programma gegenereerde lijst van priemtweelingen op gelijke afstanden van kwadraten van drievouden tot 1 miljard. Het is, zoals gezegd, een DOS programma, maar het loopt ook gewoon onder XP.

Indrukwekkend Riparius. Zeker de snelheid van zowel algoritme als het programmeren ervan.

Nou nog een verband in de afstanden vinden... Ik heb zitten denken aan ketens van tweelingpriemgetallen. Uit mijn eerste grafische plots bleek namelijk dat tweelingen vaak zowel de "bovenkant" als de "onderkant" van lagere/hogere kwadraten zijn. Wellicht begint daar het patroon. Het viel me bijvoorbeeld op dat het paar 17,19 pas "opgepikt" wordt door het kwadraat van 12. Dat zou dan bijv. het begin van een nieuwe tweeling-keten moeten zijn.

Dan heb ik nog een hypothese (die je waarschijnlijk eenvoudig kan testen door jouw programma iets te wijzigen):

De kwadraten van alle gehele getallen > 1 zijn omringd door minstens 1 equidistant priemgetallenpaar.

Ben heel erg benieuwd !

P.S.
Heb vanavond ff getest voor de range 2 - 10000 (dus het kwadraat tot 100.000.000) en tot daar klopt het!

[ Bericht 1% gewijzigd door Agno_Sticus op 27-09-2006 00:00:35 ]

quote:

Op dinsdag 26 september 2006 22:26 schreef Agno_Sticus het volgende:

[..]

Indrukwekkend Thabit. Zeker de snelheid van zowel algoritme als het programmeren ervan.

Lees je eigen quote nog eens goed door ...

quote:

Nou nog een verband in de afstanden vinden... Ik heb zitten denken aan ketens van tweelingpriemgetallen. Uit mijn eerste grafische plots bleek namelijk dat tweelingen vaak zowel de "bovenkant" als de "onderkant" van lagere/hogere kwadraten zijn. Wellicht begint daar het patroon. Het viel me bijvoorbeeld op dat het paar 17,19 pas "opgepikt" wordt door het kwadraat van 12. Dat zou dan bijv. het begin van een nieuwe tweeling-keten moeten zijn.

Ik begrijp niet precies wat je hier bedoelt. Dat moet je toch eens beter proberen uit te leggen.

quote:

Dan heb ik nog een hypothese (die je waarschijnlijk eenvoudig kan testen door jouw programma iets te wijzigen):

De kwadraten van alle gehele getallen > 1 zijn omringd door minstens 1 equidistant priemgetallenpaar.

Nee. Deze hypothese is heel gemakkelijk te weerleggen.Thabit heeft dat in feite al gedaan, maar ik zal het nog een keer eenvoudig proberen uit te leggen.

Stel we hebben een getal N en hierbij een equidistant paar priemtweelingen op een afstand k. Dan hebben we dus de priemtweelingen (N-k-2, N-k) en (N+k, N+k+2).

Stel nu dat N geen drievoud is, dan is de rest bij deling van N door 3 gelijk aan 1 of gelijk aan 2. We bekijken nu eerst de situatie dat de rest bij deling van N door 3 gelijk is aan 1.

In dit geval mag de rest van k bij deling door 3 niet gelijk zijn aan 2, want dan zou N+k een drievoud zijn (de som van de resten 1+2 =3), en dus zou N+k niet priem zijn. Maar de rest van k bij deling door mag ook niet gelijk zijn aan 1, want in dat geval zou N-k een drievoud zijn (het verschil van de resten is 1-1 = 0), en dus zou N-k niet priem zijn. Blijft dus alleen de mogelijkheid over dat k een drievoud is, maar dan is N+k+2 = (N+2) + k de som van twee drievouden, en daarmee zelf ook een drievoud, en dus niet priem. Conclusie: er is geen enkele mogelijkheid dat (N-k-2, N-k) en (N+k, N+k+2) twee priemtweelingen zijn als de rest bij deling van N door 3 gelijk is aan 1.

Bekijken we nu de situatie dat de rest bij deling van N door 3 gelijk is aan 2. In dit geval mag de rest bij deling van k door 3 niet gelijk zijn aan 1, want dan zou N+k een drievoud zijn (som van de resten 2+1 = 3) en dus zou N+k niet priem zijn. Maar de rest bij deling van k door 3 mag ook niet gelijk zijn aan 2, want dan zou N-k weer een drievoud zijn (verschil van de resten 2-2 = 0) en dus zou N-k niet priem zijn. Blijft over de mogelijkheid dat k een drievoud is, maar dan is N-k-2 = (N-2) - k het verschil van twee drievouden, en daarmee zelf ook een drievoud, en dus niet priem. Conclusie: er is geen enkele mogelijkheid dat (N-k-2, N-k) en (N+k, N+k+2) twee priemtweelingen zijn als de rest bij deling van N door 3 gelijk is aan 2.

Uit het voorafgaande volgt dat (N-k-2, N-k) en (N+k, N+k+2) uitsluitend twee equidistante priemtweelingen kunnen zijn als N een drievoud is, en daarmee is je hypothese weerlegd.

We hoeven dus alleen bij drievouden op zoek te gaan naar equidistante priemtweelingen. Het is meteen duidelijk dat er voor N=3 en N=6 geen equidistant paar priemtweelingen is, want de kleinste priemtweeling is (3,5) terwijl (7,9) geen priemtweeling is. Voor N=9 hebben we wel een equidistant paar priemtweelingen, namelijk (5,7) en (11,13).

De vraag rijst nu of er voor alle grotere drievouden ook een equidistant
paar priemtweelingen is. Om dit te onderzoeken heb ik mijn programma aangepast om niet slechts alle kwadraten van een drievoud maar alle drievouden zelf te testen en dit levert een zeer verrassend resultaat op.

Het blijkt dat er voor N = 48, 198, 201, 258, 348, 393, 453, 558, 573, 633, 678, 1623 en 2103 geen equidistant paar priemtweelingen is, maar ... dan lijkt het op te houden! Ik heb inmiddels alle drievouden tot 1 miljoen (!) getest, echter zonder nog een verder drievoud te vinden waarbij er geen equidistant paar priemtweelingen is.

De grote vraag is nu: is er een drievoud groter dan 2103 waarbij er geen equidistant paar priemtweelingen is?

Mijn programma is in staat veel grotere drievouden dan 999999 te testen, alleen gaat dit erg lang duren, vandaar dat ik dit niet heb gedaan. Het programma werkt met 32-bits signed integers, en kan dus overweg met getallen tot 2³¹ - 1 = 2147483647 (overigens een priemgetal van Mersenne!).

Om de snelheid van het programma nog wat te verhogen heb ik het algoritme waarmee het priem zijn van een getal wordt getest verbeterd. In eerste instantie testte ik gewoon op deelbaarheid door alle oneven getallen tot aan de vierkantswortel van het te testen getal, maar dat is niet echt efficient. Als een getal bijvoorbeeld niet deelbaar is door 3, dan hoef je niet meer te testen of het misschien deelbaar is door 9. Het is voldoende om te testen op deelbaarheid door priemfactoren. Om dit te realiseren bouwt het programma nu eerst een interne tabel op met alle priemgetallen tot 10⁵. Aangezien je niet verder hoeft te gaan dan de vierkantswortel uit het getal in kwestie is deze lijst voldoende om getallen tot 10¹⁰ op priem zijn te testen.

quote:

Ben heel erg benieuwd !

Ik zou zeggen download hier de nieuwe versie van mijn programma, inclusief een lijst met de dichtstbijzijnde equidistante paren priemtweelingen voor alle drievouden tot 1 miljoen.

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 27-09-2006 02:30:08 ]