-1x-1=1

Hoe zit dat eigenlijk met imaginaire getallen?
-wortel 1 = immers i
maar een negatieve in een wortel kan niet, maar kan toch weer wel.
Want i x i = -1
Naja, ik was niet al te best in complexe getallen op de middelbare school

Een negatieve wortel kan niet binnen de reele getallen, zodra je imaginaire getallen erbij betrekt dan is een imaginair getal de wortel van een negatief getal. En dan kun je uiteraard wel worteltrekken met negatieve getallen...

quote:

Op donderdag 9 maart 2006 13:24 schreef 14.gif het volgende:
Een negatieve wortel kan niet binnen de reele getallen, zodra je imaginaire getallen erbij betrekt dan is een imaginair getal de wortel van een negatief getal. En dan kun je uiteraard wel worteltrekken met negatieve getallen...

Mja maar je moet toch gewoon over altijd rekening mee houden? Dus ook imaginaire getallen als andere mogelijkheid niet kan. Anders is het wel erg makkelijk naar 1 kant te schuiven.

quote:

Op donderdag 9 maart 2006 13:14 schreef sitting_elfling het volgende:
Hoe zit dat eigenlijk met imaginaire getallen?
-wortel 1 = immers i
maar een negatieve in een wortel kan niet, maar kan toch weer wel.
Want i x i = -1
Naja, ik was niet al te best in complexe getallen op de middelbare school

Stel dat je een getallensysteem op gaat stellen. Je begint bij de gehele getallen, want die kun je je voorstellen: je hebt bv 1 appel, 2 appels etc. Nou kun je 1 zo'n appel ook opsplitsen, dus zo krijg je de breuken; 1/2, 1/3 etc. Daarna kun je nog negatieve getallen invoeren, door te stellen dat als je 5 appels bij -3 appels optelt, dat hetzelfde is als 3 appels van 5 af te trekken. Dan heb je al een aardig stelsel te pakken. Als laatste wil je nog een nul-element invoeren; je kunt ook geen appels hebben. Een aantal appels plus 0 is dan weer gelijk aan een aantal appels.

Maar nu komt de stelling van pythagoras; die stelt dat voor een rechthoekige driehoek de som van de kwadraten van de 2 kleine zijden gelijk is aan het kwadraat van de schuine, langste zijde. Neem nou es een driehoek met kleine zijden 1. Dan is de schuine zijde wortel2. Dan verwacht je binnen je stelsel, dat dit getal is te schrijven als een breuk. Maar je kunt heel makkelijk aantonen, met een bewijs uit het ongerijmde, dat je dat niet gaat lukken : wortel 2 is niet te schrijven als een breuk, maar is een zogenaamd irrationeel getal. Wat doe je nu? Stellen dat wortel 2 niet bestaat, of je getallensysteem uitbreiden met irrationele getallen?

Zelfde voor complexe getallen; je komt een vergelijking als x²+1=0 tegen. Dan kun je 2 dingen doen: je getallenstelsel uitbreiden zodat je een oplossing kunt vinden voor dit probleem, of stellen dat de oplossing simpelweg niet bestaat. Als je nou die oplossingen meetelt in je stelsel, dan krijg je complexe getallen. Die schijnbaar simpele uitbreiding legt een hele nieuwe structuur aan.

quote:

Op donderdag 9 maart 2006 13:49 schreef sitting_elfling het volgende:

[..]

Mja maar je moet toch gewoon over altijd rekening mee houden? Dus ook imaginaire getallen als andere mogelijkheid niet kan. Anders is het wel erg makkelijk naar 1 kant te schuiven.

Nou ja, je kunt je afvragen of een complex getal nou zoveel raarder is als een breuk, of een irrationeel getal.

Irrationaal getal

quote:

Op donderdag 9 maart 2006 13:50 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Stel dat je een getallensysteem op gaat stellen. Je begint bij de gehele getallen, want die kun je je voorstellen: je hebt bv 1 appel, 2 appels etc. Nou kun je 1 zo'n appel ook opsplitsen, dus zo krijg je de breuken; 1/2, 1/3 etc. Daarna kun je nog negatieve getallen invoeren, door te stellen dat als je 5 appels bij -3 appels optelt, dat hetzelfde is als 3 appels van 5 af te trekken. Dan heb je al een aardig stelsel te pakken. Als laatste wil je nog een nul-element invoeren; je kunt ook geen appels hebben. Een aantal appels plus 0 is dan weer gelijk aan een aantal appels.

Maar nu komt de stelling van pythagoras; die stelt dat voor een rechthoekige driehoek de som van de kwadraten van de 2 kleine zijden gelijk is aan het kwadraat van de schuine, langste zijde. Neem nou es een driehoek met kleine zijden 1. Dan is de schuine zijde wortel2. Dan verwacht je binnen je stelsel, dat dit getal is te schrijven als een breuk. Maar je kunt heel makkelijk aantonen, met een bewijs uit het ongerijmde, dat je dat niet gaat lukken : wortel 2 is niet te schrijven als een breuk, maar is een zogenaamd irrationeel getal. Wat doe je nu? Stellen dat wortel 2 niet bestaat, of je getallensysteem uitbreiden met irrationele getallen?

Zelfde voor complexe getallen; je komt een vergelijking als x²+1=0 tegen. Dan kun je 2 dingen doen: je getallenstelsel uitbreiden zodat je een oplossing kunt vinden voor dit probleem, of stellen dat de oplossing simpelweg niet bestaat. Als je nou die oplossingen meetelt in je stelsel, dan krijg je complexe getallen. Die schijnbaar simpele uitbreiding legt een hele nieuwe structuur aan.

Dat klopt, netjes uitgelegd. Mijn wiskunde leraar op de middelbare school zei altijd, het nieuwe stelsel bracht zo veel nieuwe mogelijkheden met zich mee, je kunt immers rekenen met dingen waar je eerst niet mee kon rekenen. Wees hij altijd naar de rekemachien . Sja complexe getallen, leuk stukje wiskunde op de middelbare school, zoals de formule van cardano of normale vergelijking zoals z⁴ + 9z² = 0, van die kleine dingetjes. Maja, blijft leuk al is het wel weer middelbaar schoolwerk Goede oude tijd

Okay, i^2 = -1, maar wat^2 = -i?

(+/-)(-wortel(2) + wortel(2)i)/2.

quote:

Op donderdag 9 maart 2006 17:00 schreef thabit het volgende:
(+/-)(-wortel(2) + wortel(2)i)/2.

Daar komt -1 resp. 1 uit?

quote:

Op donderdag 9 maart 2006 16:30 schreef Nekto het volgende:
Okay, i^2 = -1, maar wat^2 = -i?

0.5wortel(2)+0.5wortel(2)i volgens mij

quote:

Op donderdag 9 maart 2006 17:15 schreef freiss het volgende:

[..]

0.5wortel(2)+0.5wortel(2)i volgens mij

^o)

Wat is er mis met Sqrt(-i) ?

quote:

Op donderdag 9 maart 2006 19:30 schreef trancethrust het volgende:

[..]

^o)

Wat is er mis met Sqrt(-i) ?

Oh '-i' . Ik dacht van 'i'. Lees dan maar ipv de plus een min.

Nou heb ik koppijn

quote:

Op donderdag 9 maart 2006 19:30 schreef trancethrust het volgende:

[..]

^o)

Wat is er mis met Sqrt(-i) ?

Heel wat. Er is namelijk geen wortelfunctie gedefineerd op de complexe getallen, omdat deze twee waarden zou moeten aannemen en het niet mogelijk is om een keuze zodanig te maken dat deze functie continu is. Dus wortels uit complexe getallen gaan we niet zo opschrijven, tenzij je duidelijk aangeeft welke van de twee wortels je bedoelt.

Gelukkig snap ik niet meer waar het over gaat

Toch vind ik Quaternionen mooier. i² = j² = k² = ijk = -1 . Niet commutatief, maar goed.

1 = -1
immers,
1 = sqrt(1*1) = sqrt( (-1)^2*1) = sqrt(i^2 * i^2)*sqrt(1) = sqrt(i^2)*sqrt(i^2) = i*i = -1

quote:

Op vrijdag 10 maart 2006 21:08 schreef -Pepe- het volgende:
1 = -1
immers,
1 = sqrt(1*1) = sqrt( (-1)^2*1) = sqrt(i^2 * i^2)*sqrt(1) = sqrt(i^2)*sqrt(i^2) = i*i = -1

Oke, bedankt

quote:

Op vrijdag 10 maart 2006 21:08 schreef -Pepe- het volgende:
1 = -1
immers,
1 = sqrt(1*1) = sqrt( (-1)^2*1) = sqrt(i^2 * i^2)*sqrt(1) = sqrt(i^2)*sqrt(i^2) = i*i = -1

En dan vergeten we voor het gemak dat er uit sqrt(1) naast 1 ook -1 uit kan komen?

Inmiddels staan er twee vragen, namelijk waarom is -1 x -1 1 en wat is i? Verder zag ik een aantal mensen die dit probeerden op 'de basisschoolmanier' (nofi) met knikkers en Appels uit te reken, maar -1 of i laat zich niet makkelijk in appels uitdrukken. Ik heb ooit eens van een wiskunde docent een voor mij acceptable uitleg gehad (geen bewijs, sorry), heb dit later voor een universitair vak in een website gebruikt en probeer jullie nu hetzelfde te vertellen. Komt ie:

Het hele verhaal begint met een uitleg over waarom knikkers niet de beste rekeneenheid zijn. Dat moge inmiddels duidelijk zijn. Daarom gaan we nu kijken naar de getallenlijn:

Hierop liggen alle getallen, de lijn gaat alle kanten op oneindig door. Getallen kun je nu eenvoudig weergeven als vectoren, met als oorsprong '0'. 2 is dan de rode pijl, 3 de blauwe.

2 + 3 krijg je door beide vectoren op te tellen. Eenvoudige meetkunde.

Het werkt ook voor 2 - 5:

2 - 5 = 2 + -5 = -3

Tussendoor: hier zie je al een verschil tussen vectoren, naast een lengte hebben ze namelijk ook een richting. Hierover later meer.

Eerst gaan we vermenigvuldigen:

Dit kun je als volgt zien: pak precies [het eerste getal] pijlen van [het tweede getal] aan lengte. Oftewel: vermenigvuldig de lengtes van de pijlen alsof het knikkers, of appels, zijn.

3 x 2 = 6

Nu komen we weer terug op de lengte. Zoals ik eerder al zei zijn we met vectoren en meetkunde bezig. Wat is het verschil tussen 2 en -2? Een hoek, van 180 graden.


Dus hoe vermenigvuldig je twee vectoren? Vermenigvuldig de lengtes van de vectoren, en tel de hoeken bij elkaar op. Ook dit is weer gewoon meetkunde, namelijk de meetkundige manier van vectoren vermenigvuldigen.

2 x 2 = 4, maar ook: -2 x -2 = 4

En, op dezelfde manier, -1 x -1 = 1. Een vector met een hoek van 180 graden vermenigvuldigen met een vector met een hoek van 180 graden levert een hoek van 360 graden op. En 360 graden is meetkundig gelijk aan 0.

Gaan we verder naar i en de complexe getallen. We zoeken de wortel uit -1. We zoeken dus een vector die vermenigvuldigd met zichzelf lengte 1 heeft en een hoek van 180 graden krijgt. Dat is dus een vector met een lengte van 1 en een hoek van 90 graden:

Inderdaad, dat getal ligt niet op de getallenlijn maar erboven. Ik zei toch al dat de lijn ALLE kanten op doorliep? Er liggen ook getallen boven en onder die lijn. We hebben er zojuist een ontdekt, en we noemen hem 'i'. i en zijn moeder rusten tussen 12 en 15 uur, bezoek welkom buiten die tijden.

De uitleg loopt nog door, maar -1 en i zijn hiermee gevisualiseerd

Mocht je bij bovenstaand verhaal een beetje in de war raken, probeer het dan nog eens te lezen met onderscheid tussen het getal 1 (rekenkundig) en de waarde 1 (meetkundig). De meetkundige '1' is de lengte van een vector, en kan nooit negatief zijn. De rekenkundige '1' is waar je mee wilt reken, de uitkomst van -1 x -1 waar we naar op zoek waren.

Ik hoop dat dit een beetje helpt met visualiseren

Nog even aanvullend hierop: bij middelbare school-wiskunde hoor je altijd dat een kwadratische vergelijking 0, 1, of 2 oplossingen kan hebben. Dit is niet waar. Een kwadratische vergelijking heeft ALTIJD 2 oplossingen. Ze liggen alleen niet allemaal op de getallenlijn

Zo heeft een derdegraads vergelijking altijd drie oplossingen, een vierdegraads vier, enzovoorts

quote:

En dan vergeten we voor het gemak dat er uit sqrt(1) naast 1 ook -1 uit kan komen?

dat is ook een oplossing, maar neemt niet weg dat 1 ook een oplossing is..
Maar het zit m wel in deze redenering ja..dat je nu dus niet willekeurig een oplossing mag kiezen

[ Bericht 36% gewijzigd door -Pepe- op 10-03-2006 22:05:20 ]

quote:

Op vrijdag 10 maart 2006 21:54 schreef De_Hertog het volgende:
Nog even aanvullend hierop: bij middelbare school-wiskunde hoor je altijd dat een kwadratische vergelijking 0, 1, of 2 oplossingen kan hebben. Dit is niet waar. Een kwadratische vergelijking heeft ALTIJD 2 oplossingen. Ze liggen alleen niet allemaal op de getallenlijn

Zo heeft een derdegraads vergelijking altijd drie oplossingen, een vierdegraads vier, enzovoorts

Maar met 'oplossing' wordt snijpunt met de x-as bedoelt, dus kunnen er prima 0 zijn, of 1, of idd 2... Anders moet je 'oplossing' anders definieren

quote:

Op vrijdag 10 maart 2006 21:56 schreef -Pepe- het volgende:

[..]

dat is ook een oplossing, maar neemt niet weg dat 1 ook een oplossing is..

Wiskune klopt gewoon niet, -1 = 1?