2 lijnen snijden elkaar n het oneindige

Erg mooi. Thnx.

http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/gr/lectures.shtml

quote:

Op maandag 30 mei 2005 10:14 schreef McCarthy het volgende:
In de brugklas vertelde ze altijd dat 2 verschillende lijnen in het platte vlak die evenwijdig liepen melkaar in het oneindige snijden. Dat heb ik altijd maar raar gevonden. De ene kant op snap ik nog wel, als het snijpunt in het oneindige ligt (hoe dat gedefinieert is vegen we dan even onder tafel) dan lopen ze evenwijdig ja, maar de andere kant op heb ik altijd maar raar gevonden, als 2 lijnen evenwijdig lopen snijden ze melkaar niet. Punt. Dus ook niet in het oneindige.

dat zeggen ze gewoon omdat je niet door kunt gaan tot het oneindige, dat is immers oneindig, en daarom kan men nooit zeker weten dat ze nooit snijden. (wie heeft ooit 2 evenwijdige lijnen doorgetrokken tot oneindig ver? neimand want dat kán niet)

kortom, 2 evenwijdige lijnen snijden gewoon niet lijkt me

Een klein beetje wiskundige volledige inductie lost dit ook op: op punt x snijden ze niet. Op 1 meter verder liggen ze even ver van elkaar af, en snijden nog steeds niet. Dit kan je oneindig herhalen.

De definitie van evenwijdigheid van lijnen in het vlak is dat ze elkaar niet snijden. Hop.

quote:

Op zondag 5 juni 2005 21:05 schreef thabit het volgende:
De definitie van evenwijdigheid van lijnen in het vlak is dat ze elkaar niet snijden. Hop.

Dan zou een lijn niet evenwijdig zijn aan zichzelf.

Eén woord: Axioma

Iets wat je aanneemt dus. Euclides zei: "Ik denk dat evenwijdige lijnen elkaar nooit snijden." Dat kan je echt onmogelijk bewijzen. Maar Euclides ging er vanuit dat dat zo was en baseerde daarop de rest van zijn meetkundig onderzoek.
Het axioma van Euclides zegt dus: evenwijdige lijnen snijden elkaar nooit. Ofwel: evenwijdige lijnen hebben geen of meer dan één punten gemeen.

Op zekere dag was er iemand anders (weet niet precies wie) en die zei: "nou, evenwijdige lijnen snijden wel, in oneindig meerbepaald." Die man had dus een eigen axioma. Geen enkel van de twee is juister dan het andere, geen enkel van de twee is te bewijzen. Je kan gewoon de meetkunde op twee manieren bekijken, en als je aanneemt dat evenwijdige lijnen snijden in oneindig, dan blijkt dat je allerlei leuke dingen kan doen in verband met kegelsnedes, projecties en dergelijke meer.
Om daar nou 3 pagina's topic aan te wijten...

quote:

Op zondag 5 juni 2005 23:34 schreef ijsklont het volgende:

[..]

Dan zou een lijn niet evenwijdig zijn aan zichzelf.

Jouw vermogen om conclusies te trekken stelt me bij deze allerminst teleur.

Het lijkt me natuurlijk om te veronderstellen dat evenwijdige lijnen een equivalentierelatie vormen. Mijn definitie zou dan ook zijn: twee lijnen (in het vlak) zijn evenwijdig als ze elkaar nergens snijden of beide lijnen alle punten gemeenschappelijk hebben.

quote:

Op maandag 6 juni 2005 01:25 schreef JackyVie het volgende:
Eén woord: Axioma

Iets wat je aanneemt dus. Euclides zei: "Ik denk dat evenwijdige lijnen elkaar nooit snijden." Dat kan je echt onmogelijk bewijzen. Maar Euclides ging er vanuit dat dat zo was en baseerde daarop de rest van zijn meetkundig onderzoek.
Het axioma van Euclides zegt dus: evenwijdige lijnen snijden elkaar nooit. Ofwel: evenwijdige lijnen hebben geen of meer dan één punten gemeen.

Op zekere dag was er iemand anders (weet niet precies wie) en die zei: "nou, evenwijdige lijnen snijden wel, in oneindig meerbepaald." Die man had dus een eigen axioma. Geen enkel van de twee is juister dan het andere, geen enkel van de twee is te bewijzen. Je kan gewoon de meetkunde op twee manieren bekijken, en als je aanneemt dat evenwijdige lijnen snijden in oneindig, dan blijkt dat je allerlei leuke dingen kan doen in verband met kegelsnedes, projecties en dergelijke meer.
Om daar nou 3 pagina's topic aan te wijten...

Dit is toch weer een beetje een klokklepelverhaal. Euclides ging ervan uit dat voor elke lijn l en elk punt P niet op l gelegen precies 1 lijn m bestaat door P evenwijdig aan l. Hij kon dit niet bewijzen dus stelde dit als axioma. Later zijn er meetkunden gevonden die aan alle axioma's van Euclides voldeden, behalve deze. In de hyperbolische meetkunde zijn er oneindig veel lijnen m die aan die voorwaarde voldoen.

quote:

Op maandag 6 juni 2005 11:52 schreef ijsklont het volgende:
Het lijkt me natuurlijk om te veronderstellen dat evenwijdige lijnen een equivalentierelatie vormen.

Mij niet.

Kijk, dat zo'n relatie symmetrisch moet zijn, is misschien wel natuurlijk, maar waarom zou ze reflexief of transitief moeten zijn?

quote:

Op maandag 6 juni 2005 11:57 schreef thabit het volgende:
Kijk, dat zo'n relatie symmetrisch moet zijn, is misschien wel natuurlijk, maar waarom zou ze reflexief of transitief moeten zijn?

Waarom niet? Misschien dat dat zich niet laat generaliseren naar de niet-euclidische meetkunde? Daar weet ik maar weinig van af eigenlijk.

evenwijdige rechten kunnen ook samenvallen, parallelle rechten niet.
Dan is die relatie dus wel degelijk reflexief. En transitiviteit is toch ook heel eenvoudig aan te tonen.

het woord evenwijdig zegt het zelf, de twee rechten liggen even wijd van elkaar. Dus samenvallende rechten mogen ook.

Evenwijdig is een term bedacht door Simon Stevin, geformuleerd vanuit een Euclidisch wereldbeeld. Het is het Nederlandse woord voor parallel. In het hyperbolische vlak is de relatie van evenwijdigheid duidelijk niet transitief.