De kosmologische constante.

In verband met mn korte onderzoek dacht ik dat het wel aardig zou zijn om er een topic over te openen.

Ik doe dus een onderzoekje naar de zogenaamde kosmologische constante, datgene wat Einstein zelf zijn grootste blunder noemde. Om een beetje te begrijpen wat dat ding nou inhoudt, is het handig om de veldvergelijkingen van Einstein erbij te halen. Oftewel: een klein beetje algemene relativiteit. Op een manier dat zelfs iemand met cultuur&maatschappij het kan volgen.

De veldvergelijkingen van Einstein beschrijven dus de zwaartekracht. Ze doet dit aan de hand van wat wiskundigen differentiaalgeometrie noemen. Dat klinkt moeilijk dan het is. Wat Einstein zijn briljante ingeving was, was dat zwaartekracht een gevolg is van de kromming van de ruimte-tijd. Daar had ie een paar goede redenen voor, die ik ff achterwege laat. Om zwaartekracht te beschrijven, moet je dus wiskundig krommingen kunnen formuleren, en dat in 4 dimensies! Daar heb je wat begrippen voor nodig, die de algemene structuur van een oppervlak beschrijven.

De eerste is de metriek, meestal aangeduid met g_ab. Het is een matrix, waarbij a en b de rijen en kolommen aangeven. Het ding heeft dus 4*4=16 componenten, je werkt tenslotte in 4 dimensies. Dit object definieer je om afstanden af te spreken in je ruimte, wat in ons geval dus de ruimte-tijd is. In de gewone 3-dimensionale cartesische ruimte definieer je afstanden als r²=x²+y²+z², en hieruit volgt je metriek voor deze specifieke ruimte. Voor de ruimte-tijd heb je een andere manier om afstanden uit te drukken, namelijk afstanden in de ruimte en tijd. En daarom zal deze metriek anders zijn.

Het volgende begrip is de vector: een vector is iets met een richting en een grootte. Bijvoorbeeld een snelheid, of een versnelling, of een positie. Het blijkt dat je zo’n vector heel handig als volgt kunt definieren op een oppervlak: als raaklijn aan een lijn die over het oppervlak loopt. Zo'n vector is dan eigenlijk de raakvector aan het oppervlak. Nou komt iets subtiels: als je nou 2 vectoren wilt vergelijken op een gekromd oppervlak, heb je een probleem. In een vlakke ruimte hebben ze allemaal dezelfde orientatie, want de kromming is immers overal hetzelfde. Alleen de richting in het vlak zelf is anders. Maar op bijvoorbeeld een bol kun je niet zomaar een vector in het midden van de bol vergelijken met een vector op de noordpool van de bol, want hoe sleep je de ene vector naar de andere toe om te vergelijken? Dat zal afhangen van het gekozen pad waarover je de ene vector naar de andere sleept! Dus wil je een object introduceren wat je vertelt hoe een vector verandert langs zo'n pad op een gekromd oppervlak. Dat doet de zogenaamde Riemanntensor. Het is een soort van 4-dimensionale matrix. Het ding wordt meestal aangeduid met R^a_bcd Hieruit kun je dan een matrix construeren met rijen en kolommen: R_ab. En hieruit kun je dan weer een getal construeren, wat je dan simpelweg R noemt. Al deze objecten hangen nauw samen met de eerder genoemde metriek. Waarom de ene index boven staat en de andere beneden is verder niet zo belangrijk.

Aan de andere kant heb je ook nog een matrix die alle energie en impuls componenten bevat van een bepaald stukje ruimte-tijd. Die noem je T_ab, en heeft dus ook weer 4*4=16 componenten. Deze zal afhangen van het gekozen materiaal; je kunt bijvoorbeeld een vloeistof nemen, of een stof, noem maar op. Nou vond Einstein voor de kromming van de ruimte-tijd dat het volgende geldt:

R_ab- 1/2*R*g_ab=k*T_ab ,

met k een niet zo belangrijke constante.

Het blijkt dat deze vergelijkingen verschrikkelijk moeilijk zijn op te lossen, zelfs in het vacuum waar geldt dat T_ab=0. Dat komt dus omdat alle objecten afhangen van de metriek, en afgeleides van de metriek etc etc. Je krijgt dus een differentiaalvergelijking waar je je toilet mee zou kunnen behangen. Iets wat ikzelf trouwens niet gedaan heb.

Vanaf dit punt werd eigenlijk de kosmologie geboren. De kosmologie doet een paar aannames, maar de belangrijkste is denk ik wel deze: het universum ziet er in alle richtingen hetzelfde uit op grote schaal. Op kleine schaal is dit natuurlijk niet zo, denk maar aan het zonnestelsel. Maar op hele grote schaal gaat dit principe eigenlijk prima op; je hebt een constante verdeling van sterrenstelsels met daartussen in bijna niks. Er is dus ook niet zoiets als een midden van het universum. Hieruit kun je afleiden dat het universum een soort van bolsymmetrie moet bevatten. Als je nou de veldvergelijkingen hiervoor gaat oplossen, kom je erachter dat het heelal dynamisch is: het dijt uit of het krimpt in; het staat in ieder geval niet stil in de tijd. Dat is prima, zou je zeggen. Alleen had Einstein, en veel wetenschappers met hem, het rotsvaste idee dat het heelal statisch was; je zag immers de sterren niet bewegen. Ook kwamen zijn vergelijkingen niet helemaal overeen met wat meneer Mach een aantal decennia voor em had bedacht, en Einstein had groot respect voor Mach. Dus introduceerde Einstein een extra term in zijn veldvergelijkingen, een soort tegenwerkende kracht. Die zou er dan voor moeten zorgen dat het heelal statisch is. Met een beetje gepiel kun je afleiden dat het mogelijk is om een term als A*g_ab erbij te zetten zonder dat je je grondbeginselen aan bagger schiet. Dus je krijgt dan:

R_ab - 1/2*R*g_ab=k*T_ab + A*g_ab ,

met A weer een constante. Die A*g_ab noemde hij de kosmologische term, en A de kosmologische constante.

Einstein was tevreden. Totdat Hubble een aantal jaren later erachter kwam dat bijna alle sterrenstelsels van ons afbewegen. Dit deed hij via zogenaamde blauw en roodverschuiving van het licht. Het heelal was dus helemaal niet statisch! Die kosmologische constante was dus niet helemaal nodig.

Maar het bleek later juist dat de vergelijkingen niet helemaal voldoende waren voor de beschrijving van de uitdijing. Het blijkt dat het heelal sneller uitdijt dan je vergelijkingen willen doen geloven. Dit kun je compenseren door de kosmologische constante er weer bij te pakken, dit keer met tegenovergesteld teken. Maar wat is dat ding nou precies? Je kunt de term opvatten als een soort energie van het vacuum: de vergelijkingen met de term erin zeggen niks anders dat er, zelfs als er geen energie aanwezig is en T _ab=0, dat er dan nog een soort van energiedichtheid aanwezig is in de lege ruimte-tijd. Dit zou je dan kunnen opvatten als de "dark energy" waar de popi jopi blaadjes het de laatste tijd veel over hebben. Het probleem is alleen dat die A, die voor de metriek staat, erg klein moet zijn. Heel erg klein zelfs. Wat zou nou de oorzaak van die vacuum-energie kunnen zijn?

Denk aan vacuum-energie en je denkt aan de quantummechanica en haar befaamde onzekerheidsprincipe. Dit zegt dat er, zelfs in het vacuum, constant deeltjes worden gemaakt en vernietigd. Dat komt, omdat de energie en tijd op erg kleine schaal simpelweg niet allebei nauwkeurig zijn gedefinieerd. Dat ligt niet aan onze meetapparatuur, maar is een fundamentele eigenschap van het universum. Nou kun je daar hele leuke berekeningen mee doen, en kijken of deze vacuumenergie-dichtheid overeen kan komen met de kosmologische constante. En wat blijkt? Die quantumenergie-dichtheid kan tot een factor 10¹²⁰ groter zijn dan de energie-dichtheid die de kosmologische constante beschrijft...en dat is nogal een discrepantie.

Nou ja, als ik nog meer ga typen leest al helemaal niemand meer dit topic, dus ik hou gauw op en hoop dat mensen het interessant vinden waar een beta-nerd zoal de dag mee doorkomt.

[ Bericht 0% gewijzigd door Haushofer op 03-05-2005 09:39:32 ]

quote:

Op maandag 2 mei 2005 22:47 schreef Geartsjuh het volgende:

[..]

Mooi stuk Haus! Klinkt erg interessant en alles is duidelijk beschreven. Ik zit echter met je conclusie:
[..]

Ik zie niet zo waarom het zo opvallend is dat die twee zo ver uit elkaar vandaan liggen. Waarom is dat zo opvallend? Wat voor betekenis hecht je aan dit resultaat?

Gelukkig, mn topic wordt gelezen Dank je wel voor je compliment

Die kosmologische constante zou dus een energie moeten zijn die overal aanwezig is, ook in de lege ruimte. Maar voor kleinschalige metingen heeft die term geen meetbare invloed, dus moet hij erg klein zijn. Op grote schaal kan de term dan nog wel invloed uitoefenen, zodanig dat het overeenkomt met wat je meet: dat het universum versnelt uitdijt.
Nou zegt de Quantummechanica dat er op kleine schaal constant deeltjes worden gemaakt en vernietigt, en dat levert je ook een soort "constant aanwezige energie". Je zou deze 2 dus met elkaar kunnen identificeren. Maar nou blijkt dus dat die quantumenergie vele malen groter is dan de energie die de kosmologische constante naar voren schuift. Dus hoewel die quantumenergie een mooie kans is om die constante te kunnen verklaren, is ze daar veels te groot voor. Je moet het dus in een andere hoek gaan zoeken.

quote:

Op dinsdag 3 mei 2005 07:41 schreef Alicey het volgende:

[..]

Ok, eigenlijk ook een antwoord op mijn vraag.

Het probleem van de kosmologische constante is dus eigenlijk de vraag waarom die nodig is? _{Een vraag die je van de meeste natuurkunde-leraren niet mag stellen.}

Nou ja, het ding is in eerste instantie ingevoerd om uitdijing tegen te gaan ( of de inkrimping; er zijn meerdere oplossingen ) Er was verder geen reden om em in te voeren. En hoewel Einstein de term eerst als een grote fout zag, blijkt nu toch dat het erg moeilijk is om er van af te komen ( sommige wetenschappers zien de term als een soort Raspoetin ) Want zonder die term kun je bepaalde metingen niet verklaren.

Ook is er het idee dat, in het vroege begin van het universum, er een erg versnelde uitdijing was, die later weer afnam. Dit model noemt men het inflatie model, en daarvoor heb je dus een bepaalde kosmologische term voor nodig om het te beschrijven.

quote:

Op dinsdag 3 mei 2005 11:25 schreef Integrity het volgende:
.....

Nou, dat is een heel ander onderwerp, dat gaat meer over de oude kennis van wisundige verhoudingen als pi en de gulden snede. Dit is meer kosmologie

quote:

Op dinsdag 3 mei 2005 11:10 schreef pfaf het volgende:
Erg leuk en duidelijk stukje Haus. Misschien is er naast de uitdijende Kosmologische term ook nog een aantrekkende term? Of praat deze zachte beta nu heel erge poep?

Wel leuk zo, misschien moet ik ook eens een topic beginnen over m'n onderzoek. Houdt de W een beetje in ere.

Nou, die kosmologische term kun je aantrekkend en afstotend maken. Zoals het er nu voor staat, oefent de kosmologische term een soort negatieve druk uit; er wordt waargenomen dat het heelal versnelt uitdijt. De zwaartekracht zelf zorgt daarbij ook nog voor een aantrekkende kracht. Het leuke is, dat je trouwens met Newtoniaanse mechanica ook al een beetje kosmologie kunt beschrijven, maar de echte bikkel doet het natuurlijk met algemene relativiteit
Wat ook erg leuk is, is dat je kosmologie aardig kunt begrijpen zonder kennis van de algemene relativiteitstheorie; het komt in principe er op neer dat je differentiaalvergelijkingen aan het oplossen bent. Kosmologie gaat van een paar aannames uit:

- het kosmologische principe ( op grote schaal ziet de kosmos er in alle richtingen hetzelfde uit, oftewel de ruimte is homogeen en isotroop)
-Weyl's postulaat
-algemene relativiteit.

Wat Weyl's postulaat ongeveer zegt, is dat je de ruimte-tijd een soort bolsymmetrie kunt geven ( technischer gezegt: de ruimte-tijd heeft op grote schaal een constante kromming, waardoor je Ricci-tensor R_ab aanzienlijk wordt vereenvoudigt ) Als je nu een verzameling hyperoppervlakken neemt, en een verzameling geodeten introduceert wat daar loodrecht opstaat, dan zijn die geodeten altijd gescheiden, behalve voor een bepaald punt. Dit punt kan dan de oerknal zijn. Hoe je je dat wat kunt voorstellen, is dat je een bol hebt, waar vanuit het midden allemaal lijnen loodrecht op het oppervlak staan. Die lijnen komen ook nooit bijelkaar, alleen in het middelpunt. Die lijnen zijn dan hier de geodeten.

Vanuit deze aannames kun je een bepaald lijnelement ds² afleiden, en dit noemt men het Robertson Walker lijn-element. Dit speelt een belangrijke rol in kosmologie. Je kunt het een beetje vergelijken met het Schwarzschild-lijnelement, wat het lijnelement beschrijft als er een bepaalde massa aanwezig is. Mooi toch

En ik zou zeggen: houd de W in ere

quote:

Op dinsdag 3 mei 2005 11:41 schreef Integrity het volgende:
En die kromming dan?

Ik ken het boek wat je aandraagt Maar de kromming hier is de kromming van de ruimte-tijd, aangenomen dat deze op grote schaal een bepaalde symmetrie bezit. Het is dus niet alleen de kromming in 3 dimensies, maar de wiskundig gedefinieerde kromming van een 4- dimensionaal oppervlak. ( 3 ruimte-dimensies en 1 tijdsdimensie )

quote:

Op dinsdag 3 mei 2005 11:52 schreef thabit het volgende:

[..]

Dat is vrij logisch; de gebruikte wiskunde in het stukje is buitengewoon slecht geformuleerd. Iemand die beweert dat-ie het wel begrijpt heeft er zeer waarschijnlijk minder van begrepen dan iemand die beweert dat-ie er geen hout van snapt. .

Jaja, ik weet het, natuurkundigen hebben een wat andere formulering van wiskunde. Maar ik wou het ook een beetje toegankelijk houden. Zullen we die discussie ff in een ander topic doen?

quote:

Op dinsdag 3 mei 2005 17:53 schreef Maethor het volgende:
Haus, dit is me niet helemaal duidelijk. Dat in een vlakke ruimte vectoren allemaal dezelfde orientatie hebben, begrijp ik. En dat dat op een boloppervlak anders is, ook. Maar waarom moet je bij het vergelijken van twee vectoren rekening houden met het gekozen pad? Het gaat toch slechts om de orientatie van de vectoren ten opzichte van het oppervlak?

Da's een hele goede vraag. In de ART worden vectoren dus vaak gedefinieerd als raakvector aan een pad op dat gekromde opp. Je moet je voorstellen dat op elk punt van het oppervlak een raakruimte wordt gedefinieerd. Dat zijn er dus oneindig veel ! Nou wil je 2 vectoren vergelijken op bijvoorbeeld een bol. De ene vector bevindt zich bijvoorbeeld op het midden ( de meridiaan ) en de andere op de top ( de noordpool ) van de bol. Het enige wat je kunt zeggen is dat ze allebei in een verschillende raakruimte zitten, en dat je ze dus niet eenduidig kunt vergelijken. Stel nou dat je de vector in het midden naar de noordpool wilt slepen ( je wilt ze tenslotte vergelijken, en dat wil je in 1 bepaalde ruimte doen ) Dan zal de orientatie van de gesleepte vector afhangen van het gekozen pad, want de vector is immers overal de raakvector aan het oppervlak! Dit kun je zelf makkelijk nagaan: pak een bal, zet een pijltje in het midden die aan het opp. raakt, en ga via verschillende paden naar de top toe. Je zult telkens een andere orientatie hebben van je vector op de top.

Een conclusie is, dat je in de ART alleen snelheden goed kunt vergelijken als ze in dezelfde raakruimte liggen. Dat resulteerd soms in vreemde situaties, bijvoorbeeld in sterrenstelsels die sneller dan het licht van ons afbewegen ( gemeten via roodverschuiving). Wat er dan werkelijk aan de hand is, is dat de snelheid tussen de aarde en het stelsel niet goed is gedefinieerd.