Natuurkundigen snappen niets van wiskunde?

Da's niet zo moeilijk: de natuurkunde is tegenwoordig zo complex dat je als natuurkundige nou eenmaal niet de wiskunde zo kunt behandelen als wiskundigen dat willen. Een voorbeeldje is dan maar weer de Dirac-delta functie. Een natuurkundige krijgt in zn 2e jaar niet gelijk wat de structuur van dat ding is, behalve dat je het kunt opvatten als een limiet van functies, en daarmee een distributie wordt. Bij een vak als algemene relativiteit wordt het tensorbegrip niet erg uitgebreid behandelt; maar dat is voor een introductievak ook niet echt nodig. Het vak is zonder al die uitgebreidheid al lastig genoeg, en het is de bedoeling dat je met natuurkunde bezig gaat, en niet met wiskunde. Ikzelf heb dan wel een dictaat differentiaalgeometrie erbij gepakt, simpelweg omdat ik het wel een interessant onderdeel in de wiskunde vind. Maar bij het vak algemene relativiteit krijg je natuurlijk niet eerst een wiskunde-cursus van 2 maand vooraf. Dan blijf je bezig.

De fysica is nu wel zo ver, dat er steeds meer geavanceerde wiskunde-begrippen worden gebruikt, en dat er bv in de snaartheorie al wiskundeproblemen zijn opgelost. Maar dan heb je het over hele exotische fysica, en daar wordt het ook meer wiskunde dan natuurkunde van. Niet iedereen kan dat waarderen.

Het gelijkstellen van dingen die niet hetzelfde zijn, daar hebben natuurkundigen een aardig handje van.

Bijvoorbeeld door bij benaderingsformules zonder enige kanttekening een =-teken neer te zetten. Het weglaten van een afschatting van de fout is nog tot daaraantoe, maar het weglaten van de vermelding dat het om een benadering gaat is natuurlijk heel erg slecht.

Maar ook bij meer conceptuele begrippen komt dit voor. Metrieken worden gelijkgesteld aan matrices. Een lineaire operator wordt gelijkgesteld aan z'n duale. Een tensor wordt gelijkgesteld aan een meerdimensionaal blok van getallen, om nog maar te zwijgen van het feit dat het tensorproduct waarin dat ding leeft vaak niet eens wordt genoemd. Hetzelfde zie je bij vectoren, die worden zomaar opgeschreven zonder dat de vectorruimte waarin ze leven wordt gedefinieerd.

Etcetera, etcetera, etcetera.

quote:

Op dinsdag 3 mei 2005 12:05 schreef Haushofer het volgende:
De fysica is nu wel zo ver, dat er steeds meer geavanceerde wiskunde-begrippen worden gebruikt, en dat er bv in de snaartheorie al wiskundeproblemen zijn opgelost. Maar dan heb je het over hele exotische fysica, en daar wordt het ook meer wiskunde dan natuurkunde van. Niet iedereen kan dat waarderen.

Zoals Erik Verlinde ook zei: "Ik voel mij meer wiskundige dan natuurkundige."

quote:

Op dinsdag 3 mei 2005 12:09 schreef thabit het volgende:
Het gelijkstellen van dingen die niet hetzelfde zijn, daar hebben natuurkundigen een aardig handje van.

Bijvoorbeeld door bij benaderingsformules zonder enige kanttekening een =-teken neer te zetten. Het weglaten van een afschatting van de fout is nog tot daaraantoe, maar het weglaten van de vermelding dat het om een benadering gaat is natuurlijk heel erg slecht.

Tja, natuurkundigen weten dan vaak dat het om een benadering gaat. Want dat is wat je in de fysica vaak doet: benaderen.

quote:

Maar ook bij meer conceptuele begrippen komt dit voor. Metrieken worden gelijkgesteld aan matrices. Een lineaire operator wordt gelijkgesteld aan z'n duale. Een tensor wordt gelijkgesteld aan een meerdimensionaal blok van getallen, om nog maar te zwijgen van het feit dat het tensorproduct waarin dat ding leeft vaak niet eens wordt genoemd. Hetzelfde zie je bij vectoren, die worden zomaar opgeschreven zonder dat de vectorruimte waarin ze leven wordt gedefinieerd.

Etcetera, etcetera, etcetera.

Dat is niet helemaal waar. De boeken die ik gebruikt heb voor algemene relativiteit zijn op dat punt best wel nauwkeurig in mijn ogen. Ik heb zelf dit dictaat oa gebruikt:

algemene relativiteit

Dit geeft een korte, maar voldoende introductie in tensorrekening ed. Niet volledig, maar wel genoeg om de natuurkunde te kunnen begrijpen. En daar ben je toch mee bezig: natuurkunde. Misschien kun je op dit dictaat wat commentaar geven?

Het dictaat is nogal dik en het zou tijdrovend zijn om elke letter door te nemen. Zou je daarom voor mij kunnen aangeven waar precies de wiskunde wordt geintroduceerd?

Het is overigens vaak wel zo, dat je na je studie natuurkunde een specialisatie gaat doen. En dan lijkt het me wel vanzelfsprekend dat je de wiskunde achter zo'n specialisatie ook veel beter gaat bekijken. Maar bij normale natuurkunde vakken in je studie is dat heel vaak onmogelijk, omdat je dan niet meer op een normale manier de natuurkundeonderwerpen kunt bespreken; je bent dan meer dan de helft van de tijd kwijt aan wiskunde. En dan kun je net zo goed wiskunde gaan studeren, in mijn ogen.

quote:

Op dinsdag 3 mei 2005 12:17 schreef thabit het volgende:
Het dictaat is nogal dik en het zou tijdrovend zijn om elke letter door te nemen. Zou je daarom voor mij kunnen aangeven waar precies de wiskunde wordt geintroduceerd?

Vanaf bladzijde 7: de introductie van tensoren en vectoren, en dat gaat dan ongeveer door tot bladzijde 22. Daarnaast wordt er in hoofdstuk 5 nog wat behandelt

quote:

Op dinsdag 3 mei 2005 12:19 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Vanaf bladzijde 7: de introductie van tensoren en vectoren, en dat gaat dan ongeveer door tot bladzijde 22. Daarnaast wordt er in hoofdstuk 5 nog wat behandelt

Hmm, het begint vrij goed met vectorruimten. Maar het stuk over tensoren is dan weer wat minder, dat doen ze niet echt algemeen genoeg in mijn ogen.

quote:

Thabit:
Maar ook bij meer conceptuele begrippen komt dit voor. Metrieken worden gelijkgesteld aan matrices.

Nou ja, kort door de bocht kun je een 2e ranks metriek best zien als een matrix, met bepaalde transformatie-eigenschappen.

quote:

Een lineaire operator wordt gelijkgesteld aan z'n duale.

Ben ik niet tegengekomen, maar dat zal wel aan mij liggen,

quote:

Een tensor wordt gelijkgesteld aan een meerdimensionaal blok van getallen, om nog maar te zwijgen van het feit dat het tensorproduct waarin dat ding leeft vaak niet eens wordt genoemd.

Bij mij niet. In onze colleges werd wel aangestipt hoe je de eigenschappen en definities coordinatenonafhankelijk kon maken, en daar heb ik zelf dan wat achterliggende informatie over opgezocht. Maar zoals ik zei, het vak algemene relativiteit, waar dit soort dingen voor het eerst echt uitvoerig worden behandelt, is een introductievak.

quote:

Hetzelfde zie je bij vectoren, die worden zomaar opgeschreven zonder dat de vectorruimte waarin ze leven wordt gedefinieerd.

Zie het dictaat wat ik je aangegeven heb Ze spreken dan soms van "sloppy notation", maar in je achterhoofd weet je dan prima waar je mee bezig bent.

quote:

Op dinsdag 3 mei 2005 12:30 schreef thabit het volgende:

[..]

Hmm, het begint vrij goed met vectorruimten. Maar het stuk over tensoren is dan weer wat minder, dat doen ze niet echt algemeen genoeg in mijn ogen.

Wat is er mis mee dan?

Overigens, in jouw ogen betekent "zoals een wiskundige het zou doen". Maar ben je het met me eens dat de uitleg hier voldoende zou kunnen zijn voor het begrijpen van de natuurkunde?

In mijn ogen is de TT daarom ook wat misplaatst, daarom zet ik er ff een vraagtekentje achter

In hoeverre is het relevant dat natuurkundigen wiskunde onder de knie hebben? Het is tot daar relevant, waar ze de wiskunde nodig hebben in de natuurkunde. Dat ze niet verder kijken dan dat punt, lijkt me een logisch gevolg van het feit dat ze natuurkunde studeren, en niet wiskunde. Dus je kunt natuurkundigen hooguit verwijten de wiskunde verkeerd te integereren, maar nooit dat ze niets van wiskunde snappen; dat verwijt kan best kloppend zijn, maar ook totaal irrelevant, omdat ze een scala aan wiskundige vaardigheden amper of niet hoeven te gebruiken in hun discipline.

quote:

Op dinsdag 3 mei 2005 12:31 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Wat is er mis mee dan?

Overigens, in jouw ogen betekent "zoals een wiskundige het zou doen". Maar ben je het met me eens dat de uitleg hier voldoende zou kunnen zijn voor het begrijpen van de natuurkunde?

Dingen bewust beperkt houden terwijl de algemenere definitie beter doch niet veel moeilijker is lijkt me niet goed. Dat je geen modulen over ringen behandelt, okee. Maar tensorproducten van vectorruimten mogen wel in wat meer algemeenheid ter sprake komen.

quote:

Op dinsdag 3 mei 2005 12:56 schreef Reya het volgende:
In hoeverre is het relevant dat natuurkundigen wiskunde onder de knie hebben? Het is tot daar relevant, waar ze de wiskunde nodig hebben in de natuurkunde. Dat ze niet verder kijken dan dat punt, lijkt me een logisch gevolg van het feit dat ze natuurkunde studeren, en niet wiskunde. Dus je kunt natuurkundigen hooguit verwijten de wiskunde verkeerd te integereren, maar nooit dat ze niets van wiskunde snappen; dat verwijt kan best kloppend zijn, maar ook totaal irrelevant, omdat ze een scala aan wiskundige vaardigheden amper of niet hoeven te gebruiken in hun discipline.

Dat is dus maar zeer de vraag. Als je je niet in een bepaalde discipline verdiept, hoe kun je dan weten dat je die discipline niet kunt gebruiken?

quote:

Op dinsdag 3 mei 2005 13:06 schreef thabit het volgende:

[..]

Dingen bewust beperkt houden terwijl de algemenere definitie beter doch niet veel moeilijker is lijkt me niet goed. Dat je geen modulen over ringen behandelt, okee. Maar tensorproducten van vectorruimten mogen wel in wat meer algemeenheid ter sprake komen.

Dat ligt dus aan de tekst. Jouw opvatting dat een algemene natuurkundige tekst over bv algemene relativiteit zo losbandig met wiskunde omgaat is in mijn ogen sterk overdreven. Maar daarvoor studeer ik natuurkunde, en jij wiskunde.

quote:

Op dinsdag 3 mei 2005 15:07 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Dat ligt dus aan de tekst. Jouw opvatting dat een algemene natuurkundige tekst over bv algemene relativiteit zo losbandig met wiskunde omgaat is in mijn ogen sterk overdreven. Maar daarvoor studeer ik natuurkunde, en jij wiskunde.

Okee, maar zoals je zelf al aangaf in 1 van je eerdere posts hier: hoe fundamenteler de natuurkunde is, hoe dieper ook de wiskunde is die men nodig heeft. Geeft dat niet aan dat om echt goed natuurkunde te kunnen begrijpen, je juist de wiskunde heel goed moet beheersen?

quote:

Op dinsdag 3 mei 2005 15:20 schreef thabit het volgende:

[..]

Okee, maar zoals je zelf al aangaf in 1 van je eerdere posts hier: hoe fundamenteler de natuurkunde is, hoe dieper ook de wiskunde is die men nodig heeft. Geeft dat niet aan dat om echt goed natuurkunde te kunnen begrijpen, je juist de wiskunde heel goed moet beheersen?

Ja. Maar zoals ik ook zei: bij introductievakken kun je nou eenmaal niet teveel tijd aan wiskunde besteden. Daarom zie je in veel natuurkundeteksten dat de wiskunde niet al te uitgebreid is. Een ander leuk voorbeeldje is "differentieren onder het integraalteken". De voorwaarden hiervoor hebben we natuurlijk wel gehad, bij Fourieranalyse, maar in heel veel teksten wordt die voorwaarde niet echt nagetrokken in de tekst zelf: dat zijn details waar het dan niet om draait. Met als resultaat dat er in teksten vrij losbandig mee wordt omgesprongen. Dat was voor mezelf in het begin een beetje wennen, maar nu weet je niet beter: als het in de tekst staat, mag het kennelijk. Ik ga dan heus niet natrekken of het wel veroorlooft is. Dat zijn in mijn ogen wiskundige details die er niet toedoen op dat moment.

quote:

Op dinsdag 3 mei 2005 11:59 schreef thabit het volgende:

[..]

Op zich is het erg goed om de zaak toegankelijk te houden en derhalve niet al te technisch en gedetailleerd te worden. Omwille van toegankelijkheid dingen zodanig formuleren dat ze eigenlijk niet helemaal kloppen is echter zeer verwarrend.

Ff uit mn topic over de kosmologische constante: wat klopt er niet aan mn tekst dan? ( en dan ff rekening houden met de toegankelijkheid )

Eigenlijk kan ik hier niet reageren, daar zou ik een Jekyll-Hyde complex aan over houden. Ik heb een doctoraal natuurkunde en wiskunde, maar het promotie onderzoek was hoodzakelijk natuurkundig (plasmafysica en kernfusiereactoren).

Als natuurkundige krijg je een hoeveelheid wiskunde mee. Dat was, toen ik het studeerde aanzienlijk meer dan nu. Het studieprogramma was voor 5 jaar en die had je ook echt wel nodig. (natuurkunde en medicijnen werden als de zwaarste twee studies gezien)
Er moest bezuinigd worden op het onderwijs, het studieprogramma werd minder. En daarom is onderstaande reactie nu helaas juist.

quote:

Op dinsdag 3 mei 2005 12:05 schreef Haushofer het volgende:
Da's niet zo moeilijk: de natuurkunde is tegenwoordig zo complex dat je als natuurkundige nou eenmaal niet de wiskunde zo kunt behandelen als wiskundigen dat willen. Een voorbeeldje is dan maar weer de Dirac-delta functie. Een natuurkundige krijgt in zn 2e jaar niet gelijk wat de structuur van dat ding is, behalve dat je het kunt opvatten als een limiet van functies, en daarmee een distributie wordt.

Bij een vak als algemene relativiteit wordt het tensorbegrip niet erg uitgebreid behandelt; maar dat is voor een introductievak ook niet echt nodig. Het vak is zonder al die uitgebreidheid al lastig genoeg, en het is de bedoeling dat je met natuurkunde bezig gaat, en niet met wiskunde. Ikzelf heb dan wel een dictaat differentiaalgeometrie erbij gepakt, simpelweg omdat ik het wel een interessant onderdeel in de wiskunde vind.
Maar bij het vak algemene relativiteit krijg je natuurlijk niet eerst een wiskunde-cursus van 2 maand vooraf. Dan blijf je bezig.

Wij kregen een apart vak tensorrekening (verplicht) voordat we relativiteitstheorie gingen doen (plus het was ook te gebruiken in de vast stof theorie, schuifspanningen e.d.).
Door tijdgebrek wordt dat niet meer gegeven: een gemis.
Distributies was een onderwerp dat behandeld werd voordat de QM kwam, en de deltafunctie structuur was slechts een voorbeeld. (Van Blij en Van Tiel – Infinitesimaalrekening)
Indien je de Algemene Relativiteitscolleges ging volgen was Differentiaalgeometrie verplicht.
Gebeurt ook niet meer.

quote:

Op dinsdag 3 mei 2005 12:09 schreef thabit het volgende:
Het gelijkstellen van dingen die niet hetzelfde zijn, daar hebben natuurkundigen een aardig handje van.

Bijvoorbeeld door bij benaderingsformules zonder enige kanttekening een =-teken neer te zetten. Het weglaten van een afschatting van de fout is nog tot daaraantoe, maar het weglaten van de vermelding dat het om een benadering gaat is natuurlijk heel erg slecht.

Maar ook bij meer conceptuele begrippen komt dit voor. Metrieken worden gelijkgesteld aan matrices. Een lineaire operator wordt gelijkgesteld aan z'n duale. Een tensor wordt gelijkgesteld aan een meerdimensionaal blok van getallen, om nog maar te zwijgen van het feit dat het tensorproduct waarin dat ding leeft vaak niet eens wordt genoemd. Hetzelfde zie je bij vectoren, die worden zomaar opgeschreven zonder dat de vectorruimte waarin ze leven wordt gedefinieerd.

Etcetera, etcetera, etcetera.

De conceptionele begrippen veranderen, in de zin van: worden complexer, indien het vak dat vereist. En dat hoeft niet voor studenten die bv richting meteorologie of biologie op gaan.

In de QM, richting de theorie van Dirac, als de stof wat ingewikkelder wordt, wordt een hele theorie ontwikkeld met bra vectoren en ket vectoren.
Hier vormen de bra vectoren een lineaire vectorruimte en wordt een duale ruimte gedefinieerd, opgebouwd uit ket vectoren.
En die zijn toch echt niet gelijk aan elkaar.
Het wordt zelfs een niet-Kantiaans Kantisme als de eigenwaarden van de Hermitse operatoren bepaald moeten worden: de werkelijkheid heeft noodzakelijkerwijs een andere structuur dan de meetbare ervaring (complexe en reėle getallen) maar de twee structuren zijn uit elkaar afleidbaar.

De natuurkundige gaat er vrijwel altijd van uit dat de wiskundige het al bewezen heeft en dat de ruimte waarin het eea zich afspeelt voldoende gedefinieerd is door de wiskundigen.
Er is dan ook minder behoefte aan de exactheid en het compleet zijn, die door wiskundigen veel meer gewaardeerd wordt.
Van de ander kant probeert de wiskundige de omgeving van het natuurdig gegeven helemaal juist te definiėren maar komt dan niet meer toe aan het natuurkunde probleem. Dat laat hij dan aan de fysicus over. Daar ligt ook zijn interesse ook minder.
Zelden heb ik op natuurkundecolloquia meerdere wiskundigen gezien of op wiskundecolloquia meerdere fysici.

In de natuurbeschrijving is alles een benadering . En de wiskunde geeft wat gereedschap aan om die benadering te kunnen omschrijven en wat houvast te bieden. Vrijwel alle formules zijn dan ook benaderingen van de werkelijkheid. Maar ook voor een natuurkundige vereist het inzicht om de juiste benadering te maken.

Wiskundigen en natuurkundigen kunnen niet zonder elkaar, maar met elkaar leven is iets te veel gevraagd.

quote:

Op dinsdag 3 mei 2005 17:48 schreef Yosomite het volgende:
Wiskundigen en natuurkundigen kunnen niet zonder elkaar, maar met elkaar leven is iets te veel gevraagd.

Juist! Maar dit hoeft toch ook geen probleem te zijn? Wiskundigen kicken meer op het exacte definities en compleetheid, natuurkundigen willen de wiskunde gebruiken om verschijnselen mee te beschrijven. Het zal de timmerman over het algemeen ook een rotzorg zijn hoe zijn hamer precies geconstrueerd is, als er met het ding maar goed spijkers in hout te meppen zijn.

Ach, wiskundigen die klagen over natuurkundigen..... als je echt wilt zien wat voor 'smerige' en 'verboden' wiskundige trucs sommige mensen uithalen, dan moet je eens wat colleges op een technische universiteit volgen

quote:

Op dinsdag 3 mei 2005 18:05 schreef joshus_cat het volgende:
Ach, wiskundigen die klagen over natuurkundigen..... als je echt wilt zien wat voor 'smerige' en 'verboden' wiskundige trucs sommige mensen uithalen, dan moet je eens wat colleges op een technische universiteit volgen

Ik ga ervan uit dat ik altijd gelijk heb, omdat de wiskundigen de omgeving waarin ik werk ontdaan hebben van allerlei singulariteiten die de beschrijving van de realiteit tot Dante's hel zouden maken.

quote:

Op dinsdag 3 mei 2005 15:39 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Ff uit mn topic over de kosmologische constante: wat klopt er niet aan mn tekst dan? ( en dan ff rekening houden met de toegankelijkheid )

Zoals ik al aangaf is een metriek geen matrix en een tensor geen vierdimensionale matrix. De tekst wordt alleen maar onduidelijker als je dat wel zo zegt.