Daaruit nemen we mee de volgende nog openstaande puzzeltjes:

1) In het platte vlak kleuren we elk punt rood, blauw of geel. Bewijs dat er 2 punten van dezelfde kleur zijn die op afstand 1 van elkaar liggen.

2) Laat N een positief geheel getal zijn en bekijk een schaakbord van 4 bij N vakjes. Laat zien dat het niet mogelijk is om met een paard een springtocht te maken over dit schaakbord waarbij je elk vakje precies 1 keer bezoekt en je in hetzelfde vakje eindigt als waar je begonnen bent.

3) Je wilt een dildo kopen. Voor je liggen n dildo's: n-1 Echte en 1 neppe. De echte zijn even zwaar, maar de neppe die voor je ligt kan zwaarder of lichter zijn dat weet je niet. Je hebt een balans tot je beschikking. Een standaard balans. Bepaal het kleinste getal m zodanig dat je altijd met m keer wegen de foute dildo eruit kan pikken en kan bepalen of hij lichter dan wel zwaarder is dan de rest.

// Prints: July 1, 2000 is on a Saturday
echo "July 1, 2000 is on a " . date ("l", mktime(0,0,0,7,1,2000));

van www.php.net/date

quote:

---

Op dinsdag 12 augustus 2003 09:44 schreef kresjur het volgende:
Je vraagt naar de code van dat PHP-script maar ondertussen heb je 'm zelf al geschreven? Anyway, je doet iets met

// Prints: July 1, 2000 is on a Saturday
echo "July 1, 2000 is on a " . date ("l", mktime(0,0,0,7,1,2000));

van www.php.net/date

---

Beschouw het schaakbord als een graaf. De punten zijn de vlakken op het schaakbord. Er is een kant tussen 2 punten als het paard tussen de overeenkomstige vlakken op het schaakbord kan springen. Noem de kanten die het paard gedurende zijn tocht, aannemende dat dat mogelijk is, rode kanten.

Noem de rijen van hoog naar laag A, B, C en D.
Het paard kan niet van rij A naar D springen, andersom natuurlijk ook niet. Beschouw nu de rode kanten tussen A, D en B + C (dit zijn de rijen B en C als een geheel gezien). Er lopen 2N rode kanten van A naar B + C (voor elk punt 2 rode kanten) en ook 2N rode kanten van D naar B + C. Er zijn echter maar 4N rode kanten die in B + C kunnen zitten. Deze moeten dan allemaal afkomstig zijn van A en D. Er lopen daarom geen rode kanten tussen B en C onderling.
Dit betekent dat de route die het paard af legt, al vast ligt op de zijkanten (links en rechts) van het schaakbord.

De linkerkant ziet er dan als volgt uit.

.

Voor N = 4 kan je nu bewijzen dat er geen springtocht (Hamilton cykel zoals wiskundigen dat ook wel noemen) mogelijk is door ook aan de rechterkant die rode kanten te tekenen. Dan krijg je namelijk een rode ruit en dus kan het paard onmogelijk alle punten bezoeken.

Voor N willekeurig hoop ik dat je kunt bewijzen dat als er een springtocht voor N is, dat er dan ook een springtocht voor N - 1 is. Dit zou dan uiteindelijk betekenen dat voor N = 4 ook een springtocht mogelijk is en dit zou dan een tegenspraak zijn.

Stel dat er een springtocht mogelijk is voor N. Dan bevat deze tocht zeker niet allebei de groene kanten en ook niet allebei de gele kanten omdat je anders een tocht krijgt die niet door alle punten gaat. Als de springtocht voor N niet de groene of gele kanten bevat, dan krijg je volgens mij een springtocht voor N - 1 door de gele en groene kanten toe te voegen.

edit: dat er geen rode kanten tussen B en C kunnen lopen is zeer belangrijk, 't is veel handiger om daar iets mee te doen dan met een inductie-argument.

[Dit bericht is gewijzigd door thabit op 12-08-2003 12:00]

quote:

---

Op dinsdag 12 augustus 2003 09:52 schreef jurn het volgende:

[..]

---

Nu kan ik makkelijk testen of er geen fouten in zitten en welk script sneller is

[Dit bericht is gewijzigd door vincent23 op 12-08-2003 14:01]

quote:

---

Op dinsdag 12 augustus 2003 09:53 schreef thabit het volgende:
Puzzeltje erbij:
a) Laat zien dat elk zesvoud geschreven kan worden als de som van vier derdemachten van gehele getallen.

---

De som van deze 4 derdemachten is dus 6k voor willekeurige k.
Netjes opschrijven en klaar!

quote:

---

Op dinsdag 12 augustus 2003 09:53 schreef thabit het volgende:
Puzzeltje erbij:
a) Laat zien dat elk zesvoud geschreven kan worden als de som van vier derdemachten van gehele getallen.
b) Laat zien dat elk geheel getal geschreven kan worden als de som van 5 derdemachten van gehele getallen.

---

GetalGetal^3verschilverschilverschilverschil
11
287
3271912
46437186
5125612460
6216913060
73431273660
85121694260
97292174860
1010002715460
1113313316060
1217283976660
1321974697260

[Dit bericht is gewijzigd door vincent23 op 12-08-2003 17:05]

quote:

---

Op dinsdag 12 augustus 2003 16:56 schreef vincent23 het volgende:

[..]

Dit is mogelijk omdat het verschil met de dichtsbijgelegen derde macht te creeren is met de overgebleven 4 machten, dit verschil met de 3, de 2 en het uiteindelijke verschil is te creeren met die laatste macht.

---

[Dit bericht is gewijzigd door thabit op 12-08-2003 17:26]

quote:

---

Op dinsdag 12 augustus 2003 17:05 schreef thabit het volgende:

[..]

.

---

GetalGetal^3verschilverschilverschilverschil
1 1
2 8 7
3 27 1912
4 64 37186
5 125 612460
6 216 913060
7 343 1273660
8 512 1694260
9 729 2174860
10 1000 2715460
11 1331 3316060
12 1728 3976660
13 2197 469 72v 6 0

Ga naar edit bericht en dan kan je zien hoe de tabel moet zijn . Maar het gaat om het idee dat het verschil eindelijk nul is.

Dit kan ook wiskundig worden opgeschreven

ALs je op een rij nullen stuit ben je klaar. Dit is logisch te verklaren.

Dus:
MAX-veschil1-verschil5 Dus 5
5-125-61-24-6-0

[Dit bericht is gewijzigd door vincent23 op 12-08-2003 17:13]

quote:

---

Op dinsdag 12 augustus 2003 17:29 schreef thabit het volgende:
En waarom is dan elk getal te schrijven als de som van 5 derdemachten?

---

Ik ben er bijna uit . .

[Dit bericht is gewijzigd door vincent23 op 12-08-2003 18:50]

quote:

---

Op dinsdag 12 augustus 2003 17:23 schreef vincent23 het volgende:
Bewijs dat n^3 - n deelbaar is door 6 voor n => 0.

---

quote:

---

Op dinsdag 12 augustus 2003 18:27 schreef kresjur het volgende:

[..]

Met inducie is dit gemakkelijk, maar ik zou wel graag een ander bewijs zien [ik weet er ook geen]. Je neemt een kubus, je haalt er een rij blokken uit weg en spontaan is het deelbaar door 6, ik heb geen idee.

---

N*N --> (N-1)*N
Even Even --> Even oneven
Oneven Oneven --> Even Oneven
N*(N+1) is altijd even.

Een even getal is mogelijk deelbaar door 6, maar niet nooddwingend. Dit alleen als A=6*K met k = 1, 2, ... , m.

Bijvoorbeeld een kubus van 5*5. Waarom is een kubus van 5*4 deelbaar door 6?

quote:

---

Op dinsdag 12 augustus 2003 18:31 schreef vincent23 het volgende:
Wat is spontaan deelbaar door 6??

N*N --> (N-1)*N
Even Even --> Even oneven
Oneven Oneven --> Even Oneven
N*(N+1) is altijd even.

Een even getal is mogelijk deelbaar door 6, maar niet nooddwingend. Dit alleen als A=6*K met k = 1, 2, ... , m.

Bijvoorbeeld een kubus van 5*5. Waarom is een kubus van 5*4 deelbaar door 6?

---

quote:

---

Op dinsdag 12 augustus 2003 19:29 schreef shift het volgende:

[..]

Kubussen bestaan natuurlijk uit 3 dimensies. dus NxNxN. Dat zijn dus N^3 elementen. Als je daar een rij uit halt (N blokjes), krijg je er N^3-N. Dat is de opgave die je zelf gepost hebt

---

Is dit een hint tot de oplossing van het door mij geposte ?

[Dit bericht is gewijzigd door vincent23 op 12-08-2003 19:49]

N^3-N = (N+1)(N)(N-1)

N of N-1, een van twee is even, de ander is oneven. Dus het product is altijd deelbaar door twee. Dus N^3-N is altijd deelbaar door 2.

Nu hoeven we alleen nog maar aan te tonen dat N^3-N ook altijd deelbaar is door 3. N^3-N is ook te schrijven als N*(N-1)*(N+1). Een van deze drie is altijd deelbaar door 3 (omdat een op de 3 getallen deelbaar is door drie).

Dus is het geheel altijd deelbaar door 6.

edit: tikfout

[Dit bericht is gewijzigd door shift op 12-08-2003 20:27]

quote:

---

Op dinsdag 12 augustus 2003 19:38 schreef shift het volgende:
N^3-N deelbaar door 6 voor N>=1

N^3-N = N^2(N-1) = N * N * (N-1).

N of N-1, een van twee is even, de ander is oneven. Dus het product is altijd deelbaar door twee. Dus N^3-N is altijd deelbaar door 2.

Nu hoeven we alleen nog maar aan te tonen dat N^3-N ook altijd deelbaar is door 3. N^3-N is ook te schrijven als N*(N-1)*(N+1). Een van deze drie is altijd deelbaar door 3 (omdat een op de 3 getallen deelbaar is door drie).

Dus is het geheel altijd deelbaar door 6.

---

quote:

---

Op dinsdag 12 augustus 2003 19:43 schreef vincent23 het volgende:
[..]
N*N*(N-1) = N^3-N^2 . Leuk dat je het hier ook voor bewezen hebt

---

quote:

---

Op dinsdag 12 augustus 2003 13:20 schreef ks_choice het volgende:

[..]

Een willekeurig zesvoud kan geschreven worden als 6k, k E Z.
Kies als derdemachten:
(k+1)³
(k-1)³
-k³
-k³
De som hiervan is:
(k+1)³+(k-1)³-k³-k³=
k³+3k²+3k+1+k³-3k²+3k-1-k³-k³=
6k

De som van deze 4 derdemachten is dus 6k voor willekeurige k.
Netjes opschrijven en klaar!

---

[Dit bericht is gewijzigd door ks_choice op 12-08-2003 20:44]

quote:

---

Op dinsdag 12 augustus 2003 17:23 schreef vincent23 het volgende:
Bewijs dat n^3 - n deelbaar is door 6 voor n => 0.

---

quote:

---

Op dinsdag 12 augustus 2003 20:53 schreef thabit het volgende:

[..]

En de conclusie die we hieruit kunnen trekken is?

---

quote:

---

Op dinsdag 12 augustus 2003 21:20 schreef shift het volgende:

[..]

Nou, de enige conclusie is denk ik dat die opgave veel makkelijker was dan die van jou, want daar ben ik nog steeds mee bezig.

---

_{Dat is het namelijk ook.}

quote:

---

Op dinsdag 12 augustus 2003 21:23 schreef thabit het volgende:
Ik dacht dat je hem plaatste als hint.
_{Dat is het namelijk ook.}

---

* shift is nog bezig met de gekleurde vlakken.

quote:

---

Op dinsdag 12 augustus 2003 21:52 schreef shift het volgende:
(hint voor de opgave over het schrijven van ieder getal als max 5 derdemachten?).

---

quote:

---

Op dinsdag 12 augustus 2003 21:53 schreef thabit het volgende:

[..]

Ja.

---

n^3-n is een zesvoud (zie boven)
elke 6-voud is te schrijven als som van 4 derdemachten (zie a))
dus n^3-n = a^3 + b^3 + c^3 + d^3 voor zeker a,b,c,d E Z
dus n = n^3 - a^3 - b^3 - c^3 - d^3 !!! (voor alle n E Z)
qed.

[Dit bericht is gewijzigd door ks_choice op 12-08-2003 22:34]

Aangezien deze nu is opgelost moet er nog een puzzeltje bijkomen dus. In het topic nog meer Pythagoras heb ik van deze suffe opgave:

quote:

---

Hoever staan de evenwijdige lijnen van 10 en 15 uit elkaar om de lijnen naar de basispunten elkaar te laten snijden op een hoogte van 6 ??

---

quote:

---

Okee: gegeven 3 paaltjes van geheeltallige lengte, die dus mooi met touwtjes gespannen zijn zoals de TS het bedoeld heeft. Neem ook aan dat de 3 paallengtes geen gemeenschappelijke factor hebben (we kunnen bijvoorbeeld 15,6,10 vervangen door 30,12,20 door alles met 2 te vermenigvuldigen maar dat is flauw dus dat doen we niet). Laat zien dat de buitenste 2 lengtes bij elkaar opgeteld een kwadraat zijn, evenals de lengte van de middelste paal afgetrokken van de buitenste 2.

Er zijn zat voorbeelden van paallengtes te vinden, ik zal er nog 3 geven:
6,2,3
28,12,21
35,10,14

---

quote:

---

Op dinsdag 12 augustus 2003 22:47 schreef thabit het volgende:
Zo moet het!

---

quote:

---

een interessante opgave [..]

---

Nu TBW a+b = k^2 voor zekere k E N
a+b = cq/p + (cq+cp)/q = (cq^2 + cqp + cq^2)/pq = c(p+q)^2 /pq
Maar dit is zelf nog geen kwadraat
to be continued

[Dit bericht is gewijzigd door vincent23 op 13-08-2003 00:06]

quote:

---

Op dinsdag 12 augustus 2003 23:52 schreef ks_choice het volgende:
c/a = p/q (1)

---

quote:

---

Op dinsdag 12 augustus 2003 23:56 schreef vincent23 het volgende:
Volgens mij is dit te bewijzen met volledige Inductie. Klopt dat?

---

quote:

---

Op woensdag 13 augustus 2003 00:25 schreef thabit het volgende:

[..]

Welke?

---

Als we de notatie aanhouden van ks_choice: (a,b,c,p en q):

a/c = (q+p)/q <=> qa/c = (q+p) <=> p = q(a/c-1)
b/c = (q+p)/p <=> pb/c = (q+p) <=> q = p(b/c-1)
p = q(a/c-1) <=> p = p(b/c-1)(a/c-1) <=> 1 = (b/c-1)(a/c-1) <=>
1 = ab/cc -b/c - a/c + 1 <=> ab = ac + bc

Dus AB = AC + BC. Dit hebben we vast later nog wel een keer nodig.
[Ook: A=BC/(B-C), C=AB/(A+B) en B=AC/(A-C)]

Hieruit volgt:

A+B = AB/C
A-C = AC/B
B-C = BC/A

edit: we editten lekker verder.

[Dit bericht is gewijzigd door shift op 13-08-2003 13:39]

quote:

---

Op woensdag 13 augustus 2003 00:58 schreef shift het volgende:
Dus AB = AC + BC.

---

quote:

---

Op woensdag 13 augustus 2003 00:52 schreef vincent23 het volgende:

[..]

De interessante opgave die je hebt gemaakt uit die "suffe" opgave.

---

quote:

---

Op woensdag 13 augustus 2003 00:25 schreef thabit het volgende:

[..]

. c/a=p/(p+q).

---

quote:

---

Op woensdag 13 augustus 2003 00:58 schreef shift het volgende:
A+B = AB/C

---

quote:

---

Op dinsdag 12 augustus 2003 09:59 schreef Wolfje het volgende:
Over het schaakbord probleem (nog geen hele oplossing!).

Beschouw het schaakbord als een graaf. De punten zijn de vlakken op het schaakbord. Er is een kant tussen 2 punten als het paard tussen de overeenkomstige vlakken op het schaakbord kan springen. Noem de kanten die het paard gedurende zijn tocht, aannemende dat dat mogelijk is, rode kanten.

Noem de rijen van hoog naar laag A, B, C en D.
Het paard kan niet van rij A naar D springen, andersom natuurlijk ook niet. Beschouw nu de rode kanten tussen A, D en B + C (dit zijn de rijen B en C als een geheel gezien). Er lopen 2N rode kanten van A naar B + C (voor elk punt 2 rode kanten) en ook 2N rode kanten van D naar B + C. Er zijn echter maar 4N rode kanten die in B + C kunnen zitten. Deze moeten dan allemaal afkomstig zijn van A en D. Er lopen daarom geen rode kanten tussen B en C onderling.
Dit betekent dat de route die het paard af legt, al vast ligt op de zijkanten (links en rechts) van het schaakbord.

De linkerkant ziet er dan als volgt uit.

[afbeelding].

Voor N = 4 kan je nu bewijzen dat er geen springtocht (Hamilton cykel zoals wiskundigen dat ook wel noemen) mogelijk is door ook aan de rechterkant die rode kanten te tekenen. Dan krijg je namelijk een rode ruit en dus kan het paard onmogelijk alle punten bezoeken.

Voor N willekeurig hoop ik dat je kunt bewijzen dat als er een springtocht voor N is, dat er dan ook een springtocht voor N - 1 is. Dit zou dan uiteindelijk betekenen dat voor N = 4 ook een springtocht mogelijk is en dit zou dan een tegenspraak zijn.

Stel dat er een springtocht mogelijk is voor N. Dan bevat deze tocht zeker niet allebei de groene kanten en ook niet allebei de gele kanten omdat je anders een tocht krijgt die niet door alle punten gaat. Als de springtocht voor N niet de groene of gele kanten bevat, dan krijg je volgens mij een springtocht voor N - 1 door de gele en groene kanten toe te voegen.

---

(sorry dat ik te lui ben heel de oplossing uit te typen, maar heb herexamens)

quote:

---

Op dinsdag 12 augustus 2003 10:10 schreef thabit het volgende:
Het zou met deze constructie toch ook kunnen dat deze nieuwe 'springtocht' opeens uit 2 disjuncte cykels bestaat?

---

quote:

---

Op donderdag 14 augustus 2003 12:40 schreef thabit het volgende:
Ik ben wel benieuwd hoe dat inductiebewijs er dan uitziet. Ik heb al aangegeven wat er mis zou kunnen gaan:
[..]

Ik ben benieuwd hoe je dit hebt weten uit te sluiten?

---

quote:

---

Op donderdag 14 augustus 2003 12:40 schreef thabit het volgende:
Ik ben wel benieuwd hoe dat inductiebewijs er dan uitziet. Ik heb al aangegeven wat er mis zou kunnen gaan:
[..]

Ik ben benieuwd hoe je dit hebt weten uit te sluiten?

---

Nu tentamens maken en niet teveel online zijn....

1.

5% van de mensen gebruikt een illegale drugs. Er is een drugtest, en die geeft in 95% van de gevallen het goede antwoord. Stel je voor dat je random iemand van straat plukt, en de test is positief.

Wat is de kans dat hij aan de drugs is ?

2.

Op een morgen begint het met sneeuwen met een constant tempo, en je gaat met een sneeuwschuiver de straat schoonmaken. De sneeuwwagen kan een vaste hoeveelheid sneeuw per tijdseenheid verwerken, dus met andere woorden de snelheid van de sneeuwschuiver is omgekeerd evenredig met de diepte van de sneeuw.

Als de sneeuwschuiver het eerste uur twee keer zoveel afstand aflegde dan het eerste uur, hoe laat is het dan begonnen met sneeuwen?

quote:

---

Op vrijdag 15 augustus 2003 15:50 schreef vincent23 het volgende:
Nog maar een nieuw puzzeltje om het puzzel forum weer leven in te blazen . . . een makkelijke en een moeilijkere, dus leef je uit :-) .........

1.

5% van de mensen gebruikt een illegale drugs. Er is een drugtest, en die geeft in 95% van de gevallen het goede antwoord. Stel je voor dat je random iemand van straat plukt, en de test is positief.

Wat is de kans dat hij aan de drugs is ?

---

quote:

---

Op vrijdag 15 augustus 2003 15:58 schreef thabit het volgende:

[..]

Onvoldoende gegevens. Je moet bijvoorbeeld ook nog weten dat de 2 gegeven kansen onafhankelijk van elkaar zijn oid om de gevraagde kans te kunnen bepalen.

---

in 95% van de gevallen geeft de drugtest de correcte uitkomst

quote:

---

Op vrijdag 15 augustus 2003 15:58 schreef thabit het volgende:

[..]

Onvoldoende gegevens. Je moet bijvoorbeeld ook nog weten dat de 2 gegeven kansen onafhankelijk van elkaar zijn oid om de gevraagde kans te kunnen bepalen.

---

in 95% van de gevallen geeft de drugtest de correcte uitkomst en de persoon die random getrokken is behoort tot de populatie waarin 5% aan de drugs is.

anders geformuleerd: "De test geeft in 90% correct aan of de persoon aan de drugs is of niet."

WIJZIG <> NIEUW BERICHT

Maar het kan bijvoorbeeld ook dat de test altijd 'nee' zegt, ook dan is hij in 95% van de gevallen correct. In dat geval is de kans zelfs ongedefinieerd.

Nog een geval: als de test volkomen random ja/nee met een verhouding 5:95 kiest zonder naar de persoon te kijken. In dat geval is de kans dat iemand aan de drugs is bij positieve uitslag 5%.

quote:

---

Op vrijdag 15 augustus 2003 15:50 schreef vincent23 het volgende:
5% van de mensen gebruikt een illegale drugs. Er is een drugtest, en die geeft in 95% van de gevallen het goede antwoord. Stel je voor dat je random iemand van straat plukt, en de test is positief.

Wat is de kans dat hij aan de drugs is ?

---

quote:

---

Op vrijdag 15 augustus 2003 15:50 schreef vincent23 het volgende:
Nog maar een nieuw puzzeltje om het puzzel forum weer leven in te blazen . . . een makkelijke en een moeilijkere, dus leef je uit :-) .........

1.

5% van de mensen gebruikt een illegale drugs. Er is een drugtest, en die geeft in 95% van de gevallen het goede antwoord. Stel je voor dat je random iemand van straat plukt, en de test is positief.

Wat is de kans dat hij aan de drugs is ?

---

Thabit, kun je een hintje geven voor 2 punten op afstand 1 met dezelfde kleur probleem?
Ik heb al van alles geprobeerd, maar tot op heden zonder resultaat .

quote:

---

Op vrijdag 15 augustus 2003 15:50 schreef vincent23 het volgende:
Op een morgen begint het met sneeuwen met een constant tempo, en je gaat met een sneeuwschuiver de straat schoonmaken. De sneeuwwagen kan een vaste hoeveelheid sneeuw per tijdseenheid verwerken, dus met andere woorden de snelheid van de sneeuwschuiver is omgekeerd evenredig met de diepte van de sneeuw.

Als de sneeuwschuiver het eerste uur twee keer zoveel afstand aflegde dan het eerste uur, hoe laat is het dan begonnen met sneeuwen?

---

code:

---

diepte=c*t
v=1/(c*t)
s=t/(1/(c*t))
s=c*t^2

  m        m+1
2*|c*t^2*dt=|c*t^2*dt   |=integraal
 m-1        m

  m          m+1
2*[c*1/3*t^3]=[c*1/3*t^3]
 m-1          m

2*(c*1/3*m^3-c*1/3*(m-1)^3)=c*1/3*(m+1)^3-c*1/3*m^3
2*(1/3*m^3-1/3*(m-1)^3)=1/3*(m+1)^3-1/3*m^3
2/3*m^3-2/3*(m-1)^3=1/3*(m+1)^3-1/3*m^3
m^3-2/3*(m-1)^3=1/3*(m+1)^3

                            1
(m-1)^3=m^3-3m^2+3m-1      1 1
(m+1)^3=m^3+3m^2+3m+1     1 2 1
                         1 3 3 1

m^3-2/3*(m^3-3m^2+3m-1)=1/3*(m^3+3m^2+3m+1)
m^3-2/3*m^3+2m^2-2m+2/3=1/3*m^3+m^2+m+1/3
m^3-2/3*m^3+2m^2-2m+2/3-1/3*m^3-m^2-m-1/3=0
m^2-3m+1/3=0
m=(3+sqrt((-3)^2-4*1*1/3))/2
m=(3+sqrt(9-4/3))/2
m=(3+sqrt(23/3))/2
m-1=(3+sqrt(23/3))/2-1

---

quote:

---

Op vrijdag 15 augustus 2003 15:50 schreef vincent23 het volgende:
2.

Op een morgen begint het met sneeuwen met een constant tempo, en je gaat met een sneeuwschuiver de straat schoonmaken. De sneeuwwagen kan een vaste hoeveelheid sneeuw per tijdseenheid verwerken, dus met andere woorden de snelheid van de sneeuwschuiver is omgekeerd evenredig met de diepte van de sneeuw.

Als de sneeuwschuiver het eerste uur twee keer zoveel afstand aflegde dan het eerste uur, hoe laat is het dan begonnen met sneeuwen?

---

De functie f(x) voor de relatieve sneeuwruimsnelheid is gegeven als 1/x waarbij x tevens de tijd is.

De afgelegde weg is dan g(x) de integraal over de functie f(x) = g'(x) = 1/x      >    g(x) = ln(x)

De afgelegde weg in het eerste uur is ln(x+1) - ln(x), waarbij x het relatieve tijdstip is waarop het begon te sneeuwen! De afgelegde weg in het tweede uur is ln(x+2) - ln(x+1), waarbij gegeven is dat in het eerste uur tweemaal meer afstand is afgelegd dan in het tweede uur. Dit geeft mij de op te lossen vergelijking:

2ln(x+2) - 2ln(x+1) = ln(x+1) - ln(x)     >   2ln(x+2) - 3ln(x+1) + ln(x) = 0     >   x²+x-1 = 0     >   x = 0.618

[Dit bericht is gewijzigd door the.moderator op 16-08-2003 18:43]

quote:

---

Op zaterdag 16 augustus 2003 18:45 schreef RIVDSL het volgende:
Ik ben na mijn fout op ongeveer hetzelfde uigekomen. Maar ik slaagde er helaas niet in om een functie als 2ln(x+2) - 3ln(x+1) + ln(x) = 0 op te lossen. Bij deze functie kom ik niet verder dan (x^3+4x^2+4x)/(x^3+3x^2+3x+1)=1
Kan je misschien uitleggen hoe je die hebt opgelost??

---

(x^3+4x^2+4x) / (x^3+3x^2+3x+1)=1     >   (x^3+4x^2+4x) = (x^3+3x^2+3x+1)

En pas daarna (x^3+3x^2+3x+1) van de linker en rechterterm van de vergelijking af te trekken:

(x^3+4x^2+4x) - (x^3+3x^2+3x+1) = 0    >  x^2+x-1 = 0

quote:

---

Op zaterdag 16 augustus 2003 20:12 schreef thabit het volgende:
Welk beroemde verhouding herkennen we hier in?

---

[Dit bericht is gewijzigd door the.moderator op 16-08-2003 20:40]

quote:

---

Op dinsdag 12 augustus 2003 00:56 schreef thabit het volgende:
Vervolg van (wiskundige) puzzeltjes.
1) In het platte vlak kleuren we elk punt rood, blauw of geel. Bewijs dat er 2 punten van dezelfde kleur zijn die op afstand 1 van elkaar liggen.

---

quote:

---

Op zaterdag 16 augustus 2003 20:25 schreef Sambal het volgende:

[..]

Ik begrijp de vraag niet, nja ik begrijp 'm wel maar een paar punten niet, het platte vlak wat betekend dat voor het aantal punten, en helemaal op afstand 1. Heeft het platte vlak 'driesplitsingen' waarbij elk punt op die splitsing een andere kleur heeft. (dus eigenlijk driehoeken).?

---

Ik pruts rustig verder in afwachting van thabit met het antwoord.

quote:

---

Op zaterdag 16 augustus 2003 23:15 schreef thabit het volgende:

[..]

Het platte vlak is gewoon een vlak. Dus zeg maar een oneindig groot stuk papier. Punten van het platte vlak hebben een x-coordinaat en een y-coordinaat die beide reeel zijn.

---

simpel voorbeeld van een punt met 3 buren:
b-g
|\|
r-r

quote:

---

Op vrijdag 15 augustus 2003 15:50 schreef vincent23 het volgende:

1.

5% van de mensen gebruikt een illegale drugs. Er is een drugtest, en die geeft in 95% van de gevallen het goede antwoord. Stel je voor dat je random iemand van straat plukt, en de test is positief.

Wat is de kans dat hij aan de drugs is ?

---

code:

---

                                  ----TRUE-NEGATIVE----(90.25%)
                                /
         ----NO---(95%)---(test)
       /                        \
      /                           ----FALSE-POSITIVE----(4.75%)
(100%)
      \                           ----TRUE-POSITIVE-----(4.75%)
       \                        /
         ---YES----(5%)---(test)
                                \
                                  ----FALSE-NEGATIVE----(0.25%)

---

quote:

---

Op zondag 17 augustus 2003 16:39 schreef Koekepan het volgende:
Een raadseltje waar ik niet uitkom: bestaat er een veelvoud van 5¹⁰⁰ waarvan de decimale schrijfwijze geen nullen bevat?

Ik pruts rustig verder in afwachting van thabit met het antwoord.

---

quote:

---

Op zondag 17 augustus 2003 17:02 schreef Sambal het volgende:

[..]

Ja ok, maar dan is de oplossing toch supertriviaal?

simpel voorbeeld van een punt met 3 buren:
b-g
|\|
r-r

---

quote:

---

Op zondag 17 augustus 2003 17:54 schreef thabit het volgende:

[..]

Ja, zo'n veelvoud bestaat. Hint hebben of antwoord?

---

quote:

---

Op zondag 17 augustus 2003 17:59 schreef Koekepan het volgende:

[..]

Doe maar een kleine hint. .

---

Heb je nog een leuk raadseltje? (Die met die drie punten ken ik al.)

Los op voor alle n:

f(x,y) is een functie die R^2 afbeeldt op R. Als P_1, P_2, ... , P_n de hoekpunten van een n-hoek zijn in het platte vlak, dan is f(P_1)+f(P_2)+...+f(P_n) = 0. Bewijs dat f(x,y) = 0 voor alle x,y.

quote:

---

Op zondag 17 augustus 2003 18:07 schreef Koekepan het volgende:
Een andere illustere Groninger kwam ooit met het volgende:

Los op voor alle n:

f(x,y) is een functie die R^2 afbeeldt op R. Als P_1, P_2, ... , P_n de hoekpunten van een n-hoek zijn in het platte vlak, dan is f(P_1)+f(P_2)+...+f(P_n) = 0. Bewijs dat f(x,y) = 0 voor alle x,y.

---

quote:

---

Op zondag 17 augustus 2003 17:42 schreef RIVDSL het volgende:
Aan zo'n test heb je dan dus werkelijk helemaal niets.

---

Als de uitslag (dan) echter negatief is, dan bestaat er slechts een marginale kans van 0.25/90.5 = 0,276% op een meetfout. Daarmee is de test goed genoeg voor juridisch/medisch specifieke negatieve indicaties.

^{Wat kun je hier nu uit leren? Betaal geen boete voor een positieve blaastest als je maar één of twee biertjes hebt gedronken. Die boete is dan waarschijnlijk eigenlijk voor het eten van een broodje shoarma met knoflooksaus.
                                                                            * CONTRA EXPERTISE *}

We hebben reele getallen 0=a0 < a1 < ... < an=1, die aan de volgende voorwaarde voldoen: voor elk paar indices (i,j) ongelijk aan (0,n) of (n,0) bestaat er een ander paar indices (k,l) met ai-aj=ak-al.

Bewijs dat de getallen a0,...,an rationaal zijn.

quote:

---

Op zondag 17 augustus 2003 18:19 schreef thabit het volgende:
Van de volgende opgave heb ik wel een oplossing gevonden, maar die is niet elementair. Toch heb ik zo'n vermoeden dat het elementair moet kunnen:

We hebben reele getallen 0=a0 < a1 < ... < an=1, die aan de volgende voorwaarde voldoen: voor elk paar indices (i,j) ongelijk aan (0,n) of (n,0) bestaat er een ander paar indices (k,l) met ai-aj=ak-al.

Bewijs dat de getallen a0,...,an rationaal zijn.

---

Een puzzletje is in mijn optiek een probleem waarvoor je een oplossing zoekt. En niet zoals in dit voorbeeld een specifieke Cantoriaanse oplossing, waar je een algemeen probleem voor zoekt !!!

quote:

---

Op zondag 17 augustus 2003 18:30 schreef the.moderator het volgende:
Waarom geef je steeds puzzletjes waarin je om elementaire bewijzen vraagt?

---

quote:

---

Op zondag 17 augustus 2003 18:30 schreef the.moderator het volgende:
Waarom geef je steeds puzzletjes waarin je om elementaire bewijzen vraagt?

---

quote:

---

Thabit schreef
Per definitie van het begrip puzzeltje. Veel wiskundigen, waaronder ook ik, vinden het mooi als dingen elementair bewezen kunnen worden.

---

Correctie: Het is toch mooi dat je hele theorien kan opsommen in een simpele formule!

zoals kresjur hieronder zij, natuurlijk volslagen onzin om te zeggen dat energie en relativiteit een en dezelfde zijn.. Mijn excuus

[Dit bericht is gewijzigd door 0d1n op 17-08-2003 22:38]

quote:

---

Op zondag 17 augustus 2003 20:29 schreef 0d1n het volgende:
Het is toch mooi dat je de hele relativiteits theorie met e=mc2 kan opsommen!

---

De afstand van A naar B is 1. Zo ook van A-C, B-C, B-D, C-D en D-E.

Stel dat het mogelijk is om het vlak zó te kleuren dat er twee punten zijn, die een afstand 1 onderling hebben, en die niet dezelfde kleur hebben, dan volgt er als volgt een tegenspraak:
Je begint met A een kleur te geven, zeg blauw. Dan moeten B en C andere kleuren hebben, dus eentje rood, de andere groen. Er volgt dat D weer blauw wordt. Teken nu de cirkel met als middelpunt A en punt op de rand D door. Neem een punt E op deze cirkel zodat de afstand [niet over de cirkelboog, maar 'afgesneden' (heet dit niet een koorde of zoiets?)] ook weer 1 is. E heeft dan een andere kleur dan D, zeg rood.

A is dus blauw, en E is rood. De punten B tot en met D doen nu niet meer ter zake. Nu kan je tussen A en E weer een dergelijke figuur maken met twee driehoeken aan elkaar, en voor de twee nieuwe punten heb je geen kleur meer over. Tegenspraak, dus zijn er twee punten met dezelfde kleur en afstand 1.

quote:

---

Op zondag 17 augustus 2003 18:19 schreef thabit het volgende:
Van de volgende opgave heb ik wel een oplossing gevonden, maar die is niet elementair. Toch heb ik zo'n vermoeden dat het elementair moet kunnen:

We hebben reele getallen 0=a0 < a1 < ... < an=1, die aan de volgende voorwaarde voldoen: voor elk paar indices (i,j) ongelijk aan (0,n) of (n,0) bestaat er een ander paar indices (k,l) met ai-aj=ak-al.

Bewijs dat de getallen a0,...,an rationaal zijn.

---

quote:

---

Op zondag 17 augustus 2003 21:06 schreef kresjur het volgende:
Ik had het volgende bedacht voor het probleem met de drie kleurtjes. Echt mooi vind ik het niet maar het klopt [volgens mij] wel.

[afbeelding]

De afstand van A naar B is 1. Zo ook van A-C, B-C, B-D, C-D en D-E.

Stel dat het mogelijk is om het vlak zó te kleuren dat er twee punten zijn, die een afstand 1 onderling hebben, en die niet dezelfde kleur hebben, dan volgt er als volgt een tegenspraak:
Je begint met A een kleur te geven, zeg blauw. Dan moeten B en C andere kleuren hebben, dus eentje rood, de andere groen. Er volgt dat D weer blauw wordt. Teken nu de cirkel met als middelpunt A en punt op de rand D door. Neem een punt E op deze cirkel zodat de afstand [niet over de cirkelboog, maar 'afgesneden' (heet dit niet een koorde of zoiets?)] ook weer 1 is. E heeft dan een andere kleur dan D, zeg rood.

A is dus blauw, en E is rood. De punten B tot en met D doen nu niet meer ter zake. Nu kan je tussen A en E weer een dergelijke figuur maken met twee driehoeken aan elkaar, en voor de twee nieuwe punten heb je geen kleur meer over. Tegenspraak, dus zijn er twee punten met dezelfde kleur en afstand 1.

---

Bewijs dat alle 13 getallen aan elkaar gelijk zijn.

Gegeven zijn de reele getallen x1,...,xn, die aan de volgende eigenschappen voldoen:
|x1+...+xn|=1
|xi|<=(n+1)/2 voor alle i.

Laat zien dat er een herschikking y1,...,yn van x1,...,xn bestaat zodanig dat
|y1+2*y2+...+n*yn| <= (n+1)/2.

quote:

---

Op zondag 17 augustus 2003 21:13 schreef thabit het volgende:

[..]

!

---

Is het misschien mogelijk om de rationele getallen zo te kleuren dat je een dergelijk paar niet kan vinden?

quote:

---

Op zondag 17 augustus 2003 22:01 schreef kresjur het volgende:

[..]

Echt mooi vind ik het niet, het is een beetje pielen tot je een leuke figuur hebt.

---

quote:

---

Is het misschien mogelijk om de rationele getallen zo te kleuren dat je een dergelijk paar niet kan vinden?

---

[Dit bericht is gewijzigd door thabit op 17-08-2003 22:57]

quote:

---

Op zondag 17 augustus 2003 22:18 schreef thabit het volgende:

[..]

Heel veel eenvoudiger zal het niet worden, behalve door aanpassing van de formulering hier en daar.

---

quote:

---

[..]

Hmm interessante vraag. Is meteen een nieuw puzzeltje .

---

quote:

---

Op zondag 17 augustus 2003 22:43 schreef kresjur het volgende:
Volgens mij kan het dan wel.

---

quote:

---

Op zondag 17 augustus 2003 23:51 schreef Koekepan het volgende:
Als je A definieert als de verzameling rationale punten (x,y) waarvoor de teller van (de vereenvoudigde breuk) x dezelfde pariteit (even of oneven) heeft als de teller van y, en B het complement van A, en A en B andere kleuren geeft, zou het volgens mij moeten werken.

---

quote:

---

Op zondag 17 augustus 2003 23:04 schreef thabit het volgende:
Het kan dan zelfs met 2 kleuren.

---

quote:

---

Op maandag 18 augustus 2003 13:04 schreef kresjur het volgende:

[..]

De enige rationele punten die een afstand 1 van (0,0) afliggen zijn (0,1) (0,-1), (1,0) (-1,0) toch?

---

2 4
S ( S Sqrt(x)/(1+x^2) dx) dy
-2 y^2

Wortel x
Dus: de integraal van Wortel x / 1+x^2 , ten eerste van y^2 tot 4 (dx), en daarna van -2 tot 2 dy.

Had ik vanochtend op een tentamen, kwam er niet helemaal uit. En als het even kan, waar ik dus helemaal niet uitkwam:

'Bereken door verwislling van integratievolgorde'.

Alvast bedankt!! ^o^

Het is natuurlijk wel een puzzeltje

Ik zal eens kijken, want volgens mij heb ik nog wel wat puzzeltjes liggen.

quote:

---

Op vrijdag 15 augustus 2003 16:14 schreef thabit het volgende:
Het kan bijvoorbeeld zo zijn dat als iemand aan de drugs is, de test altijd 'ja' zegt en voor overige 95% van de gevallen in 5 daarvan 'ja' zegt. In dat geval is de kans 50% dat de getrokken persoon aan de drugs is.

Maar het kan bijvoorbeeld ook dat de test altijd 'nee' zegt, ook dan is hij in 95% van de gevallen correct. In dat geval is de kans zelfs ongedefinieerd.

Nog een geval: als de test volkomen random ja/nee met een verhouding 5:95 kiest zonder naar de persoon te kijken. In dat geval is de kans dat iemand aan de drugs is bij positieve uitslag 5%.

---

0.95*0.05 / (0.95*0.05 + 0.05*0.95) = 1/2

Correct betekend dat voor de veslaafden de uitslag 95% kans Positief is en voor Niet-verslaafden (95% van de populatie) in 5% toch positief geeft.

quote:

---

Op zaterdag 16 augustus 2003 17:40 schreef the.moderator het volgende:

[..]

Hoe laat het is begonnen met sneeuwen kan ik niet weten, maar ik gok dat het 0,618 uur voordat hij is gestart met sneeuwruimen al is begonnen te sneeuwen.

De functie f(x) voor de relatieve sneeuwruimsnelheid is gegeven als 1/x waarbij x tevens de tijd is.

De afgelegde weg is dan g(x) de integraal over de functie f(x) = g'(x) = 1/x      >    g(x) = ln(x)

De afgelegde weg in het eerste uur is ln(x+1) - ln(x), waarbij x het relatieve tijdstip is waarop het begon te sneeuwen! De afgelegde weg in het tweede uur is ln(x+2) - ln(x+1), waarbij gegeven is dat in het eerste uur tweemaal meer afstand is afgelegd dan in het tweede uur. Dit geeft mij de op te lossen vergelijking:

2ln(x+2) - 2ln(x+1) = ln(x+1) - ln(x)     >   2ln(x+2) - 3ln(x+1) + ln(x) = 0     >   x²+x-1 = 0     >   x = 0.618

---

Dus even omrekenen in uren dan kan ik controleren of het klopt.

quote:

---

Op maandag 18 augustus 2003 15:45 schreef vincent23 het volgende:
Correct betekend dat voor de veslaafden de uitslag 95% kans Positief is en voor Niet-verslaafden (95% van de populatie) in 5% toch positief geeft.

---

quote:

---

Op maandag 18 augustus 2003 15:51 schreef thabit het volgende:

[..]

Okee, dan is het duidelijk . Ik snap dingen alleen maar als ze volledig gedefinieerd zijn . Dingen waarvoor dat niet geldt, daarvan weet ik domweg niet hoe je ze moet interpreteren.

---

Maar goed, jij bent ook altijd online

quote:

---

Op maandag 18 augustus 2003 16:05 schreef vincent23 het volgende:

[..]

Haha (1-0.95) = 0.05 (dus 5% niet correct)

Maar goed, jij bent ook altijd online

---

quote:

---

Op maandag 18 augustus 2003 16:11 schreef thabit het volgende:

[..]

Op dit moment even wel omdat ik nu veel tijd aan m'n scriptie moet besteden. En dus zit het forum een beetje op de achtergrond . Dat zat binnen een paar maanden wel over zijn vrees ik.

---

Verder. waar gaat (in het kort) je scriptie over, doe je veel met excel en doorrekenen van modellen ? Dynamische effecten of is het iets heel anders?

[Dit bericht is gewijzigd door vincent23 op 18-08-2003 16:21]

quote:

---

Op maandag 18 augustus 2003 16:20 schreef vincent23 het volgende:
Verder. waar gaat (in het kort) je scriptie over, doe je veel met excel en doorrekenen van modellen ? Dynamische effecten of is het iets heel anders?

---

doe je ook iets met driehoeken en platte vlakken?

Ik onderzoek een onopgelost probleem dat een bepaald soort integraal aan een elliptische kromme relateert. Ik ga niet het hele probleem op kunnen lossen maar wel een paar speciale gevallen.

En inderdaad, er komen ergens somreeksen over een driehoekig rooster in het complexe vlak om de hoek kijken .

quote:

---

Op maandag 18 augustus 2003 16:20 schreef vincent23 het volgende:
Goed hoor, dit forum is niet gemaakt daar ove te praten maar ik vind het knap dat je problemen zo snel kan omzetten in wiskundige equaties. Bij eenvoudige problemen snap ik dat ook wel als je wiskunde studeert en er veel mee doet, maar vooral raadsels en dergelijke problemen moet je weten welke tools er zijn en welke op dit probleem van toepassing zijn. Misschien zijn makkelijke raadsels wel moeilijker

---

quote:

---

Op maandag 18 augustus 2003 15:48 schreef vincent23 het volgende:

[..]

Ja goed allemaal, MAAR hoe laat is het begonnen met sneeuwen . . .

Dus even omrekenen in uren dan kan ik controleren of het klopt.

---

quote:

---

Op maandag 18 augustus 2003 17:47 schreef the.moderator het volgende:

[..]

In hoeveel megadecimalen nauwkeurig wil je het antwoord?

---

op de minuten of secondes graag
Want volgens mij is het: 0,618033989 uur eerder

Ik had zelf een iets andere oplossing, net iets anders:

Snelheid op tijdstip t is 1/t.
Op t=0 begint het sneeuwen.
t=x (bij de start)

Afstand eerste uur is ingegraal van x tot x+1 van 1/t dt.
Integraal van 1/t is ln(t) afstand in eerste uur is ln((x+1)/x).
2e uur is in ln((x+2)/(x+1)) afgelegd.
2 keer zoveel in het eerste uur:
ln((x+1)/x) = ln((x+2)/(x+1))2
(x+1)/x = ((x+2)/(x+1))2.

uitkomst:
x=(5^(1/2)-1)/2 eerder is het gaan sneeuwen, en dat is 0,618033989
uur

0,618033989*60=37 minuten
rest: 4 seconden
rest 92 honderdste

5:22:54:92:24
Zo ver hoeven we natuurlijk niet te gaan . . :-)

[Dit bericht is gewijzigd door vincent23 op 18-08-2003 20:39]

quote:

---

Op zondag 17 augustus 2003 17:11 schreef the.moderator het volgende:

[..]

Volgens onderstaand schema is de kans op een false-positive even groot als de kans op een true-positive. Ik houdt de werkelijke kans dat hij aan de drugs is dus op 50% en vraag om a second-opinion.

code:

---

                                  ----TRUE-NEGATIVE----(90.25%)
                                /
         ----NO---(95%)---(test)
       /                        \
      /                           ----FALSE-POSITIVE----(4.75%)
(100%)
      \                           ----TRUE-POSITIVE-----(4.75%)
       \                        /
         ---YES----(5%)---(test)
                                \
                                  ----FALSE-NEGATIVE----(0.25%)

---

---

quote:

---

Op maandag 18 augustus 2003 20:13 schreef vincent23 het volgende:

[..]
uitkomst:
x=(5^(1/2)-1)/2 eerder is het gaan sneeuwen, en dat is 0,618033989
uur

---

code:

---

Hoeveel is:
    1
1+-----
      1
  1+-----
        1
    1+-----
          1
      1+-----
            1
        1+-----
              .
               .
                .

---

quote:

---

Op maandag 18 augustus 2003 20:13 schreef vincent23 het volgende:

Om 6:00 's ochtends begin me met schuiven . . . Het is voor 6:00 begonnen met sneeuwen namelijk 5:2x:xx:xx

op de minuten of secondes graag

6,81 of 6,18 uur eerder ?

Want volgens mij is het: 0,618033989 uur eerder

---

quote:

---

Op zaterdag 16 augustus 2003 17:40 schreef the.moderator het volgende:

Hoe laat het is begonnen met sneeuwen kan ik niet weten, maar ik gok dat het 0,618 uur voordat hij is gestart met sneeuwruimen al is begonnen te sneeuwen.

---

               * D E   G O U D E N   S N E D E  =  0,6180339887498948482045868343656

Hetzelfde geldt voor opgave 1 die ook in één keer goed was:

quote:

---

Op zondag 17 augustus 2003 17:11 schreef the.moderator het volgende:

Volgens onderstaand schema is de kans op een false-positive even groot als de kans op een true-positive. Ik houdt de werkelijke kans dat hij aan de drugs is dus op 50%

---

[Dit bericht is gewijzigd door the.moderator op 18-08-2003 20:49]

quote:

---

Op maandag 18 augustus 2003 20:42 schreef vincent23 het volgende:

[..]

Thabit een leuke voor jou

code:

---

Hoeveel is:
    1
1+-----
      1
  1+-----
        1
    1+-----
          1
      1+-----
            1
        1+-----
              .
               .
                .

---

En veder is er een verband met de vorige opgave ?

---

quote:

---

Op maandag 18 augustus 2003 21:05 schreef Koekepan het volgende:
Nog een raadsel: waarom klinkt de muziek van Bach (meestal) zo wiskundig?

---

quote:

---

Op maandag 18 augustus 2003 21:50 schreef the.moderator het volgende:
 
 
                                                            Komen er geen nieuwe puzzletjes meer?

---

quote:

---

Op zondag 17 augustus 2003 18:07 schreef Koekepan het volgende:
Los op voor alle n:

f(x,y) is een functie die R^2 afbeeldt op R. Als P_1, P_2, ... , P_n de hoekpunten van een regelmatige n-hoek zijn in het platte vlak, dan is f(P_1)+f(P_2)+...+f(P_n) = 0. Bewijs dat f(x,y) = 0 voor alle x,y.

---

quote:

---

Op zondag 17 augustus 2003 21:27 schreef thabit het volgende:
Gegeven zijn de reele getallen x1,...,xn, die aan de volgende eigenschappen voldoen:
|x1+...+xn|=1
|xi|<=(n+1)/2 voor alle i.

Laat zien dat er een herschikking y1,...,yn van x1,...,xn bestaat zodanig dat
|y1+2*y2+...+n*yn| <= (n+1)/2.

---

quote:

---

Op maandag 18 augustus 2003 23:12 schreef kresjur het volgende:
Hmm als eerste beginnetje... Als je alle x_i gelijk neemt aan 1/n , is de laatste kleiner-dan een gelijk, dus je raakt de afschatting precies. Als je vanuit die situatie een getal groter maakt, moet dat gecompenseerd worden door een getal wat kleiner wordt. Dat kleinere getal kan je in de herschikking een hogere 'wegingsfactor' geven, zodat de som kleiner wordt.

---

quote:

---

Op maandag 18 augustus 2003 23:19 schreef Koekepan het volgende:
Ja, dit soort gedachten gaan er dus ook vier-en-een-half uur door mijn hoofd, bij die moeilijke (IMO-)puzzels. Ik zie intuitief wel een paar dingen zitten, maar ik kan nooit precies de juiste wiskundige ideeen verzinnen om ze daarmee ook daadwerkelijk op te lossen.

---

quote:

---

Op zondag 17 augustus 2003 18:05 schreef Koekepan het volgende:
Een raadseltje waar ik niet uitkom: bestaat er een veelvoud van 5¹⁰⁰ waarvan de decimale schrijfwijze geen nullen bevat?

Verrek, hij is ook wel beschamend eenvoudig. .

---

[Dit bericht is gewijzigd door kresjur op 18-08-2003 23:42]

quote:

---

Op maandag 18 augustus 2003 22:35 schreef Koekepan het volgende:
Nou, the.moderator, aan jou de eer om {1,2,3...,32} in zestien paren {a_i, b_i}, i = 1,2...16, te verdelen zodat de 32 getallen a_i + b_i en | a_i - b_i | alle van elkaar verschillen.

---

^{Het kan dus ff duren voordat ik ze allemaal gechecked heb. Vind je het erg om een paar jaar te moeten wachten?}

quote:

---

Op maandag 18 augustus 2003 23:33 schreef kresjur het volgende:

[..]

Bah, ik voel mezelf beschamend dom [edit: Ik weet 'm dus niet]

---

quote:

---

Op maandag 18 augustus 2003 21:50 schreef the.moderator het volgende:
 
 
                                                            Komen er geen nieuwe puzzletjes meer?

---

quote:

---

Op maandag 18 augustus 2003 23:52 schreef vincent23 het volgende:

[..]

Wat vind je van de mijne . . . Hij is echt super gaaf in aanvulling op jouw oplossing (zie mijn post) van de vorige!!!

---

Welke post bedoel je nu eigenlijk?

quote:

---

Op maandag 18 augustus 2003 23:54 schreef the.moderator het volgende:

[..]

Jouw laatste twee simpele puzzletjes had ik al opgelost en ik zie geen nieuw puzzeltje?!

Welke post bedoel je nu eigenlijk?

---

quote:

---

Op maandag 18 augustus 2003 20:13 schreef vincent23 het volgende:

[..]
uitkomst:
x=(5^(1/2)-1)/2 eerder is het gaan sneeuwen, en dat is 0,618033989
uur

---

code:

---

Hoeveel is:
    1
1+-----
      1
  1+-----
        1
    1+-----
          1
      1+-----
            1
        1+-----
              .
               .
                .

---

quote:

---

Op dinsdag 19 augustus 2003 00:00 schreef vincent23 het volgende:

code:

---

Hoeveel is:
    1
1+-----
      1
  1+-----
        1
    1+-----
          1
      1+-----
            1
        1+-----
              .
               .
                .

---

---

De oplossing voor het sneeuwruim verhaal had ik zelf al iets didactischer gegeven, door van relatieve waarden uit te gaan. Dat geeft een duidelijker omschrijving van waar de uiteindelijke vergelijking op gebaseerd is. Er zit geen wezenlijk verschil tussen jouw oplossing en de mijne, behalve in de formulering.

quote:

---

Op zaterdag 16 augustus 2003 17:40 schreef the.moderator het volgende:

* Hoe laat het is begonnen met sneeuwen kan ik niet weten, maar ik gok dat het 0,618 uur voordat hij is gestart met sneeuwruimen al is begonnen te sneeuwen.

De functie f(x) voor de relatieve sneeuwruimsnelheid is gegeven als 1/x waarbij x tevens de tijd is.

De afgelegde weg is dan g(x) de integraal over de functie f(x) = g'(x) = 1/x > g(x) = ln(x)

De afgelegde weg in het eerste uur is ln(x+1) - ln(x), waarbij x het relatieve tijdstip is waarop het begon te sneeuwen! De afgelegde weg in het tweede uur is ln(x+2) - ln(x+1), waarbij gegeven is dat in het eerste uur tweemaal meer afstand is afgelegd dan in het tweede uur. Dit geeft mij de op te lossen vergelijking:

2ln(x+2) - 2ln(x+1) = ln(x+1) - ln(x) > 2ln(x+2) - 3ln(x+1) + ln(x) = 0 > x²+x-1 = 0 > x = 0.618

---

^{* Ik vond 't trouwens wel jammer dat je niet hapte toen ik vroeg; "Hoeveel Megadecimalen nauwkeurig?".}

• De meer exacte oplossing, en als je er 1 bij optelt tevens het antwoord van de opgave bovenaan, is:

quote:

---

0,61803398874989484820458683436563811772030917980576286213544862270526046281890
 244970720720418939113748475408807538689175212663386222353693179318006076672635
 443338908659593958290563832266131992829026788067520876689250171169620703222104
 321626954862629631361443814975870122034080588795445474924618569536486444924104
 432077134494704956584678850987433944221254487706647809158846074998871240076521
 705751797883416625624940758906970400028121042762177111777805315317141011704666
 599146697987317613560067087480710131795236894275219484353056783002287856997829
 778347845878228911097625003026961561700250464338243776486102838312683303724292
 675263116533924731671112115881863851331620384005222165791286675294654906811317
 159934323597349498509040947621322298101726107059611645629909816290555208524790
 352406020172799747175342777592778625619432082750513121815628551222480939471234
 145170223735805772786160086883829523045926478780178899219902707769038953219681
 986151437803149974110692608867429622675756052317277752035361393621076738937645
 560606059216589466759551900400555908950229530942312482355212212415444006470340
 565734797663972394949946584578873039623090375033993856210242369025138680414577
 995698122445747178034173126453220416397232134044449487302315417676893752103068
 737880344170093954409627955898678723209512426893557309704509595684401755519881
 921802064052905518934947592600734852282101088194644544222318891319294689622002
 301443770269923007803085261180754519288770502109684249362713592518760777884665
 836150238913493333122310533923213624319263728910670503399282265263556209029798
 642472759772565508615487543574826471814145127000602389016207773224499435308899
 909501680328112194320481964387675863314798571911397815397807476150772211750826
 945863932045652098969855567814106968372884058746103378105444390943683583581381
 131168993855576975484149144534150912954070050194775486163075422641729394680367
 319805861833918328599130396072014455950449779212076124785645916160837059498786
 006970189409886400764436170933417270919143365013715766011480381430626238051432
 117348151005590134561011800790506381421527093085880928757034505078081454588199
 063361298279814117453392731208092897279222132980642946878242748740174505540677
 875708323731097591511776297844328474790817651809778726841611763250386121129143
 683437670235037111633072586988325871033632223810980901211019899176841491751233
 134015273384383723450093478604979294599158220125810459823092552872124137043614
 910205471855496118087642657651106054588147560443178479858453973128630162544876
 114852021706440411166076695059775783257039511087823082710647893902111569103927
 683845386333321565829659773103436032322545743637204124406408882673758433953679
 593123221343732099574988946995656473600729599983912881031974263125179714143201
 231127955189477817269141589117799195648125580018455065632952859859100090862180
 297756378925999164994642819302229355234667475932695165421402109136301819472270
 789012208728736170734864999815625547281137347987165695274890081443840532748378
 137824669174442296349147081570073525457070897726754693438226195468615331209533
 579238014609273510210119190218360675097308957528957746814229543394385493155339
 630380729169175846101460995055064803679304147236572039860073550760902317312501
 613204843583648177048481810991602442523271672190189334596378608787528701739359
 303013359011237102391712659047026349402830766876743638651327106280323174069317
 334482343564531850581353108549733350759966778712449058363675413289086240632456
 395357212524261170278028656043234942837301725574405837278267996031739364013287
 627701243679831144643694767053127249241047167001382478312865650649343418039004
 101780533950587724586655755229391582397084177298337282311525692609299594224000
 056062667867435792397245408481765197343626526894488855272027477874733598353672
 776140759171205132693448375299164998093602461784426757277679001919190703805220
 461232482391326104327191684512306023627893545432461769975753689041763650254785
 138246314658336383376023577899267298863216185839590363998183845827644912459809
 370430555596137973432613483049494968681089535696348281781288625364608420339465
 381944194571426668237183949183237090857485026656803989744066210536030640026081
 711266599541993687316094572288810920778822772036366844815325617284117690979266
 665522384688311371852991921631905201568631222820715599876468423552059285371757
 807656050367731309751912239738872246825805715974457404842987807352215984266766
 257807706201943040054255015831250301753409411719101929890384472503329880245014
 367968441694795954530459103138116218704567997866366174605957000344597011352518
 134600656553520347888117414994127482641521355677639403907103870881823380680335
 003804680017480822059109684420264464021877053401003180288166441530913939481564
 031928227854824145105031888251899700748622879421558957428202166570621880905780
 880503246769912972872103870736974064356674589202586565739785608595665341070359
 978320446336346485489497663885351045527298242290699848853696828046459745762651
 434359050938321243743333870516657149005907105670248879858043718151261004403814
 880407252440616429022478227152724112085065788838712493635106806365166743222327
 767755797399270376231914704732395512060705503992088442603708790843334261838413
 597078164829553714321961189503797714630007555975379570355227144931913217255644
 012830918050450089921870512118606933573153895935079030073672702331416532042340
 155374144268715405511647961143323024854404094069114561398730260395182816803448
 252543267385759005604320245372719291248645813334416985299391357478698957986439
 498023047116967157362283912018127312916589952759919220318372356827279385637331
 265479985912463275030060592567454979435088119295056854932593553187291418011364
 121874707526281068698301357605247194455932195535961045283031488391176930119658
 583431442489489856558425083410942950277197583352244291257364938075417113739243
 760143506829878493271299751228688196049835775158771780410697131966753477194792
 263651901633977128473907933611119140899830560336106098717178305543540356089529
 290818464143713929437813560482038947912574507707557510300242072662900180904229
 342494259060666141332287226980690145994511995478016399151412612525728280664331
 261657469388195106442167387180001100421848302580916543383749236411838885646851
 431500637319042951481469424314608952547072037405566913069220990804819452975110
 650464281054177552590951871318883591476599604131796020941530858553323877253802
 327276329773721431279682167162344211832018028814127474431688472184593927814354
 740999990722332030592629766112383279833169882539312620065037028844782866694044
 730794710476125586583752986236250999823233597155072338383324408152577819336426
 263043302658958170800451278873115935587747217256494700051636672577153920984095
 032745112153687300912199629522765913163709396860727134269262315475330437993316
 581107369643142171979434056391551210810813626268885697480680601169189417502722
 987415869917914534994624441940121978586013736608286907223651477139126874209665
 137875620591854328888341742920901563133283193575622089713765630978501563154982
 456445865424792935722828750608481453351352181729587932991171003247622205219464
 510536245051298843087134443950724426735146286179918323364598369637632722575691
 597239543830520866474742381511079273494836952396479268993698324917999502789500
 060459661313463363024949951480805329017902975182515875049007435187983511836032
 722772601717404535571658855578297291061958193517105548257930709100576358699019
 297217995168731175563144485648100220014254540554292734588371160209947945720823
 780436871894480563689182580244499631878342027491015335791072733625328906933474
 123802222011626277119308544850295419132004009998655666517756640953656197897818
 380451030356510131589458902871861086905893947136801484570018366495647203294334
 374298946427412551435905843484091954870152361403173913903616440198455051049121
 169792001201999605069949664030350863692903941007019450532016234872763232732449
 439630480890554251379723314751852070910250636859816795304818100739424531700238
 804759834323450414258431406361272109602282423378228090279765960777108493915174
 887316877713522390091171173509186006546200990249758527792542781659703834950580
 106261553336910937846597710529750223173074121778344189411845965861029801877874
 274456386696612772450384586052641510304089825777754474115332076407588167751497
 553804711629667771005876646159549677692705496239398570925507027406997814084312
 496536307186653371806058742242598165307052573834541577054292162998114917508611
 311765773172095615656478695474489271320608063545779462414531066983742113798168
 963823533304477883169339728728918103664083269856988254438516675862289930696434
 684897514840879039647604203610206021717394470263487633654393195229077383616738
 981178124248365578105034169451563626043003665743108476654877780128577923645418
 522447236171374229255841593135612866371670328072171553392646325730673063910854
 108868085742838588280602303341408550390973538726134511962926415995212789311354
 431460152730902553827104325966226743903745563612286139078319433570590038148700
 898661315398195857442330441970856696722293142730741384882788975588860799738704
 470203166834856941990965480298249319817657926829855629723010682777235162740783
 807431877827318211919695280051608791572128826337968231272562870001500182929757
 729993579094919640763442861575713544427898383040454702710194580042582021202344
 580630345033658147218549203679989972935353919681213319516537974539911149424445
 183033858841290401817818821376006659284941367754317451605409387110368715211640
 405821934471204482775960541694864539878326269548013915019038995931306703186616
 706637196402569286713887146631189192685682691995276457997718278759460961617218
 868109454651578869122410609814197268619255478789926315359472922825080542516906
 814010781796021885330762305563816316401922454503257656739259976517530801427160
 714308718862859836037465057134204670083432754230277047793311183666903232885306
 873879907135900740304907459889513647687608678443238248218930617570319563803230
 819719363567274196438726258706154330729637038127515170406005057594882723856345
 156390526577104264594760405569509598408889037620799566388017861855915944111725
 092313279771138032943765475090165169496509916073833937715833230245701948347400
 070437618671998483401631826008462619656284649118225688857521346375490254180833
 821383522245258726789379505375915603579454698509102256225455003017571049469833
 483545323835260787092219304581782306012370753280678368541306584636788866433486
 249368010198782799630670259543265137806007386392908564830874157618741897345848
 450141889765293411013722158643559915527113623322003526677859159890231446163321
 026519665907632061524383747619049531582968836265042094840105654589130629827717
 249809641959472340465110419821347689354018038256954956286039244264159867485982
 280060353862839166201252826607493306196584965199979419393226017235710733642537
 083033011433624985753635970424446475998999950855041354977558585934576590926533
 307252775416758431466936767806170350120038448748838233760344077515947781221883
 070900087386627362091660799050226989270321899760379509890591085910392967345614
 610700304581921273892599269610621167643642438350141020408632149917815297968152
 237983224273753657008553469979655413859050326836160222788475547062698439108852
 103020768604706804556846560491686498860616222952323907098092629302337956482179
 981632645827888877674520846371971063478923106675469355047615197781699025881840
 407927510901824482787052505976983753514306224450902202382439823125505841623207
 188319300693606464682096595006549290109716186526367216107417136183776673327975
 626854801245657682790317603946555394523143387567730349791578588591011663748455
 675847952713918608782540104233329857442747118969610485126401975043599092076621
 558998660736837623188358845081292950114665354828171448464056865246540907815471
 619625784469575262569455165601519164029217988548909373280314651922247590030965
 715490505361043776868772619159528449204647868973473708598413845131621192972012
 634240773694545981865029659233534512568454974541129819735876670728601616056204
 230636066130281496773445797737750557564665475256322648177116997857087122831543
 104569123262503497681152452174497396136748822046480519688754341969511933120450
 216051429384844754523821270143830957855813619678302310685080845876952059053294
 683384904712099162556365034003439670828933698367423001575117385151269123066172
 276414421607512917341874714315093241924914160969998672815823859257359823894849
 274919646152272273338746312138436262116379467062032630225055489580573083750461
 299231136299173069489407342588319483999274163950984439634057635284717562762192
 786522539608720131080486406534396168875452534263098969517619019770963192258709
 342165955974471750157538376741522280570650280683143356524917199733358403064153
 550759115974264366482846628136802174505909705894602744292632222215459450758046
 571206068639904308236939693208237490767561190171561305424813311715242568478463
 363770015204417916501168232575236160495749706390822443444510351219048819830276
 001766809850965245439007199098034993026860675523879685292194732393352370086650
 221407464554037222343481675749373144640928379006539196774010355861936181566836
 616864892395554961452826472894994160615803045867891461971728155451100056660542
 499691974102798740593276434953714525167694620698597880946950174730228414275718
 871940921209137994059430370504364838600434645227993302923901865922689874992113
 256560557840142335426058951056203690720289393159204404768359276364799600596404
 860761989159298194950878786027663459905404263770045900803279434720629825445256
 356479542992488198646136171314485773469953475577155491384239289401754034139973
 846169481293479242234609743019627523013828607224496380953838401526567819764507
 588547855155492345234781646033062938842009950803260140918302574385770671025227
 243666905988908545015570754230316665924723528924702588624794887546252765727285
 151112878270673454310244515233456542284311039679528296250193698939983473961763
 988095735415260145372964681473821843600521099472119416591494716705203792255209
 633645848468041447780302164728623999264048363508773747824501638200895240322534
 379925790129265640155537754091751704419627285039126695956664877242967660367303
 453668734049079141886945214715827908157233969124039985869390855173079801955546
 128513408912061084012213617070570430060569246855916468834773320856891412679428
 448041384682813256929148160109786272696866867373917118931462269134894580427789
 899608144709524762905019260311649206867743318661546966896601822663578788750608
 856243562678932797354633904182108774638039216244772025672699596391824687788455
 497179038515839204748319903127622437066235092518775434140107112335865907748122
 063763459019884225472727655290504399502524440391136582670813300580588209460310
 208261341369127572936992893029961730892843670315238589753987388936807441526373
 794240506448764171768613552343269865728970463069180174277972173889859443284852
 057257588337563820150546720651674252681894851673328046307647813293132602893229
 366045210213189812987661526244487486693890406178469916665417485084597970146178
 215845014919572109825089234517474512254327386819725864944588083771398685065984
 085457731654169174067052111949166286337732263753475666370022120327524389997736
 006074042702972203634778048298834855189525079474605519940340110771169725644261
 005092059843362535847069597185762616776630211747878341975644501838041029203240
 408826617344339090263522350506828582854432839618480925376130820115626869907999
 117084755586982150310073563240421988569584200682439926953784403202222374628147
 659230605547476936830576549677690471159625502474507809624837449908025613750915
 622359081010534493941774294277091445166668700415228544638076615351141556487854
 936011387473103828773313388391709646174829063156788065182761765798535021665998
 607464012674884121130098549938337106031962506702797524310119377335548537011694
 674858888363080333287739571656275340367272180705622562326374148833499289970258
 977299224036941750743427314194157432466794578586039894075097356363688815672159
 676354380665593938934382075984061216064317664421902677773799145579945031468708
 716266226524133590569928494006372744908821635242948022566330458553636337251762
 049074624062938962390622030424872688432377631733574205753997574373508409657792
 180880089420590662572782307692788656445563758012667280952527379828030076636976
 928164844651277473822397061738567507146692748220374881122563994075227626464994
 658463674019559973702838393119884822335539964978333165008467491254522956512409
 390963784095416901234675375280139080830863022653352387069273071984654649454979
 101134287154636695543437462154391886526085366974366530588562164411648068912837
 357794341530609478457270987037976921346205969538843826760827659181773627669918
 727803754219954172428335791064520613736884708545165822193158645377018313401818
 827251099922917614711860529176551422881123566217241692680620648845317615164272
 953585798375412375876100415475805595730122459276711895277333823356043374201321
 392804317053379463646428351993014576706491847707768959885421647973371769625943
 938648074893633201098893643528324494132569317438323509258286421276209473432879
 984387198291625035886368857440896091619767553023636147840186271827708891360398
 933077293060296717760258418030133475474406093218222662077059842476082637941388
 598601935208959821941885723823714271930349354518240112671046073097412681279072
 726438685681544729144826761389945092064098792647692574698812334642995267308237
 405720406143748700867048612599590178424976845844736824827947824753176338174814
 799571031203396345226743415123722322454626546328353564246627786460839872179127
 843089641636422237152822199860850600158245169478318926060165827491142774933502
 865503727691068107557826463340399219222602208590967841860013859653877265826244
 657597694069240541804444738471607901449743018055889337623761296918229234768453
 759556468421122698731637506249971182291485689604472527760093934343558339195165
 132985623645893149101860849683480338090932736261062054795970421298669883573560
 404347128399801249802209466851093490407878450102117684276345079137687609746900
 665759683043519266676563960922648845670212850744821184836102907689196493402300
 641753173483914758916672023069245347107627719792524997328576890388680141780313
 799483651089527220946591304506656658258539174690486872649902546765966599164547
 365134259755577397348506528439977384490513905829430130008366961455669748537793

---

[Dit bericht is gewijzigd door the.moderator op 19-08-2003 01:22]

quote:

---

Op dinsdag 19 augustus 2003 00:28 schreef the.moderator het volgende:

[..]

Die opgave voor de berekening van 1/Phi lijkt mij nogal elementair en dus meer geschikt voor thabit.

---

[Dit bericht is gewijzigd door Koekepan op 19-08-2003 00:48]

Als je m keer mag wegen dan kan je maximaal (3^m - 1)/2 - 1 gewichten hebben. Door middel van onderstaande constructie is het mogelijk om een geschikte matrix A (zoals al in een eerdere post uitgelegd is) te construeren.

Laat de kolommen (1,...,1) (m enen achter elkaar) en de kolommen die bijna overal 0 zijn op een plaats na, waar hij de waarde 1, heeft even buiten beschouwing, evenals hun inverse (kolom vermenigvuldigd met -1). De kolom (1,...,1,-1) (m-1 enen gevolgd door een -1) zal in het geheel niet mee doen.

Beschouw de kolommen in paren van de vorm (x, 1, y) en (x, -1, y). De x betekent het stuk dat voor het laatste getal ongelijk aan 0 staat en y staat voor het resterende stuk van de kolom bestaande uit louter 0'en. De 1 (en dus ook de -1) staat op rij a.

Als je nu (x, 1, y) en de inverse van (x, -1, y) daadwerkelijk in de matrix A zet, dan voegt dit 2 toe aan de rijsom (van de tot dan toe geplaatste kolommen) van rij a. Aan de overige rijsommen verandert niets, omdat x - x = 0 en y - y = 0. Als je de inverse van (x, 1, y) en (x, -1, y) daadwerkelijk in de matrix zet, dan voegt dit -2 toe aan de rijsom van rij a en niks aan de overige rijsommen.

Voeg nu steeds voor elke mogelijke x de kolommen toe zodanig dat de rijsom steeds 0 of 2 is. Dit kan omdat je kan kiezen uit de rijsom met 2 verhogen of de rijsom met 2 verlagen. Hierna voeg je (-1,...,-1) toe aan de matrix. Evenals de benodigde bijna nul kolommen of een inverse daarvan om elke rijsom op 0 te krijgen.

Hiermee is de constructie van de matrix A voltooid.

Stel nu dat het mogelijk zou zijn om het met (3^m - 1)/2 gewichten te doen. Merk op dat dit tevens het maximum aantal beschikbare kolommen is. Zeg dat hier matrix B bij hoort en neem voor het gemak aan dat de kolom (1,...,1,-1) (of zijn inverse) de laatste kolom van B is. Het is bekend dat de kolommen zoals in bovenstaande constructie voor elke rij een rijsom van 0 opleveren. Als er in de matrix van B een inverse van een kolom van A voorkomt, dan zijn de rijsommen van B -2, 0 of 2 groter dan die van A. De rijsommen van A en B verschillen dus altijd een veelvoud van 2. De laatste kolom van B kan deze rijsommen dus nooit 0 maken. Het is dus niet mogelijk om het probleem met meer gewichten op te lossen.

(het laatste stuk heb ik misschien wel wat te wazig uit gelegd, maar ik ben te moe om het echt duidelijk uit te leggen).

Shit, dat lijkt dus net te kunnen kloppen.

Is er nog een uitslag die onmogelijk is?

quote:

---

Op dinsdag 19 augustus 2003 01:09 schreef thabit het volgende:
Wat nou als je wegingsmethode niet op een matrix gebaseerd is? Dus dat de gekozen ballen nog afhangen van de uitslagen van voorgaande wegingen. Waarom kan het dan nog steeds niet met (3^m-1)/2 gewichten?

---

Mariska heeft elke dag les tot drie uur. Haar moeder haalt haar dan met de auto op. Ze zijn dan om 3.20 uur thuis. De afgelegde weg van school naar huis is 15,0 km. Op woensdag valt plotseling het laatste lesuur uit en is ze 50 minuten eerder klaar. Het is mooi weer en ze besluit alvast een eind naar huis te wandelen. Haar moeder vertrekt thuis even laat als normaal. Moe gewandeld wordt Mariska even later opgepikt. Uiteindelijk is ze toch nog 01 minuten eerder thuis dna normaal.

Bepaal hoe lang Mariska gewandeld heeft.

[..]

De opgave voor de berekening van Phi=1/phi lijkt mij nogal elementair. Dus meer geschikt voor thabit.

De oplossing voor het sneeuwruim verhaal had ik zelf al iets didactischer gegeven, door van relatieve waarden uit te gaan. Dat geeft een duidelijker omschrijving van waar de uiteindelijke vergelijking op gebaseerd is. Er zit geen wezenlijk verschil tussen jouw oplossing en de mijne, behalve in de formulering.
[..]

HOE KOM JE NOU AAN ZOVEEL DECIMALEN WELK PROGRAMMA GEBRUIK JIJ ???

quote:

---

Op dinsdag 19 augustus 2003 08:52 schreef Wolfje het volgende:

[..]

Als je een keuze maakt gebaseerd op eerdere wegingen, dan kies je eigenlijk een matrix uit een verzameling matrices die je mogelijk gaat gebruiken. Zie het als een structuur waarbij elke matrix zich steeds vertakt (hierin zit dan telkens de keuze) in andere matrices die overigens wel nog steeds dezelfde reeds gewogen rijen hebben.
Elk van de matrices uit deze verzameling is onmogelijk op basis van bovenstaand bewijs.

---

quote:

---

Op dinsdag 19 augustus 2003 10:54 schreef thabit het volgende:

[..]

Ik ben nou niet bepaald overtuigd.

---

quote:

---

Op dinsdag 19 augustus 2003 12:37 schreef Wolfje het volgende:

[..]

Als je nou ook nog even vermeldt welk deel van de bewijsvoering jou niet kan overtuigen, dan zal ik mijn best gaan doen om het wat helderder te krijgen.

---

quote:

---

Op dinsdag 19 augustus 2003 10:34 schreef vincent23 het volgende:
HOE KOM JE NOU AAN ZOVEEL DECIMALEN WELK PROGRAMMA GEBRUIK JIJ ???

---

[Dit bericht is gewijzigd door Koekepan op 19-08-2003 14:24]

quote:

---

Op dinsdag 19 augustus 2003 03:48 schreef Koekepan het volgende:
Nog een puzzeltje: bewijs dat Phi niet te schrijven is als een breuk p/q, met p en q gehele getallen.

---

Open maar een onzintopic "spam hier zoveel mogelijk decimalen" ofzo.

quote:

---

Op dinsdag 19 augustus 2003 13:54 schreef thabit het volgende:
Kap nou es effe met die decimalen!
.

Open maar een onzintopic "spam hier zoveel mogelijk decimalen" ofzo.

---

quote:

---

Op maandag 18 augustus 2003 22:35 schreef Koekepan het volgende:
Nou, the.moderator, aan jou de eer om {1,2,3...,32} in zestien paren {a_i, b_i}, i = 1,2...16, te verdelen zodat de 32 getallen a_i + b_i en | a_i - b_i | alle van elkaar verschillen.

---

Het is NIET mogelijk om de gegeven verzameling zodanig in zestien paren te verdelen zodat de 32 getallen a_i + b_i en | a_i - b_i | alle van elkaar verschillen.

quote:

---

Op dinsdag 19 augustus 2003 14:44 schreef the.moderator het volgende:
Het is NIET mogelijk om de gegeven verzameling zodanig in zestien paren te verdelen zodat de 32 getallen a_i + b_i en | a_i - b_i | alle van elkaar verschillen.

---

quote:

---

Op dinsdag 19 augustus 2003 15:03 schreef Koekepan het volgende:

[..]

Is dat een gok, heb je dat met een computer berekend, of kun je dat bewijzen?

---

Ze allemaal algoritmisch checken kan ook, maar dat duurt veel langer. Niet zo lang als ik eerst dacht, omdat de permutaties invariant zijn voor a_i en b_i verwisseling   > (N-1)! / (N/2)! .

[Dit bericht is gewijzigd door the.moderator op 19-08-2003 15:37]

quote:

---

Op dinsdag 19 augustus 2003 14:40 schreef the.moderator het volgende:

[..]

HEB JE ZE ALLEMAAL AL GECHECKED?

---

quote:

---

Op dinsdag 19 augustus 2003 16:06 schreef thabit het volgende:

Als jij decimaal was geweest zou je het toch ook niet leuk vinden om gecheckt te worden? Ik bedoel, je bent dan al gespammed, alsof dat nog niet erg genoeg is.

---

* Strijd ook voor de multi-decimale samenleving. NOT *

[Dit bericht is gewijzigd door the.moderator op 19-08-2003 16:21]

quote:

---

Op dinsdag 19 augustus 2003 15:22 schreef the.moderator het volgende:
kun je daar gemakkelijk een Monte-Carlo simulatie op loslaten. Je vindt dan dat er bij arbitraire sortering in 100% van de gevallen minimaal twee overeenkomstige resultaten optreden.

---

quote:

---

Op dinsdag 19 augustus 2003 18:21 schreef Koekepan het volgende:

Nogal wiedes lijkt me, als er veel van zulke paren waren zou het geen moeilijk puzzeltje zijn. Dat is dus een bewijs van niks.

---

^{P.S. Ik geloof niet in bewijzen, alle bewijzen tegen mij zijn gelogen, zegt m'n advocaat altijd tegen de rechtbank.}

Als je mijn oplossing niet gelooft, dan reken je 't zelf toch na. Laat wel ff weten of m'n antwoord goed was?

[Dit bericht is gewijzigd door Koekepan op 19-08-2003 21:10]

quote:

---

Op zondag 17 augustus 2003 21:20 schreef thabit het volgende:
Gegeven zijn 13 gehele getallen a1,...,a13 met de volgende eigenschap: voor elke ai geldt dat als we die weghalen dat we de overgebleven 12 getallen kunnen opdelen in 2 groepjes van 6 zodanig dat de som van het ene groepje gelijk is aan de som van het andere groepje.

Bewijs dat alle 13 getallen aan elkaar gelijk zijn.

---

Mariska heeft elke dag les tot drie uur. Haar moeder haalt haar dan met de auto op. Ze zijn dan om 3.20 uur thuis. De afgelegde weg van school naar huis is 15,0 km. Op woensdag valt plotseling het laatste lesuur uit en is ze 50 minuten eerder klaar. Het is mooi weer en ze besluit alvast een eind naar huis te wandelen. Haar moeder vertrekt thuis even laat als normaal. Moe gewandeld wordt Mariska even later opgepikt. Uiteindelijk is ze toch nog 10 minuten eerder thuis dan normaal.

Bepaal hoe lang Mariska gewandeld heeft.

[Dit bericht is gewijzigd door Kang-He op 19-08-2003 23:34]

quote:

---

Op dinsdag 19 augustus 2003 09:37 schreef Kang-He het volgende:
Uiteindelijk is ze toch nog 01 minuten eerder thuis dna normaal.

---

En ik kan niet typen . Hij staat er nu goed.

quote:

---

Op dinsdag 19 augustus 2003 23:39 schreef thabit het volgende:
drie kwartier?

---

quote:

---

Op dinsdag 19 augustus 2003 23:41 schreef Kang-He het volgende:

[..]

Klopt. Redenering ?

---

Die hele 15 km doen er dus niet toe.

Voor een positief geheel getal N geldt: N/3 is de derde macht van een geheel getal en N/4 is de vierde macht van een geheel getal. Wat is het kleinste getal N met deze eigenschap?

quote:

---

Op dinsdag 19 augustus 2003 23:44 schreef thabit het volgende:

[..]

Mams doet 20 minuten over de weg van school naar huis. Vertrekt dus 2:40 uur, om zo om 3:00 aan te komen. Als ze om 3:10 weer thuis is, dan is ze mams dus een half uur onderweg. Een kwartier heen en een kwartier terug dus. Om 2:55 onmoet mams Mariska dus. Mariska was om 2:10 begonnen met lopen. Dus drie kwartier onderweg.

Die hele 15 km doen er dus niet toe.

---

quote:

---

Op dinsdag 19 augustus 2003 23:48 schreef Kang-He het volgende:
Okees:

Voor een positief geheel getal N geldt: N/3 is de derde macht van een geheel getal en N/4 is de vierde macht van een geheel getal. Wat is het kleinste getal N met deze eigenschap?

---

quote:

---

Op dinsdag 19 augustus 2003 23:51 schreef thabit het volgende:

[..]

5184

---

Eens kijken wat ik hier nog heb liggen dan waar je wellicht iets langer over doet .

quote:

---

Op dinsdag 19 augustus 2003 23:53 schreef Kang-He het volgende:

[..]

Wederom goed, redenering ?

Eens kijken wat ik hier nog heb liggen dan waar je wellicht iets langer over doet .

---

1 * 3 * 5 * ... * (2n - 1) < n^n

quote:

---

Op dinsdag 19 augustus 2003 23:57 schreef Kang-He het volgende:
Bewijs dat voor alle ehele getallen n > 1 geldt dat

1 * 3 * 5 * ... * (2n - 1) < n^n

---

quote:

---

Op dinsdag 19 augustus 2003 23:57 schreef Kang-He het volgende:
Bewijs dat voor alle ehele getallen n > 1 geldt dat

1 * 3 * 5 * ... * (2n - 1) < n^n

---

Grafiek van f(x) = x(2n - x) is een bergparabool met top n^2 voor x=n. Bijgevolg is, f(x) <= n^2 voor alle x, waarbij het gelijkteken alleen optreedt als x = n.

Daarna met Gauss en het product van n termen:
P(n)^2 = (1 *(2n-1))(3 * (2n-3))..((2n-1) * 1) < (n^2)^n = (n^n)^2

Waaruit de ongelijkheid volgt..

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 00:23 schreef thabit het volgende:
3-wortel(6).

---

Stel het middelpunt P zit op afstand x van de linkerkant. Omdat de cirkel de onderkant raakt moet dan ook de straal x zijn. Als A de hoek rechtsonder is geldt vanwege pythagoras AP^2=(2-x)^2+x^2=2x^2-4x+4. Ook geldt omdat de cirkel de andere cirkel raakt AP^2=(x+1)^2.
Dus 2x^2-4x+4=x^2+2x+1. Deze vgl heeft als oplossingen
3+wortel(6) en 3-wortel(6). De eerste daarvan is absurd dus moet het de tweede zijn.

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 00:28 schreef Koekepan het volgende:
Hm, neem als hoekpunten voor het vierkant A (0,0), B (0,2), C (2,2), D (2,0). Dan ligt het middelpunt van de gezochte cirkel op AC. De straal van een cirkel met middelpunt (x,x) wordt gegeven door de afstand van (x,x) tot (2,0), minus de straal van de cirkel om D, nl. 1. Die komt dus op sqrt((2-x)^2+x^2) - 1, en die functie is maximaal voor x = 1, waarmee de straal op sqrt(2)-1 komt.

---

zijde 2 betekent dat de diagonaal wortel 8 lang is. De straal van een kwartcirkel die er dan nog met zn tweeen inpassen is dus 1/2wortel 8 = wortel 2.

EDIT: Sorry ik lees verkeerd. Ik d8 dat je bedoelde hoe groot de twee kwartcirkels zouden zijn :x.

[Dit bericht is gewijzigd door DaFan op 20-08-2003 00:36]

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 00:30 schreef Koekepan het volgende:
Als het 3 - sqrt(6) kan zijn heb ik het fout, want dat is groter.

---

Een munt heeft kans p op kop te landen na een worp, wat is de kans dat het aantal gevallen koppen gelijk is aan het aantal gevallen munten, aannemende dat je oneindig vaak werpt.

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 00:32 schreef thabit het volgende:
Schets (geen zin om priegeldetails uit te werken):
Grootste cirkel moet middelpunt op de diagonaal hebben liggen, anders kun je hem daarnaartoe verschuiven en vergroten. Als-ie niet 2 zijden raakt en ook de 2 cirkels dan kun je hem over de diagonaal verschuiven en vergroten.

Stel het middelpunt P zit op afstand x van de linkerkant. Omdat de cirkel de onderkant raakt moet dan ook de straal x zijn. Als A de hoek rechtsonder is geldt vanwege pythagoras AP^2=(2-x)^2+x^2=2x^2-4x+4. Ook geldt omdat de cirkel de andere cirkel raakt AP^2=(x+1)^2.
Dus 2x^2-4x+4=x^2+2x+1. Deze vgl heeft als oplossingen
3+wortel(6) en 3-wortel(6). De eerste daarvan is absurd dus moet het de tweede zijn.

---

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 00:37 schreef vincent23 het volgende:
Nog een raadseltje:

Een munt heeft kans p op kop te landen na een worp, wat is de kans dat het aantal gevallen koppen gelijk is aan het aantal gevallen munten, aannemende dat je oneindig vaak werpt.

---

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 00:40 schreef thabit het volgende:

[..]

Hoe kun je die aantallen nou tellen als het er oneindig veel zijn?

---

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 00:40 schreef thabit het volgende:

[..]

Hoe kun je die aantallen nou tellen als het er oneindig veel zijn?

---

_________

Nog een raadseltje:

Een munt heeft kans p op kop te landen na een worp, wat is de kans dat het aantal gevallen koppen OOIT gelijk is aan het aantal gevallen munten, aannemende dat je oneindig vaak werpt.

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 00:46 schreef vincent23 het volgende:

[..]

Sorry nog beter geformuleerd:

_________

Nog een raadseltje:

Een munt heeft kans p op kop te landen na een worp, wat is de kans dat het aantal gevallen koppen OOIT gelijk is aan het aantal gevallen munten, aannemende dat je oneindig vaak werpt.

---

De eis is dan namelijk dat p is exact (1-p) met oneindige precisie! Zo'n munt lijkt mij niet bestaanbaar.

[Dit bericht is gewijzigd door the.moderator op 20-08-2003 00:59]

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 00:54 schreef the.moderator het volgende:

[..]

Je vraagt dus, wat is de kans dat p^N = (1-p)^N voor N   > oneindig? Zei Cantor niet dat die kans NIHIL was?

---

Zowiezo zal n een worp verder pas kunnen ontstaan, na 1 worp kan het dus niet. Het aantal worpen zal waarschijnlijk ook even moeten zijn.

Het moet ooit gelijk zijn.
Dus kan na 2 worpen als er 1 keer kop en 1 keer munt is gegooid.
Dus kan na 4 worpen als er 2 keer kop en 2 keer munt is gegooid.
Dus kan na n worpen als er 1/2*n keer kop en 1/2*n keer munt is gegooid.

Deze vraag is niet zo makkelijk als je zou denken.

Die kans hierop is in elk geval niet nihil

[Dit bericht is gewijzigd door vincent23 op 20-08-2003 01:00]

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 00:58 schreef thabit het volgende:
De kans is 1-|2p-1|.

---

Je kende hem al ??

Want hij is net niet goed, maar het lijkt er op . . .. .

[Dit bericht is gewijzigd door vincent23 op 20-08-2003 01:02]

N.B. De punten liggen in de illustratie niet precies op de cirkel, dat ligt gewoon aan mijn vaardigheden met Paint.

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 00:56 schreef vincent23 het volgende:

[..]

Volgens mij is dat niet de vraag.

Zowiezo zal n een worp verder pas kunnen ontstaan, na 1 worp kan het dus niet. Het aantal worpen zal waarschijnlijk ook even moeten zijn.

Het moet ooit gelijk zijn.
Dus kan na 2 worpen als er 1 keer kop en 1 keer munt is gegooid.
Dus kan na 4 worpen als er 2 keer kop en 2 keer munt is gegooid.
Dus kan na n worpen als er 1/2*n keer kop en 1/2*n keer munt is gegooid.

Deze vraag is niet zo makkelijk als je zou denken.

Die kans hierop is in elk geval niet nihil

---

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 01:01 schreef vincent23 het volgende:

[..]

Wederom goed :-) Kan je m ook nog uitleggen?

Je kende hem al ??

Want hij is net niet goed, maar het lijkt er op . . .. .

---

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 01:02 schreef the.moderator het volgende:

[..]

Als het na twee worpen al mag worden afgerond, dan is die kans redelijk groot. Je zei echter een oneindig aantal worpen. Dan moet p exact 0,5 zijn met oneindige precisie.

---

Maar p kan meerdere waarden aannemen. En je mag idd oneindig vaak gooien, ik had alleen geen zin veder te typen :-)

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 01:02 schreef Kang-He het volgende:
Alle zijden hebben lengte 1.

---

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 01:05 schreef thabit het volgende:

[..]

Wat is er fout aan dan? 1-|p-q| is het toch, waarbij q=1-p.
M'n oplossing is helaas niet elementair.

---

Zeer knap dat je m zo snel hebt. Dat lukt mij niet zo in een paar minuten. . .

Raadsel 2:
Bewijs 2*MIN(p, 1-p) = 1-|p-(1-p)|

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 01:08 schreef thabit het volgende:

[..]

Zo ook de straal.

---

Linda is 4 jaar ouder als Kris. Agaat is 5 keer zo oud als Kris. Linda is vier keer zo jong als agaat. Kris is 3 keer zo jong als Piet. Marie is 2 keer zo oud als Kris. Piet is 2 keer zo jong als Joop. En Joop is 4 keer zo oud als Vincent. Het veschil tussen de leeftijd van Vincent en het verschil van de leeftijd van agaat en Kris is 40 jaar.

Dus |Agaat - Kris|-|Vincent|=40

Alle leeftijden zijn gehele getallen !!

Hoe oud is Vincent ?

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 01:27 schreef vincent23 het volgende:

Hoe oud is Vincent ?

---

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 01:31 schreef thabit het volgende:

[..]

24

---

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 01:32 schreef vincent23 het volgende:

[..]

Precies . . Hoe heb je dat gedaan ?!? Ik ben namelijk 23 . . . zie mijn naam

---

Dus over een jaar moet je een andere naam hier nemen?

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 01:35 schreef thabit het volgende:

[..]

Nou gewoon, stelsel oplossen.

Dus over een jaar moet je een andere naam hier nemen?

---

Hoe moeilijk de verbanden ook zijn, het stelsel is eigenlijk altijd op te lossen . . . . Maar het kan volgens mij wel heel lastig worden als er veel variabelen zijn . . . Maar ik ga slapen morgen tentamen !

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 01:36 schreef vincent23 het volgende:
Maar ik ga slapen morgen tentamen !

---

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 01:41 schreef thabit het volgende:

[..]

Succes! Waarover eigenlijk?

---

Gisteravond zat ik te denken, hoe heb je dat nou in 4 minuten kunnen oplossen . . . . Ik had het ook wel in 4 minuten gekund maar niet met papier, gewoon met excel :-)

Gewoon op papier opgeschreven ?

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 09:17 schreef vincent23 het volgende:

[..]

Macro Economie 2 (ectrie/i&e) .

Gisteravond zat ik te denken, hoe heb je dat nou in 4 minuten kunnen oplossen . . . . Ik had het ook wel in 4 minuten gekund maar niet met papier, gewoon met excel :-)

Gewoon op papier opgeschreven ?

---

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 01:08 schreef thabit het volgende:

[..]

Zo ook de straal.

---

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 10:30 schreef Kang-He het volgende:

[..]

Want ?

---

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 10:30 schreef Kang-He het volgende:

[..]

Want ?

---

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 01:02 schreef Kang-He het volgende:
Een huisje bestaat uit een vierkant en een gelijkzijdige driehoek. Alle zijden hebben lengte 1. Wat is de lengte van de straal van de cirkel die precies om het huisje past?

---

Hoogte van de gelijkbenige driehoek is: 1^2 = 1/2 ^2 + x^2, wat maakt x=wortel(3/4)

Hoogte van het huis is dus 1 + wortel(3/4). Dat is de diameter. De straal is dus de helft= 1/2 + 1/2 wortel(3/4)

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 10:40 schreef DaFan het volgende:

[..]

1/2 + 1/2 wortel(3/4)

Hoogte van de gelijkbenige driehoek is: 1^2 = 1/2 ^2 + x^2, wat maakt x=wortel(3/4)

Hoogte van het huis is dus 1 + wortel(3/4). Dat is de diameter. De straal is dus de helft= 1/2 + 1/2 wortel(3/4)

---

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 00:19 schreef Kang-He het volgende:
Grafiek van f(x) = x(2n - x) is een bergparabool met top n^2 voor x=n. Bijgevolg is, f(x) <= n^2 voor alle x, waarbij het gelijkteken alleen optreedt als x = n.

---

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 13:04 schreef Koekepan het volgende:
Hoezo niet? Er volgt dan toch direct {1*3*5*...*(2n-1)}² = 1*(2n-1) * 3*(2n-3) * ... * (2n-1)*1 < n² * n² * ... * n² = n²ⁿ?

---

Mooi puzzeltje natuurlijk: lever een strikt bewijs voor de genoemde ongelijkheid. (Tussen het bos van de uitwerkingen van thabit en mij zitten er al twee verscholen.)

Bewijs xⁿ + yⁿ /= zⁿ voor alle positieve gehele getallen x, y, z, n, waarbij n > 2.

Hij staat ook wel bekend als de laatste ongelijkheid van Fermat, zo genoemd naar Jean-Paul de Fermat (1610-1643), het dommere broertje van Pierre, die overleed bij één van zijn pogingen om het eerste broodrooster uit te vinden.

9-810-x3422-8

x is onbekend, wat is x?

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 14:57 schreef 0d1n het volgende:
Stel een boek voor met het ISBN nummer:

9-810-x3422-8

x is onbekend, wat is x?

---

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 14:57 schreef 0d1n het volgende:
Stel een boek voor met het ISBN nummer:

9-810-x3422-8

x is onbekend, wat is x?

---

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 15:09 schreef thabit het volgende:

[..]

2 ofzo?

---

2 is trouwens goed

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 13:54 schreef Koekepan het volgende:

Bewijs xⁿ + yⁿ /= zⁿ voor alle positieve gehele getallen x, y, z, n, waarbij n > 2.

---

^{P.S. Ik heb een puzzletje voor jou * Koekepan, als je wilt?}

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 15:37 schreef the.moderator het volgende:
^{P.S. Ik heb een puzzletje voor jou * Koekepan, als je wilt?}

---

Oke, kom maar op.

[Dit bericht is gewijzigd door thabit op 20-08-2003 16:38]

Bewijs dat je de modulo 11 waarde van een natuurlijk decimaal getal kunt bepalen door de individuele cijfers bij elkaar op te tellen met om en om een tekenwisseling.

Voorbeeldje:

N = 9876543210     >   0 - 1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - 7 + 8 - 9 = -5     >  11 - 5 = 6     >   9876543210 mod₁₁ = 6

Modulo 11 Puzzletje #2:

Bewijs dat je de modulo 11 waarde van een natuurlijk decimaal getal kunt bepalen door het decimale base10 getal om te zetten in een getal base100 en die cijfers net zo lang bij elkaar op te tellen tot er één base100 cijfer overblijft. De modulo 11 van het decimale getal is dan gelijk aan de modulo 11 van het overblijfende base100 cijfer.

Voorbeeldje:

N = 9876543210     >   98+76+54+32+10 = 02 70 = 02+70 = 72 mod₁₁ = 6     >   9876543210 mod₁₁ = 6

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 16:27 schreef Koekepan het volgende:

* Koekepan voegt thabit toe aan zijn ICQ-lijst.

Oke, kom maar op.

---

Opnieuw een puzzletje met natuurlijke getallen:

Ieder natuurlijk getal is te noteren als een polynoom met als grondtal 2. Dit wordt o.a. toegepast in de binaire aritmetica van moderne computersoftware. Je kunt ook een ander grondtal gebruiken, maar dat is meestal minder handig. We gebruiken handmatig meestal het grondtal 10 omdat we toevallig twee handen met in totaal tien vingers (digitalen) hebben.

Ik geef nu een handig lemma, waarvan ik van * Koekepan een bewijs verwacht.

Stel ik heb een natuurlijk getal uitgedrukt in een polynoom met als grondtal 2. En de exponenten van de polynoomtermen heb ik ook uitgedrukt in polynomen van het grondtal 2 etc. Als ik nu alle grondtallen 2 vervang door het (foute) cijfer 3 (dus zonder herberekening!) en van de nieuwe polynoom 1 aftek, dan ontstaat er een exponentieel groter wordende waarde. Toch zegt mijn lemma dat als ik deze operatie vaak genoeg herhaal, dus het grondtal 3 vervang door het cijfer 4 etc. dat de uiteindelijke waarde 0 zal zijn.

P.S. Bij iedere iteratie de nieuwe polynoom met 1 verminderen en in de juiste polynoomvorm schrijven.

^{* Puzzeltje bestaat Come on secundant, please give Frying-pan a break.}

[Dit bericht is gewijzigd door the.moderator op 21-08-2003 17:30]

(Edit: ik zal voor het tweede vraagstuk wat explicieter zijn. Verdeel de cijfers van het getal in paren, vanaf de rechterkant. Dan krijg je zoiets als a₁₀b₁₀a₉b₉a₈b₈....a₁b₁a₀b₀, wanneer het een getal van 22 cijfers betreft. De a's staan voor machten van tien met een oneven exponent, de b's voor machten van tien met een even exponent. De getallen a_ib_i zijn dus precies de cijfers in het honderdtallig stelsel. Een macht van honderd levert altijd rest 1 bij deling door 11 (de rest na een willekeurige deling van ab is de rest van a maal de rest van b bij dezelfde deler), en dus is de rest van bijvoorbeeld 987654, die évidemment hetzelfde is als de rest van 980000 + 7600 + 54, hetzelfde als de rest van 98+76+54. Klaar.

[Dit bericht is gewijzigd door Koekepan op 20-08-2003 18:00]

Stel Z(x) is een polynoom met coefficienten in Z, bewijs dat als Z(x) een kwadraat is voor alle x in Z, dat Z(x) dan te ontbinden is als R(x)^2, met R(x) een andere polynoom uit Z[x].

PS: Ik denk na over je lemma, Tha.Moderator.

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 17:47 schreef Koekepan het volgende:
Nou ja, neem een getal abcdef...z, hetgeen in deze provisorische notatie even staat voor a*10^n+b*10^(n-1)+...+z. Nu geldt a*10^n+b*10^(n-1)+...+z = a*(-1)^n+b*(-1)^(n-1)+...+z mod 11. Omdat (-1)^n afwisselend -1 en 1 is moet je de cijfers dus alternerend optellen en aftrekken.
Voor het tweede raadsel geldt een precies analoog verhaal.

---

Nu graag het speciaal voor jou bedoelde puzzeltje, hier alvast één voorbeeld:

1 = 1 * 2⁰ substitutie van 3 voor de 2 en vermindering met 1 geeft 1 * 3⁰ -1 = 0 * 3⁰ = 0

^{N.B. Denk erom dat iedere iteratie na vermindering met 1 in de juiste polynoomvorm moet worden herschreven.}

('k Vind het trouwens een interessante puzzel.)

En voegt wat over Fermat toe om de ruimte te vullen

quote:

---

Bewijs xⁿ + yⁿ /= zⁿ voor alle positieve gehele getallen x, y, z, n, waarbij n > 2

---

[Dit bericht is gewijzigd door corc op 20-08-2003 20:40]

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 13:54 schreef Koekepan het volgende:
De volgende is trouwens een beroemde stelling uit de theorie der ongelijkheden:

Bewijs xⁿ + yⁿ /= zⁿ voor alle positieve gehele getallen x, y, z, n, waarbij n > 2.

Hij staat ook wel bekend als de laatste ongelijkheid van Fermat, zo genoemd naar Jean-Paul de Fermat (1610-1643), het dommere broertje van Pierre, die overleed bij één van zijn pogingen om het eerste broodrooster uit te vinden.

---

Maar dit heb ik enkel ergens op internet gelezen, ikzelf begrijp totaal niet wat er mee bedoeld word

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 17:49 schreef Koekepan het volgende:
Thabit, kun jij trouwens dit vraagstuk oplossen dat ik mezelf ooit gesteld heb?

Stel Z(x) is een polynoom met coefficienten in Z, bewijs dat als Z(x) een kwadraat is voor alle x in Z, dat Z(x) dan te ontbinden is als R(x)^2, met R(x) een andere polynoom uit Z[x].

PS: Ik denk na over je lemma, Tha.Moderator.

---

Edit: als je veronderstelt dat Z(x) monisch is, dan is het niet zo heel moeilijk op elementaire wijze te bewijzen, je kunt dan namelijk een polynoom vinden met rationale coefficienten waarvan het kwadraat dichtbij Z(x) in de buurt zit en van daaruit verder redeneren. Maar ik zie nog geen elementair bewijs voor het geval dat de kopcoefficient geen kwadraat is.

[Dit bericht is gewijzigd door thabit op 21-08-2003 02:44]

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 23:02 schreef Pietjuh het volgende:

[..]

Was toch iets van dat je Taniyama-Shimura conjecture moest bewijzen, dat zei dat elke elliptische kromme modulair was?
Want als probeert die vergelijking op te lossen krijg je een aparte elliptische kromme die niet modulair is. Dus als je die conjecture kan bewijzen, heb je bewezen dat er geen oplossingen zijn voor n>2

Maar dit heb ik enkel ergens op internet gelezen, ikzelf begrijp totaal niet wat er mee bedoeld word

---

Ik begrijp wat een elliptische kromme is en ook wat een modulaire vorm is en ook nog wat ermee wordt bedoeld als men zegt dat een elliptische kromme modulair is. Maar het bewijs daarvan daar snap ik geen ene ruk van, daarvoor moet je echt jarenlang jezelf in dat onderwerp specialiseren.

quote:

---

Op woensdag 20 augustus 2003 10:38 schreef thabit het volgende:

[..]

Schuif de driehoek naar beneden totdat-ie op de onderkant van het vierkant staat. De top van de driekhoek heeft dan tot 3 punten van de cirkel afstand 1, dus dat moet wel het middelpunt zijn en dus is de straal 1.

---

quote:

---

Op donderdag 21 augustus 2003 09:41 schreef Kang-He het volgende:

[..]

Dit komt vast weer dom over, maar ik zie slechts twee punten tot de cirkel vanaf de top van de driehoek.

---

quote:

---

Op zondag 24 augustus 2003 14:10 schreef thabit het volgende:
Wat dan weer wel elementair kan bewezen worden is het volgende: zij P(x)=x^2+x+n. Stel dat P(k) een priemgetal is voor alle gehele k met 0<=k<=wortel(n/3). Bewijs dat P(k) een priemgetal is voor alle gehele k met 0<=k<=n-1.

---

quote:

---

Op zondag 24 augustus 2003 16:39 schreef Pietjuh het volgende:

[..]

Is dit niet de priemfunctie van Euler?
En kan je n gewoon willekeurig kiezen?

---

1. Bereken:
a. 2p(1-p) / (f/z) 2kwadraat + 2 als f=0.05, p=0.30 en z=1.65
ANTW: 2* 0.30 * (1-0.30) / (0.05/1.65)kwadrat +2
2 * 0.30 * 0.70 / 0.0184 + 2
24.8261

b. 0.21-1.28155.wortel(0.21*0.79) /.wortel287
ANTW: -1.0716.0.4073 / 16.9411
-0.0258
(wat betekent het als er na een opgave of ertussen een . (punt) staat?

2. Druk y uit in x:
a. x-y=3
ANTW: y=3+x

b. 2x+3/(x+y)=4
ANTW:y=-12 * x

c.(log(x+y)=5
ANTW: y=5-xkwadraat

d.2ykwadraat+ 3x-4=4
ANTW: y=wortel 9-3x / 2

3. los de volgende vergelijkingen / ongelijkheden op:
a. xkwardraat=2x+35
b. 36-(2x-3)kwadraat=0
c.(7x-3) / 4=4x+1
d. (1/3) . x + 2 > x+3

4. er wordt 5 keer met een 'eerlijke' dobbelsteen geworpen. Bereken de volgende kansen:
a. 3 keer een 5 gevolgd door 2 keer een even aantal ogen
ANTW: 1/6 * 1/6 * 1/6 * 3/6 * 3/6= 9/7776 = 1.1574

b. 3 keer een 5 en 2 keer iets anders
ANTW: 1/6 * 1/6 * 1/6 * 6/6 * 6/6= 36/7776 = 4.6296

c. hoogstens 2 keer een even aantal ogen
ANTW: 3/6 * 3/6 * 3/6 * 3/6 * 3/6= 243/7776 = 0.0313

d. meer dan 3 keer een 5
ANTW: 1/6 * 1/6 * 1/6 * 6/6 * 6/6= 36/7776 = 4.6296

(Hierbij nog een vraagje, heb ik dit goed gedaan aangezien antw. b en d hetzelfde zijn, en bij c. wordt gevraagd naar hoogstens twee keer een even aantal ogen...zo goed? of niet?)

5. er wordt met een 'eerlijke' dobbelsteen geworpen. de stochast X is bij een even aantal ogen het dubbele van het aantal ogen.
a. bepaal de kansverdeling van X
ANTW:
X 1 2 3 4 5 6
P(X=x) 2 2 6 4 10 6

b. bepaal de bijbehorende mediaan en het bijbehorende gemiddelde
ANTW: mediaan= 5, gemiddelde=5

c. bereken de bijbehorende variantie
? Hoe kan ik dit het beste doen?

6. nornaal gesproken bevat een fles melk 1000cl melk. een zuivelfabriek vult voor de zekerheid de flessen gemiddeld met 1010cl met een standaarddeviatie van 50cl. de inhoud van de flessen bevat is normaal verdeeld.
a. hoeveel % van de flessen bevat minstens 1000 cl melk?
ANTW: z=(x-m) / sd
z=(1000-1010) / 50
z= -10 / 50
z= -0.2
waarde opzoeken = 0.4207 = 42,07%

b. in een krat zitten 24 flessen; hoe groot is de kans dat de gemiddelde inhoud van de flessen in een krat hoogstens 1025cl melk bevat?
?

c. als sd=50 blijft van welk gemiddelde E(expectatio) moet de zuivelfabriek dan uitgaan om ervoor te zorgen, dat er slechts 1% van de flessen minder dan 1000cl. melk bevat?
?

7. In een vaas zitten 10 rode, 20 zwarte en 30 gele knikkers.
Iemand haalt in 1 keer 3 knikkers uit deze vaas.
Hoe groot is de kans"
a. dat ze allen zwart zijn
ANTW: 2/6 * 2/6 * 2/6= 8/216 = 0.0370

b. dat ze allen verschillend van kleur zijn
ANTW: 1/6 * 2/6 * 3/6= 6/216 = 0.0278

c. dat er minstens 1 knikkers geel is
ANTW: 3/6 * 6/6 * 6/6= 108/216 = 0.5

Hierbij moet ook een boomdiagram worden gemaakt, moet ik op deze boomdiagram ook de breuken erbij schrijven? geel 30/60, volgende stap 29/59??

8. Voor een binomiale verdeling zijn n, p en X de relevante grootheden.
Bepaal:
a. P(X=5), als n=15 en p=0.10
ANTW: 0.0127

b. P(X<7), als n=10 en p=0.25
ANTW: 0.0035

c. de verwachtingswaarde, als n=50 en p=0.25
?

d.P(X>30). als n=100 en p=0.25
ANTW:
100
30 (faculteit) * (0.25) 30 kwadraat * (0.75) 70 kwadraat

Hierbij heb ik tabellen, maar ik weet niet zeker of ik het goed heb berekent, mijn boek legt dat echt niet goed uit....steeds verschillend allemaal :S

9. Op een zaterdag in augustus hebben studenten de volgende mogelijkheden hun tijd te besteden: boodschappen doen en / of naar het strand en / of een wiskunde toets deelnemen.
Van de studenten gaat 27% boodschappen doen, bezoekt 27% het strand en neemt 57% deel aan de wiskundetoets;
4% van de studenten neemt deel aan de toets en gaat daarna boodschappen doen;
4% van de studenten gaat boodschappen doen en daarna naar het strand;
4% van de studenten gaat na het deelnemen van de toets naar het strand;
1% van de studenten doet slechts alle 3.
Hoeveel % van de studenten doet alleen de wiskundetoets?

ANTW: 48%

Alvast heeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeel erg bedankt voor jullie tijd en hulp waardeer het heel erg :$

quote:

---

Op zondag 24 augustus 2003 17:00 schreef Ni-ni het volgende:
Stel sommetjes

---

Wat is het volgende getal in deze logische reeks ?

quote:

---

159
456
753
852
951
654

---

quote:

---

Op zondag 24 augustus 2003 19:16 schreef JAM het volgende:
Even een simpele onder het mom van de toegankelijkheid.

Wat is het volgende getal in deze logische reeks ?
[..]

Nou ? .

---