Omwerken tijddilatatie...

Wie kan helpen om te duiden waar ik een denkfout maak of daarin een aanname compleet over het hoofd zie ?

Niet gespeend met nog veel elementair wiskundige kennis, loop ik onderstaand vast met hoe variabelen in een formule worden omgezet cq uit- of weggewerkt.
Ik kan de tijdsdilatatie formule ^wiki prima toepassen maar kan/weet haar niet op detail (meer) te herleiden.



_{In de spoiler hoe/wat ik poog te bedenken.....}

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Waar ik op vastloop, is waar komt dat getal "1" ineens vandaan ?
Ik zal beslist/vast iets elementairs compleet in het gekronkelde brein over het hoofd zien.

Wie weet of kan dit (aan)duiden...... ??

Mijzelf maar schaamteloos antwoorden.

Ik ben er na een paar uur scribbelen uit. Mocht iemand aanvullende opmerkingen hebben, mogelijk leuk om het te laten bezinken. Het blijft magisch te bedenken dat rekenwereld soms wat vreemder in elkaar steekt dan voetstoots aangenomen.

Tussen het groene blok (Pythagoras = c²=a²+b²) en resulterend blauwe blokje, gebeuren diverse conversie handelingen dat voor een wiskundige gesneden koek zal zijn en mij wat meer hoofdbrekens gaf (bijna als soort van herexamen).

Ik probeer het proces te beschrijven met ik nu ook snap waar mijn denkfout lag (dat de lichtbal ophoog en daarna via de spiegel (B) omlaag stuitert; en iets met zichzelf delen ^{zie stap 11} het getal "1" geeft.
_{In de spoiler de uitwerking.}

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

De grap van het hele gebeuren is aan te geven dat de tijd in een object dat zich zeg met een snelheid van 0,5c (150.000km/s) verwijderd t.o.v van wie kijkt; de tijd per seconde, 1/wortel(1-(v²/c²)) ca 15% langzamer verloopt. Iemand daar zijnde, dus minder snel oud wordt dan degene die niet zo snel beweegt.

Zie voor berekeningscontrole ook https://www.calctool.org/relativity/time-dilation.

De relativistische snelheid voor ons levende wezens nauwelijks van enig belang is maar bij hoger snelheden, wat al begint bij 1000km/u; en laat staan bij satellieten; hun rol gaat opeisen. Denk aan GPS waar satellieten voortdurend hun precieze - onderlinge - kloktijden moeten bijstellen zodat berekende coördinaten op Aarde blijven waar ze zijn. Die tijd, ook door het bewegen van de Aarde zelf in een bewegende ruimte, niet zo constant is als iemand zou willen denken.

Kleine eigen typo correctie in stap6, waar ik een quote t' foutje maakte.
• 6) L² vervangen door (cΔt')² = ... ....
moet zijn t zonder quote:
• 6) L² vervangen door (cΔt)² = ... ....
_{In de spoiler de gecorrigeerde uitwerking, met dat het eindresultaat niet veranderd.}

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Stap 6 was een beetje te snel neergezet; en hiermee dan verbeterd.
//--//
Het blijft ergens automagisch om vanuit een stelling, lichtsnelheid geldt overal als vaste constante, zich te moeten realiseren dat onze beleving van 'tijd', puur een relativistische is.

En als gezegd, laten we hier voor het gemak de invloed van allerhande massa (en daarmee equivalent "energie") op tijd, nog weg. Die slimme mensen van de 20^e eeuw, wisten het wel voort te brengen.
Wil/kan mij ook voorstellen dat diverse mensen voor gek werden versleten omdat zij dingen die ooit zg. voor onveranderlijk als vaststaand werden aangenomen, fundamenteel aan het wankelen brachten.

Buiten wat minimale correcties voor divers voortbewegende "elektronica", is het verschil in een tijdsbeleving doorgaans niet van veel belang voor ons dagelijks leven. Alles blijft in de praktijk zoals het altijd al was met dat er geen zekerheden zijn.