[ Bericht 75% gewijzigd door Gast_op_Afstand_GOA op 27-09-2025 22:38:41 ]
Dat heb ik met Good Fellas en Casino.quote:Op zaterdag 27 september 2025 22:47 schreef Gast_op_Afstand_GOA het volgende:
Ik had hem al 4 keer gezien.. maar clear and present danger.. was ook de vijfde keer nog goed
Zeker passen die in die catagoriequote:
[..]
Dat heb ik met Good Fellas en Casino.
Die andere is beterquote:
Ik had hem al 4 keer gezien.. maar clear and present danger.. was ook de vijfde keer nog goed
Geweldig. Deze was ook mooi.quote:
Bekijk deze YouTube-video
Bekijk deze YouTube-video
Ja hahaha ik was hem net aan het zoeken... Wil wel meer .. the Hunt is ook goed natuurlijk.. daar had ik moeten beginnenquote:
Patriot gamesquote:
[..]
Ja hahaha ik was hem net aan het zoeken... Wil wel meer .. the Hunt is ook goed natuurlijk.. daar had ik moeten beginnen
En die vandaag op tv was, The Sum off all Fears
wat een prachtige vrouw is dat tochquote:
Bekijk deze YouTube-video
81 jaar inmiddels
Je weet dat FoK! and YT een probleem hebben met het weergeven van de titel en artiest ,zoals vroeger wel het geval was ...? Nu weten we niet altijd welk yt het is ...quote:
Bekijk deze YouTube-video
SPOILERIn mijn topic zet ik er sinds een tijdje de artiest en nummer bij zoals YT dat doet
Bruce Willis-Under The Boardwalk
heej, heb je nog last gehad van je "stalker" ?quote:Op zondag 28 september 2025 00:45 schreef chufi het volgende:
[..]
Je weet dat FoK! and YT een probleem hebben met het weergeven van de titel en artiest ,zoals vroeger wel het geval was ...? Nu weten we niet altijd welk yt het is ...SPOILERIn mijn topic zet ik er sinds een tijdje de artiest en nummer bij zoals YT dat doet
vanmiddag gecheckt en het was all quiet with no UIquote:
[..]
heej, heb je nog last gehad van je "stalker" ?
Maar als je het weer ziet graag hoor ik het of meldt het gewoon
beter.quote:
[..]
vanmiddag gecheckt en het was all quiet with no UI
kan me voorstellen dat je toch elke dag nog ff kijkt ....
Je weet dat FoK! and YT een probleem hebben met het weergeven van de titel en artiest ,zoals vroeger wel het geval was ...? Nu weten we niet altijd welk yt het is ...quote:
Een beetje spanning is toch mooiquote:
[..]
Je weet dat FoK! and YT een probleem hebben met het weergeven van de titel en artiest ,zoals vroeger wel het geval was ...? Nu weten we niet altijd welk yt het is ...
Ja weet ik, maar zie dat juist als iets goeds.. zo klik je nog eens en word je verrast!quote:
[..]
Je weet dat FoK! and YT een probleem hebben met het weergeven van de titel en artiest ,zoals vroeger wel het geval was ...? Nu weten we niet altijd welk yt het is ...SPOILERIn mijn topic zet ik er sinds een tijdje de artiest en nummer bij zoals YT dat doet
Bruce Willis-Under The Boardwalk
Of juist niet ...quote:
[..]
Ja weet ik, maar zie dat juist als iets goeds.. zo klik je nog eens en word je verrast!
De vraag is of de verrassing je bevaltquote:
Bekijk deze YouTube-video
A safe live is a dull livequote:
Paddoooquote:
Babys - Isn't It Time
Bekijk deze YouTube-video
Kijk nu weet ik wat ik wel of niet luisterquote:
Babys - Isn't It Time
Bekijk deze YouTube-video
Zonder had ik het niet meer herkend en niet geklikt
...Maar... als je alleen luistert wat je bevalt..... hoe leer je dan iets nieuws?quote:
[..]
Kijk nu weet ik wat ik wel of niet luister
GoA!quote:
Dat doe ik op YT en niet hierquote:
[..]
...Maar... als je alleen luistert wat je bevalt..... hoe leer je dan iets nieuws?
Ok.quote:
Of ik Shazam het om daarna op YT te checkenquote:
Hoe versla jij het algoritme op YT?quote:
Hier lukt dat lang niet altijd even lekker
Bekijk deze YouTube-video
Ja das soms wel lastig, maar dan doe ik weer een bekend nummer of ik check music en dan is het weer ff andersquote:
[..]
Hoe versla jij het algoritme op YT?
Hier lukt dat lang niet altijd even lekker
Bekijk deze YouTube-video
Moby - Everloving
Bekijk deze YouTube-video
Niet goed?quote:
Bekijk deze YouTube-video
Jawel, maar ... misschien niet de juiste plek en momentquote:
Hi Puzziedarling
Dat klinkt iig positiefquote:
[..]
Jawel, maar ... misschien niet de juiste plek en moment
Hi Puzziedarling
Aangezien we toch met de klassiekers bezig zijn...quote:
Bekijk deze YouTube-video
Zo mooi!!quote:
[..]
Aangezien we toch met de klassiekers bezig zijn...
Bekijk deze YouTube-video
Bekijk deze YouTube-video
Lekker! Geniet ervan!quote:
Daar heb ik niet genoeg geld voor hoorquote:Op zondag 28 september 2025 08:39 schreef RedShoe het volgende:
Voor degene die iets wil verbergen
[ x ]
Goedemorgen.quote:
Voor degene die iets wil verbergen
[ x ]
altijd van die gestoorde muziek eronder op standje 100quote:
Voor degene die iets wil verbergen
[ x ]
Gemengde fuifnummers op het einde...quote:
[..]
Daar heb ik niet genoeg geld voor hoor
Ik vind er geen bal aanquote:
[..]
Gemengde fuifnummers op het einde...
Mogguhhquote:
Appelkoeken
Ik hoorde hetquote:
Op het lijkt wel steeds triester te worden ..........
Bekijk deze YouTube-video
[ Bericht 0% gewijzigd door marcb1974 op 28-09-2025 12:22:34 ]
Lolquote:
Nederlanders en verkeer,
het lijkt wel steeds triester te worden ..........
Bekijk deze YouTube-video
Korter lontje,
Nog korter lontje
quote:
Ik had het gezien. Dommer dan dat krijg je ze niet
Ik heb het ook gekeken, ze kwam er niet lekker uit met deze presentator.quote:
[..]
Dommer dan dat krijg je ze niet
Weet je dat zeker?quote:
Heb er nog wel 1 voor je, of 2 of 3
Noem ze eens.quote:
[..]
Weet je dat zeker?
Heb er nog wel 1 voor je, of 2 of 3
Die domme troll van de week met haar boek, baudet, trumpquote:
Doe maar danquote:
[..]
Weet je dat zeker?
Heb er nog wel 1 voor je, of 2 of 3
Dit dus. Baudet en Trump zijn echt niet dom.quote:
Oh al gedaan, nare mensen ja maar deze is vooral echt dom
Trump is niet dom?quote:
[..]
Dit dus. Baudet en Trump zijn echt niet dom.
Vindt jij van wel?quote:
Die heeft net zoveel verstand als een wortel. Daarom die oranje kleurquote:
Willie Wortel is ook een Wortel, en die is best slimquote:
[..]
Die heeft net zoveel verstand als een wortel. Daarom die oranje kleur
Je parkiet slaapt ?quote:
Die fladdert buiten ergens rond, ze zei dat ze even ging jagen.quote:
Oh nee, die arme zadenquote:
[..]
Die fladdert buiten ergens rond, ze zei dat ze even ging jagen.
Jagen op?quote:
[..]
Die fladdert buiten ergens rond, ze zei dat ze even ging jagen.
Ooievaars.quote:
Komt dat door die kikker?quote:
quote:
Bekijk deze YouTube-videoquote:
Dat lied heb ik vroeger op padvinderij vaak gezongen.quote:
Jij ook alquote:
[..]
Dat lied heb ik vroeger op padvinderij vaak gezongen.
Wij zongen het zelfs aan de rotte
Jij bent dan ook een baas.quote:
[..]
Jij ook al
Wij zongen het zelfs aan de rotte
Was makkelijk als je niet zover van de rotte woondequote:
[..]
Jij bent dan ook een baas.
Valsspeler.quote:
[..]
Was makkelijk als je niet zover van de rotte woonde
Je voordelen goed gebruiken heet datquote:
quote:
Hello Pullupquote:
Morguhquote:
quote:
Die eerste foto is mooiquote:
[ afbeelding ]
[ afbeelding ]
[ afbeelding ]
dat is gewoon 1 boom waar ze zo een doorgang in hebben gemaakt.quote:
Stukje verder stond er nog 1
Sowquote:
[..]
dat is gewoon 1 boom waar ze zo een doorgang in hebben gemaakt.
Stukje verder stond er nog 1
Staan? Hij is in Maastricht gestorven.quote:
Maar wat doet d'Artagnan daar in een park?
https://www.visitmaastric(...)tagnan-in-maastricht
Zo leer ik nog wat vlak voor mijn avondeten.quote:
[..]
Staan? Hij is in Maastricht gestorven.
https://www.visitmaastric(...)tagnan-in-maastricht
Moeten we je ducktapen?quote:
En iets heel nuttigs ookquote:
[..]
Zo leer ik nog wat vlak voor mijn avondeten.
Het is ducttapen.quote:
Niet zoals ik het doe?quote:
Ducttape
[..]
Het is ducttapen.
Jouw treinbaan?quote:
Weer eens wat anders als blaadjes op de rails.quote:
Habari za jioniquote:Op maandag 29 september 2025 19:54 schreef engine het volgende:
[..]
Weer eens wat anders als blaadjes op de rails.
Goedenavond denk ikquote:
Speciaal voor jou in het Swahiliquote:
Ah Swahiliquote:
[..]
Speciaal voor jou in het Swahili
Chatgpt begon al in het swahilinees te antwoorden maar begreep ik niet veel van.Leer jij niet in die paar weken dat je er zit even snel de lokale talen?quote:
[..]
Ah Swahili
quote:
[..]
Leer jij niet in die paar weken dat je er zit even snel de lokale talen?
Engels en Afrikaans kan ik al
misschien dat ik volgende keer Swahili erbij leer. 
Nee ik was nog heelquote:
Ben je galgje aan het spelen?quote:
Llanfairpwllgwyngyllgogerychwyrndrobwllllantysiliogogoch
Je wil toch niet zeggen dat dat je niets zegt hequote:
Is een plaatsnaam
https://www.nu.nl/opmerke(...)tysiliogogogoch.html
Rare jongens die Welshiesquote:
[..]
Je wil toch niet zeggen dat dat je niets zegt he
Is een plaatsnaam
https://www.nu.nl/opmerke(...)tysiliogogogoch.html
Bekijk deze YouTube-video
iedereen Welsh aan het leren ofzo?
Ja dat valt nog niet mee ook hoorquote:
Wat een rust hier,
iedereen Welsh aan het leren ofzo?
Dat vind ik ookquote:
Llanfairpwllgwyngyllgogerychwyrndrobwllllantysiliogogoch
Swahiliquote:
Wat een rust hier,
iedereen Welsh aan het leren ofzo?
En hoever ben je al?quote:
Kan je je eten er al in bestellen?
quote:
[..]
En hoever ben je al?
Kan je je eten er al in bestellen?
* wijst naar de braai
Nee dusquote:
Mooi nieuw zegquote:
@:Pullup, noem het station.......
[ afbeelding ]
[ afbeelding ]
Lyon?
Als je maar vreten krijgtquote:
Ik heb ze vandaag gemaakt,quote:
dus nee, niet Lyon
En toch is dit Liege-Guillemins.quote:
Liege heeft ook een mooi nieuw station, dat is dicht bij jou maar wel veel kleuriger
Dit zijn er 2 van wat foto's die ik er vorig jaar gemaakt hebquote:
[..]
En toch is dit Liege-Guillemins.
Die kleuren zaten er nu niet helaasquote:Op dinsdag 30 september 2025 18:37 schreef pullup het volgende:
[..]
Dit zijn er 2 van wat foto's die ik er vorig jaar gemaakt heb
[ afbeelding ][ afbeelding ]
Dat is raarquote:
[..]
Die kleuren zaten er nu niet helaas
Hebben ze die er uit gesloopt ?Lijkt of het op de ramen was geplakt ofzo.quote:
[..]
Dat is raar
Belgenquote:
[..]
Lijkt of het op de ramen was geplakt ofzo.
Nog erger,quote:
Walen
Ik heb ook foto's van een jaar terug (oktober '24), ook daar geen kleuren.quote:
[..]
Dat is raar
Ja ik keek al even maar mijn tocht is ook al van wat langer geleden hahaquote:
[..]
Ik heb ook foto's van een jaar terug (oktober '24), ook daar geen kleuren.
3 jaar denk ik
Ok De kleurenfolie was tijdelijk aangebracht; het was de bedoeling dat deze tot juni 2024 aanwezig zouden zijn.
[ Bericht 9% gewijzigd door pullup op 30-09-2025 19:00:25 ]
Daarom dus dat het tijdelijk wasquote:
• De Franse kunstenaar Daniel Buren bracht zo’n 10.000 m² transparante folie aan in verschillende kleuren op het glazen dak van het station, en daarnaast kleuren op de luifels aan de voor- en achterkant.
Ok De kleurenfolie was tijdelijk aangebracht; het was de bedoeling dat deze tot juni 2024 aanwezig zouden zijn.
En waarom ik het niet meteen herkendequote:
[..]
Daarom dus dat het tijdelijk was
Dat was wel een beetje jammer jaquote:Op dinsdag 30 september 2025 19:19 schreef pullup het volgende:
[..]
En waarom ik het niet meteen herkende
Ik kijk volgend jaar wel weer een keertjequote:
Lijkt me wat vroegquote:
[..]
Ik kijk volgend jaar wel weer een keertje
O, ja?quote:
Er is toch een kansje dat ze er nog eentje inschoppen
[ afbeelding ]
Nee joh, daar staat:quote:
Er is toch een kansje dat ze er nog eentje inschoppen
[ afbeelding ]
Omdat we jullie zielig vinden doen we gewoon 0,01, dat is vooral omdat er maar 2 cijfers achter de komma zitten. Anders was het 0,000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001 geweest.
Is al weer meer dan 3quote:
Bekijk deze YouTube-video
Wel zin om pumpkin Spice in de koffie te doen
quote:
Zomer is nu toch echt wel over geloof ik, dan doen we maar alsof dit ook leuk is
[ afbeelding ]
Ben je er eindelijk ga je weer weg.quote:
Wat een moeite om op FOK! te komen , ik heb het wel gehad voorlopig
Oh hoiquote:
[..]
Ben je er eindelijk ga je weer weg.
Morge mevr. Puzzie.quote:
Goedemorgen eendquote:
Heb jij ook zo'n lekker weer?quote:
Voor zover ik het kan zien wel , straks naar buitenquote:
[..]
Heb jij ook zo'n lekker weer?
Oeh lekker, kan ik ok wel doen. Ik heb iig de balkondeur wel open gezet.quote:
[..]
Voor zover ik het kan zien wel , straks naar buiten
Kijk dat scheelt alquote:
[..]
Oeh lekker, kan ik ok wel doen. Ik heb iig de balkondeur wel open gezet.
Moest van mij parkiet, ze had behoefte aan wat frisse lucht.quote:
Snap ik , je mag in je handjes klappen met die kleine meidquote:
[..]
Moest van mij parkiet, ze had behoefte aan wat frisse lucht.
Geen bieralleen nu verspreid over de kroegen in de omgeving.
Die mensen zijn er toch, vele speciaal voor het feest.
Ja de stad zit er vol meequote:
Die zullen er ook nog wel zijn,
alleen nu verspreid over de kroegen in de omgeving.
Die mensen zijn er toch, vele speciaal voor het feest.
Dus er is bier,quote:
en er zijn dirndl's.
En soms wat kleine explosies, maar ja, je met wat voor dat bier en die dirndl's overhebben
Dit waren geen mentos met colaquote:
[..]
Dus er is bier,
en er zijn dirndl's.
En soms wat kleine explosies, maar ja, je met wat voor dat bier en die dirndl's overhebben
Ja die zat er wel aan te komen ookquote:
quote:
Netjesquote:
Maar uh, weet je het zeker?
SPOILER
Ik wel jaquote:
[..]
Netjes
Maar uh, weet je het zeker?SPOILER[ afbeelding ]
Hier, toch bier en een dirndl voor jouquote:
SPOILER
Heb je er ook eentje voor mij?quote:
[..]
Hier, toch bier en een dirndl voor jouSPOILER[ afbeelding ]
Jullie willen niet delen?quote:
Die blonde mag Chuf wel hebbenquote:
quote:
SPOILER
En ik dan?quote:
Er zijn er nu 3, dat is genoeg toch?quote:
SPOILER
Die derde is door mijn parkiet gevorderd.quote:
[..]
Er zijn er nu 3, dat is genoeg toch?
Wel 40+ houden hier
Gezelligquote:
Maar goed, en nu wil ik ook niemand meer horenSPOILER[ afbeelding ]
Ik heb er 1 nu, moet ik me al zorgen makenquote:
Op Als ze deze maand elke dag verdubbelen vanaf hier zeker jaquote:Op woensdag 1 oktober 2025 15:48 schreef drakin het volgende:
[..]
Ik heb er 1 nu, moet ik me al zorgen maken
Zit naar de Engelse te kijken. Over een komiek (Matt Lucas) die zijn verleden na gaat. Hij is Joods.
Familie in Duitsland, naar Amsterdam gegaan, een aantal dan.
Waar zijn ze dan gaan wonen?
Merwedeplein 37.
Wie woonde daar?
Een Otto Frank.
En dan zie je iemand half breken.
Spannend welquote:
Kent iemand 'Who do you think you are'? Of de Nederlandse versie verborgen verleden?
Zit naar de Engelse te kijken. Over een komiek (Matt Lucas) die zijn verleden na gaat. Hij is Joods.
Familie in Duitsland, naar Amsterdam gegaan, een aantal dan.
Waar zijn ze dan gaan wonen?
Merwedeplein 37.
Wie woonde daar?
Een Otto Frank.
En dan zie je iemand half breken.
Die kans is wel aanwezigquote:
[..]
Als ze deze maand elke dag verdubbelen vanaf hier zeker ja
quote:
Arme jij, heb je al bedacht hoeveel pompoenen je dan 31 okt hebt?Niks mis met een pompoentje af en toe hoor, vooral in de soep
Bekijk deze YouTube-video
Miljarden?quote:
[..]
Niks mis met een pompoentje af en toe hoor, vooral in de soep
Of ik maak heel veel pompoensoep zodat het niet te snel gaat met verdubbelen.
Stel, je hebt een meer,quote:
[..]
Niks mis met een pompoentje af en toe hoor, vooral in de soep
in dat meer groeit een plantje.
Iedere dag verdubbelt dat plantje in omvang.
Na 48 dagen is het meer volledig bedekt met dat plantje.
Na hoeveel dagen is het meer voor de helft bedekt?
47quote:
[..]
Stel, je hebt een meer,
in dat meer groeit een plantje.
Iedere dag verdubbelt dat plantje in omvang.
Na 48 dagen is het meer volledig bedekt met dat plantje.
Na hoeveel dagen is het meer voor de helft bedekt?
Ik zat een paar keer goed misquote:
Grrrr 197 punten, ik zette Forrest gump op het verkeerde strand
quote:
Zoveel doen dat fout
818 totaalquote:
Netjesquote:
De precieze oorsprong van het schaakspel is onbekend, maar een beroemde legende vertelt dat het spel rond de vijfde eeuw na Christus in India werd uitgevonden. De Indiase koning die het spel te zien kreeg, was er zo enthousiast over, dat hij de uitvinder aanbood om elke beloning te vragen die hij maar wilde. De uitvinder vroeg het volgende: één rijstkorrel voor het eerste veld van het schaakbord, twee rijstkorrels voor het tweede, vier voor het derde, acht voor het vierde, enzovoort – tot het vierenzestigste en laatste veld bereikt zou zijn. De koning stemde lachend in met een schijnbaar zo eenvoudige beloning.quote:
Het lachen verging de koning al snel toen hij zijn geleerden liet uitrekenen hoeveel rijst hij de uitvinder zou moeten geven. Wie het geduld heeft om de berekening te doen zal ontdekken dat het gaat om ruim 18 triljoen rijstkorrels – 18.446.744.073.709.551.615, om precies te zijn. Ervan uitgaande dat een rijstkorrel zo’n 3 mm3 groot is komt dat neer op meer dan 50 kubieke kilometer aan rijst – genoeg om de hele (huidige) wereldbevolking zo’n twee eeuwen te voeden.
Had de koning dit antwoord kunnen voorspellen voor hij zou enthousiast akkoord ging met de eis van de uitvinder? Misschien niet exact, maar wie even over het probleem nadenkt, ziet al snel in dat de uitkomst inderdaad gigantisch moet zijn. Het blijkt zelfs niet al te lastig te zijn om het probleem iets algemener op te lossen. Wat als de uitvinder bijvoorbeeld gevraagd had op elk veld van het schaakbord het aantal rijstkorrels te verdrie- of verviervoudigen?
Laten we om te beginnen eens een nette wiskundige uitdrukking opschrijven voor het aantal rijstkorrels dat de koning dan moet betalen. In ons voorbeeld waarin dat aantal steeds met een factor twee toeneemt, is het totale aantal gelijk aan
1 + 2 + 22 + 23 + … + 263
Merk op dat de laatste term 263 is, en niet 264. Op het derde vakje liggen immers 2 × 2 korrels, op het vierde vakje 2 × 2 × 2 korrels, en op het laatste vakje dus 2 × … × 2 korrels met 63 factoren twee.
Voor het meer algemene geval kunnen we nu, zoals wiskundigen dat graag doen, de factor waarmee het aantal rijstkorrels steeds toeneemt x noemen. De uitkomst die we willen berekenen is dan
1 + x + x2 + x3 + … + x63
Dit is een eenvoudig voorbeeld van wat wiskundigen een machtreeks noemen: een som van termen waarin opeenvolgende machten van een variabele x voorkomen. Deze machtreeks is om twee redenen bijzonder:
Elke macht van x komt voor met een coëfficiënt die gelijk is aan 1. Een wat ingewikkelder machtreeks zou bijvoorbeeld de vorm 8 + 2x + 7x2 + 3x3 + … kunnen hebben.
Deze machtreeks heeft maar een eindig aantal termen: 64, om precies te zijn. In de wis- en natuurkunde komen ook (sterker nog: vooral) machtreeksen voor die een oneindig aantal termen hebben. Hoe we met dergelijke reeksen kunnen omgaan zullen we in een volgend artikel zien.
We hebben het probleem van de koning en het schaakbord nu dus op een nette wiskundige manier beschreven met behulp van een machtreeks. Maar helpt ons dat ook om het probleem op te lossen?
De uitkomst van het probleem
Hoe berekenen we vanuit de machtreeks het aantal rijstkorrels dat de koning moet betalen? Er blijkt een grappige truc te zijn die het antwoord vrij eenvoudig geeft. Vermenigvuldig de uitdrukking (voor algemene groeifactor x) met (x-1). We vinden dan
(x-1) (1 + x + x2 + x3 + … + x63)
= x + x2 + … + x64 – 1 – x – x2 – … – x63
In deze berekening hebben we de haakjes uitgewerkt door eerst alle termen in de tweede factor met x te vermenigvuldigen, en vervolgens met -1. We zien dat in de uiteindelijke uitdrukking de term ‘x‘ wegvalt tegen de term ‘-x‘, de term ‘x2‘ tegen de term ‘-x2‘, enzovoort. Alleen de termen ‘x64‘ en ‘-1’ hebben geen partner, dus die termen blijven uiteindelijk over. Kortom: we vinden dat
(x-1) (1 + x + x2 + x3 + … + x63) = x64 – 1
Als we nu links en rechts de factor (x-1) wegdelen, vinden we een elegant eindantwoord voor onze machtreeks:
1 + x + x2 + x3 + … + x63 = (x64 – 1) / (x-1)
Invullen van de waarde voor x in ons oorspronkelijke probleem, x = 2, geeft nu bijvoorbeeld dat het totaal aantal rijstkorrels op het schaakbord gelijk moet zijn aan (264-1) / (2-1) = 264-1, en wie dat invult op een rekenmachine die met voldoende decimalen kan rekenen, vindt inderdaad het eindantwoord dat we aan het begin van dit artikel noemden. Had de uitvinder gevraagd om een toename met een factor 3 per veld, dan berekenen we nu even eenvoudig dat het totale aantal rijstkorrels dan
(364-1) / (3-1) = 1.716.841.910.146.256.242.328.924.544.640
zou zijn geweest – zo’n 1,7 quintiljard! Van een dergelijke hoeveelheid rijst zou de huidige wereldbevolking langer kunnen eten dan het heelal op dit moment bestaat.
Naar boven
Terzijde: een schatting van het antwoord
Overigens kunnen we er misschien niet van uitgaan dat onze arme koning exact weet hoe groot een getal als 264 is. Toch zou de heerser met een hoofdrekentrucje een heel aardige inschatting kunnen maken van het aantal rijstkorrels dat hij zou moeten betalen. Voor ons verhaal is die truc niet van belang, maar voor wie indruk wil maken op feestjes vermelden we het handigheidje hier toch.
Als we de verschillende machten van 2 op een rijtje zetten, komen we al snel een macht tegen die dicht bij een mooi, rond getal ligt: 210 is namelijk gelijk aan 1024, wat natuurlijk niet ver van 1000 af ligt. Dit is ook precies de reden dat in de informatica termen als ‘kilobyte’ gebruikt worden: het voorvoegsel kilo- betekent ‘1000’, maar een kilobyte bevat 1024 enen en nullen.
Afbeelding 3. Computergeheugen.
Computergeheugen wordt gemeten in kilo-, mega- en gigabytes. Een kilobyte bestaat uit 1024 enen en nullen, een megabyte uit 1024 x 1024, enzovoort. Foto: Wikipedia-gebruiker DrJolo.
Het getal 1000 bestaat uit drie factoren 10, dus tien factoren 2 komen grofweg overeen met drie factoren 10. Zestig factoren 2 komen dan grofweg overeen met zes maal drie, dus achttien factoren 10, en als we daar nog eens vier factoren twee aan toevoegen (24 = 16) ontdekken we dat 264 bij goede benadering gelijk is aan het getal 16 gevolgd door achttien nullen. Niet exact de juiste uitkomst (die begon met 18 gevolgd door nog achttien cijfers), maar voldoende dichtbij om de koning een idee te geven van de immense hoeveelheid rijst die hij nodig zou hebben.
Naar boven
Wat heeft dit allemaal met natuurkunde te maken?
In de natuurkunde is het zelden mogelijk om de uitkomst van een experiment exact te berekenen. Zelfs als we een wiskundig model hebben dat een experiment perfect beschrijft, blijkt de wiskunde vaak te lastig om meetuitkomsten precies te kunnen berekenen. Natuurkundigen maken daarom gebruik van allerlei benaderingsmethoden om meetuitkomsten zo nauwkeurig mogelijk te kunnen voorspellen.
Afbeelding 4. Richard Feynman.
De natuurkundige Richard Feynman was een meester in het gebruik van storingsrekening. We zullen zijn naam later in dit dossier nog meerdere malen tegenkomen. Foto: Tamiko Thiel.
In deze reeks artikelen willen we de misschien wel meest gebruikte en interessantste van die methodes beschrijven: storingsrekening. Het idee van storingsrekening is om een meetuitkomst die we niet exact kunnen berekenen te benaderen met behulp van een machtreeks. Die machtreeksen lijken erg op het voorbeeld dat we hierboven in het verhaal van de koning en het schaakbord tegenkwamen, met het grote verschil dat – zoals we al kort noemden – zulke machtreeksen vaak oneindig veel termen bevatten. Hoe gaan we om met zulke oneindige optelsommen, en hoe kan het dat die gebruikt kunnen worden om een eindige meetuitkomst te berekenen? Dat bespreken we in het tweede artikel in dit dossier.
Dan weet @drakin meteen hoeveel pompoenen ze moet eten in oktober om ze weg te werken
Weet niet wat jullie spelen, maar ik had over de 4000 puntenquote:
Hey schoonheid.quote:
Hallo SBEquote:
Hoe is het met jou? Ik heb Mijn parkiet heeft je gemist.quote:
Kan beter, last van hooikoortsquote:
[..]
Hoe is het met jou? Ik heb Mijn parkiet heeft je gemist.
Geef je parkiet maar een knuffel van mij
Dan speel jij wat anders, want bij onderstaande is 1000 de maxquote:
[..]
Weet niet wat jullie spelen, maar ik had over de 4000 punten
https://movies.whentaken.com/
Ja duidelijk dusquote:
[..]
Dan speel jij wat anders, want bij onderstaande is 1000 de max
https://movies.whentaken.com/
https://www.geoguessr.com/nl/free
Jammer, moet inloggenquote:
[..]
Ja duidelijk dus
https://www.geoguessr.com/nl/free
er is vanaf nu bewaking.
Denk eraan ja
SPOILER
Mijn parkiet siddert.quote:
Goed, het loopt uit de hand hier,
er is vanaf nu bewaking.
Denk eraan jaSPOILER[ afbeelding ]
Dan is het tijd om snel te draaien en de andere kant ook bruin te bakken?quote:
Jij grapjas.quote:
[..]
Dan is het tijd om snel te draaien en de andere kant ook bruin te bakken?
Die eerste vindt mijn parkiet goed gelukt, de 8ste vindt ook wel aardig. Wat ze over de rest zei zal ik maar voor mij houden.quote:
Als ik ergens naar luister moet ik altijd iets met mijn handen te doen hebben. Dan krijg je dit
[ afbeelding ]
[ afbeelding ]
[ afbeelding ]
[ afbeelding ]
[ afbeelding ]
[ afbeelding ]
[ afbeelding ]
[ afbeelding ]
[ afbeelding ]
quote:
Als ik ergens naar luister moet ik altijd iets met mijn handen te doen hebben. Dan krijg je dit
[ afbeelding ]
[ afbeelding ]
[ afbeelding ]
[ afbeelding ]
[ afbeelding ]
[ afbeelding ]
[ afbeelding ]
[ afbeelding ]
[ afbeelding ]
Dat is wel een klasse beter dan mijn Doodleshttps://nos.nl/artikel/25(...)ter-wereld-overleden
Als ik hem vandaag nog opeet hoef ik er maar 1, want die kan zich niet meer verdubbelen.quote:
[..]
De precieze oorsprong van het schaakspel is onbekend, maar een beroemde legende vertelt dat het spel rond de vijfde eeuw na Christus in India werd uitgevonden. De Indiase koning die het spel te zien kreeg, was er zo enthousiast over, dat hij de uitvinder aanbood om elke beloning te vragen die hij maar wilde. De uitvinder vroeg het volgende: één rijstkorrel voor het eerste veld van het schaakbord, twee rijstkorrels voor het tweede, vier voor het derde, acht voor het vierde, enzovoort – tot het vierenzestigste en laatste veld bereikt zou zijn. De koning stemde lachend in met een schijnbaar zo eenvoudige beloning.
Het lachen verging de koning al snel toen hij zijn geleerden liet uitrekenen hoeveel rijst hij de uitvinder zou moeten geven. Wie het geduld heeft om de berekening te doen zal ontdekken dat het gaat om ruim 18 triljoen rijstkorrels – 18.446.744.073.709.551.615, om precies te zijn. Ervan uitgaande dat een rijstkorrel zo’n 3 mm3 groot is komt dat neer op meer dan 50 kubieke kilometer aan rijst – genoeg om de hele (huidige) wereldbevolking zo’n twee eeuwen te voeden.
Had de koning dit antwoord kunnen voorspellen voor hij zou enthousiast akkoord ging met de eis van de uitvinder? Misschien niet exact, maar wie even over het probleem nadenkt, ziet al snel in dat de uitkomst inderdaad gigantisch moet zijn. Het blijkt zelfs niet al te lastig te zijn om het probleem iets algemener op te lossen. Wat als de uitvinder bijvoorbeeld gevraagd had op elk veld van het schaakbord het aantal rijstkorrels te verdrie- of verviervoudigen?
Laten we om te beginnen eens een nette wiskundige uitdrukking opschrijven voor het aantal rijstkorrels dat de koning dan moet betalen. In ons voorbeeld waarin dat aantal steeds met een factor twee toeneemt, is het totale aantal gelijk aan
1 + 2 + 22 + 23 + … + 263
Merk op dat de laatste term 263 is, en niet 264. Op het derde vakje liggen immers 2 × 2 korrels, op het vierde vakje 2 × 2 × 2 korrels, en op het laatste vakje dus 2 × … × 2 korrels met 63 factoren twee.
Voor het meer algemene geval kunnen we nu, zoals wiskundigen dat graag doen, de factor waarmee het aantal rijstkorrels steeds toeneemt x noemen. De uitkomst die we willen berekenen is dan
1 + x + x2 + x3 + … + x63
Dit is een eenvoudig voorbeeld van wat wiskundigen een machtreeks noemen: een som van termen waarin opeenvolgende machten van een variabele x voorkomen. Deze machtreeks is om twee redenen bijzonder:
Elke macht van x komt voor met een coëfficiënt die gelijk is aan 1. Een wat ingewikkelder machtreeks zou bijvoorbeeld de vorm 8 + 2x + 7x2 + 3x3 + … kunnen hebben.
Deze machtreeks heeft maar een eindig aantal termen: 64, om precies te zijn. In de wis- en natuurkunde komen ook (sterker nog: vooral) machtreeksen voor die een oneindig aantal termen hebben. Hoe we met dergelijke reeksen kunnen omgaan zullen we in een volgend artikel zien.
We hebben het probleem van de koning en het schaakbord nu dus op een nette wiskundige manier beschreven met behulp van een machtreeks. Maar helpt ons dat ook om het probleem op te lossen?
De uitkomst van het probleem
Hoe berekenen we vanuit de machtreeks het aantal rijstkorrels dat de koning moet betalen? Er blijkt een grappige truc te zijn die het antwoord vrij eenvoudig geeft. Vermenigvuldig de uitdrukking (voor algemene groeifactor x) met (x-1). We vinden dan
(x-1) (1 + x + x2 + x3 + … + x63)
= x + x2 + … + x64 – 1 – x – x2 – … – x63
In deze berekening hebben we de haakjes uitgewerkt door eerst alle termen in de tweede factor met x te vermenigvuldigen, en vervolgens met -1. We zien dat in de uiteindelijke uitdrukking de term ‘x‘ wegvalt tegen de term ‘-x‘, de term ‘x2‘ tegen de term ‘-x2‘, enzovoort. Alleen de termen ‘x64‘ en ‘-1’ hebben geen partner, dus die termen blijven uiteindelijk over. Kortom: we vinden dat
(x-1) (1 + x + x2 + x3 + … + x63) = x64 – 1
Als we nu links en rechts de factor (x-1) wegdelen, vinden we een elegant eindantwoord voor onze machtreeks:
1 + x + x2 + x3 + … + x63 = (x64 – 1) / (x-1)
Invullen van de waarde voor x in ons oorspronkelijke probleem, x = 2, geeft nu bijvoorbeeld dat het totaal aantal rijstkorrels op het schaakbord gelijk moet zijn aan (264-1) / (2-1) = 264-1, en wie dat invult op een rekenmachine die met voldoende decimalen kan rekenen, vindt inderdaad het eindantwoord dat we aan het begin van dit artikel noemden. Had de uitvinder gevraagd om een toename met een factor 3 per veld, dan berekenen we nu even eenvoudig dat het totale aantal rijstkorrels dan
(364-1) / (3-1) = 1.716.841.910.146.256.242.328.924.544.640
zou zijn geweest – zo’n 1,7 quintiljard! Van een dergelijke hoeveelheid rijst zou de huidige wereldbevolking langer kunnen eten dan het heelal op dit moment bestaat.
Naar boven
Terzijde: een schatting van het antwoord
Overigens kunnen we er misschien niet van uitgaan dat onze arme koning exact weet hoe groot een getal als 264 is. Toch zou de heerser met een hoofdrekentrucje een heel aardige inschatting kunnen maken van het aantal rijstkorrels dat hij zou moeten betalen. Voor ons verhaal is die truc niet van belang, maar voor wie indruk wil maken op feestjes vermelden we het handigheidje hier toch.
Als we de verschillende machten van 2 op een rijtje zetten, komen we al snel een macht tegen die dicht bij een mooi, rond getal ligt: 210 is namelijk gelijk aan 1024, wat natuurlijk niet ver van 1000 af ligt. Dit is ook precies de reden dat in de informatica termen als ‘kilobyte’ gebruikt worden: het voorvoegsel kilo- betekent ‘1000’, maar een kilobyte bevat 1024 enen en nullen.
Afbeelding 3. Computergeheugen.
Computergeheugen wordt gemeten in kilo-, mega- en gigabytes. Een kilobyte bestaat uit 1024 enen en nullen, een megabyte uit 1024 x 1024, enzovoort. Foto: Wikipedia-gebruiker DrJolo.
Het getal 1000 bestaat uit drie factoren 10, dus tien factoren 2 komen grofweg overeen met drie factoren 10. Zestig factoren 2 komen dan grofweg overeen met zes maal drie, dus achttien factoren 10, en als we daar nog eens vier factoren twee aan toevoegen (24 = 16) ontdekken we dat 264 bij goede benadering gelijk is aan het getal 16 gevolgd door achttien nullen. Niet exact de juiste uitkomst (die begon met 18 gevolgd door nog achttien cijfers), maar voldoende dichtbij om de koning een idee te geven van de immense hoeveelheid rijst die hij nodig zou hebben.
Naar boven
Wat heeft dit allemaal met natuurkunde te maken?
In de natuurkunde is het zelden mogelijk om de uitkomst van een experiment exact te berekenen. Zelfs als we een wiskundig model hebben dat een experiment perfect beschrijft, blijkt de wiskunde vaak te lastig om meetuitkomsten precies te kunnen berekenen. Natuurkundigen maken daarom gebruik van allerlei benaderingsmethoden om meetuitkomsten zo nauwkeurig mogelijk te kunnen voorspellen.
Afbeelding 4. Richard Feynman.
De natuurkundige Richard Feynman was een meester in het gebruik van storingsrekening. We zullen zijn naam later in dit dossier nog meerdere malen tegenkomen. Foto: Tamiko Thiel.
In deze reeks artikelen willen we de misschien wel meest gebruikte en interessantste van die methodes beschrijven: storingsrekening. Het idee van storingsrekening is om een meetuitkomst die we niet exact kunnen berekenen te benaderen met behulp van een machtreeks. Die machtreeksen lijken erg op het voorbeeld dat we hierboven in het verhaal van de koning en het schaakbord tegenkwamen, met het grote verschil dat – zoals we al kort noemden – zulke machtreeksen vaak oneindig veel termen bevatten. Hoe gaan we om met zulke oneindige optelsommen, en hoe kan het dat die gebruikt kunnen worden om een eindige meetuitkomst te berekenen? Dat bespreken we in het tweede artikel in dit dossier.
Dan weet @:drakin meteen hoeveel pompoenen ze moet eten in oktober om ze weg te werken
Snel pompoensoep maken dus
Zo'n mooi mens! Die heeft een prachtig leven gehad. Maar ja, toch verdrietig dat ze er niet meer is.quote:
Aww, dit is wel weer echt treurig. Wel mooi oud geworden. Rip Jane
https://nos.nl/artikel/25(...)ter-wereld-overleden
Ik ben altijd in the war met Dian Fossey.quote:
[..]
Zo'n mooi mens! Die heeft een prachtig leven gehad. Maar ja, toch verdrietig dat ze er niet meer is.
Die is er al een tijdje niet meer, vermoord.quote:
[..]
Ik ben altijd in the war met Dian Fossey.
Ik weet.quote:
[..]
Die is er al een tijdje niet meer, vermoord.
Dan snap ik de verwarring nietquote:
Ik ook niet.quote:
Voor wie zijn we?quote:
Goede vraag wel.quote:
Niet voor Greta iig, mijn parkiet vindt haar maar een aandachtshoer. En ik vind dat mijn parkiet daarin gelijk heeft.quote: