Bewijs eerst, rechtstreeks met de definitie van de Fermatgetallen, dat je voor elke (gehele) n ≥ 1 hebtquote:Op woensdag 7 maart 2018 21:07 schreef _--_ het volgende:
Nu even terug. Wat kan je bewijzen wat betreft Fermatgetallen. (en een beetje op mijn niveau )
Dankjewel voor je uitwerking. Om eerlijk te zijn heb ik hier op dit moment niets aan omdat ik zulke formuleringen nog niet heb gehad op school.quote:Op donderdag 8 maart 2018 04:37 schreef Riparius het volgende:
[..]
Bewijs eerst, rechtstreeks met de definitie van de Fermatgetallen, dat je voor elke (gehele) n ≥ 1 hebt
Hint: maak gebruik van het merkwaardig product a² − b² = (a + b)(a − b).
Gebruik identiteit (1) vervolgens om te bewijzen dat je voor elke (gehele) n ≥ 1 hebt
Hint: geef een bewijs met volledige inductie. Dit houdt in dat je aantoont
(a) dat (2) juist is voor n = 1, en
(b) dat (2) juist is voor n = k + 1 áls (2) juist is voor een zekere n = k.
Uit (a) en (b) samen volgt dan dat (2) juist is voor elke gehele n ≥ 1.
Heb je (2) bewezen, dan is het triviaal om via een bewijs uit het ongerijmde (een reductio ad absurdum) aan te tonen dat elk tweetal (verschillende) Fermatgetallen onderling ondeelbaar is.
Kies twee gehele getallen m en n zodanig dat 0 ≤ m < n en veronderstel dat Fm en Fn beide deelbaar zijn door een geheel getal a > 1. Dan is a dus een factor van Fn maar ook van het gedurig product van F0 t/m Fn−1 omdat dit product immers Fm bevat als factor (want: m is kleiner dan n). Maar dan moet het verschil van Fn en het gedurig product van F0 t/m Fn−1 ook deelbaar zijn door a. Echter, uit (2) volgt dat dit verschil gelijk is aan 2, zodat a dan een deler van 2 moet zijn. En omdat we a > 1 hebben verondersteld volgt dan dat a = 2 zou moeten zijn. Maar dit is onmogelijk omdat Fermatgetallen oneven zijn en dus niet 2 als deler kunnen hebben. De aanname dat twee Fermatgetallen Fm en Fn een deler a > 1 gemeen hebben voert dus tot een tegenstrijdigheid, zodat deze aanname onjuist moet zijn. Ergo, elk tweetal Fermatgetallen is onderling ondeelbaar.
Dit zou je echt wel moeten kunnen met de gegeven aanwijzingen. Voor het bewijs van (1) heb je alleen rekenregels nodig voor machten zoalsquote:Op donderdag 8 maart 2018 14:46 schreef _--_ het volgende:
[..]
Dankjewel voor je uitwerking. Om eerlijk te zijn heb ik hier op dit moment niets aan omdat ik zulke formuleringen nog niet heb gehad op school.
Bedankt voor de verheldering. Ik snapte dit tekentje niet . Hierdoor raakte ik in de war. Nu is het duidelijker.quote:Op donderdag 8 maart 2018 20:11 schreef Riparius het volgende:
[..]
Dit zou je echt wel moeten kunnen met de gegeven aanwijzingen. Voor het bewijs van (1) heb je alleen rekenregels nodig voor machten zoals
en
die je inmiddels hoort te kennen, en het merkwaardig product
Het bewijs van (2) is wat lastiger, niet zozeer vanwege de gedachtegang achter een bewijs met inductie maar wel om dit correct op te schrijven.
Ik ga je even op weg helpen met de concrete vraag die je hier stelde, namelijk om te laten zien dat Fn nooit een deler kan zijn van Fn+1. Het idee is om eerst een recursieve betrekking op te stellen waarbij we Fn+1 uitdrukken in Fn. Daaruit zouden we dan moeten kunnen aflezen dat Fn+1 geen geheel veelvoud kan zijn van Fn, zodat deling van Fn+1 door Fn geen geheel getal op kan leveren.
Welnu, volgens de definitie van de Fermatgetallen hebben we voor elke gehele n ≥ 0
en als we hier n in beide leden van deze betrekking vervangen door n + 1 hebben we zo dus ook
Nu heb je, als we bovenstaande rekenregels voor machten gebruiken
en daarmee dus ook
Nu moeten we gaan proberen de uitdrukking in het rechterlid van deze betrekking te relateren aan Fn, want we wilden immers Fn+1 uitdrukken in Fn. Dit kan op verschillende manieren, maar het is hier wellicht het gemakkelijkst als we eerst 2 aftrekken van beide leden, want dan krijgen we
Waarom doe ik dit? Wel, je ziet dat we Fn+1 − 2 kunnen schrijven als een verschil van twee kwadraten. Dat is mooi, want een verschil van de kwadraten van twee grootheden kun je altijd herschrijven als het product van de som en het verschil van die grootheden. Dat is, zoals hierboven al is opgemerkt, één van de merkwaardige producten (identiteiten) die vaak van pas komen bij algebraïsche herleidingen en die je dus van buiten moet kennen (ze zijn het merken waard, dat wilde vroeger zeggen dat ze de moeite waard zijn om te onthouden, vandaar de naam). Maken we nu gebruik van a² − b² = (a + b)(a − b) dan krijgen we
Kortom, we hebben dus
en daarmee hebben we een betrekking gevonden tussen Fn+1 en Fn. Maar we wilden eigenlijk niet Fn+1 − 2 maar Fn+1 zelf uitdrukken in Fn. Daarom tellen we nu bij beide leden weer 2 op en zo vinden we dus
Delen we tenslotte beide leden door Fn, dan hebben we
En kijk, nu zien we direct dat deling van Fn+1 door Fn geen geheel getal op kan leveren. Weliswaar is (Fn − 2) een geheel getal, maar omdat Fn ≥ 3 voor elke n ≥ 0 is 2/Fn een echte breuk, dat wil zeggen een breuk waarvan de waarde tussen 0 en 1 ligt. De uitkomst van de deling van Fn+1 door Fn is dus geen geheel getal, oftewel Fn is geen deler van Fn+1, QED.
Je hebt Grieks, dus dat teken zou je moeten herkennen. Het is de hoofdletter Π die wordt gebruikt om een (gedurig) product aan te geven. De kleine letter i is hier een index die loopt van 0 t/m n−1. Zo kan men het product (vermenigvuldiging) van de getallen F0 t/m Fn−1 heel compact noteren. Op dezelfde manier wordt ook de hoofdletter Σ gebruikt om de som (optelling) van een aantal getallen compact te noteren.quote:Op donderdag 8 maart 2018 20:20 schreef _--_ het volgende:
[..]
Bedankt voor de verheldering. Ik snapte dit tekentje niet [ afbeelding ]. Hierdoor raakte ik in de war. Nu is het duidelijker.
Dat hangt er maar net vanaf of ze dezelfde afstand hebben afgelegd en of ze tegelijk vertrokken zijn, natuurlijk.quote:Op zondag 8 april 2018 17:41 schreef _--_ het volgende:
Kort vraagje: Klopt het dat als 2 verschillende personen op dezelfde tijdstip aan komen op een bepaald punt. wat de tussenliggende snelheid ook is, de gemiddelde snelheid altijd even groot is?
Ja dat bedoel ik ook. Sorry. zelfde afstand en tegelijk vertrokken.quote:Op zondag 8 april 2018 17:46 schreef Janneke141 het volgende:
[..]
Dat hangt er maar net vanaf of ze dezelfde afstand hebben afgelegd en of ze tegelijk vertrokken zijn, natuurlijk.
Tja, dan is de gemiddelde snelheid wel hetzelfde natuurlijk, dat lijkt me triviaal. Snelheid = afstand/tijd, en zowel tijd als afstand zijn gelijk.quote:Op zondag 8 april 2018 17:50 schreef _--_ het volgende:
[..]
Ja dat bedoel ik ook. Sorry. zelfde afstand en tegelijk vertrokken.
quote:Op zondag 8 april 2018 17:54 schreef Janneke141 het volgende:
[..]
Tja, dan is de gemiddelde snelheid wel hetzelfde natuurlijk, dat lijkt me triviaal. Snelheid = afstand/tijd, en zowel tijd als afstand zijn gelijk.
Dat wist je zelf ook wel, want als dat niet zo was zou trajectcontrole onmogelijk zijn. Iets om over na te denken: trajectcontrole maakt gebruik van de middelwaardestelling.quote:
Ik vroeg voor de zekerheid.quote:Op zondag 8 april 2018 18:17 schreef Riparius het volgende:
[..]
Dat wist je zelf ook wel, want als dat niet zo was zou trajectcontrole onmogelijk zijn. Iets om over na te denken: trajectcontrole maakt gebruik van de middelwaardestelling.
Veel interessanter is de vraag waarom jij dacht dat de gemiddelde snelheid wel eens niet hetzelfde kon zijn? Je vraag deed me trouwens ook denken aan deze opgave.quote:
Wat nou als 2 personen 300 meter afleggen.quote:Op zondag 8 april 2018 18:49 schreef Riparius het volgende:
[..]
Veel interessanter is de vraag waarom jij dacht dat de gemiddelde snelheid wel eens niet hetzelfde kon zijn? Je vraag deed me trouwens ook denken aan deze opgave.
∞ is geen welbepaalde grootheid, dus kun je niet meer spreken over (gemiddelde) snelheden. Dit is dus geen tegenvoorbeeld.quote:Op zondag 8 april 2018 18:51 schreef _--_ het volgende:
[..]
Wat nou als 2 personen 300 meter afleggen.
Persoon A legt de eerste 299 meter af in ∞ km/u daarna wacht hij tot persoon B met een normale snelheid (10 km/u) bij hem is.
Als ze daarna tegelijk finishen is de gemiddelde snelheid dan nog gelijk?
lichtsnelheid?quote:Op zondag 8 april 2018 18:58 schreef Riparius het volgende:
[..]
∞ is geen welbepaalde grootheid, dus kun je niet meer spreken over (gemiddelde) snelheden. Dit is dus geen tegenvoorbeeld.
Dan klopt het wel. Uiteindelijk hebben A en B even lang gedaan over hetzelfde traject, en dus zijn hun gemiddelde snelheden over dit traject gelijk.quote:
Calc->dy/dxquote:Op zondag 8 april 2018 21:38 schreef _--_ het volgende:
Hoe bereken je een helling op een bepaald punt exact met je ti-84? Ik weet wel hoe je het met algebra doet hoor. Maar je moet ook snappen hoe je het met een GR doet. Ik weet wel dat het iets met tabel is.
Danku!quote:
Vragen over rekenmachines zijn niet echt vragen voor het wiskunde topic, en ik heb ook niet zo'n ding, maar om je even op weg te helpen: de helling op een bepaald punt van de grafiek van een functie is de waarde van de afgeleide functie op dat punt.quote:Op zondag 8 april 2018 21:38 schreef _--_ het volgende:
Hoe bereken je een helling op een bepaald punt exact met je ti-84? Ik weet wel hoe je het met algebra doet hoor. Maar je moet ook snappen hoe je het met een GR doet. Ik weet wel dat het iets met tabel is.
SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.Mijn eerste echte vraag: Begrijp ik goed dat ze de som nemen van de waarde tussen de haken over alle zinnen 0-n in review i en vervolgens de som nemen van deze waarden over alle reviews 0-m? In dat geval, waarom zijn de buitenste indexen boven en onder de sigma niet i voor de reviews en de binnenste indexen niet j voor de zinnen? Nu lijkt het alsof ze doorelkaar staan en er geen hiërarchie wordt aangegeven welke sommatie eerst uitgevoerd dient te worden. Plus, als je de score van elke review wil weten (aangegeven door de index i bij de variabelen aan de linker zijde van de formule) waarom neem je dan de som van alle reviews? In dat geval zijn het aantal zinnen in elke review het enige wat de scores van elkaar onderscheidt. Wat ook niet echt de bedoeling is lijkt me.
Mijn tweede vraag: Neg_PHi zou de score moeten geven voor de proportie van ontkende erg positieve expressies in review i. Waarom staat de Nij variabele dan voor de opsomming? Dit zou betekenen dat je eerst alle erg positieve woorden opsomt voor elke zin j en (en review i als ze het echt zo bedoelen) en dan als er in al die zinnen (van al die reviews) ook maar één ontkenning van een expressief woord staat, N = 1 en alle woorden als "ontkenningen" gezien worden en bij de score woorden opgeteld. Dit geeft dan toch precies dezelfde uitkomst als score PHi? Daarnaast zou dan de index van N totaal onlogisch zijn. Naar mijn idee moet Nij binnen de haken staan, achter de sommatie, zodat enkel de zinnen waarin zich een ontkenning bevindt worden meegeteld voor de score (al zou woorden ipv zinnen zou nog beter zijn imo).
Heeft iemand enig idee of ik compleet fout zit te denken en het niet begrepen heb? Ik kan me toch moeilijk voorstellen dat er in een peer-reviewed paper zulk soort fouten staan.
Sorry voor de lange tekst
quote:Op vrijdag 27 april 2018 15:50 schreef Cikx het volgende:Okay even proberen inhoudelijk je vragen te beantwoorden:SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.Mijn eerste echte vraag: Begrijp ik goed dat ze de som nemen van de waarde tussen de haken over alle zinnen 0-n in review i en vervolgens de som nemen van deze waarden over alle reviews 0-m? In dat geval, waarom zijn de buitenste indexen boven en onder de sigma niet i voor de reviews en de binnenste indexen niet j voor de zinnen? Nu lijkt het alsof ze doorelkaar staan en er geen hiërarchie wordt aangegeven welke sommatie eerst uitgevoerd dient te worden. Plus, als je de score van elke review wil weten (aangegeven door de index i bij de variabelen aan de linker zijde van de formule) waarom neem je dan de som van alle reviews? In dat geval zijn het aantal zinnen in elke review het enige wat de scores van elkaar onderscheidt. Wat ook niet echt de bedoeling is lijkt me.
Mijn tweede vraag: Neg_PHi zou de score moeten geven voor de proportie van ontkende erg positieve expressies in review i. Waarom staat de Nij variabele dan voor de opsomming? Dit zou betekenen dat je eerst alle erg positieve woorden opsomt voor elke zin j en (en review i als ze het echt zo bedoelen) en dan als er in al die zinnen (van al die reviews) ook maar één ontkenning van een expressief woord staat, N = 1 en alle woorden als "ontkenningen" gezien worden en bij de score woorden opgeteld. Dit geeft dan toch precies dezelfde uitkomst als score PHi? Daarnaast zou dan de index van N totaal onlogisch zijn. Naar mijn idee moet Nij binnen de haken staan, achter de sommatie, zodat enkel de zinnen waarin zich een ontkenning bevindt worden meegeteld voor de score (al zou woorden ipv zinnen zou nog beter zijn imo).
Heeft iemand enig idee of ik compleet fout zit te denken en het niet begrepen heb? Ik kan me toch moeilijk voorstellen dat er in een peer-reviewed paper zulk soort fouten staan.
Sorry voor de lange tekst [/spoiler]
Ja, het betreft hier een dubbele som over i,j.
Aangezien het hier eindige sommatie betreft kun je gewoon de orde van sommatie omdraaien aangezien het een commutatieve groep is. Dat wil niks meer zeggen dan A + B = B+A (bijvoorbeeld voor matrix multiplicatie is dit in het algemeen niet waar)
Je andere observatie is inderdaad vreemd. Neg_PH_i zou alleen van index i afhangen, en inderdaad de index j zou compleet uit de RHS (right hand side) moeten verdwijnen.
Heb je deze Latex formules zelf geschreven? De notatie is hoogst ongebruikelijk en ronduit verschrikkelijk lelijk te noemen. Dat houdt me ook een beetje tegen om het artikel te gaan lezen eigenlijk.
Persoonlijk sla ik altijd de reviews op Facebook over omdat de meeste mensen daar alleen maar hun klachten komen spuien en derhalve die review sectie volgens mij vaak 'biased' is.Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Bedankt voor het uitgebreide antwoord!quote:Op woensdag 2 mei 2018 23:15 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Okay even proberen inhoudelijk je vragen te beantwoorden:
Ja, het betreft hier een dubbele som over i,j.
Aangezien het hier eindige sommatie betreft kun je gewoon de orde van sommatie omdraaien aangezien het een commutatieve groep is. Dat wil niks meer zeggen dan A + B = B+A (bijvoorbeeld voor matrix multiplicatie is dit in het algemeen niet waar)
Je andere observatie is inderdaad vreemd. Neg_PH_i zou alleen van index i afhangen, en inderdaad de index j zou compleet uit de RHS (right hand side) moeten verdwijnen.
Heb je deze Latex formules zelf geschreven? De notatie is hoogst ongebruikelijk en ronduit verschrikkelijk lelijk te noemen. Dat houdt me ook een beetje tegen om het artikel te gaan lezen eigenlijk.
Persoonlijk sla ik altijd de reviews op Facebook over omdat de meeste mensen daar alleen maar hun klachten komen spuien en derhalve die review sectie volgens mij vaak 'biased' is.
|
Forum Opties | |
---|---|
Forumhop: | |
Hop naar: |