[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic.

dinsdag 6 januari 2015 @ 22:29:26 #251

defineaz

quote:
Op dinsdag 6 januari 2015 22:25 schreef thabit het volgende:
Maar met t>=s klinkt het allemaal wat logischer. Substitueer u = t-s, dan is B(t) - B(s) = B(s+u) - B(s), wat volgens mij een Brownian motion in u is.

En dan?
E[B(u)²] = u
ofzoiets?

laat maar, domme opmerking

quote:
Op dinsdag 6 januari 2015 22:28 schreef thabit het volgende:

[..]

Er moet een minteken voor E[2B(s)B(t)]. Die term zal dan wel 2s zijn. Ofwel Cov(B(s), B(t)) = s als s <= t. Interessant.

excuus. Gelukkig maakt het niet zoveel omdat de term wegvalt

quote:
Op dinsdag 6 januari 2015 22:27 schreef thenxero het volgende:

[..]

Vergeet dit stukje, want je was daar nog de conditionering vergeten. Maar in het algemeen:
$EX^2 = E[X^2]$

[..]

Ja, en dan:

[..]

Even kijken hoor

dinsdag 6 januari 2015 @ 22:30:51 #252

thabit

quote:
Op dinsdag 6 januari 2015 22:29 schreef defineaz het volgende:

[..]

En dan?
E[B(u)²] = u
ofzoiets?

Ja.

quote:
[..]

excuus. Gelukkig maakt het niet zoveel omdat de term wegvalt

Nee, die term valt dus niet weg. Anders zou er t + s uitkomen ipv t - s.

dinsdag 6 januari 2015 @ 22:44:45 #253

thenxero

Thabit heeft gelijk. Het is op deze manier nog iets meer werk dan ik dacht. Sorry voor mijn slordige antwoord. Ik zal het netjes uitwerken.

dinsdag 6 januari 2015 @ 23:20:48 #254

thenxero

Het is niet zó triviaal.

Je kan de iterated expectation gebruiken (ook wel bekend als tower property):

$E[E[X|Y]] = E[X]$

$E[(B_t - B_s)^2] = E[B_t^2] + E[B_s^2] -2E[B_t B_s] = t + s -2E[B_t B_s]$

$E[B_t B_s] = E[E_s[B_tB_s]] = E[B_s E_s[B_t]]$
(ik noteer E_s voor conditionele verwachting op tijdstip s en ik gebruik de tower property en "taking out what is known")

$E_s[B_t] = E_s[B_{t}-B_s+B_s] = E_s[B_{t}-B_s] + B_s = B_s$

Substitueren geeft
$E[B_tB_s] = E[B_s^2] = s$

En dus
$E[(B_t - B_s)^2] = t-s$

dinsdag 6 januari 2015 @ 23:31:03 #255

defineaz

quote:
Op dinsdag 6 januari 2015 23:20 schreef thenxero het volgende:
Het is niet zó triviaal.

Je kan de iterated expectation gebruiken (ook wel bekend als tower property):

$E[E[X|Y]] = E[X]$

$E[(B_t - B_s)^2] = E[B_t^2] + E[B_s^2] -2E[B_t B_s] = t + s -2E[B_t B_s]$

$E[B_t B_s] = E[E_s[B_tB_s]] = E[B_s E_s[B_t]]$
(ik noteer E_s voor conditionele verwachting op tijdstip s en ik gebruik de tower property en "taking out what is known")

$E_s[B_t] = E_s[B_{t}-B_s+B_s] = E_s[B_{t}-B_s] + B_s = B_s$

Substitueren geeft
$E[B_tB_s] = E[B_s^2] = s$

En dus
$E[(B_t - B_s)^2] = t-s$

Top, echt bedankt man!
Nog een dingetje: waarom geldt E[B(t)²] = t?

dinsdag 6 januari 2015 @ 23:31:35 #256

thenxero

PS: dit is wel een onnodig lastige manier van uitwerken natuurlijk, aan gezien je ook gewoon het volgende kan doen

$E[(B_t-B_s)^2] = E[B_{t-s}^2] = Var(B_{t-s}) + [E(B_{t-s})]^2 = t-s$

[ Bericht 13% gewijzigd door thenxero op 06-01-2015 23:51:42 ]

dinsdag 6 januari 2015 @ 23:32:47 #257

thenxero

quote:
Op dinsdag 6 januari 2015 23:31 schreef defineaz het volgende:

[..]

Top, echt bedankt man!
Nog een dingetje: waarom geldt E[B(t)²] = t?

Weet je dat Var(X) = E(X²) - (EX)² en dat Var B(t) = t?

dinsdag 6 januari 2015 @ 23:37:19 #258

defineaz

quote:
Op dinsdag 6 januari 2015 23:32 schreef thenxero het volgende:

[..]

Weet je dat Var(X) = E(X²) - (EX)² en dat Var B(t) = t?

Ja! Ik heb alleen nu pas door dat E[B(t)] = 0 dus Var(B(t)) = t = E[B(t)²]
Mijn god

Nogmaals dank

dinsdag 6 januari 2015 @ 23:41:38 #259

thenxero

quote:
Op dinsdag 6 januari 2015 23:37 schreef defineaz het volgende:

[..]

Ja! Ik heb alleen nu pas door dat E[B(t)] = 0 dus Var(B(t)) = t = E[B(t)²]
Mijn god

Nogmaals dank

Altijd wel leuk om met dit soort dingen te spelen. Nu weet ik ook weer waar die E[B_sB_t] = min(s,t) vandaan komt. Prachtige eigenschap trouwens.

De tower property is ook wel iets om te onthouden bij dit soort sommen. Die gaat vaker van pas komen!

woensdag 7 januari 2015 @ 16:57:22 #260

Super-B

Weet iemand wat de integraal is van: - 3 000 000 * x^-1 ?

woensdag 7 januari 2015 @ 16:59:47 #261

Janneke141

Green, green grass of home

quote:
Op woensdag 7 januari 2015 16:57 schreef Super-B het volgende:
Weet iemand wat de integraal is van: - 3 000 000 * x^-1 ?

Het enige correcte antwoord op je vraag is 'nee', maar wat je wil weten is denk ik -3 000 000 * ln x.

Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)

woensdag 7 januari 2015 @ 17:09:10 #262

Super-B

quote:
Op woensdag 7 januari 2015 16:59 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Het enige correcte antwoord op je vraag is 'nee', maar wat je wil weten is denk ik -3 000 000 * ln x.

Jep klopt.. Ik heb namelijk

1/2000 ʃ (bovengrens 3000 en ondergrens 1000) f(x) dx

f(x) = 4000 - x - 3 000 000/x

Ik kwam uit op:

4000x - 1/2x² - 3 000 000 ln (x)

Vervolgens vul ik voor x 3000 in, vervolgens ook 1000 en dat trek ik dan van elkaar af.. Toch krijg ik niet het gewenste resultaat..

Het antwoord moet zijn: 2000 - 1500 ln 3 = 352

woensdag 7 januari 2015 @ 17:29:09 #263

Janneke141

Green, green grass of home

quote:
Op woensdag 7 januari 2015 17:09 schreef Super-B het volgende:

[..]

Jep klopt.. Ik heb namelijk

1/2000 ʃ (bovengrens 3000 en ondergrens 1000) f(x) dx

f(x) = 4000 - x - 3 000 000/x

Ik kwam uit op:

4000x - 1/2x² - 3 000 000 ln (x)

Vervolgens vul ik voor x 3000 in, vervolgens ook 1000 en dat trek ik dan van elkaar af.. Toch krijg ik niet het gewenste resultaat..

Het antwoord moet zijn: 2000 - 1500 ln 3 = 352

Dan gaat er iets mis met het invullen. Ik heb hem even uitgeschreven, en zowel je primitieve als de uitkomst klopt.

Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)

woensdag 7 januari 2015 @ 17:54:56 #264

Super-B

quote:
Op woensdag 7 januari 2015 17:29 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Dan gaat er iets mis met het invullen. Ik heb hem even uitgeschreven, en zowel je primitieve als de uitkomst klopt.

Moet ik iets doen met die 1/2000 in de berekening of niet? Waarvoor dient die 1/2000 aan de linkerkant van het integraal?

woensdag 7 januari 2015 @ 17:57:20 #265

t4rt4rus

Tartarus

quote:
Op woensdag 7 januari 2015 17:54 schreef Super-B het volgende:

[..]

Moet ik iets doen met die 1/2000 in de berekening of niet? Waarvoor dient die 1/2000 aan de linkerkant van het integraal?

Heb je misschien ooit iets gehoord over vermenigvuldigen?
Het is wel vrij nieuw, dus kan zijn dat je dat niet kent.

woensdag 7 januari 2015 @ 17:57:40 #266

Janneke141

Green, green grass of home

quote:
Op woensdag 7 januari 2015 17:54 schreef Super-B het volgende:

[..]

Moet ik iets doen met die 1/2000 in de berekening of niet? Waarvoor dient die 1/2000 aan de linkerkant van het integraal?

Het is een vermenigvuldigingsfactor. Het handigste is meestal om eerst de integraal uit te rekenen, en daarna de uitkomst te vermenigvuldigen met 1/2000.

Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)

woensdag 7 januari 2015 @ 18:00:06 #267

Riparius

quote:
Op woensdag 7 januari 2015 17:09 schreef Super-B het volgende:
Het antwoord moet zijn: 2000 - 1500 ln 3 = 352

Dat is onmogelijk, want ln 3 is niet rationaal.

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

woensdag 7 januari 2015 @ 18:38:55 #268

Super-B

quote:
Op woensdag 7 januari 2015 17:57 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Heb je misschien ooit iets gehoord over vermenigvuldigen?
Het is wel vrij nieuw, dus kan zijn dat je dat niet kent.

Semi-grappig proberen over te komen.

woensdag 7 januari 2015 @ 18:39:28 #269

Super-B

quote:
Op woensdag 7 januari 2015 17:57 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Het is een vermenigvuldigingsfactor. Het handigste is meestal om eerst de integraal uit te rekenen, en daarna de uitkomst te vermenigvuldigen met 1/2000.

Ik wist dat het een vermenigvuldigingsfactor is, maar ik wist niet of het ook gold voor de integraalrekening.

woensdag 7 januari 2015 @ 18:43:14 #270

t4rt4rus

Tartarus

quote:
Op woensdag 7 januari 2015 18:38 schreef Super-B het volgende:

[..]

Semi-grappig proberen over te komen.

Nee best wel treurig, je komt hier wel vaker...

quote:
Op woensdag 7 januari 2015 18:39 schreef Super-B het volgende:

[..]

Ik wist dat het een vermenigvuldigingsfactor is, maar ik wist niet of het ook gold voor de integraalrekening.

Net zoals met differentiëren kan je factors buiten de integraal zetten.

woensdag 7 januari 2015 @ 19:32:23 #271

Riparius

quote:
Op woensdag 7 januari 2015 18:39 schreef Super-B het volgende:

[..]

Ik wist dat het een vermenigvuldigingsfactor is, maar ik wist niet of het ook gold voor de integraalrekening.

Als F(x) een primitieve is van een reële functie f(x) van een reële variabele x en c een reële constante, dan is c·F(x) een primitieve van c·f(x) omdat de afgeleide van c·F(x) naar x immers gelijk is aan c·F'(x) = c·f(x).

Volgens de hoofdstelling van de integraalrekening heb je voor een continue functie f: [a,b] → R dan

$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\,=\,F(b)\,-\,F(a)$

en ook

$\int_a^b c \cdot f(x)\mathrm{d}x\,=\,c \cdot F(b)\,-\,c \cdot F(a)\,=\,c \cdot \left(F(b)\,-\,F(a)\right)$

zodat dus inderdaad

$\int_a^b c \cdot f(x)\mathrm{d}x\,=\,c \cdot \int_a^b f(x)\mathrm{d}x$

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

woensdag 7 januari 2015 @ 19:34:08 #272

Super-B

quote:
Op woensdag 7 januari 2015 19:32 schreef Riparius het volgende:

[..]

Als F(x) een primitieve is van een reële functie f(x) van een reële variabele x en c een reële constante, dan is c·F(x) een primitieve van c·f(x) omdat de afgeleide van c·F(x) naar x immers gelijk is aan c·F'(x) = c·f(x).

Volgens de hoofdstelling van de integraalrekening heb je voor een continue functie f: [a,b] → R dan

$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\,=\,F(b)\,-\,F(a)$

en ook

$\int_a^b c \cdot f(x)\mathrm{d}x\,=\,c \cdot F(b)\,-\,c \cdot F(a)\,=\,c \cdot \left(F(b)\,-\,F(a)\right)$

zodat dus inderdaad

$\int_a^b c \cdot f(x)\mathrm{d}x\,=\,c \cdot \int_a^b f(x)\mathrm{d}x$

Duidelijk. Dank.

donderdag 8 januari 2015 @ 22:21:01 #273

spacer730

[ afbeelding ]
[ afbeelding ]
Iemand die me kan helpen met het parametriseren van het oppervlak S? (gebied op de bol met als rand K U K') Ik dacht dat het invoeren van bolcoördinaten handig zou zijn, want dan zou theta gewoon van 0 tot pi/2 lopen alleen heb ik geen idee hoe ik phi moet laten lopen. Waarschijnlijk als ondergrens een functie van theta tot pi/2, maar hoe vind ik de functie? Overigens gebruik de wiskundige conventie van theta en phi bij bolcoördinaten.

vrijdag 9 januari 2015 @ 14:29:52 #274

-sabine-

Is er iemand die dit uit kan schrijven?

Bewijs dat de samenstelling van twee bijectieve functies bijectief is.

vrijdag 9 januari 2015 @ 16:54:08 #275

Anoonumos

quote:
Op vrijdag 9 januari 2015 14:29 schreef -sabine- het volgende:
Is er iemand die dit uit kan schrijven?

Bewijs dat de samenstelling van twee bijectieve functies bijectief is.

Laat zien dat de samenstelling van twee injectieve functies, injectief is.
https://www.proofwiki.org(...)ections_is_Injection

Laat zien dat de samenstelling van twee surjectieve functies, surjectief is.
https://www.proofwiki.org(...)ctions_is_Surjection

En concludeer.

Forum Opties
Forumhop:
Hop naar:	(afkorting, bv 'KLB')

» school, studie en onderwijs

» school, studie en onderwijs