[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic.

maandag 27 oktober 2014 @ 18:39:34 #251

ibri

quote:
Op maandag 27 oktober 2014 17:59 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

[2nd][+][7]

Dan ga je naar rechts naar de tab ALL en wat je dan moest doen weet ik niet meer.
Maar waarschijnlijk op enter drukken.

Heb je ook nog een wiskundige vraag?

Ben er uiteindelijk achter second + 2 7 en dan aanvinken en del knopje.

Ja ik heb nog wel een vraag,
Ik moet bewijzen of deze functie convergent of divergent is
integraal (5x^-1 . E^2-2x)
Echter kan ik nu niet integration by parts gebruiken omdat je oneindig door gaat met deze functie.
Heeft iemand een tip voor dit probleem?

maandag 27 oktober 2014 @ 18:44:06 #252

Novermars

quote:
Op maandag 27 oktober 2014 18:39 schreef ibri het volgende:

[..]

Ben er uiteindelijk achter second + 2 7 en dan aanvinken en del knopje.

Ja ik heb nog wel een vraag,
Ik moet bewijzen of deze functie convergent of divergent is
integraal (5x^-1 . E^2-2x)
Echter kan ik nu niet integration by parts gebruiken omdat je oneindig door gaat met deze functie.
Heeft iemand een tip voor dit probleem?

Majorant Theorem. Staat ergens in je lecture notes en anders achteraan in het gele boekje.

maandag 27 oktober 2014 @ 18:55:14 #253

ibri

quote:
Op maandag 27 oktober 2014 18:44 schreef Novermars het volgende:

[..]

Majorant Theorem. Staat ergens in je lecture notes en anders achteraan in het gele boekje.

Danku novermars,
Normaal bewijs ik het door dat er een oppervlakte bestaat, bijvoorbeeld lim e^-x wordt dan 0 en houd je vaak een bestaande oppervlakte over.
Ik zou er even naar kijken
Bij de sin en cos doen ze het tussen absolut value haken wat ik wel snap omdat het maximaal 1 is bij een sin of cos binnen absolut value haken.
5^-x wordt ook bijna 0 dus zal hij wel convergent zijn?

maandag 27 oktober 2014 @ 19:01:02 #254

Novermars

quote:
Op maandag 27 oktober 2014 18:55 schreef ibri het volgende:

[..]

Danku novermars,
Normaal bewijs ik het door dat er een oppervlakte bestaat, bijvoorbeeld lim e^-x wordt dan 0 en houd je vaak een bestaande oppervlakte over.
Ik zou er even naar kijken
Bij de sin en cos doen ze het tussen absolut value haken wat ik wel snap omdat het maximaal 1 is bij een sin of cos binnen absolut value haken.
5^-x wordt ook bijna 0 dus zal hij wel convergent zijn?

Wat zijn eigenlijk de integratiegrenzen? Vanaf x=1 neem ik aan...?

maandag 27 oktober 2014 @ 19:04:27 #255

ibri

quote:
Op maandag 27 oktober 2014 19:01 schreef Novermars het volgende:

[..]

Wat zijn eigenlijk de integratiegrenzen? Vanaf x=1 neem ik aan...?

de grenzen zijn van 7 tot infinity

maandag 27 oktober 2014 @ 20:03:20 #256

Novermars

quote:
Op maandag 27 oktober 2014 19:04 schreef ibri het volgende:

[..]

de grenzen zijn van 7 tot infinity

Ik was rustig aan het avondeten, als het iets langer duurt hoef je niet meteen een pm te sturen hoor.
Maar wat je stuurde klopt.

maandag 27 oktober 2014 @ 21:44:19 #257

uvastudentje

nieuw hier

Had een vraagje over wiskundige economie, bereken the elasticity of substitution between y and x for F(x, y) = 10x² + 15y² .

Nu heb ik eerst de marginal rate of substitution berekend = R_yx = 2x/3y .
Maar zie niet in hoe ik dit kan gebruiken om the elasticity of substitution te berekenen.

dinsdag 28 oktober 2014 @ 19:26:54 #258

t4rt4rus

Tartarus

quote:
Op maandag 27 oktober 2014 21:44 schreef uvastudentje het volgende:
Had een vraagje over wiskundige economie, bereken the elasticity of substitution between y and x for F(x, y) = 10x² + 15y² .

Nu heb ik eerst de marginal rate of substitution berekend = R_yx = 2x/3y .
Maar zie niet in hoe ik dit kan gebruiken om the elasticity of substitution te berekenen.

Kom eens met de definities van MRS en EOS.
Ik kan er zo niet een goede wiskundige definitie van vinden.

Oh hier staat iets over dat het de elasticity is van de ratio van a en b naar RMS.

Dus hoe is het lees
$\epsilon f(x,y) = \frac{d\ln\frac{x}{y}}{d \ln{R f(x,y)}}$
Waarin
$R f(x,y) =- \frac{(\frac{\partial f}{\partial x})}{(\frac{\partial f}{\partial y})}$

[ Bericht 10% gewijzigd door t4rt4rus op 28-10-2014 19:59:20 ]

dinsdag 28 oktober 2014 @ 19:43:30 #259

Novermars

quote:
Op dinsdag 28 oktober 2014 19:26 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Kom eens met de definities van MRS en EOS.
Ik kan er zo niet een goede wiskundige definitie van vinden.

Oh hier staat iets over dat het de elasticity is van de ratio van a en b naar RMS.

Dus hoe is het lees
$\epsilon = \frac{d\ln\frac{a}{b}}{d \ln{RMS}}$
Waarin RMS van f(x, y) gelijk is aan
$RMS = \frac{(\frac{d f}{dx})}{(\frac{d f}{dy})}$

Je mist een min bij de MRS. MRS is een verkapte toepassing van de Implicit Function Theorem.

dinsdag 28 oktober 2014 @ 21:17:43 #260

Hahatsjoe

Hoe los ik het volgende vraagstuk op?

Mij wordt gevraagd om de volgende integraal te berekenen:

$\int_0^{\pi/2} {\frac{\log(1+\sin(\phi)}{\sin(\phi)}d\phi}$

De hint die wordt gegeven is om deze integraal te berekenen via:

$\int_0^{\pi/2} {\frac{\log(1+a\sin(\phi)}{\sin(\phi)}d\phi}$

Tevens wordt als hint gegegeven om te differentiëren onder het integraalteken en om enkele substituties van trigonometrische functies te gebruiken.

Welnu, ik laat:

$P(a) = \int_0^{\pi/2} {\frac{\log(1+a\sin(\phi)}{\sin(\phi)}d\phi}$

Zodat:
$\frac{dP}{da} = P'(a) = \int_0^{\pi/2} {\frac{1}{1+a\sin(\phi)}d\phi}$

Mijn plan van aanpak is nu om hieruit een integreerbare functie te vinden, deze te integreren zodat ik $P(a)$ heb gevonden en dan $P(1)$ te berekenen.
Deze laatste integraal kan ik echter niet oplossen, ik zie niet in welke substitutie ik hiervoor moet gebruiken.

Zou iemand me kunnen helpen?

dinsdag 28 oktober 2014 @ 22:42:41 #261

Riparius

quote:
Op dinsdag 28 oktober 2014 21:17 schreef Hahatsjoe het volgende:
Hoe los ik het volgende vraagstuk op?

Mij wordt gevraagd om de volgende integraal te berekenen:

$\int_0^{\pi/2} {\frac{\log(1+\sin(\phi))}{\sin(\phi)}d\phi}$

De hint die wordt gegeven is om deze integraal te berekenen via:

$\int_0^{\pi/2} {\frac{\log(1+a\sin(\phi))}{\sin(\phi)}d\phi}$

Tevens wordt als hint gegegeven om te differentiëren onder het integraalteken en om enkele substituties van trigonometrische functies te gebruiken.

Welnu, ik laat:

$P(a) = \int_0^{\pi/2} {\frac{\log(1+a\sin(\phi))}{\sin(\phi)}d\phi}$

Zodat:
$\frac{dP}{da} = P'(a) = \int_0^{\pi/2} {\frac{1}{1+a\sin(\phi)}d\phi}$

Mijn plan van aanpak is nu om hieruit een integreerbare functie te vinden, deze te integreren zodat ik $P(a)$ heb gevonden en dan $P(1)$ te berekenen.
Deze laatste integraal kan ik echter niet oplossen, ik zie niet in welke substitutie ik hiervoor moet gebruiken.

Zou iemand me kunnen helpen?

Je kunt de Weierstraß substitutie gebruiken. Stel

$t\,=\,\tan\,\frac{1}{2}\varphi$

dan is

$\sin\,\varphi\,=\,\frac{2t}{1\,+\,t^2}$

en

$\frac{\rm{d}t}{\rm{d}\varphi}\,=\,\frac{1}{2}(1\,+\,t^2)$

zodat

$\rm{d}\varphi\,=\,\frac{2\rm{d}t}{1\,+\,t^2}$

Je integraal wordt dan

$\int_0^1 \frac{2\rm{d}t}{(t\,+\,a)^2\,+\,(1\,-\,a^2)}$

en deze integraal kun je in ieder geval voor 0 ≤ a < 1 gemakkelijk bepalen. Voor |a| < 1 hebben we namelijk (1 − a²) = (√(1 − a²))² zodat

$\frac{2}{\sqrt{1\,-\,a^2}}\,\cdot\,\arctan\left(\frac{t\,+\,a}{\sqrt{1\,-\,a^2}\right)$

een primitieve is met betrekking tot t van

$\frac{2}{(t\,+\,a)^2\,+\,(1\,-\,a^2)}$

en zo vinden we

$P'(a)\,=\,\frac{2}{\sqrt{1\,-\,a^2}}\,\cdot\,\left(\arctan\left(\frac{1\,+\,a}{\sqrt{1\,-\,a^2}\right)\,-\,\arctan\left(\frac{a}{\sqrt{1\,-\,a^2}\right)\right)$

Nu kunnen we deze uitdrukking voor P'(a) nog sterk vereenvoudigen door gebruik te maken van wat goniometrische identiteiten. Stellen we namelijk a = sin θ met −½π < θ < ½π, dan is

$\frac{a}{\sqrt{1\,-\,a^2}}\,=\,\frac{\sin\,\theta}{\cos\,\theta}\,=\,\tan\,\theta$

en aangezien −½π < θ < ½π is dan

$\arctan\left(\frac{a}{\sqrt{1\,-\,a^2}\right)\,=\,\arctan(\tan\,\theta)\,=\,\theta\,=\,\arcsin\,a$

Stellen we anderzijds a = cos θ met 0 < θ < π, dan is

$\frac{1\,+\,a}{\sqrt{1\,-\,a^2}}\,=\,\frac{1\,+\,cos\,\theta}{\sin\,\theta}\,=\,\frac{1}{\tan\,\frac{1}{2}\theta}\,=\,\cot\,\frac{1}{2}\theta\,=\,\tan\,(\frac{1}{2}\pi\,-\,\frac{1}{2}\theta)$

omdat immers

$\frac{\sin\,\theta}{1\,+\,\cos\,\theta}\,=\,\frac{2\,\cdot\,\sin\,\frac{1}{2}\theta\,\cdot\,\cos\,\frac{1}{2}\theta}{2\,\cdot\,\cos^2\,\frac{1}{2}\theta}\,=\,\frac{\sin\,\frac{1}{2}\theta}{\cos\,\frac{1}{2}\theta}\,=\,\tan\,\frac{1}{2}\theta$

en aangezien 0 < ½π − ½θ < ½π voor 0 < θ < π is dan

$\arctan\left(\frac{1\,+\,a}{\sqrt{1\,-\,a^2}\right)\,=\,\arctan(\tan(\frac{1}{2}\pi\,-\,\frac{1}{2}\theta))\,=\,\frac{1}{2}\pi\,-\,\frac{1}{2}\theta\,=\,\frac{1}{2}\pi\,-\,\frac{1}{2}\arccos\,a$

Nu hebben we dus

$P'(a)\,=\,\frac{2}{\sqrt{1\,-\,a^2}}\,\cdot\,\left(\frac{1}{2}\pi\,-\,\frac{1}{2}\arccos\,a\,-\,\arcsin\,a\right)$

en omdat

$\arccos\,a\,=\,\frac{1}{2}\pi\,-\,\arcsin\,a$

geeft dit

$P'(a)\,=\,\frac{2}{\sqrt{1\,-\,a^2}}\,\cdot\,\left(\frac{1}{4}\pi\,-\,\frac{1}{2}\arcsin\,a\right)$

en daarmee

$P'(a)\,=\,\frac{1}{2}\pi\,\cdot\,\frac{1}{\sqrt{1\,-\,a^2}}\,-\,\frac{\arcsin\,a}{\sqrt{1\,-\,a^2}}$

Primitiveren geeft nu

$P(a)\,=\,\frac{1}{2}\pi\,\cdot\,\arcsin\,a\,-\,\frac{1}{2}\,\cdot\,(\arcsin\,a)^2\,+\,C$

waarmee P(0) = C terwijl we weten dat P(0) = 0 zodat C = 0 en we dus uiteindelijk krijgen

$P(a)\,=\,\frac{1}{2}\pi\,\cdot\,\arcsin\,a\,-\,\frac{1}{2}\,\cdot\,(\arcsin\,a)^2$

Overigens, aangezien

$\arcsin\,a\,=\,\frac{1}{2}\pi\,-\,\arccos\,a$

kunnen we ook schrijven

$P'(a)\,=\,\frac{\arccos\,a}{\sqrt{1\,-\,a^2}}$

zodat ook

$P(a)\,=\,-\,\frac{1}{2}\,\cdot\,(\arccos\,a)^2\,+\,\frac{\pi^2}{8}$

Nu is P(a) alleen gedefinieerd voor |a| < 1, maar we kunnen hier voor P(1) de limiet nemen van P(a) voor a ↑ 1 en dan hebben we P(1) = π²/8 en dus

$\int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{\log(1\,+\,\sin\,\varphi)}{\sin\,\varphi}\rm{d}\varphi\,=\,\frac{\pi^2}{8}$

Strict genomen moeten we nog bewijzen dat

$\int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{\log(1\,+\,\sin\,\varphi)}{\sin\,\varphi}\rm{d}\varphi\,=\,\lim_{a\uparrow 1}\,\int_0^{\frac{1}{2}\pi}\frac{\log(1\,+\,a\,\sin\,\varphi)}{\sin\,\varphi}\rm{d}\varphi$

maar dit is niet moeilijk. Met behulp van de bekende ongelijkheid 0 ≤ log(1 + x) ≤ x voor x ≥ 0 is gemakkelijk af te leiden dat we voor 0 ≤ a < 1 en 0 < φ ≤ ½π hebben

$0\,\le\,\frac{\log(1\,+\,\sin\,\varphi)}{\sin\,\varphi}\,-\,\frac{\log(1\,+\,a\,\sin\,\varphi)}{\sin\,\varphi}\,\le\,\frac{1\,-\,a}{1\,+\,a\,\sin\,\varphi}\,\le\,1\,-\,a$

zodat het verschil tussen de integralen van log(1 + sin φ)/sinφ en log(1 + a·sin φ)/sinφ over het interval [0, ½π] niet meer bedraagt dan ½π(1 − a) en daarmee kleiner is dan een willekeurige ε > 0 voor 1 − δ < a < 1 met δ = min(2ε/π,1), QED.

[ Bericht 25% gewijzigd door Riparius op 30-10-2014 13:40:14 ]

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

donderdag 30 oktober 2014 @ 12:16:30 #262

Aardappeltaart

Met slagroom

''Elke professionele wiskundige gebruikt LaTeX'', besloot de docent zijn laatste college. Voortaan zou het handiger zijn als we onze inleveropgaves in LaTeX maken. Ik heb TeXStudio geïnstalleerd want dat raadt de studievereniging aan op haar pagina. Hun introductiecursus mis ik misschien, helaas. Waar kan ik het beste beginnen? De link in de OP is overleden.

donderdag 30 oktober 2014 @ 12:34:36 #263

defineaz

quote:
Op donderdag 30 oktober 2014 12:16 schreef Aardappeltaart het volgende:
''Elke professionele wiskundige gebruikt LaTeX'', besloot de docent zijn laatste college. Voortaan zou het handiger zijn als we onze inleveropgaves in LaTeX maken. Ik heb TeXStudio geïnstalleerd want dat raadt de studievereniging aan op haar pagina. Hun introductiecursus mis ik misschien, helaas. Waar kan ik het beste beginnen? De link in de OP is overleden.

De dingen die ik ervan weet zijn zeer beperkt. Wat ik je kan aanraden is gewoon een voorbeelddocument opzoeken. De belangrijkste dingen die je moet weten is hoe de structuur van een document in elkaar zit. Het is vooral veel googelen als je weer eens een nieuw symbool wil gebruiken. Riparius had al meer dan eens een handige site om uit te zoeken welk symbool je moet hebben gepost (als je hem zoals ik vaak gebruikt dan hoef je alleen de naam detexify in te typen en komt je browser al met de site).

Hier een klein voorbeelddocument, ik neem aan dat het meeste wel te begrijpen is. Je kan het document opslaan als .tex-bestand, en kijken of je al een editor hebt (texworks staat geloof ik tegenwoordig vaak al standaaard op windows-computers).

SPOILER
Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Toelichting:
Commando's in latex herken je door de backslash. De backslash is een zogenaamd escape-karakter. Dit betekent dat het woord achter de backslash een speciale betekenis krijgt.

In een latex-document begin je niet zomaar met de tekst die je in het document wil te typen. Je moet eerst verschillende dingen aangeven met commando's, bijvoorbeeld in welke stijl je het document wil hebben:

De bovenkant van het document is de plek om je documentclass te declareren (ik gebruik altijd article, ik weet eigenlijk niet echt alternatieven: als ik iets anders nodig heb wordt dat meestal gegeven door de docent of google ik het).

Vlak daaronder geef je door middel van het commando usepackage aan welke packages je wil gebruiken. In het voorbeeld heb ik amsfonts gebruikt. Hierin staan de N met dubbele strepen, die vaak gebruikt wordt om de verzameling natuurlijke getallen aan te geven.

Dan geef je de schrijven(author) en titel op. (Dit is geloof ik niet verplicht, maar wel zo makkelijk, omdat je dan het commando maketitle in je document kan gebruiken om zo automatisch een titel met je naam eronder te genereren).

Pas na al die dingen (Het zijn er nog veel meer als je wat beter met latex bent en wat mooiere dingen probeert te maken) kan je je daadwerkelijke document beginnen, tussen de commando's:

\begin{document} en \end{document}

Dit is overigens een vorm voor commando's die vaker voorkomt: de 'curly brackets' hebben ook een speciale betekenis: een beetje wat haakjes doen in de wiskunde: ze geven de grenzen aan waar het commando daarvoor op werkt:
a^-1 wordt a^-1, a^{-1} wordt a^-1 (in een formule).

Eenmaal in het document kan je section, subsection en subsubsection-commando's gebruiken om titels van de (sub)(sub)secties aan te geven. Als je geen nummer ervoor wil, kan je een aterisk gebruiken om de nummering te verbergen.

Formules zet je tussen $'s (voor inline formules) of tussen \[ en \] (voor mooie, grote, gecentreerde formules). Als je een karakter met een speciale betekenis wil gebruiken, kan je dat vaak doen door hem te escapen door er een backslash voor te zetten. (een backslash krijg je bijvoorbeeld door \\, curly brackets door \{ te gebruiken).

Voor matrix- en vectornotatie, afbeeldingen, grafen en weet ik veel wat moet je maar googelen: er is een enorm aantal mogelijkheden met latex.

[ Bericht 17% gewijzigd door defineaz op 30-10-2014 12:55:14 ]

donderdag 30 oktober 2014 @ 14:19:23 #264

Novermars

quote:
Op donderdag 30 oktober 2014 12:16 schreef Aardappeltaart het volgende:
''Elke professionele wiskundige gebruikt LaTeX'', besloot de docent zijn laatste college. Voortaan zou het handiger zijn als we onze inleveropgaves in LaTeX maken. Ik heb TeXStudio geïnstalleerd want dat raadt de studievereniging aan op haar pagina. Hun introductiecursus mis ik misschien, helaas. Waar kan ik het beste beginnen? De link in de OP is overleden.

http://ftp.snt.utwente.nl(...)/latexcourse-rug.pdf

Veel plezier! Ik gebruik zelf Texmaker (en Miktex) als IDE en vind dat erg prettig werken, maar wat voor jou het beste werkt moet je zelf achter komen.

donderdag 30 oktober 2014 @ 15:16:40 #265

thabit

DIG / [LaTeX #8] TeXnologen voor de zetTeXniek

donderdag 30 oktober 2014 @ 15:42:47 #266

Aardappeltaart

Met slagroom

Dankjulliewel! Ik zal er de komende dagen naar kijken.

vrijdag 31 oktober 2014 @ 11:23:57 #267

ForzaMilan

Forza Milan

Beste iederen: Vraagje over de normale verdeling..

Hoe komen ze op het eind nu in één keer aan die Z waarde en die 21 kranten. Tot het eind snap ik alles maar dan gaat het te snel voor me.

Rossoneri siamo noi.

vrijdag 31 oktober 2014 @ 14:02:52 #268

Hahatsjoe

quote:
Op dinsdag 28 oktober 2014 22:42 schreef Riparius het volgende:

[..]

Wauw! Ik ben helemaal overdonderd door je fantastische uitwerking! Ik heb zojuist het vraagstuk zelf nogmaals opgelost en gebruikmakend van de Weierstrass-substitutie kom je inderdaad goed uit.

Nu heb ik nog een lastig vraagstuk waar ik me de afgelopen dagen ook al op heb stukgebeten, en ik zou het waanzinnig appreciëren als iemand hier een sluitend bewijs voor kan vinden:

Wat kun je zeggen over de convergentie voor $p \in \mathbb{R}$ van
$\int_0^{\infty} {\frac{\sin x}{x^p}dx}$

Welnu mijn eerste observatie is dat p sowieso niet negatief is, anders explodeert de integrand.

Ten tweede weet ik dat ik $\sin x$ kan afschatten namelijk
$| \sin x | \leq 1$
En dus
$\frac{| \sin x |}{x} \leq \frac{1}{x}$

Welnu wat ik deed is het volgende

$\int_0^{\infty} {\frac{\sin x}{x^p}dx} \ \ \text{cf.} \ \ \int_0^{\infty} {\frac{1}{x^{p-1}}dx}$

Intuïtief zou ik zeggen dat deze convergeert slechts dan als $| p-1 | < 1$ oftewel dat $p \in (0,2)$ . Dit laatste kan ik echter niet wiskundig hard maken, heeft iemand hier een verlichtende opmerking over?

vrijdag 31 oktober 2014 @ 18:47:16 #269

Riparius

quote:
Op vrijdag 31 oktober 2014 14:02 schreef Hahatsjoe het volgende:

[..]

Wauw! Ik ben helemaal overdonderd door je fantastische uitwerking! Ik heb zojuist het vraagstuk zelf nogmaals opgelost en gebruikmakend van de Weierstrass-substitutie kom je inderdaad goed uit.

Nu heb ik nog een lastig vraagstuk waar ik me de afgelopen dagen ook al op heb stukgebeten, en ik zou het waanzinnig appreciëren als iemand hier een sluitend bewijs voor kan vinden:

Wat kun je zeggen over de convergentie voor $p \in \mathbb{R}$ van
$\int_0^{\infty} {\frac{\sin x}{x^p}dx}$

Je integraal convergeert inderdaad voor 0 < p < 2, maar je argumentatie is niet deugdelijk. De clou is hier om het interval waarover je integreert op te splitsen in de intervallen [0, 1] en [1, ∞) en de convergentie over deze deelintervallen apart te bekijken. Deze vraag is al vaker voorbij gekomen op stackexchange, dus neem daar eens een kijkje.

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

vrijdag 31 oktober 2014 @ 19:12:32 #270

Anoonumos

quote:
Op vrijdag 31 oktober 2014 11:23 schreef ForzaMilan het volgende:
Beste iederen: Vraagje over de normale verdeling..

[ afbeelding ]

[ afbeelding ]

Hoe komen ze op het eind nu in één keer aan die Z waarde en die 21 kranten. Tot het eind snap ik alles maar dan gaat het te snel voor me.

We zoeken een c zodat
$P(X \leq c) = 0.75$
waar X normaal verdeeld is met mu = 25 en sigma = 5

Dit omschrijven geeft
$P(\frac{X - \mu}{\sigma} \leq \frac{c - \mu}{\sigma} ) =P(Z\leq \frac{c - \mu}{\sigma} ) = 0.75$
Z = (X - mu) / sigma is standaard normaal verdeeld.

In een tabel voor de cumulative verdeling van een standaard normaalverdeling vinden we dat
$P(Z\leq -0.67 ) = 0.75$

Dus
$\frac{c - \mu}{\sigma} = - 0.67 \Rightarrow c = \mu - 0.67 \sigma = 21.65$

vrijdag 31 oktober 2014 @ 19:41:29 #271

ForzaMilan

Forza Milan

quote:
Op vrijdag 31 oktober 2014 19:12 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

We zoeken een c zodat
$P(X \leq c) = 0.75$
waar X normaal verdeeld is met mu = 25 en sigma = 5

Dit omschrijven geeft
$P(\frac{X - \mu}{\sigma} \leq \frac{c - \mu}{\sigma} ) =P(Z\leq \frac{c - \mu}{\sigma} ) = 0.75$
Z = (X - mu) / sigma is standaard normaal verdeeld.

In een tabel voor de cumulative verdeling van een standaard normaalverdeling vinden we dat
$P(Z\leq -0.67 ) = 0.75$

Dus
$\frac{c - \mu}{\sigma} = - 0.67 \Rightarrow c = \mu - 0.67 \sigma = 21.65$

Thanks!

Rossoneri siamo noi.

zaterdag 1 november 2014 @ 22:50:30 #272

Hahatsjoe

quote:
Op vrijdag 31 oktober 2014 18:47 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je integraal convergeert inderdaad voor 0 < p < 2, maar je argumentatie is niet deugdelijk. De clou is hier om het interval waarover je integreert op te splitsen in de intervallen [0, 1] en [1, ∞) en de convergentie over deze deelintervallen apart te bekijken. Deze vraag is al vaker voorbij gekomen op stackexchange, dus neem daar eens een kijkje.

Bedankt voor je antwoord, ik zal die website onthouden!
Ik snap het echter nog niet helemaal, zou je je uitleg iets kunnen uitbreiden?
We zeggen dus:
$\int_0^{\infty} \frac{\sin x }{x^p} dx = \int_0^1 \frac{\sin x}{x^p} dx + \int_1^{\infty} \frac{\sin x}{x^p} dx$
En $\int_0^{\infty} \frac{\sin x }{x^p} dx$ convergeert voor p dan en slechts dan als zowel $\int_0^1 \frac{\sin x}{x^p} dx$ als $\int_1^{\infty} \frac{\sin x}{x^p} dx$ convergeren, juist?

Welke afschattingen kan ik het beste gebruiken voor deze integralen? Ik neem aan dat ik aantoon dat één van deze integralen divergeert als $p \geq 2$ en dat beide integralen eindig zijn voor $p \in (0,2)$ ?

zaterdag 1 november 2014 @ 23:07:01 #273

Novermars

Voor $x \approx 0$ , $sin x \approx x$ , en dus $\int_0^1 \dfrac{\sin x}{x^p} \mathrm{d}x \approx \int_0^1 \dfrac{1}{x^{p-1}} \mathrm{d}x \to \infty$ voor $p \geq 1$

zondag 2 november 2014 @ 08:38:14 #274

Hahatsjoe

quote:
Op zaterdag 1 november 2014 23:07 schreef Novermars het volgende:
Voor $x \approx 0$ , $sin x \approx x$ , en dus $\int_0^1 \dfrac{\sin x}{x^p} \mathrm{d}x \approx \int_0^1 \dfrac{1}{x^{p-1}} \mathrm{d}x \to \infty$ voor $p \geq 1$

Voor je laatste ongelijkheid, bedoel je niet hij divergeert als $p-1 \geq 1$ en dus $p \geq 2$ (i.p.v. $p \geq 1$ ?
En die integraal divergeert omdat de integrand explodeert wanneer ik $x=0$ invul in de primitieve?

Hoe toon ik dan aan dat voor $p \in (0,2)$ beide integralen eindig zijn?

zondag 2 november 2014 @ 13:01:18 #275

t4rt4rus

Tartarus

quote:
Op zondag 2 november 2014 08:38 schreef Hahatsjoe het volgende:
Hoe toon ik dan aan dat voor $p \in (0,2)$ beide integralen eindig zijn?

$\int_0^{\infty} \, \frac{\sin x}{x^p} \, \mathrm{d}x = \left( \int_0^{\pi} + \int_{\pi}^{\infty} \right) \, \frac{\sin x}{x^p} \, \mathrm{d}x ,$

De linker helft heeft een singulariteit op x = 0.
Zoals hier boven ook al staat, convergeert deze integraal voor p < 2.

De rechter helft kan je schrijven als een alternerende serie van integralen
$\sum_{n=1}^{\infty} \,(-1)^n \int_{n \pi}^{(n+1)\pi} \, \frac{|\sin x|}{x^p} \, \mathrm{d}x$
Met de alternerende serie test kan je dan aantonen dat deze serie convergeert voor p > 0.
http://math.stackexchange(...)nfty-frac-sinaxbxp-m

En dan krijg je als antwoord dat het integraal convergeert voor $p \in (0,2)$

[ Bericht 4% gewijzigd door t4rt4rus op 02-11-2014 13:13:49 ]

Forum Opties
Forumhop:
Hop naar:	(afkorting, bv 'KLB')

» school, studie en onderwijs

» school, studie en onderwijs