SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Aaah, danku! Al te lang achter elkaar bezig denk ikquote:Op zondag 14 september 2014 16:10 schreef Riparius het volgende:
[..]
Nee, dit is niet hetzelfde. Je negeert namelijk de rekenregel min maal min geeft plus. Het kwadraat van −½ is ¼, niet −¼.
Vermenigvuldig je die - die rechts van de drie staat niet eerst met een deel v/h kwadraat?quote:
[..]
Nee, dit is niet hetzelfde. Je negeert namelijk de rekenregel min maal min geeft plus. Het kwadraat van −½ is ¼, niet −¼.
Dus 3 - (-1/2)^2 is 3 - (-1/2) * (-1/2) en dus
3 + (1/2) * (-1/2) ?
Zo niet, waarom niet
Zo zou je het ook kunnen zien ja. Het punt was voornamelijk dat je uiteindelijk een minteken overhoudt. In welke volgorde je de twee andere mintekens vermenigvuldigt maakt niets uit.quote:Op zondag 14 september 2014 17:25 schreef Super-B het volgende:
[..]
Vermenigvuldig je die - die rechts van de drie staat niet eerst met een deel v/h kwadraat?
Dus 3 - (-1/2)^2 is 3 - (-1/2) * (-1/2) en dus
3 + (1/2) * (-1/2) ?
Zo niet, waarom niet
Jij neemt een van de mintekens in het kwadraat en haalt die naar buiten, terwijl Riparius (-1/2)2 = +1/4 doet.
Ik heb nog een vraag, ditmaal over de afgeleide/het differentiëren.
Stel je hebt de raaklijn berekent ofwel de afgeleide van een functie. Wat houdt dat dan in? Stel je afgeleide is
y = x², wat kun je daar dan mee? Ik heb verschillende video's bekeken en dan wordt er gesproken over het richtingscoëfficiënt berekenen van 'dat' punt oid, maar kan dat ook van elk punt, ook waar de raaklijn niet de gewone functie snijdt (zoals het standaard is dat de raaklijn door twee punten snijdt met de gewone functie)?
Wat de richtingscoëfficiënt is, is mij wel duidelijk; dat bepaalt de richting van de lijn bij elke x-stap. Echter is de afgeleide mij nog wat wazig, ondanks het bekijken van verschillende video's.
Het is niet zozeer dat ik de methodiek lastig vind, maar de achtergrond van de afgeleide niet begrijp.
Stel je hebt de raaklijn berekent ofwel de afgeleide van een functie. Wat houdt dat dan in? Stel je afgeleide is
y = x², wat kun je daar dan mee? Ik heb verschillende video's bekeken en dan wordt er gesproken over het richtingscoëfficiënt berekenen van 'dat' punt oid, maar kan dat ook van elk punt, ook waar de raaklijn niet de gewone functie snijdt (zoals het standaard is dat de raaklijn door twee punten snijdt met de gewone functie)?
Wat de richtingscoëfficiënt is, is mij wel duidelijk; dat bepaalt de richting van de lijn bij elke x-stap. Echter is de afgeleide mij nog wat wazig, ondanks het bekijken van verschillende video's.
Het is niet zozeer dat ik de methodiek lastig vind, maar de achtergrond van de afgeleide niet begrijp.
De afgeleide functie geeft de steilheid van de grafiek van de oorspronkelijke functie in elk punt op de grafiek van die oorspronkelijke functie. De afgeleide functie geeft zo dus informatie over het verloop van de grafiek van de oorspronkelijke functie. Je kunt deze informatie (dus: de afgeleide functie) zo gebruiken om bijvoorbeeld (locale en globale) maxima en minima van de oorspronkelijke functie op te sporen. Dit is vaak belangrijk bij allerlei praktische vraagstukken. In de economie wil je bijvoorbeeld kunnen bestuderen hoe de winst afhangt van allerlei variabelen en hoe je die winst kunt maximaliseren.quote:
Ik heb nog een vraag, ditmaal over de afgeleide/het differentiëren.
Stel je hebt de raaklijn berekend ofwel de afgeleide van een functie. Wat houdt dat dan in? Stel je afgeleide is
y = x², wat kun je daar dan mee?
Aha.. stel hé ik vul een x-punt van de gewone functie (2) in de afgeleide 2x in.. (de betreffende punt is 2,4). Dan heb jequote:
[..]
De afgeleide functie geeft de steilheid van de grafiek van de oorspronkelijke functie in elk punt op de grafiek van die oorspronkelijke functie. De afgeleide functie geeft zo dus informatie over het verloop van de grafiek van de oorspronkelijke functie. Je kunt deze informatie (dus: de afgeleide functie) zo gebruiken om bijvoorbeeld (locale en globale) maxima en minima van de oorspronkelijke functie op te sporen. Dit is vaak belangrijk bij allerlei praktische vraagstukken. In de economie wil je bijvoorbeeld kunnen bestuderen hoe de winst afhangt van allerlei variabelen en hoe je die winst kunt maximaliseren.
2*2 = 4, wat zegt die 4 dan? Dat het richtingscoëfficiënt is op dat x-punt en je zodoende een functie kan maken van het x-punt 2. Dus in dat geval
y = ax + b
y = 4x + b
4 = 4*2 + b
4 = 8 + b
-4 = b
Dus de functie op punt (2,4) is dan y = 4x - 4 toch?
P.s; kan de afgeleide ook op lineaire functies toegepast worden of alleen functies welke een grafiek hebben waarvan de richtingscoëfficiënt op elk punt anders is (bijv. doordat de grafiek een gebogen grafiek is)?
Nee, nu bepaal je de y-waarde die bij een bepaalde x-waarde hoort. De afgeleide van f(x) = x2 is f'(x) = 2x.quote:
[..]
Aha.. stel hé ik vul een x-punt van de gewone functie (2) in de afgeleide x² in.. (de betreffende punt is 2,4). Dan heb je
2² = 4, wat zegt die 4 dan? Dat het richtingscoëfficiënt is op dat x-punt en je zodoende een functie kan maken van het x-punt 2. Dus in dat geval
y = ax + b
y = 4x + b
4 = 4*2 + b
4 = 8 + b
-4 = b
Dus de functie op punt (2,4) is dan y = 4x - 4 toch?
P.s; kan de afgeleide ook op lineaire functies toegepast worden of alleen functies welke een grafiek hebben waarvan de richtingscoëfficiënt op elk punt anders is (bijv. doordat de grafiek een gebogen grafiek is)?
Zie edit. Gelukkig maakt het voor de berekening even niets uit, aangezien 2*2 hetzelfde is als 2². Dus ik heb niet veel hoeven te editen.quote:
[..]
Nee, nu bepaal je de y-waarde die bij een bepaalde x-waarde hoort. De afgeleide van f(x) = x2 is f'(x) = 2x.
Deze kromme formulering geeft mooi je verwarring weer. Je moet wel onderscheid maken tussen een snijlijn door twee punten op de grafiek (die meestal dicht bij elkaar worden gekozen) en een raaklijn in één punt van de grafiek.quote:
Ik heb nog een vraag, ditmaal over de afgeleide/het differentiëren.
Stel je hebt de raaklijn berekent ofwel de afgeleide van een functie. Wat houdt dat dan in? Stel je afgeleide is
y = x², wat kun je daar dan mee? Ik heb verschillende video's bekeken en dan wordt er gesproken over het de richtingscoëfficiënt berekenen van 'dat' punt o.i.d., maar kan dat ook van elk punt, ook waar de raaklijn niet de gewone functie snijdt (zoals het standaard is dat de raaklijn door twee punten snijdt met de gewone functie)?
Je kunt het je zo voorstellen dat je één punt op je grafiek kiest en daarnaast nog een tweede punt op de grafiek daar dicht bij. Omdat een rechte lijn volledig vastligt door twee punten, kun je nu door die twee punten precies één rechte lijn trekken. Laat je nu het tweede punt op de grafiek naar het eerste punt toe kruipen, en wel langs de grafiek, dan zal de snijlijn door de twee punten steeds meer de richting krijgen van de raaklijn aan dat eerste punt op de grafiek.
De steilheid ofwel de richtingscoëfficiënt van de snijlijn door twee punten (x, f(x)) en (x+h, f(x+h)) op de grafiek van een functie f bereken je door het verschil in verticale positiequote:Wat de richtingscoëfficiënt is, is mij wel duidelijk; dat bepaalt de richting van de lijn bij elke x-stap. Echter is de afgeleide mij nog wat wazig, ondanks het bekijken van verschillende video's.
Het is niet zozeer dat ik de methodiek lastig vind, maar de achtergrond van de afgeleide niet begrijp.
Δy = f(x+h) − f(x)
tussen de twee punten (x, f(x)) en (x+h, f(x+h)) te delen door het verschil in horizontale positie
Δx = (x+h) − x = h
van de twee punten. Zo krijgen we voor de steilheid van onze snijlijn door de twee punten (x, f(x)) en (x+h, f(x+h)) op de grafiek van onze functie f dus
Δy/Δx = (f(x+h) − f(x))/h
Maar nu zijn we niet geïnteresseerd in de steilheid van de snijlijn door de punten (x, f(x)) en (x+h, f(x+h)) op de grafiek van f, maar in de steilheid van de grafiek van f zelf in dat ene punt (x, f(x)) op de grafiek. En die steilheid is niets anders dan de steilheid van de raaklijn aan de grafiek van f in dit punt (x, f(x)). Wat we dus moeten doen is die waarde van h naar nul laten gaan zodat het tweede punt (x+h, f(x+h)) langs de grafiek naar het eerste punt (x, f(x)) gaat, want dan gaat de steilheid van de snijlijn steeds meer in de buurt komen van de steilheid van de raaklijn aan de grafiek in het punt (x, f(x)) waar we eigenlijk in zijn geïnteresseerd.
Maar nu hebben we een probleem, want we kunnen in
Δy/Δx = (f(x+h) − f(x))/h
niet zomaar h = 0 invullen want dan wordt Δy = 0 en ook Δx = 0 zodat de breuk 0/0 wordt, en dat heeft geen betekenis. Daarom moeten we gaan kijken wat er gebeurt als we dat verschil h in horizontale positie tussen de twee punten op de grafiek niet nul maken maar wel heel dicht (willekeurig dicht) tegen 0 aan laten kruipen. Hierbij moet je nog bedenken dat h niet positief hoeft te zijn, want we kunnen h ook vanaf de negatieve kant tegen 0 aan laten kruipen.
Wat we hier eigenlijk nodig hebben is het begrip limiet. Een limiet is niets anders dan een grenswaarde waarbij we zo dicht in de buurt kunnen komen als we maar willen, als we een bepaalde variabele (hier: h) maar dicht genoeg bij een bepaalde waarde (hier: 0) kiezen. En die limiet van bovenstaande uitdrukking (f(x+h) − f(x))/h voor h → 0 is zo niets anders dan de steilheid van de raaklijn aan de grafiek in het punt (x, f(x)) oftewel de afgeleide f'(x), dus
f'(x) = limh→0 (f(x+h) − f(x))/h
Nu zou het heel omslachtig zijn als we altijd maar weer zo'n limiet moesten gaan bepalen om een afgeleide functie te vinden, maar dat hoeft niet. Want voor allerlei 'standaardfuncties' is het mogelijk om eens en voor altijd aan de hand van deze limiet te bepalen wat de afgeleide is, en als we dat eenmaal weten dan kunnen we daar verder gewoon mee werken. Zo kan men bijvoorbeeld aan de hand van deze limiet bewijzen dat voor
f(x) = xn
geldt
f'(x) = nxn−1
Behalve een aantal afgeleiden voor 'standaardfuncties' zijn er ook nog regels voor het bepalen van de afgeleide functie van bijvoorbeeld de som, het verschil, het product, of het quotiënt van twee gegeven functies, en ook die regels zijn allemaal te bewijzen aan de hand van bovenstaande definitie van de afgeleide. Tenslotte is het ook belangrijk om de afgeleide te kunnen bepalen van een samenstelling van twee (of meer) functies waarbij de 'output' van de eerste functie dient als 'input' voor de tweede functie. Dat is de kettingregel, en ook die is uiteraard te bewijzen aan de hand van bovenstaande definitie van de afgeleide.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 14-09-2014 23:49:15 ]
Wat heb je geprobeerd? Welke rekenregels ken je?quote:
Waarom is 5 / 2sqrt5 = (1/2)sqrt5 ?
I asked God for a bike, but I know God doesn't work that way.
So I stole a bike and asked for forgiveness.
So I stole a bike and asked for forgiveness.
Vermenigvuldig teller en noemer van je breuk met √5, dan heb jequote:
Waarom is 5 / 2sqrt5 = (1/2)sqrt5 ?
Hartstikke duidelijk. Enorm bedankt.quote:
[..]
Deze kromme formulering geeft mooi je verwarring weer. Je moet wel onderscheid maken tussen een snijlijn door twee punten op de grafiek (die meestal dicht bij elkaar worden gekozen) en een raaklijn in één punt van de grafiek.
Je kunt het je zo voorstellen dat je één punt op je grafiek kiest en daarnaast nog een tweede punt op de grafiek daar dicht bij. Omdat een rechte lijn volledig vastligt door twee punten, kun je nu door die twee punten precies één rechte lijn trekken. Laat je nu het tweede punt op de grafiek naar het eerste punt toe kruipen, en wel langs de grafiek, dan zal de snijlijn door de twee punten steeds meer de richting krijgen van de raaklijn aan dat eerste punt op de grafiek.
[..]
De steilheid ofwel de richtingscoëfficiënt van de snijlijn door twee punten (x, f(x)) en (x+h, f(x+h)) op de grafiek van een functie f bereken je door het verschil in verticale afstand
Δy = f(x+h) − f(x)
tussen de twee punten (x, f(x)) en (x+h, f(x+h)) te delen door het verschil in horizontale afstand
Δx = (x+h) − x = h
van de twee punten. Zo krijgen we voor de steilheid van onze snijlijn door de twee punten (x, f(x)) en (x+h, f(x+h)) op de grafiek van onze functie f dus
Δy/Δx = (f(x+h) − f(x))/h
Maar nu zijn we niet geïnteresseerd in de steilheid van de snijlijn door de punten (x, f(x)) en (x+h, f(x+h)) op de grafiek van f, maar in de steilheid van de grafiek van f zelf in dat ene punt (x, f(x)) op de grafiek. En die steilheid is niets anders dan de steilheid van de raaklijn aan de grafiek van f in dit punt (x, f(x)). Wat we dus moeten doen is die waarde van h naar nul laten gaan zodat het tweede punt (x+h, f(x+h)) langs de grafiek naar het eerste punt (x, f(x)) gaat, want dan gaat de steilheid van de snijlijn steeds meer in de buurt komen van de steilheid van de raaklijn aan de grafiek in het punt (x, f(x)) waar we eigenlijk in zijn geïnteresseerd.
Maar nu hebben we een probleem, want we kunnen in
Δy/Δx = (f(x+h) − f(x))/h
niet zomaar h = 0 invullen want dan wordt Δy = 0 en ook Δx = 0 zodat de breuk 0/0 wordt, en dat heeft geen betekenis. Daarom moeten we gaan kijken wat er gebeurt als we dat verschil h in horizontale afstand tussen de twee punten op de grafiek niet nul maken maar wel heel dicht (willekeurig dicht) tegen 0 aan laten kruipen. Hierbij moet je nog bedenken dat h niet positief hoeft te zijn, want we kunnen h ook vanaf de negatieve kant tegen 0 aan laten kruipen.
Wat we hier eigenlijk nodig hebben is het begrip limiet. Een limiet is niets anders dan een grenswaarde waarbij we zo dicht in de buurt kunnen komen als we maar willen, als we een bepaalde variabele(hier: h) maar dicht genoeg bij een bepaalde waarde (hier: 0) kiezen. En die limiet van bovenstaande uitdrukking (f(x+h) − f(x))/h voor h → 0 is zo niets anders dan de steilheid van de raaklijn aan de grafiek in het punt (x, f(x)) oftewel de afgeleide f'(x), dus
f'(x) = limh→0(f(x+h) − f(x))/h
Nu zou het heel omslachtig zijn als we altijd maar weer zo'n limiet moesten gaan bepalen om een afgeleide functie te vinden, maar dat hoeft niet. Want voor allerlei 'standaardfuncties' is het mogelijk om eens en voor altijd aan de hand van deze limiet te bepalen wat de afgeleide is, en als we dat eenmaal weten dan kunnen we daar verder gewoon mee werken. Zo kan men bijvoorbeeld aan de hand van deze limiet bewijzen dat voor
f(x) = xn
geldt
f'(x) = nxn−1
Behalve een aantal afgeleiden voor 'standaardfuncties' zijn er ook nog regels voor het bepalen van de afgeleide functie van bijvoorbeeld de som, het verschil, het product, of het quotiënt van twee gegeven functies, en ook die regels zijn allemaal te bewijzen aan de hand van bovenstaande definitie van de afgeleide. Tenslotte is het ook belangrijk om de afgeleide te kunnen bepalen van een samenstelling van twee (of meer) functies waarbij de 'output' van de eerste functie dient als 'input' voor de tweede functie. Dat is de kettingregel, en ook die is uiteraard te bewijzen aan de hand van bovenstaande definitie van de afgeleide.
Echter is mij dus dan nog steeds niet duidelijk wat ik dan precies met de afgeleide kan doen..
Stel de functie y = 2x² heeft de afgeleide y = 4x. Wat kan ik dan allemaal met die afgeleiden? Welke x moet ik dan invullen en wat kun je dan met de y die eruit rolt? Kun je zomaar alle punten invullen van de gewone functie in de afgeleide?
Kun je dan zomaar de coördinaten van de gewone functie pakken van (8,3) en wat levert het op etc etc.. Ik weet dat het betreft om de steilheid, maar praktiserend begrijp ik het dus niet..
Stel je hebt s = 5t2 (s is de verplaatsing in de natuurkunde). Dan is s' = 10t. De snelheid op het punt t = 5 is dan 50 m/s.quote:
[..]
Hartstikke duidelijk. Enorm bedankt.
Echter is mij dus dan nog steeds niet duidelijk wat ik dan precies met de afgeleide kan doen..
Stel de functie y = 2x² heeft de afgeleide y = 4x. Wat kan ik dan allemaal met die afgeleiden? Welke x moet ik dan invullen en wat kun je dan met de y die eruit rolt? Kun je zomaar alle punten invullen van de gewone functie in de afgeleide?
Kun je dan zomaar de coördinaten van de gewone functie pakken van (8,3) en wat levert het op etc etc.. Ik weet dat het betreft om de steilheid, maar praktiserend begrijp ik het dus niet..
[ afbeelding ]
Dit is een voorbeeld, maar dit kan je op alles toepassen dat te maken heeft met een verandering. Die verandering kan je dan oneindig klein maken (het limiet -> 0), waardoor je de verandering op dat punt krijgt.
Differentiëren is ook heel nuttig bij optimalisatie. Als je wil kijken waar de functie een maximum heeft, dan moet daar gelden dat de afgeleide nul is (best "logisch" als je daar even over nadenkt!).
Door de afgeleide gelijk aan nul te stellen kun je dus (lokale) maxima en minima van de functie vinden. In de praktijk kan het van alles zijn wat je probeert te maximaliseren. Denk bijvoorbeeld aan winstmaximalisatie.
Door de afgeleide gelijk aan nul te stellen kun je dus (lokale) maxima en minima van de functie vinden. In de praktijk kan het van alles zijn wat je probeert te maximaliseren. Denk bijvoorbeeld aan winstmaximalisatie.
Dit is wel een erg eenvoudig voorbeeld. Als je hebt f(x) = 2x2 dan is inderdaad f'(x) = 4x. Je ziet dan bijvoorbeeld dat f'(x) = 0 uitsluitend als x = 0. Zo weet je dus dat de raaklijn aan de grafiek van f(x) = 2x² alleen horizontaal loopt in het punt (0, 0) op de grafiek, en dat betekent dat f(x) = 2x² een extreme waarde bereikt voor x = 0, en wel een minimum van f(0) = 0. Maar dat wist je al omdat het kwadraat van een reëel getal niet negatief kan zijn, dus dit is niet zo spannend.quote:
[..]
Hartstikke duidelijk. Enorm bedankt.
Echter is mij dus dan nog steeds niet duidelijk wat ik dan precies met de afgeleide kan doen..
Stel de functie y = 2x² heeft de afgeleide y = 4x. Wat kan ik dan allemaal met die afgeleiden?
Maar laten we eens naar de algemene kwadratische functie
f(x) = ax² + bx + c
kijken, waarbij a,b,c concrete getallen voorstellen en a niet nul mag zijn omdat je anders geen kwadratische term meer zou hebben. Als we hier de afgeleide functie bepalen, dan krijgen we
f'(x) = 2ax + b
en als nu f'(x) = 0 moet zijn, dan moet dus gelden
2ax + b = 0
en dus
2ax = −b
en dus
x = −b/2a
Zo zie je dus dat de kwadratische functie f(x) = ax² + bx + c een extreme waarde bereikt voor x = −b/2a. Het is ook mogelijk dit resultaat te vinden door elementaire herleiding (kwadraatafsplitsing, zie bijvoorbeeld hier) maar met differentiaalrekening gaat het veel eenvoudiger. Bovendien kunnen we de differentiaalrekening ook gebruiken bij allerlei andere functies waarbij maxima en minima niet meer met elementaire algebraïsche foefjes zijn te vinden. Zo zie je dus dat de differentiaalrekening een heel krachtig hulpmiddel is bij het onderzoeken van het gedrag van allerlei functies.
Bij het soort functies waarmee je nu te maken hebt is dit vaak wel het geval, maar niet altijd. Het hoeft namelijk niet zo te zijn dat je oorspronkelijke functie ook voor alle waarden van x uit het domein differentieerbaar is.quote:Welke x moet ik dan invullen en wat kun je dan met de y die eruit rolt? Kun je zomaar alle punten invullen van de gewone functie in de afgeleide?
Het plaatje dat je geeft is een mooi voorbeeld van een functie die niet differentieerbaar is in het punt x = 0. Kun je ook tenminste één of mogelijk twee redenen geven waarom dat zo is?quote:Kun je dan zomaar de coördinaten van de gewone functie pakken van (8,3) en wat levert het op etc etc.. Ik weet dat het betreft om de steilheid, maar praktiserend begrijp ik het dus niet..
[ afbeelding ]
[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 14-09-2014 19:39:55 ]
Dank voor alweer een zeer duidelijke uitleg!quote:
[..]
Dit is wel een erg eenvoudig voorbeeld. Als je hebt f(x) = 2x2 dan is inderdaad f'(x) = 4x. Je ziet dan bijvoorbeeld dat f'(x) = 0 uitsluitend als x = 0. Zo weet je dus dat de raaklijn aan de grafiek van f(x) = 2x² alleen horizontaal loopt in het punt (0, 0) op de grafiek, en dat betekent dat f(x) = 2x² een extreme waarde bereikt voor x = 0, en wel een minimum van f(0) = 0. Maar dat wist je al omdat het kwadraat van een reëel getal niet negatief kan zijn, dus dit is niet zo spannend.
Maar laten we eens naar de algemene kwadratische functie
f(x) = ax² + bx + c
kijken, waarbij a,b,c concrete getallen voorstellen en a niet nul mag zijn omdat je anders geen kwadratische term meer zou hebben. Als we hier de afgeleide functie bepalen, dan krijgen we
f'(x) = 2ax + b
en als nu f'(x) = 0 moet zijn, dan moet dus gelden
2ax + b = 0
en dus
2ax = −b
en dus
x = −b/2a
Zo zie je dus dat de kwadratische functie f(x) = ax² + bx + c een extreme waarde bereikt voor x = −b/2a. Het is ook mogelijk dit resultaat te vinden door elementaire herleiding (kwadraatafsplitsing, zie bijvoorbeeld hier) maar met differentiaalrekening gaat het veel eenvoudiger. Bovendien kunnen we de differentiaalrekening ook gebruiken bij allerlei andere functies waarbij maxima en minima niet meer met elementaire algebraïsche foefjes zijn te vinden. Zo zie je dus dat de differentiaalrekening een heel krachtig hulpmiddel is bij het onderzoeken van het gedrag van allerlei functies.
[..]
Bij het soort functies waarmee je nu te maken hebt is dit vaak wel het geval, maar niet altijd. Het hoeft namelijk niet zo te zijn dat je oorspronkelijke functie ook voor alle waarden van x uit het domein differentieerbaar is.
[..]
Het plaatje dat je geeft is een mooi voorbeeld van een functie die niet differentieerbaar is in het punt x = 0. Kun je ook tenminste één of mogelijk twee redenen geven waarom dat zo is?
Nee ik kan me niet bedenken waarom.
Hebben deze functies een standaard naam?
Bedankt alvast.
| 1 2 3 | phi1(z) = ( exp(z) - 1 ) / z phi2(z) = ( phi1(z) - 1 ) / z |
Bedankt alvast.
gr gr
Ik moet zeggen dat het boek 'Essential Mathematics for Economic Analysis' een veel duidelijkere boek is dan het 'Basisboek Wiskunde' van Jan van Craats. 
Na het lezen van ieder hoofdstuk uit het basisboek had ik toch veel vraagtekens overgehouden i.t.t. wanneer ik een hoofdstuk uit het boek Mathematics for Economic Analysis gelezen heb (in ieder geval minder vraagtekens).
Na het lezen van ieder hoofdstuk uit het basisboek had ik toch veel vraagtekens overgehouden i.t.t. wanneer ik een hoofdstuk uit het boek Mathematics for Economic Analysis gelezen heb (in ieder geval minder vraagtekens).
'Show that f(x) = x^3 is strictly increasing. "
Nou allereerst moet ik de afgeleide bepalen en dat is 3x^2, maar vervolgens loop ik vast.. want er staat een hint waar ik een bepaalde sign moet gebruiken welke ik eerder niet heb gezien:
Hint: consider the sign of x(3/2) - (3/2) = (x2 - x1)(x2/1 + x1x2 + x 2/2)
Die deelstrepen behoren er niet want het is volgens mij geen breuk.
Nou allereerst moet ik de afgeleide bepalen en dat is 3x^2, maar vervolgens loop ik vast.. want er staat een hint waar ik een bepaalde sign moet gebruiken welke ik eerder niet heb gezien:
Hint: consider the sign of x(3/2) - (3/2) = (x2 - x1)(x2/1 + x1x2 + x 2/2)
Die deelstrepen behoren er niet want het is volgens mij geen breuk.
Kijk nog eens naar de grafiek die je gaf bij je vorige post. Dit is de grafiek van de functiequote:
[..]
Dank voor alweer een zeer duidelijke uitleg!
Nee ik kan me niet bedenken waarom.
f(x) = √x
Deze functie is alleen gedefinieerd voor x ≥ 0 oftewel op het interval [0, ∞), want √x is binnen R (de verzameling van alle reële getallen) niet gedefinieerd als x negatief is.
Bij x = 0 zitten we dus op de rand van het domein van deze functie, en je ziet ook dat de grafiek hier 'begint' (of 'stopt', zo je wil). Maar dit betekent dat deze functie niet differentieerbaar is voor x = 0. Waarom niet? Wel dat volgt om te beginnen uit de definitie van de afgeleide:
We moeten hier h naar nul kunnen laten gaan niet alleen vanaf de positieve kant, maar ook vanaf de negatieve kant, en het differentiequotiënt moet dan naderen tot dezelfde grenswaarde, en dat is dan de limiet van dit differentiequotiënt voor h → 0 oftewel de afgeleide. Als we de afgeleide voor x = 0 oftewel f'(0) willen bepalen dan hebben we volgens deze definitie
Maar nu zie je het probleem: f(h) is niet gedefinieerd voor enige h < 0, en dus bestaat deze limiet niet. Het is niet noodzakelijk dat f(h) is gedefinieerd voor elke h als we f'(0) willen bepalen, maar f(h) moet in ieder geval wel zijn gedefinieerd voor elke h in een omgeving van 0 en dat is hier niet het geval.
Nu zou je nog kunnen denken, goed, dan beperken we ons hier tot positieve waarden van h omdat we immers aan de rand van het domein van de functie zitten, en dan kunnen we in ieder geval nog de limiet bepalen van het differentiequotiënt als we h vanaf de positieve kant tot nul laten naderen. Dan bepaal je een zogeheten rechter limiet en daarmee ook een rechter afgeleide, maar dat gaat hier ook niet. Waarom niet?
Wel, als je nog even naar de grafiek kijkt, dan zie je dat deze steeds steiler gaat lopen naarmate we x dichter bij 0 kiezen. Dat is ook begrijpelijk, want voor f(x) = √x kunnen we ook schrijven f(x) = x1/2 en voor x > 0 is de afgeleide dan f'(x) = ½x−1/2 oftewel, we hebben
Nu zie je dat f'(x) inderdaad steeds groter wordt naarmate we x dichter bij 0 kiezen. Voor x = 0 krijgen we 1/0 maar dat heeft geen betekenis. De raaklijn aan de grafiek bij x = 0 loopt eigenlijk verticaal, maar een verticale lijn heeft geen richtingscoëfficiënt. Zo zie je dus dat het feit dat deze functie niet differentieerbaar is in het punt x = 0 nog een tweede reden heeft: een afgeleide in een punt is niets anders dan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek in dat punt, en als die raaklijn geen richtingscoëfficiënt heeft omdat die raaklijn verticaal loopt, dan is er voor dat punt dus ook geen afgeleide.
''Maar nu zie je het probleem: f(h) is niet gedefinieerd voor enige h < 0, en dus bestaat deze limiet niet. Het is niet noodzakelijk dat f(h) is gedefinieerd voor elke h als we f'(0) willen bepalen, maar f(h) moet in ieder geval wel zijn gedefinieerd voor elke h in een omgeving van 0 en dat is hier niet het geval.''quote:
[..]
Kijk nog eens naar de grafiek die je gaf bij je vorige post. Dit is de grafiek van de functie
f(x) = √x
Deze functie is alleen gedefinieerd voor x ≥ 0 oftewel op het interval [0, ∞), want √x is binnen R (de verzameling van alle reële getallen) niet gedefinieerd als x negatief is.
Bij x = 0 zitten we dus op de rand van het domein van deze functie, en je ziet ook dat de grafiek hier 'begint' (of 'stopt', zo je wil). Maar dit betekent dat deze functie niet differentieerbaar is voor x = 0. Waarom niet? Wel dat volgt om te beginnen uit de definitie van de afgeleide:
We moeten hier h naar nul kunnen laten gaan niet alleen vanaf de positieve kant, maar ook vanaf de negatieve kant, en het differentiequotiënt moet dan naderen tot dezelfde grenswaarde, en dat is dan de limiet van dit differentiequotiënt voor h → 0 oftewel de afgeleide. Als we de afgeleide voor x = 0 oftewel f'(0) willen bepalen dan hebben we volgens deze definitie
Maar nu zie je het probleem: f(h) is niet gedefinieerd voor enige h < 0, en dus bestaat deze limiet niet. Het is niet noodzakelijk dat f(h) is gedefinieerd voor elke h als we f'(0) willen bepalen, maar f(h) moet in ieder geval wel zijn gedefinieerd voor elke h in een omgeving van 0 en dat is hier niet het geval.
Nu zou je nog kunnen denken, goed, dan beperken we ons hier tot positieve waarden van h omdat we immers aan de rand van het domein van de functie zitten, en dan kunnen we in ieder geval nog de limiet bepalen van het differentiequotiënt als we h vanaf de positieve kant tot nul laten naderen. Dan bepaal je een zogeheten rechter limiet en daarmee ook een rechter afgeleide, maar dat gaat hier ook niet. Waarom niet?
Wel, als je nog even naar de grafiek kijkt, dan zie je dat deze steeds steiler gaat lopen naarmate we x dichter bij 0 kiezen. Dat is ook begrijpelijk, want voor f(x) = √x kunnen we ook schrijven f(x) = x1/2 en voor x > 0 is de afgeleide dan f'(x) = ½x−1/2 oftewel, we hebben
Nu zie je dat f'(x) inderdaad steeds groter wordt naarmate we x dichter bij 0 kiezen. Voor x = 0 krijgen we 1/0 maar dat heeft geen betekenis. De raaklijn aan de grafiek bij x = 0 loopt eigenlijk verticaal, maar een verticale lijn heeft geen richtingscoëfficiënt. Zo zie je dus dat het feit dat deze functie niet differentieerbaar is in het punt x = 0 nog een tweede reden heeft: een afgeleide in een punt is niets anders dan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek in dat punt, en als die raaklijn geen richtingscoëfficiënt heeft omdat die raaklijn verticaal loopt, dan is er voor dat punt dus ook geen afgeleide.
Dit begrijp ik niet. Die h is toch alleen maar het verschil tussen de afstand van punt 1 en punt 2 in het perspectief van de x-as? Dus als f'(0) is wat maakt het dan uit? Ik heb die h niet echt begrepen?
Ik weet wel dat de afgeleide van x1/2 = 1/2x-1/2 is. Maar dat komt doordat ik de regels uit mijn hoofd weet (constante, somregel, productregel en quotiëntregel).
P.S; als er in een x-punt de raaklijn f'(x) = 0 weergeeft, dan is het niet differentieerbaar in dat punt?
[ Bericht 1% gewijzigd door Super-B op 15-09-2014 16:31:15 ]
Als je de beschikking hebt over een scanner of een digitale camera, dan kun je in het vervolg beter een plaatje posten van de originele opgave uit je boek, want dit lijkt nergens op. Gebruik verder ook subscript voor indices en superscript voor exponenten, en controleer je formules op typo's voordat je iets post.quote:
'Show that f(x) = x^3 is strictly increasing. "
Nou allereerst moet ik de afgeleide bepalen en dat is 3x^2, maar vervolgens loop ik vast.. want er staat een hint waar ik een bepaalde sign moet gebruiken welke ik eerder niet heb gezien:
Hint: consider the sign of x(3/2) - (3/2) = (x2 - x1)(x2/1 + x1x2 + x 2/2)
Die deelstrepen behoren er niet want het is volgens mij geen breuk.
Het is kennelijk de bedoeling van de opgave om op elementaire wijze (dat is: zonder gebruik van differentiaalrekening) aan te tonen dat de functie f(x) = x3strict monotoon stijgend is op R. Dit betekent dat wanneer we twee willekeurige waarden x1 en x2 kiezen voor x met x2 > x1, dat dan gegarandeerd f(x2) > f(x1) is. Maar nu moeten we dit bewijzen. Hoe doen we dit?
Wel, x2 > x1 is equivalent met x2 − x1 > 0 en f(x2) > f(x1) is equivalent met f(x2) − f(x1) > 0. We moeten dus laten zien dat uit x2 − x1 > 0 volgt dat f(x2) − f(x1) > 0. We hebben
en met behulp van het merkwaardig product
kunnen we hiervoor schrijven
Nu is gegeven dat x2 > x1 en dus (x2 − x1) > 0 zodat we nu alleen nog hoeven te laten zien dat de tweede factor (x22 + x2x1 + x12) eveneens positief is, want dan is immers het product met (x2 − x1) en daarmee f(x2) − f(x1) ook positief.
Kijken we nu naar het merkwaardig product
dan zien we dat we kunnen schrijven
en dus hebben we evenzo
Aangezien de uitdrukking x22 + x2x1 + x12 gelijk is aan de halve som van de drie kwadraten x22, x12 en (x2 + x1)2, is deze uitdrukking dus steeds positief, behalve als x2 = x1 = 0 zou zijn, maar dat is niet het geval aangezien x2 > x1. En dus is inderdaad f(x2) - f(x1) = x23 − x13 = (x2 − x1)(x22 + x2x1 + x12) > 0 voor x2 > x1, QED.
Nee, die h kan ook negatief zijn, namelijk als het tweede punt (x+h, f(x+h)) links van het eerste punt (x, f(x)) ligt waarvoor we eigenlijk de richtingscoëfficiënt van de raaklijn willen bepalen door het tweede punt langs de grafiek naar het eerste punt te laten bewegen. Anders gezegd, we moeten h zowel vanaf de negatieve kant als vanaf de positieve kant naar nul kunnen laten gaan en het differentiequotiënt (f(x+h) − f(x))/h moet dan tot één en dezelfde grenswaarde naderen, ongeacht of we nu van links of van rechts komen. En aan deze voorwaarde is bij de functie f(x) = √x niet voldaan in het punt x = 0 omdat f(h) niet bestaat voor h < 0. De functie f(x) = √x is dus niet differentieerbaar in het punt x = 0, oftwel f'(0) bestaat hier niet.quote:
[..]
Maar nu zie je het probleem: f(h) is niet gedefinieerd voor enige h < 0, en dus bestaat deze limiet niet. Het is niet noodzakelijk dat f(h) is gedefinieerd voor elke h als we f'(0) willen bepalen, maar f(h) moet in ieder geval wel zijn gedefinieerd voor elke h in een omgeving van 0 en dat is hier niet het geval.
Dit begrijp ik niet. Die h is toch alleen maar het verschil tussen de afstand van punt 1 en punt 2 in het perspectief van de x-as? Dus als f'(0) is wat maakt het dan uit? Ik heb die h niet echt begrepen?
Nee, dat is onzin, f'(x) = 0 betekent dat de afgeleide f'(x) de waarde nul heeft of moet hebben voor een zekere waarde van x, en dat kan prima. Wat hier aan de hand is, is dat f'(x) gewoon geen waarde heeft en dus niet bestaat voor x = 0, oftewel f'(0) is niet gedefinieerd.quote:Ik weet wel dat de afgeleide van x1/2 = 1/2x-1/2 is. Maar dat komt doordat ik de regels uit mijn hoofd weet (constante, somregel, productregel en quotiëntregel).
P.S; als er in een x-punt de raaklijn f'(x) = 0 weergeeft, dan is het niet differentieerbaar in dat punt?
Omdat de wortel uit 0 niet gedefinieerd is?quote:
[..]
Nee, die h kan ook negatief zijn, namelijk als het tweede punt (x+h, f(x+h)) links van het eerste punt (x, f(x)) ligt waarvoor we eigenlijk de richtingscoëfficiënt van de raaklijn willen bepalen door het tweede punt langs de grafiek naar het eerste punt te laten bewegen. Anders gezegd, we moeten h zowel vanaf de negatieve kant als vanaf de positieve kant naar nul kunnen laten gaan en het differentiequotiënt (f(x+h) − f(x))/h moet dan tot één en dezelfde grenswaarde naderen, ongeacht of we nu van links of van rechts komen. En aan deze voorwaarde is bij de functie f(x) = √x niet voldaan in het punt x = 0 omdat f(h) niet bestaat voor h < 0. De functie f(x) = √x is dus niet differentieerbaar in het punt x = 0, oftwel f'(0) bestaat hier niet.
[..]
Nee, dat is onzin, f'(x) = 0 betekent dat de afgeleide f'(x) de waarde nul heeft of moet hebben voor een zekere waarde van x, en dat kan prima. Wat hier aan de hand is, is dat f'(x) gewoon geen waarde heeft en dus niet bestaat voor x = 0, oftewel f'(0) is niet gedefinieerd.
quote:
[..]
Omdat de wortel uit 0 niet gedefinieerd is?
Heb de rest van die post wel gelezen eigenlijk?
..
De afgeleide in dat punt is een limiet, namelijk
En die bestaat niet bij x=0, want dat gaat naar oneindig.
Grafisch gezien: de raaklijk bij x=0 is verticaal, en heeft dus geen richtingscoëfficiënt.
[ Bericht 35% gewijzigd door Janneke141 op 15-09-2014 17:32:27 ]
De wortel uit 0 is nul.quote:
[..]
Omdat de wortel uit 0 niet gedefinieerd is?
De afgeleide in dat punt is een limiet, namelijk
En die bestaat niet bij x=0, want dat gaat naar oneindig.
Grafisch gezien: de raaklijk bij x=0 is verticaal, en heeft dus geen richtingscoëfficiënt.
[ Bericht 35% gewijzigd door Janneke141 op 15-09-2014 17:32:27 ]
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
Goedenavond, even een vraagstuk waarbij ik graag controle vanuit jullie kant zou willen:
f(x) = 3x - x³
g(x) = x³
Compute ( f/g) (x)
Ik had
(3 -1³) / 1³ * (x)
Klopt dat?
Hetzelfde heb je dat je het volgende moet computen:
f(g(1)) en g(f(1)) , maar ik snap niet hoe ik dit moet benaderen?
f(x) = 3x - x³
g(x) = x³
Compute ( f/g) (x)
Ik had
(3 -1³) / 1³ * (x)
Klopt dat?
Hetzelfde heb je dat je het volgende moet computen:
f(g(1)) en g(f(1)) , maar ik snap niet hoe ik dit moet benaderen?
Dat is (f/g) (1), en zelfs dan klopt er nog weinig van.quote:
Goedenavond, even een vraagstuk waarbij ik graag controle vanuit jullie kant zou willen:
f(x) = 3x - x³
g(x) = x³
Compute ( f/g) (x)
Ik had
(3 -1³) / 1³ * (x)
Klopt dat?
Bekijk de vraag nog eens, en eventueel voorbeelden uit het boek die erbij genoemd staan. Wat voor antwoord wordt er verwacht? Een getal, een functie, een olifant?
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
quote:
[..]
Dat is (f/g) (1).
Bekijk de vraag nog eens, en eventueel voorbeelden uit het boek die erbij genoemd staan. Wat voor antwoord wordt er verwacht? Een getal, een functie, een olifant?
Het antwoord op de eerste computingsvraag is:quote:
[..]
Dat is (f/g) (1), en zelfs dan klopt er nog weinig van.
Bekijk de vraag nog eens, en eventueel voorbeelden uit het boek die erbij genoemd staan. Wat voor antwoord wordt er verwacht? Een getal, een functie, een olifant?
3/x² - 1
De vraag is:
Als f(x) = 3x - x³ en g (x) = x³ compute (f/g) (x), f(g(1)), en g(f(1))
(f/g)(x) = f(x)/g(x)quote:
[..]
[..]
Het antwoord op de eerste computingsvraag is:
3/x² - 1
De vraag is:
Als f(x) = 3x - x³ en g (x) = x³ compute (f/g) (x), f(g(1)), en g(f(1))
f(g(1)) is de waarde van g(1) in de functie f stoppen.
Kan je daar wat mee?
Ik dacht overigens datquote:
[..]
(f/g)(x) = f(x)/g(x)
f(g(1)) is de waarde van g(1) in de functie f stoppen.
Kan je daar wat mee?
(f/g)(x) = f(x) / g was
want als je een getal met een breuk vermenigvuldigt, gaat dat direct naar de teller dacht ik
Nee niet echt. Want tot zover kwam ik dus ook.
Hoezo, wat lukt er niet verder?quote:
[..]
Nee niet echt. Want tot zover kwam ik dus ook.
Als je een formule f(x) hebt en je wil f(3) uitrekenen, weet je wat je dan moet doen?
Nou dat doe je hier ook alleen dan met meerdere functies...
Weet je nou nog niet wat functies zijn?quote:
[..]
Ik dacht overigens dat
(f/g)(x) = f(x) / g was
want als je een getal met een breuk vermenigvuldigt, gaat dat direct naar de teller dacht ik
Nee niet echt. Want tot zover kwam ik dus ook.
Ik kom met die eerste uit op :quote:
[..]
Hoezo, wat lukt er niet verder?
Als je een formule f(x) hebt en je wil f(3) uitrekenen, weet je wat je dan moet doen?
Nou dat doe je hier ook alleen dan met meerdere functies...
(3x - x³) / x³
Klopt. En dan:quote:
[..]
Ik kom met die eerste uit op :
(3x - x³) / x³
(f/g) (x) = f(x)/g(x) =
Leg ons eens uit waar die getallen '1' vandaan komen in de eerste uitwerking die je geeft.
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
Ik heb hem al door. Bedankt.quote:
[..]
Weet je nou nog niet wat functies zijn?
(3x - x³) / x³quote:
[..]
Klopt. En dan:
(f/g) (x) = f(x)/g(x) =
Leg ons eens uit waar die getallen '1' vandaan komen in de eerste uitwerking die je geeft.
Alles delen door x³ zorgt voor het volgende:
-x³ / x³ = -1
3x / x³ = x2 -3x = 3/x²
Ik zie je hier nu nog dingen aan aanpassen, weet je niet hoe je met super en subscripts moet werken of meen je dit serieus?quote:
Dat bedoel ik niet:quote:
[..]
(3x - x³) / x³
Alles delen door x³ zorgt voor het volgende:
-x³ / x³ = -1
3x / x³ = x2 -3x = 3/x²
Wat doe je daar?quote:
Goedenavond, even een vraagstuk waarbij ik graag controle vanuit jullie kant zou willen:
f(x) = 3x - x³
g(x) = x³
Compute ( f/g) (x)
Ik had
(3 -1³) / 1³ * (x)
Klopt dat?
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
Ik heb het anders benaderd, heel dom achteraf gezien. Ik denk dat ik het niet eens kan uitleggen ook.quote:
[..]
Dat bedoel ik niet:
[..]
Wat doe je daar?
Foutje:quote:
[..]
Ik zie je hier nu nog dingen aan aanpassen, weet je niet hoe je met super en subscripts moet werken of meen je dit serieus?
3x/x³ = 3/x² = x² -3
En wat er achter staat?quote:
[..]
3x/x3 is 3/x2.
Lijkt me niet moeilijk.
"Als f(x) = 3x - x³ en g (x) = x³ bereken (f/g) (x), f(g(1)), en g(f(1))"
1. f(x)/g(x) = (3x - x3)/x3 =
2. g(1) = 1. f(g(1)) = f(1) = 3 - 1 = 2.
3. f(1) = 2. g(f(1)) = g(2) = 8.
1. f(x)/g(x) = (3x - x3)/x3 =
2. g(1) = 1. f(g(1)) = f(1) = 3 - 1 = 2.
3. f(1) = 2. g(f(1)) = g(2) = 8.
Dus f(g(1)) isquote:
[..]
(f/g)(x) = f(x)/g(x)
f(g(1)) is de waarde van g(1) in de functie f stoppen.
Kan je daar wat mee?
g(1) = 1³ = 1
en f(x) was = 3x - x³
dus
3 * 1 - 1³ = 2
quote:
quote:
"Als f(x) = 3x - x³ en g (x) = x³ bereken (f/g) (x), f(g(1)), en g(f(1))"
1. f(x)/g(x) = (3x - x3)/x3 =
2. g(1) = 1. f(g(1)) = f(1) = 3 - 1 = 2.
3. f(1) = 2. g(f(1)) = g(2) = 8.
Bepaal de inverse van:
y = √ (√x - 2)
Vond deze lastig met name omdat er dan naast de √x ook nog eens een hoofdwortel is van de √x - 2
Wat ik deed is
x = √(y-2)
maar weet niet zeker of dat klopt?
y = √ (√x - 2)
Vond deze lastig met name omdat er dan naast de √x ook nog eens een hoofdwortel is van de √x - 2
Wat ik deed is
x = √(y-2)
maar weet niet zeker of dat klopt?
Ik weet wel zeker dat dat niet klopt.quote:
Bepaal de inverse van:
y = √ (√x - 2)
Vond deze lastig met name omdat er dan naast de √x ook nog eens een hoofdwortel is van de √x - 2
Wat ik deed is
x = √(y-2)
maar weet niet zeker of dat klopt?
Begin eens eenvoudig: hoe bepaal je de inverse functie van
y = √x ?
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
En heb je ook nog stappen hoe je op dat antwoord kwam?quote:
Bepaal de inverse van:
y = √ (√x - 2)
Vond deze lastig met name omdat er dan naast de √x ook nog eens een hoofdwortel is van de √x - 2
Wat ik deed is
x = √(y-2)
maar weet niet zeker of dat klopt?
Je post hier vraag na vraag maar volgens mij lees je de antwoorden helemaal niet en leer je er ook geen zak van.
Ik lees de antwoorden, maar om er één voor één op te reageren zorgt voor 1000 posts.quote:
[..]
En heb je ook nog stappen hoe je op dat antwoord kwam?
Je post hier vraag na vraag maar volgens mij lees je de antwoorden helemaal niet en leer je er ook geen zak van.
y = √xquote:
[..]
Ik weet wel zeker dat dat niet klopt.
Begin eens eenvoudig: hoe bepaal je de inverse functie van
y = √x ?
x = y²
Je kan meerdere post quoten en in een post antwoorden.quote:
[..]
Ik lees de antwoorden, maar om er één voor één op te reageren zorgt voor 1000 posts.
Welke stap zet je om dat te bereiken?quote:
En kun je dan ook de inverse geven van
y = √(x-2) ?
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
y2 = √x - 2. y2 + 2 = √x. x = (y2 + 2)2. x = (y2 + 2)2 = y4 + 4y2 + 4.quote:
Bepaal de inverse van:
y = √ (√x - 2)
Vond deze lastig met name omdat er dan naast de √x ook nog eens een hoofdwortel is van de √x - 2
Wat ik deed is
x = √(y-2)
maar weet niet zeker of dat klopt?
Het kwadrateren van beide kanten.quote:
[..]
Welke stap zet je om dat te bereiken?
En kun je dan ook de inverse geven van
y = √(x-2) ?
Er zit nog een wortel....
√(√x - 2)
owja..quote:
[..]
Je kan meerdere post quoten en in een post antwoorden.
Doet het eerste eens zonder die tweede wortel.quote:
[..]
Het kwadrateren van beide kanten.
Er zit nog een wortel....
√(√x - 2)
Right, dan isoleer je de wortel die je overhoudt, en dan kwadrateer je toch gewoon nog een keer?quote:
[..]
Het kwadrateren van beide kanten.
Er zit nog een wortel....
√(√x - 2)
Dan zou hetquote:
[..]
Doet het eerste eens zonder die tweede wortel.
y = √(x-2)
y² = (x-2)
y² + 2 = x
Scherp..quote:
[..]
Right, dan isoleer je de wortel die je overhoudt, en dan kwadrateer je toch gewoon nog een keer?
Ik wil graag de diepgang meer weten en ik kan er niet echt makkelijk antwoord vinden op internet, maar waarom is x² niet inverteerbaar en hoe kun je een inverse vinden als je bijv weet dat f een restrictie heeft van [0, oneindig+ ) ?
y = x² --> √y = x lijkt mij en x² is ook one-to-one volgens de vertical test lijkt mij?
y = x² --> √y = x lijkt mij en x² is ook one-to-one volgens de vertical test lijkt mij?
De wortel van y is alleen op [0, oneindig) gedefinieerd, omdat een wortel nooit een negatief getal oplevert. Er is namelijk geen enkel reeel (stom toetsenbord, geen trema's) getal dat zichzelf in het kwadraat een negatief getal levert.quote:
Ik wil graag de diepgang meer weten en ik kan er niet echt makkelijk antwoord vinden op internet, maar waarom is x² niet inverteerbaar en hoe kun je een inverse vinden als je bijv weet dat f een restrictie heeft van [0, oneindig+ ) ?
y = x² --> √y = x lijkt mij en x² is ook one-to-one volgens de vertical test lijkt mij?
[ afbeelding ]
ln ( √(x+4) - 2) = y/4
hoe kan dan √(x+4) - 2 = ey/4
Het verband van het vetgedrukte is mij niet helder.
hoe kan dan √(x+4) - 2 = ey/4
Het verband van het vetgedrukte is mij niet helder.
Nee, je verbergt voor ons wat je deed en laat alleen maar zien wat je vond, en dat is ook nog eens fout.quote:
Bepaal de inverse van:
y = √ (√x - 2)
Vond deze lastig met name omdat er dan naast de √x ook nog eens een hoofdwortel is van de √x - 2
Wat ik deed is
x = √(y-2)
Even een tip om dit topic niet onnodig te vervuilen. Als je een inverse hebt bepaald (of een afgeleide), gebruik dan eerst WolframAlpha om je antwoord te controleren. Dan zie je meteen dat het fout is en hoef je dit topic niet te vervuilen met je bagger.quote:maar weet niet zeker of dat klopt?
Een functie f heeft alleen een inverse als geldt dat
f(a)=f(b) -> a=b
Oftewel: ieder getal in het bereik komt slechts één keer voor als functiewaarde van f
Omdat in het geval van de functie f(x) = x2 geldt dat
f(3) = f(-3) = 9, wordt niet aan deze eis voldaan en heeft f dus geen inverse.
Grafisch gezien: om de inverse functie te bepalen, kun je de grafiek spiegelen in de lijn y=x, en wil dat een functie zijn dan mag boven of onder iedere punt op de x-as, hooguit één punt van de grafiek liggen. Ook dat komt in dit geval niet goed.
f(a)=f(b) -> a=b
Oftewel: ieder getal in het bereik komt slechts één keer voor als functiewaarde van f
Omdat in het geval van de functie f(x) = x2 geldt dat
f(3) = f(-3) = 9, wordt niet aan deze eis voldaan en heeft f dus geen inverse.
Grafisch gezien: om de inverse functie te bepalen, kun je de grafiek spiegelen in de lijn y=x, en wil dat een functie zijn dan mag boven of onder iedere punt op de x-as, hooguit één punt van de grafiek liggen. Ook dat komt in dit geval niet goed.
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
linkerkant = rechterkantquote:
ln ( √(x+4) - 2) = y/4
hoe kan dan √(x+4) - 2 = ey/4
Het verband van het vetgedrukte is mij niet helder.
elinkerkant = erechterkant
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
Wat doe je dan precies om de linkerkant weg te krijgen?quote:
[..]
linkerkant = rechterkant
elinkerkant = erechterkant
vermenigvuldigen met e?
ln (blablabla) is in principe e blablabla dus?
