[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic.

quote:

Op maandag 8 september 2014 23:27 schreef Brainstorm245 het volgende:
Er is iets wat ik niet begrijp en ik hoop hier meer duidelijkheid over te verkrijgen. De essentie van het onderstaande verhaal (wat er in de afbeeldingen staat) begrijp ik, echter begrijp ik een paar dingen niet, welke uitgebreid worden uitgelegd. Ik kan 'het' niet volgen.

Je zult het wel niet willen horen, maar ik denk dat het niet kunnen volgen van de argumentatie ook te maken heeft met het feit dat het een Engels leerboek is. Ik zie steeds weer hier op FOK dat het gebruik van Engels lesmateriaal bij studenten een goed begrip in de weg staat. Is ook nergens voor nodig bij zulke elementaire dingen, er zijn genoeg Nederlandse boeken of dictaten waarin dit soort zaken worden uitgelegd, en als die er niet zijn is het hoog tijd dat ze geschreven worden.

quote:

Van dit plaatje begrijp ik het laatste gedeelte niet. Dat gedeelte begint bij de formule waar aan de rechterzijde (2) staat. De tekst onder de functie begrijp ik ook niet.

Formule (2) wordt verkregen via kwadraatafsplitsing. Dat is een standaardtechniek voor het herleiden van kwadratische veeltermen die je gewoon moet leren gebruiken. Ik heb dit al heel vaak uitgelegd, als je even terugleest in dit topic vind je wel een paar linkjes naar eerdere posts van mij om je op weg te helpen.

De tekst onder (2) zegt dat je deze formule eenvoudig kunt verifiëren door de haakjes weer uit te werken en gelijksoortige termen samen te nemen. De clou is dat alleen de eerste term in het rechterlid van (2) afhangt van x en dat deze eerste term een kwadraat is, vermenigvuldigd met de constante a. Aangezien een kwadraat niet negatief kan zijn volgt dat de uitdrukking een extreme waarde bereikt als x + b/2a = 0 oftewel x = −b/2a. Deze extreme waarde is een minimum voor a > 0 aangezien a(x + b/2a)² dan niet kleiner kan worden dan nul, en een maximum voor a < 0 aangezien a(x + b/2a)² dan niet groter kan worden dan nul.

quote:

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Van dit plaatje begrijp ik de eerste alinea niet (tot aan de blauwe tekst toe, blauwe tekst begrijp ik wel).

Dit kan niet. De blauwe tekst is een samenvatting van de tekst erboven waarvan je zelf beweert dat je deze niet begrijpt, en dus volgt dat je de blauwe tekst ook niet echt begrijpt.

quote:

Vervolgens ik de functie/formule niet waarin breuken te zien is (onder andere met au² e.d.)
Tenslotte begrijp ik de twee functies onderaan het plaatje niet ('solution'). Ik weet wel wat er gevraagd wordt en wat er geantwoord moet worden, maar ik begrijp de functie niet, deze wordt waarschijnlijk afgeleid van de stof welke ik dan weer niet begrijp... Overigens begrijp ik de * bij de twee functies ook niet.

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Hier wordt een simpele substitutie x = −b/2a + u resp. x = −b/a2 − u uitgevoerd om aan te tonen dat de functiewaarden hetzelfde zijn voor elk tweetal waarden van x die symmetrisch liggen ten opzichte van −b/2a, zodat volgt dat de verticale lijn met vergelijking x = −b/2a een symmetrie-as is van de grafiek van de functie. In de tekst daaronder gaat het gewoon om het bepalen van het maximum van de functie π(Q) = 100Q − (5/2)·Q² alsmede de waarde van Q waarbij dit maximum wordt bereikt. Andere letters, zelfde principe.

Ik zal dit toch maar even voordoen met kwadraatafsplitsing, want de manier waarop het boek het doet is didactisch niet al te handig en foutgevoelig. We halen eerst even de coëfficiënt −5/2 van de kwadratische term buiten haakjes, dan hebben we

π(Q) = (−5/2)·(Q² − 40Q)

Nu gaan we kwadraatafsplitsing toepassen op de kwadratische veelterm binnen de haakjes. Daarvoor halveren we de coëfficiënt van Q en maken we gebruik van het merkwaardig product

(a − b)² = a² − 2ab + b²

om te bedenken dat (Q −20)² = Q² − 40Q + 400, zodat we dus hebben

Q² − 40Q = (Q − 20)² − 400

Voor de functie kunnen we dus schrijven

π(Q) = (−5/2)·((Q − 20)² − 400)

Nu werken we de buitenste haakjes in het functievoorschrift weer uit, en dan hebben we

π(Q) = (−5/2)·(Q − 20)² + 1000

En zie, nu kunnen we direct uit het functievoorschrift aflezen dat π(Q) een maximum van 1000 bereikt voor Q = 20. Dat komt uiteraard doordat (Q − 20)² niet negatief kan zijn, zodat de eerste term (−5/2)·(Q − 20)² niet groter kan worden dan nul omdat deze term steeds negatief is, behalve als Q = 20. En dus kan (−5/2)·(Q − 20)² + 1000 oftewel π(Q) niet groter worden dan 1000.

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 00:24 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je zult het wel niet willen horen, maar ik denk dat het niet kunnen volgen van de argumentatie ook te maken heeft met het feit dat het een Engels leerboek is. Ik zie steeds weer hier op FOK dat het gebruik van Engels lesmateriaal bij studenten een goed begrip in de weg staat. Is ook nergens voor nodig bij zulke elementaire dingen, er zijn genoeg Nederlandse boeken of dictaten waarin dit soort zaken worden uitgelegd, en als die er niet zijn is het hoog tijd dat ze geschreven worden.

[..]

Formule (2) wordt verkregen via kwadraatafsplitsing. Dat is een standaardtechniek voor het herleiden van kwadratische veeltermen die je gewoon moet leren gebruiken. Ik heb dit al heel vaak uitgelegd, als je even terugleest in dit topic vind je wel een paar linkjes naar eerdere posts van mij om je op weg te helpen.

De tekst onder (2) zegt dat je deze formule eenvoudig kunt verifiëren door de haakjes weer uit te werken en gelijksoortige termen samen te nemen. De clou is dat alleen de eerste term in het rechterlid van (2) afhangt van x en dat deze eerste term een kwadraat is, vermenigvuldigd met de constante a. Aangezien een kwadraat niet negatief kan zijn volgt dat de uitdrukking een extreme waarde bereikt als x + b/2a = 0 oftewel x = −b/2a. Deze extreme waarde is een minimum voor a > 0 aangezien a(x + b/2a)² dan niet kleiner kan worden dan nul, en een maximum voor a < 0 aangezien a(x + b/2a)² dan niet groter kan worden dan nul.

[..]

Dit kan niet. De blauwe tekst is een samenvatting van de tekst erboven waarvan je zelf beweert dat je deze niet begrijpt, en dus volgt dat je de blauwe tekst ook niet echt begrijpt.

[..]

Hier wordt een simpele substitutie x = −b/2a + u resp. x = −b/a2 − u uitgevoerd om aan te tonen dat de functiewaarden hetzelfde zijn voor elk tweetal waarden van x die symmetrisch liggen ten opzichte van −b/2a, zodat volgt dat de verticale lijn met vergelijking x = −b/2a een symmetrie-as is van de grafiek van de functie. In de tekst daaronder gaat het gewoon om het bepalen van het maximum van de functie π(Q) = 100Q − (5/2)·Q² alsmede de waarde van Q waarbij dit maximum wordt bereikt. Andere letters, zelfde principe.

Ik zal dit toch maar even voordoen met kwadraatafsplitsing, want de manier waarop het boek het doet is didactisch niet al te handig en foutgevoelig. We halen eerst even de coëfficiënt −5/2 van de kwadratische term buiten haakjes, dan hebben we

π(Q) = (−5/2)·(Q² − 40Q)

Nu gaan we kwadraatafsplitsing toepassen op de kwadratische veelterm binnen de haakjes. Daarvoor halveren we de coëfficiënt van Q en maken we gebruik van het merkwaardig product

(a − b)² = a² − 2ab + b²

om te bedenken dat (Q −20)² = Q² − 40Q + 400, zodat we dus hebben

Q² − 40Q = (Q − 20)² − 400

Voor de functie kunnen we dus schrijven

π(Q) = (−5/2)·((Q − 20)² − 400)

Nu werken we de buitenste haakjes in het functievoorschrift weer uit, en dan hebben we

π(Q) = (−5/2)·(Q − 20)² + 1000

En zie, nu kunnen we direct uit het functievoorschrift aflezen dat π(Q) een maximum van 1000 bereikt voor Q = 20. Dat komt uiteraard doordat (Q − 20)² niet negatief kan zijn, zodat de eerste term (−5/2)·(Q − 20)² niet groter kan worden dan nul omdat deze term steeds negatief is, behalve als Q = 20. En dus kan (−5/2)·(Q − 20)² + 1000 oftewel π(Q) niet groter worden dan 1000.

Kwadraatafsplitsen kan ik wel. In het voorbeeld in 2.3 wordt ook een tweedegraads polynoom gebruikt, maar dan met getallen ipv a, b en c. Echter komt het niet voor dat er een breuk e.d. ontstaat.

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 00:20 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

We gaan op zoek naar de waarde van x waarvoor de kwadratische functie f zijn minimale of maximale waarde bereikt. Hebben we een dalparabool, dus met a>0, dan hebben we een minimum; bij a<0 hebben we een bergparabool en vinden we dus een maximum.
De uitdrukking die bij (2) wordt gegeven is niets anders dan een andere wijze van opschrijven van de algemene kwadratische functie waarmee werd begonnen. Dit is niet al te moeilijk in te zien door de haakjes weer uit te werken, maar ik denk dat het in paragraaf 2.3 ook netjes staat uitgeschreven, vermoedelijk onderweg naar het afleiden van de abc- of wortelformule.
In de uitdrukking bij (2) is het gedeelte achter het minteken constant - het hangt niet af van x. Het eerste gedeelte is slechts 0 als x = -b/2a (Oh ja?) Bij deze waarde van x moet dus wel de extreme waarde van de parabool liggen.
(Als je graag grafisch denkt: de parabool wordt eigenlijk verticaal zó opgeschoven dat ze raakt aan de x-as; dan is er precies één nulpunt dat op de top van de parabool ligt.)

Dat de top van de parabool precies daar moet liggen is ook makkelijk te zien als je gaat differentiëren:
f(x) = ax² + bx + c, dan
f'(x) = 2ax + b, en dan

f'(x) = 0, dus 2ax + b = 0, dus 2ax = -b, dus x = -b/2a.

[..]

Deze uitdrukking vertelt je dat, als je eenmaal de x-waarde van het maximum gevonden hebt, de symmetrie-as van de parabool de verticale lijn door die x-waarde is, en (logischerwijs), de functiewaarde op een afstand u links van het midden, even groot is als de functiewaarde op een afstand u rechts van het midden. Bedenk dat, nog steeds, dat midden ligt bij x = -b / 2a.

[..]

Ik ga er dan maar van uit dat je het economische gedeelte (hoe komt de formule van π tot stand) begrijpt. Dit is een kwadratische functie, namelijk π(Q) = 100Q - 5/2Q²
Als we deze in dezelfde volgorde schrijven als voorheen, dus met de hoogste machten eerst, dan wordt dat
π(Q) = -5/2Q² + 100Q.

In deze kwadratische formule is dus a = -5/2, b = 100 en c = 0. Met de hierboven afgeleide formule berekenen we eenvoudig de positie van het maximum (want a<0), en dat is precies wat ze doen bij 'Solution'. Daarna wordt de waarde van dat maximum π*(Q) berekend met behulp van de tweede regel van je tweede scan, waar de waarde van f(x) bij de top wordt uitgeschreven als c - b²/4a.

Succes.

Wat er in 2.3 staat, begrijp ik, maar er komen dan ook geen voorbeelden voor waarin zo'n kwadraatafsplitsing tevoorschijn komt met breuken en al.


Dit is 2.3:





[ Bericht 1% gewijzigd door Brainstorm245 op 09-09-2014 09:54:56 ]

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 09:22 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

Kwadraatafsplitsen kan ik wel. In het voorbeeld in 2.3 wordt ook een tweedegraads polynoom gebruikt, maar dan met getallen ipv a, b en c. Echter komt het niet voor dat er een breuk e.d. ontstaat.

Ik begrijp je probleem niet zo goed. Het lijkt er eerder op dat je moeite hebt met de herleiding middels kwadraatafsplitsing van de algemene kwadratische functie



Je kunt trouwens in plaats van te beginnen met het buiten haakjes halen van een factor a en te schrijven



ook beginnen om een factor 1/4a buiten haakjes te halen, dan krijg je



waarvoor je weer kunt schrijven



De buitenste haakjes uitwerken geeft dan



En door bij de teller van de eerste term een factor 4a² = (2a)² buiten de haakjes te brengen hebben we dan inderdaad



Zo kan het dus ook. Begrijp je dit wel?

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 10:02 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik begrijp je probleem niet zo goed. Het lijkt er eerder op dat je moeite hebt met de herleiding middels kwadraatafsplitsing van de algemene kwadratische functie



Je kunt trouwens in plaats van te beginnen met het buiten haakjes halen van een factor a en te schrijven



ook beginnen om een factor 1/4a buiten haakjes te halen, dan krijg je



waarvoor je weer kunt schrijven



De buitenste haakjes uitwerken geeft dan



En door bij de teller van de eerste term een factor 4a² = (2a)² buiten de haakjes te brengen hebben we dan inderdaad



Zo kan het dus ook. Begrijp je dit wel?

waar haal je opeena die 1/4 vandaan? Overigens begrijp ik de overgang van stap 3 naar 4 niet. Uitgaande dat stap 1 gewoon het opschrijven vd kwadratische functie is.

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 10:02 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik begrijp je probleem niet zo goed. Het lijkt er eerder op dat je moeite hebt met de herleiding middels kwadraatafsplitsing van de algemene kwadratische functie



Je kunt trouwens in plaats van te beginnen met het buiten haakjes halen van een factor a en te schrijven



ook beginnen om een factor 1/4a buiten haakjes te halen, dan krijg je



waarvoor je weer kunt schrijven



De buitenste haakjes uitwerken geeft dan



En door bij de teller van de eerste term een factor 4a² = (2a)² buiten de haakjes te brengen hebben we dan inderdaad



Zo kan het dus ook. Begrijp je dit wel?

overgang van n/a laatste naar laatste stap begrijp ik ook niet.

excuus als het dom overkomt.

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 09:42 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

Wat er in 2.3 staat, begrijp ik, maar er komen dan ook geen voorbeelden voor waarin zo'n kwadraatafsplitsing tevoorschijn komt met breuken en al.

Ik zie dat er een eenvoudig voorbeeld wordt gegeven voor het completeren van het linkerlid van een kwadratische vergelijking tot een volkomen kwadraat, waarna de pq formule wordt afgeleid die de oplossingen geeft van de vergelijking



Nu kun je vervolgens om de abc formule voor de oplossingen van de algemene vierkantsvergelijking



af te leiden beginnen om beide leden van deze vergelijking door a te delen, waardoor we dus krijgen



Hiermee is de vergelijking herleid tot een vergelijking die we met de pq formule op kunnen lossen, en waarbij dus p = b/a en q = c/a. Door deze substituties uit te voeren in de pq formule wordt in het boek de abc formule verkregen.

Bestudeer dit eens goed en ook deze en deze uitwerkingen waarbij een vierkantsvergelijking wordt opgelost middels kwadraatafsplitsing. En bekijk ook mijn post over de afleiding van de pq formule en deze post over de directe afleiding van de abc formule met de methode van Sridhara.

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 00:20 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

We gaan op zoek naar de waarde van x waarvoor de kwadratische functie f zijn minimale of maximale waarde bereikt. Hebben we een dalparabool, dus met a>0, dan hebben we een minimum; bij a<0 hebben we een bergparabool en vinden we dus een maximum.
De uitdrukking die bij (2) wordt gegeven is niets anders dan een andere wijze van opschrijven van de algemene kwadratische functie waarmee werd begonnen. Dit is niet al te moeilijk in te zien door de haakjes weer uit te werken, maar ik denk dat het in paragraaf 2.3 ook netjes staat uitgeschreven, vermoedelijk onderweg naar het afleiden van de abc- of wortelformule.
In de uitdrukking bij (2) is het gedeelte achter het minteken constant - het hangt niet af van x. Het eerste gedeelte is slechts 0 als x = -b/2a (Oh ja?) Bij deze waarde van x moet dus wel de extreme waarde van de parabool liggen.
(Als je graag grafisch denkt: de parabool wordt eigenlijk verticaal zó opgeschoven dat ze raakt aan de x-as; dan is er precies één nulpunt dat op de top van de parabool ligt.)

Dat de top van de parabool precies daar moet liggen is ook makkelijk te zien als je gaat differentiëren:
f(x) = ax² + bx + c, dan
f'(x) = 2ax + b, en dan

f'(x) = 0, dus 2ax + b = 0, dus 2ax = -b, dus x = -b/2a.

[..]

Deze uitdrukking vertelt je dat, als je eenmaal de x-waarde van het maximum gevonden hebt, de symmetrie-as van de parabool de verticale lijn door die x-waarde is, en (logischerwijs), de functiewaarde op een afstand u links van het midden, even groot is als de functiewaarde op een afstand u rechts van het midden. Bedenk dat, nog steeds, dat midden ligt bij x = -b / 2a.

[..]

Ik ga er dan maar van uit dat je het economische gedeelte (hoe komt de formule van π tot stand) begrijpt. Dit is een kwadratische functie, namelijk π(Q) = 100Q - 5/2Q²
Als we deze in dezelfde volgorde schrijven als voorheen, dus met de hoogste machten eerst, dan wordt dat
π(Q) = -5/2Q² + 100Q.

In deze kwadratische formule is dus a = -5/2, b = 100 en c = 0. Met de hierboven afgeleide formule berekenen we eenvoudig de positie van het maximum (want a<0), en dat is precies wat ze doen bij 'Solution'. Daarna wordt de waarde van dat maximum π*(Q) berekend met behulp van de tweede regel van je tweede scan, waar de waarde van f(x) bij de top wordt uitgeschreven als c - b²/4a.

Succes.

Dit begrijp ik niet. Sorry...

er staat staat dat de waarde (bij het bepalen van een maxima/minima) van x= -b/2a gelijk is aan f(-b /2a) = -(b^2 - 4ac) / 4a = c - b^2 /4a


Het vetgedrukte begrijp ik dus niet.. als ik i.p.v. x -b/2a invul, hoe komt het tot het vetgedrukte formule? En waarin verschilt dat met -b/2a waardoor -b/2a gebruikt kan worden voor de maximalisatie van de profit bij Q (begrijp ik wel) en de maximalisatie profit bij aantal euro (die met die 100^2)... ??


Overigens voor alle duidelijkheid: ik snap de essentie en de bedoeling erachter en waar ik mee bezig ben.. het is meer de uitleg en de diepgang die ik niet begrijp..

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 10:12 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

waar haal je opeena die 1/4 vandaan?

Ik vermenigvuldig de veelterm ax² + bx + c met 4a, waardoor we 4a²x² + 4abx + 4ac krijgen. Maar dit kan ik bij een functie niet zomaar doen, omdat ik dan een andere functie zou krijgen. Daarom moet ik dit compenseren door ook weer door 4a te delen oftewel met 1/4a te vermenigvuldigen. Dit komt uiteindelijk neer op het buiten haakjes halen van een factor 1/4a.

quote:

Overigens begrijp ik de overgang van stap 3 naar 4 niet. Uitgaande dat stap 1 gewoon het opschrijven vd kwadratische functie is.

Dit is gewoon kwadraatafsplitsing. We kunnen binnen de haakjes

4a²x² + 4abx + 4ac

herschrijven als

(2ax)² + 2·(2ax)·b + b² − (b² − 4ac)

en dit is weer te schrijven als

(2ax + b)² − (b² − 4ac)

Maar bestudeer nu eerst maar eens alle posts waarnaar ik hierboven link, dan moet het wel duidelijk worden.

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 10:43 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik vermenigvuldig de veelterm ax² + bx + c met 4a, waardoor we 4a²x² + 4abx + 4ac krijgen. Maar dit kan ik bij een functie niet zomaar doen, omdat ik dan een andere functie zou krijgen. Daarom moet ik dit compenseren door ook weer door 4a te delen oftewel met 1/4a te vermenigvuldigen. Dit komt uiteindelijk neer op het buiten haakjes halen van een factor 1/4a.

[..]

Dit is gewoon kwadraatafsplitsing. We kunnen binnen de haakjes

4a²x² + 4abx + 4ac

herschrijven als

(2ax)² + 2·(2ax)·b + b² − (b² − 4ac)

en dit is weer te schrijven als

(2ax + b)² − (b² − 4ac)

Maar bestudeer nu eerst maar eens alle posts waarnaar ik hierboven link, dan moet het wel duidelijk worden.

Ja die post had ik al eerder bestudeerd. Ze stonden ook nog eens letterlijk in mijn boek.

Ik begrijp alleen niet waarom die -(b² - 4ac) erbij komt.. Voor de rest was het wel duidelijk ( de overgang).

[ Bericht 100% gewijzigd door Brainstorm245 op 09-09-2014 11:21:46 ]

Jammer dat ik op google geen fatsoenlijke Nederlandse uitleg kan vinden over de kwadratische functies... en dan heb ik het over die

a( x + b/2a)² - b² - 4ac / 4a

etc. Eigenlijk gewoon mijn eerste post met die twee scans.

Als iemand dat toevallig heeft kunnen vinden, zou ik dat enorm waarderen (!!!)

Aangezien mijn les zo zal beginnen, wil ik nog even alvast (!) mijn twee laatste vragen stellen:

Stel dat een winstformule het volgende is:

(a - c)Q - (b + d)Q²

Waarom is de maximalisatie van de winst op een bepaalde Q dan :

Q = (a - c) / 2(b + d) ?

Ik zou denken dat het

Q = (-a + c) / 2(b + d) is omdat er staat -b / 2a en niet b/2a

Tenslotte:

Stel er is een supply en demand functie, waarbij ze gelijk zijn en dus een quilibruim hebben bij:

P = a - bQ = c + 2dQ

dan zou:

Q = (a - c) / (b + 2d) zijn, daar ben ik nog wel uitgekomen, maar ik weet niet hoe ik de evenwichtsprijs functie kan opstellen evenals de evenwichts winstfunctie?

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 10:38 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

Dit begrijp ik niet. Sorry...

er staat staat dat de waarde (bij het bepalen van een maxima/minima) van x= -b/2a gelijk is aan f(-b /2a) = -(b^2 - 4ac) / 4a = c - b^2 /4a

Het vetgedrukte begrijp ik dus niet.. als ik i.p.v. x -b/2a invul, hoe komt het tot het vetgedrukte formule?

Hierboven heb ik laten zien hoe je de algemene kwadratische functie



kunt herschrijven als



Uit deze gedaante van de algemene kwadratische functie kunnen we aflezen dat f(x) een extreme waarde bereikt bij x = −b/2a en dat deze extreme waarde een minimum is indien a > 0 en een maximum indien a < 0.

Immers, als a > 0 dan is de term a(x + b/2a)² positief of nul, zodat een minimum wordt bereikt als (x + b/2a) nul is, en dat is het geval voor x = −b/2a. Is daarentegen a < 0 dan is de term a(x + b/2a)² negatief of nul zodat een maximum wordt bereikt als (x + b/2a) nul is, en dat is wederom het geval voor x = −b/2a.

Vullen we nu x = −b/2a in in het herleide functievoorschrift, dan is de eerste term nul en houden we dus over



De waarde van het bereikte extremum (minimum indien a > 0, maximum indien a < 0) is dus −(b² − 4ac)/4a = −b²/4a + c. Overigens vind ik het zelf prettiger om te schrijven



waarbij



de discriminant is van de kwadratische veelterm ax² + bx + c (a ≠ 0). De discriminant bepaalt bij een kwadratische veelterm met reële coëfficiënten het aantal (verschillende) reële nulpunten van de veelterm, dat 0, 1 of 2 kan bedragen.

quote:

En waarin verschilt dat met -b/2a waardoor -b/2a gebruikt kan worden voor de maximalisatie van de profit bij Q (begrijp ik wel) en de maximalisatie profit bij aantal euro (die met die 100^2)... ??

Dit is niet begrijpelijk. Beter uitleggen wat precies je probleem is. Overigens heb ik je al gezegd dat je hier beter de functie π(Q) om kunt werken met kwadraatafsplitsing in een vorm waarbij je direct kunt aflezen dat voor Q = 20 een maximum van 1000 wordt bereikt.

quote:

Overigens voor alle duidelijkheid: ik snap de essentie en de bedoeling erachter en waar ik mee bezig ben.. het is meer de uitleg en de diepgang die ik niet begrijp..

Dit is geen kwestie van diepgang, je hebt kennelijk nauwelijks enig benul van elementaire schoolalgebra. Dit was vroeger allemaal stof voor de tweede klas.

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 11:24 schreef Riparius het volgende:

[..]

Hierboven heb ik laten zien hoe je de algemene kwadratische functie



kunt herschrijven als



Uit deze gedaante van de algemene kwadratische functie kunnen we aflezen dat f(x) een extreme waarde bereikt bij x = −b/2a en dat deze extreme waarde een minimum is indien a > 0 en een maximum indien a < 0.

Immers, als a > 0 dan is de term a(x + b/2a)² positief of nul, zodat een minimum wordt bereikt als (x + b/2a) nul is, en dat is het geval voor x = −b/2a. Is daarentegen a < 0 dan is de term a(x + b/2a)² negatief of nul zodat een maximum wordt bereikt als (x + b/2a) nul is, en dat is wederom het geval voor x = −b/2a.

Vullen we nu x = −b/2a in in het herleide functievoorschrift, dan is de eerste term nul en houden we dus over



De waarde van het bereikte extremum (minimum indien a > 0, maximum indien a < 0) is dus −(b² − 4ac)/4a = −b²/4a + c. Overigens vind ik het zelf prettiger om te schrijven



waarbij



de discriminant is van de kwadratische veelterm ax² + bx + c (a ≠ 0). De discriminant bepaalt bij een kwadratische veelterm met reële coëfficiënten het aantal (verschillende) reële nulpunten van de veelterm, dat 0, 1 of 2 kan bedragen.

[..]

Dit is niet begrijpelijk. Beter uitleggen wat precies je probleem is. Overigens heb ik je al gezegd dat je hier beter de functie π(Q) om kunt werken met kwadraatafsplitsing in een vorm waarbij je direct kunt aflezen dat voor Q = 20 een maximum van 1000 wordt bereikt.

[..]

Dit is geen kwestie van diepgang, je hebt kennelijk nauwelijks enig benul van elementaire schoolalgebra. Dit was vroeger allemaal stof voor de tweede klas.

Super bedankt.

Ja klopt... Maar ik had havo wiskunde A en dat stelde niks voor op mijn middelbare school i.t.t. het vwo.

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 10:52 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

Ja die post had ik al eerder bestudeerd. Ze stonden ook nog eens letterlijk in mijn boek.

Ik begrijp alleen niet waarom die -(b² - 4ac) erbij komt.. Voor de rest was het wel duidelijk ( de overgang).

Dan begrijp je dus echt niet hoe het completeren van het kwadraat werkt.

Om te beginnen: die 4ac komt er niet bij, want die stond er al. Waar het om gaat dat is dat we

4a²x² + 4abx

oftewel

(2ax)² + 2·2ax·b

willen completeren tot een volkomen kwadraat, en dat kunnen we doen door hier b² bij op te tellen. Maar ik mag niet zomaar b² optellen in een functievoorschrift want dan zou ik een andere functie krijgen. Dus moet ik die b² ook weer meteen aftrekken. We herschrijven dus

4a²x² + 4abx + 4ac

oftewel

(2ax)² + 2·2ax·b + 4ac

als

(2ax)² + 2·2ax·b + b² − b² + 4ac

en nu kunnen we dit weer schrijven als

(2ax + b)² − b² + 4ac

oftewel

(2ax + b)² − (b² − 4ac)

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 11:39 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dan begrijp je dus echt niet hoe het completeren van het kwadraat werkt.

Om te beginnen: die 4ac komt er niet bij, want die stond er al. Waar het om gaat dat is dat we

4a²x² + 4abx

oftewel

(2ax)² + 2·2ax·b

willen completeren tot een volkomen kwadraat, en dat kunnen we doen door hier b² bij op te tellen. Maar ik mag niet zomaar b² optellen in een functievoorschrift want dan zou ik een andere functie krijgen. Dus moet ik die b² ook weer meteen aftrekken. We herschrijven dus

4a²x² + 4abx + 4ac

oftewel

(2ax)² + 2·2ax·b + 4ac

als

(2ax)² + 2·2ax·b + b² − b² + 4ac

en nu kunnen we dit weer schrijven als

(2ax + b)² − b² + 4ac

oftewel

(2ax + b)² − (b² − 4ac)

Ik begrijp gewoon niet hoe die c/a opeens 4ac wordt..

quote:

Ik vermenigvuldig de veelterm ax2 + bx + c met 4a, waardoor we 4a2x2 + 4abx + 4ac krijgen. Maar dit kan ik bij een functie niet zomaar doen, omdat ik dan een andere functie zou krijgen. Daarom moet ik dit compenseren door ook weer door 4a te delen oftewel met 1/4a te vermenigvuldigen. Dit komt uiteindelijk neer op het buiten haakjes halen van een factor 1/4a.

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 12:54 schreef wiskundenoob het volgende:

[..]

ja ik snap de nut er niet van? Je vermenigvuldigt met 4a? Sowieso al, waarom 4a en niet alleen met 4? Wat is de reden voor de keuze voor 4 en niet voor 2 oid? en dan inderdaad weer delen met 1/4a, maar dan bereik je toch niks? is gewoon hetzelfde functie alleen anders geschreven? ik begrijp de hele nut ervan niet.


ik stel steeds waarom vragen en denk extreem veel door, waardoor ik in mijn eigen doordenken in de war raak. ik wil alles weten.. waarom het zo is etc.

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 13:01 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

ja ik snap de nut er niet van? Je vermenigvuldigt met 4a? Sowieso al, waarom 4a en niet alleen met 4? Wat is de reden voor de keuze voor 4 en niet voor 2 oid? en dan inderdaad weer delen met 1/4a, maar dan bereik je toch niks? is gewoon hetzelfde functie alleen anders geschreven? ik begrijp de hele nut ervan niet.


ik stel steeds waarom vragen en denk extreem veel door, waardoor ik in mijn eigen doordenken in de war raak. ik wil alles weten.. waarom het zo is etc.

Is gewoon een herschrijving om het je gemakkelijker te maken.

lees post op dinsdag 9 september 2014 @ 11:24 • 214

[ Bericht 3% gewijzigd door wiskundenoob op 09-09-2014 13:23:14 ]

Deze vraag gaat over lineair programmeren. De kosten dienen geminimaliseerd te worden en de tabel geeft weer welke boete men heeft ontvangen (kosten), na aanleiding van de gereden rit op een dag. Taxichauffeurs mogen maar 1 route per dag rijden. Ik moet dus een optimale situatie weer kunnen geven met behulp van excel (Solver?). Er zijn dus 64 variabelen met chauffeurs en route?

Als iemand me kan helpen, zou mooi zijn!

http://tinypic.com/r/rqxij4/8

Is de link van de tabel, hij wil hem helaas hier niet openen
Objective is dus dat ik de chauffeurs moet toewijzen aan de routes, waar een bepaalde optimale situatie voor is

Bij voorbaat dank!

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 11:23 schreef Brainstorm245 het volgende:
Aangezien mijn les zo zal beginnen, wil ik nog even alvast (!) mijn twee laatste vragen stellen:

Stel dat een winstformule het volgende is:

(a - c)Q - (b + d)Q²

Waarom is de maximalisatie van de winst op een bepaalde Q dan :

Q = (a - c) / 2(b + d) ?

Ik zou denken dat het

Q = (-a + c) / 2(b + d) is omdat er staat -b / 2a en niet b/2a

Tenslotte:

Stel er is een supply en demand functie, waarbij ze gelijk zijn en dus een quilibruim hebben bij:

P = a - bQ = c + 2dQ

dan zou:

Q = (a - c) / (b + 2d) zijn, daar ben ik nog wel uitgekomen, maar ik weet niet hoe ik de evenwichtsprijs functie kan opstellen evenals de evenwichts winstfunctie?

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 12:36 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

Ik begrijp gewoon niet hoe die c/a opeens 4ac wordt..

Bekijk het eens andersom. Stel dat we precies bovenstaand functievoorschrift hebben en dat we hier de haakjes weer uit willen werken. Dan krijgen we dus



oftewel



Nu zie je dat we de drie breuken kunnen vereenvoudigen, want de teller en de noemer van elk van de drie breuken heeft een factor 4a. We kunnen dus de drie breuken vereenvoudigen door bij elke breuk teller en noemer door 4a te delen. En dan krijgen we



oftewel



Zo zie je dus dat beide uitdrukkingen voor f(x) inderdaad identiek zijn.

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 13:01 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

ja ik snap de nut er niet van? Je vermenigvuldigt met 4a? Sowieso al, waarom 4a en niet alleen met 4? Wat is de reden voor de keuze voor 4 en niet voor 2 oid?

Als je mijn post over de afleiding van de abc formule met de methode van Sridhara had bestudeerd dan zou je hebben begrepen waarom we met 4a vermenigvuldigen.

quote:

en dan inderdaad weer delen vermenigvuldigen met 1/4a, maar dan bereik je toch niks? is gewoon hetzelfde functie alleen anders geschreven?

Inderdaad, we moeten bij de herleiding van een functievoorschrift natuurlijk wel ervoor zorgen dat de functie hetzelfde blijft. Ik vermenigvuldig de veelterm

ax² + bx + c

met 4a om zo

4a²x² + 4abx + 4ac

te krijgen oftewel

(2ax)² + 2·(2ax)·b + 4ac

zodat ik kwadraatafsplitsing kan toepassen zonder vervelende breuken en je dus krijgt

(2ax + b)² − b² + 4ac

Maar bij de herleiding van een functievoorschrift mag ik niet zomaar alles met een factor vermenigvuldigen, want dan zouden we een andere functie krijgen, en dat is niet de bedoeling. Dus moeten we die vermenigvuldiging van de termen van (ax² + bx + c) met 4a compenseren door meteen buiten de haakjes een factor 1/4a toe te voegen. En effectief komt dit neer op het buiten haakjes halen van een factor 1/4a.

quote:

ik begrijp de hele nut ervan niet.

Dat blijkt. Nog één keer dan. Als we een kwadratische functie



hebben, dan kunnen we hier met het 'blote oog' niet aan zien of deze functie een extreme waarde heeft, laat staan wat het maximum of het minimum is van deze functie, en voor welke waarde van x dit maximum of minimum wordt bereikt. Maar als we dit functievoorschrift omwerken naar



dan kunnen we opeens wél in één oogopslag zien dat de functie een extreme waarde bereikt bij x = −b/2a, en dat deze extreme waarde een minimum is als a > 0 maar een maximum als a < 0. Ook kunnen we direct zien dat deze extreme waarde f(−b/2a) = −D/4a bedraagt, waarbij D = b² − 4ac. De top van de parabool die de grafiek is van deze functie heeft dus de coördinaten (−b/2a, −D/4a).

Je ziet dat we nu opeens een heleboel informatie over deze kwadratische functie boven water hebben gekregen die we nooit hadden gekregen als we alleen maar stom naar het functievoorschrift

f(x) = ax² + bx + c

waren blijven staren.

Bovendien is de techiek van het kwadraatafsplitsen uitermate nuttig voor het oplossen van vierkantsvergelijkingen (en voor tal van andere zaken waar ik nu niet op in ga).

quote:

Ik stel steeds waarom vragen en denk extreem veel door, waardoor ik in mijn eigen doordenken in de war raak. ik wil alles weten.. waarom het zo is etc.

Dat 'extreem doordenken' valt nogal mee (of tegen, afhankelijk van het perspectief van de beschouwer). Ik vind dat je een en ander nog wel wat beter mag overdenken, en ook is het zaak om je vaardigheden met het uitvoeren van algebraïsche herleidingen snel op peil te brengen, anders zal dit je je hele studie blijven achtervolgen en zul je mogelijk je studie moeten staken. Laat het eens lekker doorwaaien in die grijze massa van je!

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 11-09-2014 15:11:20 ]

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 18:24 schreef Riparius het volgende:

[..]

Als je mijn post over de afleiding van de abc formule met de methode van Sridhara had bestudeerd dan zou je hebben begrepen waarom we met 4a vermenigvuldigen.

[..]

Inderdaad, we moeten bij de herleiding van een functievoorschrift natuurlijk wel ervoor zorgen dat de functie hetzelfde blijft. Ik vermenigvuldig de veelterm

ax² + bx + c

met 4a om zo

4a²x² + 4abx + 4ac

te krijgen oftewel

(2ax)² + 2·(2ax)·b + 4ac

zodat ik kwadraatafsplitsing kan toepassen zonder vervelende breuken en je dus krijgt

(2ax + b)² − b² + 4ac

Maar bij de herleiding van een functievoorschrift mag ik niet zomaar alles met een factor vermenigvuldigen, want dan zouden we een andere functie krijgen, en dat is niet de bedoeling. Dus moeten we die vermenigvuldiging van de termen van (ax² + bx + c) met 4a compenseren door meteen buiten de haakjes een factor 1/4a toe te voegen. En effectief komt dit neer op het buiten haakjes halen van een factor 1/4a.

[..]

Dat blijkt. Nog één keer dan. Als we een kwadratische functie



hebben, dan kunnen we hier met het 'blote oog' niet aan zien of deze functie een extreme waarde heeft, laat staan wat het maximum of het minimum is van deze functie, en voor welke waarde van x dit maximum of minimum wordt bereikt. Maar als we dit functievoorschrift omwerken naar



dan kunnen we opeens wél in één oogopslag zien dat de functie een extreme waarde bereikt bij x = −b/2a, en dat deze extreme waarde een minimum is als a > 0 maar een maximum als a < 0. Ook kunnen we direct zien dat deze extreme waarde f(−b/2a) = −D/4a bedraagt, waarbij D = b² − 4ac. De top van de parabool die de grafiek is van deze functie heeft dus de coördinaten (−b/2a, −D/4a).

Je ziet dat we nu opeens een heleboel informatie over deze kwadratische functie boven water hebben gekregen die we nooit hadden gekregen als we alleen maar stom naar het functievoorschrift

f(x) = ax² + bx + c

waren blijven staren.

Bovendien is de techiek van het kwadraatafsplitsen uitermate nuttig voor het oplossen van vierkantsvergelijkingen (en voor tal van andere zaken waar ik nu niet op in ga).

[..]

Dat 'extreem doordenken valt nogal mee (of tegen, afhankelijk van het perspectief van de beschouwer). Ik vind dat je een en ander nog wel wat beter mag overdenken, en ook is het zaak om je vaardigheden met het uitvoeren van algebraïsche herleidingen snel op peil te brengen, anders zal dit je je hele studie blijven achtervolgen en zul je mogelijk je studie moeten staken. Laat het eens lekker doorwaaien in die grijze massa van je!

Ik begrijp er geen reet meer van. In mijn boek wordt er gewerkt met b/a en c/a. Ik weet dat je dat in je andere post wel had uitgelegd waarom (iets met Sdhara oid.) maar ik ben gewoon helemaal in de war...

Excuus nogmaals voor het verdoen van je tijd, maar de middelbare school heeft mij geen wiskunde gegeven maar een klote vak 'hoe ga je met een GR'' om, want wat ik had, was echt geen wiskunde.

Is er overigens een video op youtube te vinden hierover? Ik weet niet specifiek een trefwoord. Ik tik quadratic functions vertex completing the square, maar ik tref niet de juiste video's.

Dit soort dingen snap ik gemakkelijk:



Maar mij gaat het dus om die a(x + b/2a)² - Discriminant/4a. Dat wat Riparius mij dus al twee dagen probeert te verduidelijken.

ax² + bx + c = 0
Nu vermenigvuldigen we het linker- en rechterlid met 4a. Dit levert:

4a(ax² + bx + c) = 0, uitgeschreven levert dit:

4a²x² + 4abx + 4ac = 0, tel nu links en rechts b² erbij op. Dit levert:

4a²x² + 4abx + 4ac + b² = b², breng nu 4ac van linkerlid naar rechterlid. Dit levert:

4a²x² + 4abx + b² = b² - 4ac, je ziet nu iets bekend staan bij het rechterlid.

Let wel: Het linkerlid kunnen we nu ontbinden in de volgende factoren (2ax + b)(2ax + b). Dit levert:

(2ax + b)² = b² - 4ac

Je weet als: x² = a, dan zijn de oplossingen: x = √(a) of x = -√(a). Hieruit volgt:

(2ax + b) = ±√(b² - 4ac)

Links en rechts 'b' aftrekken, levert:

2ax = -b ±√(b² - 4ac)

Daarna links en rechts delen door 2a, levert:

x = -b ±√(b² - 4ac) / 2a

Hieruit volgen de oplossingen met de abc formule:

x1 = -b - √(b² - 4ac) / 2a

en

x2 = -b + √(b² - 4ac) / 2a

Dit begrijp ik gewoon; bewijstlast voor de abc formule. Maar het is echt die a(x+b/2a)² ... etc.. dat ik niet snap..

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 18:40 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

Ik begrijp er geen reet meer van. In mijn boek wordt er gewerkt met b/a en c/a. Ik weet dat je dat in je andere post wel had uitgelegd waarom (iets met Sridhara oid.) maar ik ben gewoon helemaal in de war...

Er zijn natuurlijk altijd meerdere wegen die naar Rome leiden. De methode van Sridhara voor kwadraatafsplitsing (eigenlijk: het oplossen van een vierkantsvergelijking) heeft het grote voordeel dat breuken worden vermeden bij de herleiding van de abc formule (behalve op het laatst, als we door 2a moeten delen). De andere, meer conventionele methode om de abc formule af te leiden houdt in dat we bij de vierkantsvergelijking



eerst beide leden delen door a (hetgeen is toegestaan aangezien a ≠ 0) zodat we krijgen



Nu hebben we dus een vergelijking van de gedaante



met p = b/a en q = c/a.

Bestudeer deze pagina eens (print de pagina eventueel ook uit) om het verschil te zien tussen de beide methoden om middels kwadraatafsplitsing de abc formule af te leiden.

quote:

Excuus nogmaals voor het verdoen van je tijd, maar de middelbare school heeft mij geen wiskunde gegeven maar een klote vak 'hoe ga je met een GR'' om, want wat ik had, was echt geen wiskunde.

Dat begrijp ik, maar je mist ook gewoon een hoop basiskennis die je nu hard nodig zult hebben, namelijk de stof van Wiskunde B op VWO niveau.

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 19:27 schreef Riparius het volgende:

[..]

Er zijn natuurlijk altijd meerdere wegen die naar Rome leiden. De methode van Sridhara voor kwadraatafsplitsing (eigenlijk: het oplossen van een vierkantsvergelijking) heeft het grote voordeel dat breuken worden vermeden bij de herleiding van de abc formule (behalve op het laatst, als we door 2a moeten delen). De andere, meer conventionele methode om de abc formule af te leiden houdt in dat we bij de vierkantsvergelijking



eerst beide leden delen door a (hetgeen is toegestaan aangezien a ≠ 0) zodat we krijgen



Nu hebben we dus een vergelijking van de gedaante



met p = b/a en q = c/a.

Bestudeer deze pagina eens (print de pagina eventueel ook uit) om het verschil te zien tussen de beide methoden om middels kwadraatafsplitsing de abc formule af te leiden.

[..]

Dat begrijp ik, maar je mist ook gewoon een hoop basiskennis die je nu hard nodig zult hebben, namelijk de stof van Wiskunde B op VWO niveau.

Add a term to both sides for completing square --> dat stuk begrijp ik niet.

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 19:47 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

Add a term to both sides for completing square --> dat stuk begrijp ik niet.

Getallenvoorbeeldje:

x² + 6x + 5 = 0, en we willen een kwadraat afsplitsen.

De logische kandidaat is (x + 3)², dat wordt x² + 6x + 9

Dat is niet helemaal hetzelfde, dus om het kwadraat compleet te maken, moeten we links en rechts een term toevoegen. In dit geval + 4:

x² + 6x + 5 + 4 = 4

Nu staat links namelijk een kwadraat, een square.

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 19:53 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Getallenvoorbeeldje:

x² + 6x + 5 = 0, en we willen een kwadraat afsplitsen.

De logische kandidaat is (x + 3)², dat wordt x² + 6x + 9

Dat is niet helemaal hetzelfde, dus om het kwadraat compleet te maken, moeten we links en rechts een term toevoegen. In dit geval + 4:

x² + 6x + 5 + 4 = 4

Nu staat links namelijk een kwadraat, een square.

aha duidelijk..

Weet jij ook hoe je van

-b /2a +/- √(b² / 4a² - c/a) gaat naar: (-b +/- √b²- 4ac) / 2a

Die linkerterm begrijp ik met die -b/2a, wat ik niet begrijp is de Discriminant omzetten naar .... met een deling van 2a.

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 20:04 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

aha duidelijk..

Weet jij ook hoe je van

-b /2a +/- √(b² / 4a² - c/a) gaat naar: (-b +/- √b²- 4ac) / 2a

Die linkerterm begrijp ik met die -b/2a, wat ik niet begrijp is de Discriminant omzetten naar .... met een deling van 2a.

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 18:51 schreef Brainstorm245 het volgende:

Maar mij gaat het dus om die a(x + b/2a)² - Discriminant/4a. Dat wat Riparius mij dus al twee dagen probeert te verduidelijken.

Ik zal de herleiding van de algemene kwadratische functie



nog een keertje voor je uitwerken, maar nu op de conventionele manier. We halen eerst een factor a buiten haakjes, dan krijgen we



Nu halveren we de coëfficiënt b/a van x, dat geeft b/2a, en hiervan nemen we het kwadraat, dat is (b/2a)² = b²/4a². Dit tellen we op bij de termen tussen haakjes, maar dan moeten we dit ook meteen weer aftrekken, anders blijft de functie niet hetzelfde. Zo hebben we dus



Nu kunnen we de eerste drie termen binnen de grote haakjes schrijven als een kwadraat, want we hebben immers



Ook kunnen we de laatste twee termen binnen de grote haakjes samennemen. Dit zijn twee breuken, die we wel eerst gelijknamig moeten maken door de teller en de noemer van de tweede breuk c/a met 4a te vermenigvuldigen, zodat we krijgen



Voor het functievoorschrift krijgen we zo



Tenslotte werken we de grote haakjes weer uit en dan hebben we inderdaad



En aangezien



de discriminant is van de kwadratische veelterm ax² + bx + c kunnen we dus ook schrijven



Nu lezen we gemakkelijk af dat deze functie voor x = −b/2a een extreme waarde



bereikt, en dat dit extremum een minimum is indien a > 0 en een maximum indien a < 0.

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 20:11 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

[ afbeelding ]

Hartstikke duidelijk. Dankjewel!!!!!

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 20:14 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik zal de herleiding van de algemene kwadratische functie



nog een keertje voor je uitwerken, maar nu op de conventionele manier. We halen eerst een factor a buiten haakjes, dan krijgen we



Nu halveren we de coëfficiënt b/a van x, dat geeft b/2a, en hiervan nemen we het kwadraat, dat is (b/2a)² = b²/4a². Dit tellen we op bij de termen tussen haakjes, maar dan moeten we dit ook meteen weer aftrekken, anders blijft de functie niet hetzelfde. Zo hebben we dus



Nu kunnen we de eerste drie termen binnen de grote haakjes schrijven als een kwadraat, want we hebben immers



Ook kunnen we de laatste twee termen binnen de grote haakjes samennemen. Dit zijn twee breuken, die we wel eerst gelijknamig moeten maken door de teller en de noemer van de tweede breuk c/a met 4a te vermenigvuldigen, zodat we krijgen



Voor het functievoorschrift krijgen we zo



Tenslotte werken we de grote haakjes weer uit en dan hebben we inderdaad



En aangezien



de discriminant is van de kwadratische veelterm ax² + bx + c kunnen we dus ook schrijven



Nu lezen we gemakkelijk af dat deze functie voor x = −b/2a een extreme waarde



bereikt, en dat dit extremum een minimum is indien a > 0 en een maximum indien a < 0.

Dit is het laatste stukje waar ik nog vastloop, want ik zit met die kwadraatsplitsing dat je:

(p/2)² doet en vervolgens deze toevoegt aan het linkerlid en c naar het rechterlid (rechts van het = teken brengt) en daarna vervolgens (p/2)² ook toevoegt aan het rechterlid zoals:

x² + 2x - 4 = 0

x² + 2x = 4

x² + 2x + (2/2)² = 4 + (2/2)²

x² + 2x + 1 = 4 + 1

(x+1)² = 5

Dat zie ik niet terug zeg maar in het vetgedrukte stap.

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 20:14 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik zal de herleiding van de algemene kwadratische functie



nog een keertje voor je uitwerken, maar nu op de conventionele manier. We halen eerst een factor a buiten haakjes, dan krijgen we



Nu halveren we de coëfficiënt b/a van x, dat geeft b/2a, en hiervan nemen we het kwadraat, dat is (b/2a)² = b²/4a². Dit tellen we op bij de termen tussen haakjes, maar dan moeten we dit ook meteen weer aftrekken, anders blijft de functie niet hetzelfde. Zo hebben we dus



Nu kunnen we de eerste drie termen binnen de grote haakjes schrijven als een kwadraat, want we hebben immers



Ook kunnen we de laatste twee termen binnen de grote haakjes samennemen. Dit zijn twee breuken, die we wel eerst gelijknamig moeten maken door de teller en de noemer van de tweede breuk c/a met 4a te vermenigvuldigen, zodat we krijgen



Voor het functievoorschrift krijgen we zo



Tenslotte werken we de grote haakjes weer uit en dan hebben we inderdaad



En aangezien



de discriminant is van de kwadratische veelterm ax² + bx + c kunnen we dus ook schrijven



Nu lezen we gemakkelijk af dat deze functie voor x = −b/2a een extreme waarde



bereikt, en dat dit extremum een minimum is indien a > 0 en een maximum indien a < 0.

hoe kom je opeens aan die 2 * x * b/2a ?

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 20:14 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik zal de herleiding van de algemene kwadratische functie



nog een keertje voor je uitwerken, maar nu op de conventionele manier. We halen eerst een factor a buiten haakjes, dan krijgen we



Nu halveren we de coëfficiënt b/a van x, dat geeft b/2a, en hiervan nemen we het kwadraat, dat is (b/2a)² = b²/4a². Dit tellen we op bij de termen tussen haakjes, maar dan moeten we dit ook meteen weer aftrekken, anders blijft de functie niet hetzelfde. Zo hebben we dus



Nu kunnen we de eerste drie termen binnen de grote haakjes schrijven als een kwadraat, want we hebben immers



Ook kunnen we de laatste twee termen binnen de grote haakjes samennemen. Dit zijn twee breuken, die we wel eerst gelijknamig moeten maken door de teller en de noemer van de tweede breuk c/a met 4a te vermenigvuldigen, zodat we krijgen



Voor het functievoorschrift krijgen we zo



Tenslotte werken we de grote haakjes weer uit en dan hebben we inderdaad



En aangezien



de discriminant is van de kwadratische veelterm ax² + bx + c kunnen we dus ook schrijven



Nu lezen we gemakkelijk af dat deze functie voor x = −b/2a een extreme waarde



bereikt, en dat dit extremum een minimum is indien a > 0 en een maximum indien a < 0.

Overigens snap ik ook niet waarom

ze zeggen dat a(x + b/2a)² 0 is wanneer x= -b/2a ?

Tenslotte:

-(b² - 4ac)/4a hoe kan dit gelijk zijn aan : c - b² / 4a ?

Ik denk dat met de antwoorden op deze vragen (evenals mijn eerdere posts hierboven) ik wel voor de rest zelfstandig dingen kan uitpuzzelen.

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 20:34 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

Overigens snap ik ook niet waarom

ze zeggen dat a(x + b/2a)² 0 is wanneer x= -b/2a ?

Tenslotte:

-(b² - 4ac)/4a hoe kan dit gelijk zijn aan : c - b² / 4a ?

Ik denk dat met de antwoorden op deze vragen (evenals mijn eerdere posts hierboven) ik wel voor de rest zelfstandig dingen kan uitpuzzelen.

Bij je eerste vraag: een kwadraat is slechts nul als wat eronder staat 0 is, dus x + iets = 0, dus x = -iets.

Bij je tweede vraag: splits de breuk. eerste stuk: -b²/4a, tweede deel: 4ac/4a = c. Samen: c - b²/4a

Moet ik ook nog voor je narekenen hoeveel drie keer drie is?

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 20:40 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Bij je eerste vraag: een kwadraat is slechts nul als wat eronder staat 0 is, dus x + iets = 0, dus x = -iets.

Bij je tweede vraag: splits de breuk. eerste stuk: -b²/4a, tweede deel: 4ac/4a = c. Samen: c - b²/4a

Moet ik ook nog voor je narekenen hoeveel drie keer drie is?

4ac/4a = c. Dat wist ik, maar dan heb je

c - ( b² / 4a) en dan moet je het weer gelijknamig maken en dan krijg je :

(4ac - b²) / 4a.., weer vanaf begin af aan...

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 20:46 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

4ac/4a = c. Dat wist ik, maar dan heb je

c - ( b² / 4a) en dan moet je het weer gelijknamig maken en dan krijg je :

(4ac - b²) / 4a.., weer vanaf begin af aan...

Komt door de onduidelijkheid in de schrijfwijze. Met het stukje dat ik dikgedrukt heb gemaakt ben je er namelijk al.

-(b² - 4ac)/4a = c - ( b² / 4a)

dus NIET

-(b² - 4ac)/4a = (c - b²)/4a

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 20:51 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Komt door de onduidelijkheid in de schrijfwijze. Met het stukje dat ik dikgedrukt heb gemaakt ben je er namelijk al.

-(b² - 4ac)/4a = c - ( b² / 4a)

dus NIET

-(b² - 4ac)/4a = (c - b²)/4a

Oh dan las ik het verkeerd hahaha. Bedankt!!

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 20:51 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Komt door de onduidelijkheid in de schrijfwijze. Met het stukje dat ik dikgedrukt heb gemaakt ben je er namelijk al.

-(b² - 4ac)/4a = c - ( b² / 4a)

dus NIET

-(b² - 4ac)/4a = (c - b²)/4a

Evenwichtshoeveelheid functie opstellen van twee functies:

P = prijs
Q = hoeveelheid

P = a - bQ
P = c + 2dQ

Dus ik maakte er van:

a - bQ = c + 2dQ en dan

a - bQ - c - 2dQ

en dan

(a-c) - (b + 2d)Q

Maar moet ik het dan naar rechts halen?

(a-c) = (b + 2d)Q

en dan:

Q = (a-c)/(b + 2d)

Is dit goed? Zo ja, hoe doe ik dit voor de prijs?

[ Bericht 8% gewijzigd door Brainstorm245 op 09-09-2014 21:12:14 ]

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 20:57 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

Is dit goed? Zo ja, hoe doe ik dit voor de prijs?

Ja, maar je vergeet wel wat isnullen te noteren in de eerste paar regels.

Je hebt nu de waarde van Q gevonden waarbij je evenwichtssituatie optreedt. Hoe reken je de prijs P uit bij een gegeven waarde Q ?

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 20:24 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

Dit is het laatste stukje waar ik nog vastloop, want ik zit met die kwadraatsplitsing dat je:

(p/2)² doet en vervolgens deze toevoegt aan het linkerlid en c naar het rechterlid (rechts van het = teken brengt) en daarna vervolgens (p/2)² ook toevoegt aan het rechterlid zoals:

x² + 2x - 4 = 0

x² + 2x = 4

x² + 2x + (2/2)² = 4 + (2/2)²

x² + 2x + 1 = 4 + 1

(x+1)² = 5

Dat zie ik niet terug zeg maar in het vetgedrukte stap.

Bij het oplossen van een vergelijking kun je bij het linkerlid termen optellen of het linkerlid met een factor vermenigvuldigen, zolang je dit ook in het rechterlid doet. Maar bij het herleiden van een functievoorschrift heb je niet twee leden, maar één uitdrukking die je moet herleiden, en dan moet je dus zorgen dat die uitdrukking equivalent blijft.

Het verschil in aanpak is goed te illustreren met de vergelijking die je geeft, omdat je bij een vergelijking ook de vrijheid hebt om alleen iets aan het linkerlid te veranderen, zolang de uitdrukking in het linkerlid maar equivalent blijft.

Eerste aanpak (balansmethode):

x² + 2x − 4 = 0

Bij beide leden 4 optellen

x² + 2x − 4 + 4 = 0 + 4

oftewel

x² + 2x = 4

Nu de coëfficiënt 2 van x halveren, dat geeft 1, en hier weer het kwadraat van nemen, dat geeft 1² = 1. Deze 1 nu optellen bij beide leden geeft

x² + 2x + 1 = 4 + 1

oftewel

x² + 2x + 1 = 5

Nu gebruik maken van het merkwaardig product (identiteit) a² + 2ab + b² = (a + b)² om het linkerlid te herschrijven als een volkomen kwadraat, dit geeft

(x + 1)² = 5

Als nu het kwadraat van (x + 1) gelijk moet zijn aan 5, dan moet (x + 1) zelf dus gelijk zijn aan hetzij √5 hetzij −√5, zodat we dus krijgen

x + 1 = √5 ∨ x + 1 = −√5

Tenslotte nog bij deze beide vergelijkingen van beide leden 1 aftrekken oftewel bij beide leden −1 optellen(!) en we hebben

x = −1 + √5 ∨ x = −1 − √5

Tweede aanpak (herleiding van het linkerlid):

x² + 2x − 4 = 0

We halveren weer de coëfficiënt 2 van x, dit geeft 1, en hiervan het kwadraat nemen geeft 1² = 1. Deze 1 tellen we nu alleen op bij het linkerlid, maar dan moeten we deze 1 ook meteen weer aftrekken, anders is de uitdrukking in het linkerlid en daarmee de vergelijking niet meer equivalent. Zo krijgen we

x² + 2x + 1 − 1 − 4 = 0

Nu kunnen we x² + 2x + 1 weer herschrijven als (x + 1)² en zo krijgen we dus

(x + 1)² − 1 − 4 = 0

oftewel

(x + 1)² − 5 = 0

Zie je het verschil in aanpak? Het vervolg kan nu uiteraard op dezelfde manier als bij de eerste aanpak, want door bij beide leden 5 op te tellen krijgen we nu

(x + 1)² − 5 + 5 = 0 + 5

oftewel

(x + 1)² = 5

We kunnen echter ook doorgaan met het herleiden van het linkerlid van

(x + 1)² − 5 = 0

We kunnen 5 namelijk schrijven als het kwadraat van √5 zodat we krijgen

(x + 1)² − (√5)² = 0

Nu hebben we in het linkerlid een verschil van twee kwadraten, en dat betekent dat we nu het merkwaardig product a² − b² = (a − b)(a + b) kunnen gebruiken om het linkerlid te herschrijven als een product van twee factoren, zodat we krijgen

(x + 1 − √5)(x + 1 + √5) = 0

Nu kan een product van twee factoren alleen gelijk zijn aan nul als (tenminste) één van de beide factoren zelf nul is, zodat dus moet gelden

x + 1 − √5 = 0 ∨ x + 1 + √5 = 0

Tellen we tenslotte − 1 + √5 op bij beide leden van de eerste vergelijking en −1 − √5 bij beide leden van de tweede vergelijking, dan krijgen we

x = −1 + √5 ∨ x = −1 − √5

De gevonden oplossingen stemmen uiteraard overeen met de oplossingen die we met de eerste methode vonden.

Het leuke is dat het verschil in aanpak tussen de eerste en de tweede methode ook tot uitdrukking komt in de verschillende termen die het Engels en het Nederlands gebruiken. Bij de eerste aanpak hebben we x² + 2x aangevuld tot een volkomen kwadraat x² + 2x + 1 = (x + 1)² en dat is wat eigenlijk met completing the square wordt bedoeld. Maar bij de tweede aanpak hebben we x² + 2x − 4 herleid tot (x + 1)² − 5 en dat is wat eigenlijk met kwadraatafsplitsing wordt bedoeld. In de praktijk worden beide termen echter meestal voor beide methodes gebruikt.

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 10-09-2014 05:47:03 ]

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 21:06 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Ja, maar je vergeet wel wat isnullen te noteren in de eerste paar regels.

Je hebt nu de waarde van Q gevonden waarbij je evenwichtssituatie optreedt. Hoe reken je de prijs P uit bij een gegeven waarde Q ?

Door een getal bij Q in te vullen. Maar die is er dus niet

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 21:08 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

Door een getal bij Q in te vullen. Maar die is er dus niet

Jawel, die heb je net uitgerekend. Alleen is het geen getal, maar een uitdrukking in wat letters.

En... waar moet je die invullen? Niet waar je het in de post hieronder hebt gedaan, want die leidt slechts tot de conclusie 1 = 1.

Een waarheid als een koe, dat wel.

[ Bericht 12% gewijzigd door Janneke141 op 09-09-2014 21:15:09 ]

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 21:10 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Jawel, die heb je net uitgerekend. Alleen is het geen getal, maar een uitdrukking in wat letters.

Dus... (a-c)/(b + 2d) invullen als Q?


(a-c) = (b + 2d)* (a-c)/(b + 2d)

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 21:10 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Jawel, die heb je net uitgerekend. Alleen is het geen getal, maar een uitdrukking in wat letters.

En... waar moet je die invullen? Niet waar je het in de post hieronder hebt gedaan, want die leidt slechts tot de conclusie 1 = 1.

Een waarheid als een koe, dat wel.

Geen idee?

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 21:17 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

Geen idee?

Ga slapen en probeer het morgen nog eens. Je maakt jezelf nu alleen maar gek terwijl je vragen moet stellen over dingen die je echt wel weet - en die je wel weer ziet als je er morgen of overmorgen met frisse ogen naar kijkt.