[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

Even verder over integralen:

Ik moet voor mijn tentamen a.s. donderdag de beschikking hebben over skills in het uitrekenen van meervoudige integralen mbv coördinatentransformaties, en dan met name cilindrische, sferische en poolcoördinaten.

Opgave 13:

Zij T de driehoek in het cartesisch vlak ingesloten door de punten (0,0), (1,0) en (1,1).

Bereken de dubbelintegraal:

∫∫_T (x² + y²)dA

Nu wil ik dit graag met poolcoördinaten doen (er zullen vast betere alternatieven zijn ~ lineaire transformaties, maar ik maak het mezelf graag onnodig lastig)

Dus x = rcos(φ), y = rsin(φ)

De absolute waarde van de Jacobiaan is dan zoals bekend r, maar ik zie niet helemaal hoe de grenzen na mijn transformatie eruit zien.

Het is duidelijk dat φ van 0 tot π/4 loopt en r van 0 tot √2, maar r is overduidelijk afhankelijk van φ en ik zie die relatie niet. Help?

Want als r > 1, dan is er helemaal geen cirkelschijf meer..

[ Bericht 2% gewijzigd door #ANONIEM op 04-04-2014 10:40:18 ]

quote:

Op vrijdag 4 april 2014 10:41 schreef MrStalin het volgende:
is r niet van 0 tot 1? Je krijgt toch een pizzapuntje met 0<r<1 en 0<φ<π/4

Ik was je voor met mijn ninjaedit. Nee, want je wilt integreren over een driehoek.

Ik zat te denken om die integraal op te splitsen in de som van 2 integralen. 0 < r < 1 en 1 < r(φ) < √2

Die eerste is niet afhankelijk van φ, dus die mag ik erbuiten halen, maar die tweede weet ik nog steeds niet. ( r loopt van 1 tot sec(φ))?

En dit klopt inderdaad. Antwoord geeft me 1/3, maar zo te zien is poolcoordinaten niet the way to go. Het integreren van een vierdemachtssecans is niet zo handig.

[ Bericht 8% gewijzigd door #ANONIEM op 04-04-2014 11:00:13 ]

quote:

Op vrijdag 4 april 2014 12:29 schreef Anoonumos het volgende:
Helemaal geen transformatie nodig toch? Gewoon x van y tot 1 en dan y van 0 tot 1.

Dan integreer je een vierkant. Zou een factor ½ dat oplossen? Edit: dat werkt omdat x en y in deze symmetrisch zijn. Dus f(x,y) = f(y,x) top

[ Bericht 7% gewijzigd door #ANONIEM op 04-04-2014 13:27:51 ]

quote:

Op vrijdag 4 april 2014 13:47 schreef Anoonumos het volgende:

Dan integreer je over je driehoek

Waarom dacht ik zo lastig.

quote:

Op vrijdag 4 april 2014 16:31 schreef Mathemaat het volgende:

[..]

Je kunt het met poolcoördinaten doen, maar de vergelijking van de straal afhankelijk van de hoek is flink ingewikkelder.

Niet als je 'm opsplitst zoals ik deed. Dan r = sec(φ)

quote:

Op vrijdag 4 april 2014 17:54 schreef Mathemaat het volgende:

[..]

Aha, ik keek naar het verkeerde integratiegebied. Sry, . Het antwoord is dan

.

Je hoeft overigens niets op te splitsen.

Ja ik snap waarom (algebraïsch), intuïtief is een splitsing net even dat stapje wat ik nodig had.