[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

donderdag 23 januari 2014 @ 21:27:24 #51

thabit

quote:
Op donderdag 23 januari 2014 21:07 schreef Novermars het volgende:
Als je moet bewijzen dat een bepaalde set compact is met de (Finite) Open Cover definitie, hoe doe je dit? Ik snap wel hoe ik een tegenvoorbeeld moet bedenken en dit te noteren als een set niet compact is, maar het omgekeerde bewijzen lukt nog niet. Een zoektocht op Google heeft ook weinig opgeleverd, veelal hebben ze het over allerlei topologisch ruimtes en dat is nog boven mijn niveau.

Concreet: Hoe bewijs je bijvoorbeeld $W = \lbrace x \in \mathbb{R}^2 :-1 \leq x_1 \leq 1, -1 \leq x_2 \leq 1 \rbrace$ compact is?

Als topologische ruimtes boven je niveau zijn, dan heb je wel een behoorlijk pittig voorbeeld gekozen. Bewijs eerst maar dat [0,1] compact is.

donderdag 23 januari 2014 @ 21:36:37 #52

Novermars

Dat bewijs staat in mijn boek en kan ik goed volgen. Is er misschien enig leesvoer dat relatief snel te begrijpen is zodat ik mijn voorbeeld kan oplossen?

Of kan ik het beter laten zitten en maar Heine-Borel misbruiken?

donderdag 23 januari 2014 @ 21:38:24 #53

thabit

quote:
Op donderdag 23 januari 2014 21:36 schreef Novermars het volgende:
Dat bewijs staat in mijn boek en kan ik goed volgen. Is er misschien enig leesvoer dat relatief snel te begrijpen is zodat ik mijn voorbeeld kan oplossen?

Of kan ik het beter laten zitten en maar Heine-Borel misbruiken?

O, maar als je dat eenmaal weet, dan hoef je alleen nog maar te bewijzen dat het product van twee compacte ruimten compact is.

donderdag 23 januari 2014 @ 21:41:23 #54

Novermars

quote:
Op donderdag 23 januari 2014 21:38 schreef thabit het volgende:

[..]

O, maar als je dat eenmaal weet, dan hoef je alleen nog maar te bewijzen dat het product van twee compacte ruimten compact is.

Verklaar je nader en leg uit! Ik geniet echt van dit soort wiskunde. Hopelijk ga ik het nog vaker tegenkomen tijdens Ectrie, maar ik vrees het ergste...

donderdag 23 januari 2014 @ 21:42:22 #55

thabit

quote:
Op donderdag 23 januari 2014 21:41 schreef Novermars het volgende:

[..]

Verklaar je nader en leg uit! Ik geniet echt van dit soort wiskunde. Hopelijk ga ik het nog vaker tegenkomen tijdens Ectrie, maar ik vrees het ergste...

Die verzameling W van jou is het product van twee intervallen: [-1,1] x [-1,1].

donderdag 23 januari 2014 @ 21:43:53 #56

Drolflap

OPGAVE II Zeno de schildpaddenkweker

Zeno is een beroemd kweker van schildpadden; door Zeno gekweekte schildpadden worden door liefhebbers in heel Nederland gekocht. Om gezonde schildpadden te kweken, doet Zeno veel onderzoek.

Zo heeft hij een recursieve formule bedacht om uit te rekenen hoe snel een populatie schildpadden zich uitbreidt:

un = un–1*2 + 4

hierin is u¬n het aantal schildpadden na n maanden.

Van een populatie is bekend dat in het begin (na 0 maanden dus) 4 schildpadden zijn

4 (3p) Gebruik de formule om te berekenen hoeveel schildpadden er zijn na 8 maanden. Beschrijf nauwkeurig hoe je te werk gaat.

Ik als wiskunde leek snap hier niets van. Hoe moet ik hier te werk gaan ?

"the greatest enemy of knowledge is not ignorance, it is the illusion of knowledge." -Stephen W. Hawking

donderdag 23 januari 2014 @ 21:50:23 #57

Novermars

Je bedoelt $u_n = 2u_{n-1} + 4$ ?

@Thabit Zou je het misschien kunnen uitwerken? En misschien nog wel handiger, als je bijvoorbeeld een set $V = \lbrace x \in \mathbb{R}^2 :-1 \leq x_1 \leq 1,\: 0 \leq x_2 \leq 2 \rbrace$ hebt, hoe zou je het dan doen? Eerst bewijzen dat $[-1,1]$ en $[0,2]$ compact zijn? Of nog exotischer, $U = \lbrace x \in \mathbb{R}^2 : \: x_1^2 + x_2^2 \leq 1 \rbrace$ .

[ Bericht 14% gewijzigd door Novermars op 23-01-2014 21:56:14 ]

donderdag 23 januari 2014 @ 21:51:12 #58

Rezania

quote:
Op donderdag 23 januari 2014 21:43 schreef Drolflap het volgende:
OPGAVE II Zeno de schildpaddenkweker

Zeno is een beroemd kweker van schildpadden; door Zeno gekweekte schildpadden worden door liefhebbers in heel Nederland gekocht. Om gezonde schildpadden te kweken, doet Zeno veel onderzoek.

Zo heeft hij een recursieve formule bedacht om uit te rekenen hoe snel een populatie schildpadden zich uitbreidt:

un = un–1*2 + 4

hierin is u¬n het aantal schildpadden na n maanden.

Van een populatie is bekend dat in het begin (na 0 maanden dus) 4 schildpadden zijn

4 (3p) Gebruik de formule om te berekenen hoeveel schildpadden er zijn na 8 maanden. Beschrijf nauwkeurig hoe je te werk gaat.

Ik als wiskunde leek snap hier niets van. Hoe moet ik hier te werk gaan ?

De u_n-1 is de populatie van de vorige maand waarmee je de huidige populatie kan berekenen. Om het aantal schildpadden na acht maanden te berekenen begin je met het invullen van de startpopulatie (dat zijn die vier schildpadden dus). Het antwoord wat daar uitkomt vul je in waar je eerst die 4 invulde, waardoor je het aantal schildpadden na 2 maanden weet. En dat tot je de populatie na 8 maanden weet.

Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.

donderdag 23 januari 2014 @ 21:53:41 #59

Drolflap

quote:
Op donderdag 23 januari 2014 21:51 schreef Rezania het volgende:

[..]

De u_n-1 is de populatie van de vorige maand waarmee je de huidige populatie kan berekenen. Om het aantal schildpadden na acht maanden te berekenen begin je met het invullen van de startpopulatie (dat zijn die vier schildpadden dus). Het antwoord wat daar uitkomt vul je in waar je eerst die 4 invulde, waardoor je het aantal schildpadden na 2 maanden weet. En dat tot je de populatie na 8 maanden weet.

Bedankt ik snap het, was gewoon totaal niet logisch aan het nadenken.

Antwoordenmodel gaf het ook een beetje raar weer:

SPOILER
Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

"the greatest enemy of knowledge is not ignorance, it is the illusion of knowledge." -Stephen W. Hawking

donderdag 23 januari 2014 @ 21:55:28 #60

Rezania

quote:
Op donderdag 23 januari 2014 21:53 schreef Drolflap het volgende:

[..]

Bedankt ik snap het, was gewoon totaal niet logisch aan het nadenken.

Antwoordenmodel gaf het ook een beetje raar weer:

SPOILER
Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Ik snap dat antwoordenmodel ook niet. Je kan het wel via de GR berekenen, maar dan moet je met ans werken.

Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.

donderdag 23 januari 2014 @ 21:56:48 #61

Riparius

quote:
Op donderdag 23 januari 2014 21:51 schreef Rezania het volgende:

[..]

De u_n-1 is de populatie van de vorige maand waarmee je de huidige populatie kan berekenen. Om het aantal schildpadden na acht maanden te berekenen begin je met het invullen van de startpopulatie (dat zijn die vier schildpadden dus). Het antwoord wat daar uitkomt vul je in waar je eerst die 4 invulde, waardoor je het aantal schildpadden na 2 maanden weet. En dat tot je de populatie na 8 maanden weet.

Het wordt natuurlijk pas echt een leuke opgave als je het aantal schildpadden na 100 maanden of zo moet berekenen. En nee, geen rekenmachines. Dan moet je dus een gesloten uitdrukking afleiden voor u_n.

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

donderdag 23 januari 2014 @ 21:57:25 #62

Rezania

quote:
Op donderdag 23 januari 2014 21:56 schreef Riparius het volgende:

[..]

Het wordt natuurlijk pas echt een leuke opgave als je het aantal schildpadden na 100 maanden of zo moet berekenen. En nee, geen rekenmachines. Dan moet je dus een gesloten uitdrukking afleiden voor u_n.

Ja, maar denk niet dat hij daar al aan toe is.

Is trouwens best wel makkelijk vergeleken met de stof die hier normaal gesproken langs komt, je krijgt het zelfs bij wiskunde A.

Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.

donderdag 23 januari 2014 @ 21:58:25 #63

thabit

quote:
Op donderdag 23 januari 2014 21:50 schreef Novermars het volgende:
Je bedoelt $u_n = 2u_{n-1} + 4$ ?

@Thabit Zou je het misschien kunnen uitwerken? En misschien nog wel handiger, als je bijvoorbeeld een set $V = \lbrace x \in \mathbb{R}^2 :-1 \leq x_1 \leq 1,\: 0 \leq x_2 \leq 2 \rbrace$ hebt, hoe zou je het dan doen? Eerst bewijzen dat $[-1,1]$ en $[0,2]$ compact zijn?

Of algemeen bewijzen dat elk gesloten interval [a,b] compact is.

Het bewijs dat een product van twee compacte ruimten compact is, is ongetwijfeld met Google wel te vinden, dus ik weet niet in hoeverre het iets toevoegt om dat hier helemaal te gaan lopen uitspellen. Als je er zelf over na wilt denken, dan kan ik wel af en toe een hint geven.

donderdag 23 januari 2014 @ 22:01:35 #64

thabit

quote:
Op donderdag 23 januari 2014 21:50 schreef Novermars het volgende:

Of nog exotischer, $U = \lbrace x \in \mathbb{R}^2 : \: x_1^2 + x_2^2 \leq 1 \rbrace$ .

Als je eenmaal weet dat producten van gesloten intervallen [a,b] compact zijn, dan is het tijd voor de volgende stelling: een gesloten deel van een compacte ruimte is compact. Bewijs die eerst maar; die is namelijk wat eenvoudiger.

donderdag 23 januari 2014 @ 22:08:48 #65

Riparius

quote:
Op donderdag 23 januari 2014 21:57 schreef Rezania het volgende:

[..]

Ja, maar denk niet dat hij daar al aan toe is. Is trouwens best wel makkelijk vergeleken met de stof die hier normaal gesproken langs komt, je krijgt het zelfs bij wiskunde A.

Inhomogene lineaire recursies bij wiskunde A? Leg jij iemand met alleen wiskunde A dan maar even uit hoe je hier op u_n = 2ⁿ⁺³ − 4 komt.

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

donderdag 23 januari 2014 @ 22:14:03 #66

Rezania

quote:
Op donderdag 23 januari 2014 22:08 schreef Riparius het volgende:

[..]

Inhomogene lineaire recursies bij wiskunde A? Leg jij iemand met alleen wiskunde A dan maar even uit hoe je hier op u_n = 2ⁿ⁺³ + 4 komt.

Tot op een bepaald niveau, het moet natuurlijk niet de algebrakennis van A'ers overstijgen.

Ik kan me herinneren dat ik heb geleerd hoe van je een recursieve formule een directe formule kan maken, kan dat kloppen? Ik weet eigenlijk niet meer zoveel van A.

Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.

donderdag 23 januari 2014 @ 22:15:15 #67

Amoeba

Floydiaan.

quote:
Op donderdag 23 januari 2014 22:08 schreef Riparius het volgende:

[..]

Inhomogene lineaire recursies bij wiskunde A? Leg jij iemand met alleen wiskunde A dan maar even uit hoe je hier op u_n = 2ⁿ⁺³ − 4 komt.

Gaat 'm niet lukken. Volgens mij krijg je de inhomogene varianten niet eens bij wiskunde D.

Fervent tegenstander van het korps lasergamers.

donderdag 23 januari 2014 @ 22:15:51 #68

Rezania

quote:
Op donderdag 23 januari 2014 22:15 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Gaat 'm niet lukken. Volgens mij krijg je de inhomogene varianten niet eens bij wiskunde D.

Ik haal dan termen door elkaar waarschijnlijk.

Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.

donderdag 23 januari 2014 @ 22:15:59 #69

Amoeba

Floydiaan.

quote:
Op donderdag 23 januari 2014 22:14 schreef Rezania het volgende:

[..]

Tot op een bepaald niveau, het moet natuurlijk niet de algebrakennis van A'ers overstijgen.

Ik kan me herinneren dat ik heb geleerd hoe van je een recursieve formule een directe formule kan maken, kan dat kloppen? Ik weet eigenlijk niet meer zoveel van A.

Dat is juist, maar bij mijn weten geen inhomogene variant.

Fervent tegenstander van het korps lasergamers.

donderdag 23 januari 2014 @ 22:16:11 #70

Rezania

quote:
Op donderdag 23 januari 2014 22:15 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Dat is juist, maar bij mijn weten geen inhomogene variant.

Waar had ik het over inhomogeen?

Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.

donderdag 23 januari 2014 @ 22:30:18 #71

Novermars

quote:
Op donderdag 23 januari 2014 22:01 schreef thabit het volgende:

[..]

Als je eenmaal weet dat producten van gesloten intervallen [a,b] compact zijn, dan is het tijd voor de volgende stelling: een gesloten deel van een compacte ruimte is compact. Bewijs die eerst maar; die is namelijk wat eenvoudiger.

Mag ik gebruiken dat een set compact is iff gesloten en begrensd (aka Heine-Borel)? Of krijg ik dan een cirkelredenering omdat Heine-Borel leunt op het bewijs dat een gesloten subset compact is?

donderdag 23 januari 2014 @ 22:32:20 #72

thabit

quote:
Op donderdag 23 januari 2014 22:30 schreef Novermars het volgende:

[..]

Mag ik gebruiken dat een set compact is iff gesloten en begrensd (aka Heine-Borel)? Of krijg ik dan een cirkelredenering omdat Heine-Borel leunt op het bewijs dat een gesloten subset compact is?

Dan krijg je een cirkelredenering. Je wilt Heine-Borel immers bewijzen vanuit het basisgeval dat [a,b] compact is.

donderdag 23 januari 2014 @ 22:42:58 #73

Novermars

quote:
Op donderdag 23 januari 2014 22:32 schreef thabit het volgende:

[..]

Dan krijg je een cirkelredenering. Je wilt Heine-Borel immers bewijzen vanuit het basisgeval dat [a,b] compact is.

Ik heb het bewijs maar opgezocht. Ik was wel goed op weg met hetgeen ik zelf bedacht had, maar ik blijf dit soort dingen moeilijk vinden om zelf te verzinnen zonder hints etc.

En als deze al eenvoudiger is, dan heb ik nog veel werk te verrichten :p

donderdag 23 januari 2014 @ 23:12:35 #74

randomo

quote:
Op donderdag 23 januari 2014 22:14 schreef Rezania het volgende:

[..]

Tot op een bepaald niveau, het moet natuurlijk niet de algebrakennis van A'ers overstijgen.

Ik kan me herinneren dat ik heb geleerd hoe van je een recursieve formule een directe formule kan maken, kan dat kloppen? Ik weet eigenlijk niet meer zoveel van A.

Het zou kunnen dat je dat geleerd hebt bij wiskunde A (maar het zal waarschijnlijk alleen om lineaire recurrentievergelijkingen gaan, of nog simpelere gevallen). Voor wat ingewikkeldere recurrenties worden vaak voortbrengende functies (bekender onder de Engelse term generating functions) gebruikt, een techniek waarbij je een polynoom met u₀, u₁, u₂, ... als coëfficiënten gebruikt. Best een aparte techniek, maar vaak wel handig.
Voor de geinteresseerden: generatingfunctionology is een gratis pdf'je met een hele zooi informatie over voortbrengende functies (ik moet bekennen dat ik hem zelf nooit uitgelezen heb, maar zelfs alleen het eerste hoofdstuk bevat al erg veel informatie).

Als je de formule x⁰+x¹+x²+...+xⁿ=x^n-1/(x+1) kent, kan je gewoon u₁, u₂, u₃, u₄, ... etc. uitschrijven (uitdrukken in u₀) en kijken of je een patroon ziet. Een beproefde techniek, toegepast door vele beroemde wiskundigen

[ Bericht 13% gewijzigd door randomo op 23-01-2014 23:21:03 ]

donderdag 23 januari 2014 @ 23:31:05 #75

Miraculously

A chi vuole, non mancano modi.

Ik heb de volgende opdracht:

Onderzoek bij de volgende functies voor welke x ze wel gedefinieerd, maar niet differentieerbaar zijn.

f(x) = |x-1|.

Ik weet dat geldt voor f(x) = |x-1| { -(x-1) voor x<1 en x-1 voor x>1 (iemand die weet hoe ik deze stuksgewijs krijg, lukte me niet met LaTex).

Verder weet ik dat het minimum, en dus de knik, zit op het punt (1,0) waar de functie niet differentieerbaar is.

Is het nu voldoende (en klopt het ook) als ik zeg dat:

f'(x) = |x-1|' { -1 voor x<1 en 1 voor x>1

Waardoor we krijgen dat

$\lim_{x\to1-} -1 = -1$
$\lim_{x\to1+} 1 = 1$

Waardoor dus f(x)=|x-1| niet differentieerbaar is in het punt x=1.

Forum Opties
Forumhop:
Hop naar:	(afkorting, bv 'KLB')

» school, studie en onderwijs

» school, studie en onderwijs