[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op donderdag 23 januari 2014 23:12 schreef randomo het volgende:

[..]

Het zou kunnen dat je dat geleerd hebt bij wiskunde A (maar het zal waarschijnlijk alleen om lineaire recurrentievergelijkingen gaan, of nog simpelere gevallen). Voor wat ingewikkeldere recurrenties worden vaak voortbrengende functies (bekender onder de Engelse term generating functions) gebruikt, een techniek waarbij je een polynoom met u₀, u₁, u₂, ... als coëfficiënten gebruikt. Best een aparte techniek, maar vaak wel handig.
Voor de geinteresseerden: generatingfunctionology is een gratis pdf'je met een hele zooi informatie over voortbrengende functies (ik moet bekennen dat ik hem zelf nooit uitgelezen heb, maar zelfs alleen het eerste hoofdstuk bevat al erg veel informatie).

Als je de formule x⁰+x¹+x²+...+xⁿ=x^n-1/(x+1) kent, kan je gewoon u₁, u₂, u₃, u₄, ... etc. uitschrijven (uitdrukken in u₀) en kijken of je een patroon ziet. Een beproefde techniek, toegepast door vele beroemde wiskundigen

Ik vind die voortbrengende functies helemaal niet handig om een eenvoudige lineaire recursie op te lossen. Met de methode van de zogeheten karakteristieke vergelijking gaat het veel eenvoudiger.

quote:

Op donderdag 23 januari 2014 23:31 schreef Miraculously het volgende:
Ik heb de volgende opdracht:

Onderzoek bij de volgende functies voor welke x ze wel gedefinieerd, maar niet differentieerbaar zijn.

f(x) = |x-1|.

Ik weet dat geldt voor f(x) = |x-1| { -(x-1) voor x<1 en x-1 voor x>1 (iemand die weet hoe ik deze stuksgewijs krijg, lukte me niet met LaTex).

Verder weet ik dat het minimum, en dus de knik, zit op het punt (1,0) waar de functie niet differentieerbaar is.

Is het nu voldoende (en klopt het ook) als ik zeg dat:


f'(x) = |x-1|' { -1 voor x<1 en 1 voor x>1

Waardoor we krijgen dat




Waardoor dus f(x)=|x-1| niet differentieerbaar is in het punt x=1.

Ik weet niet in hoeveel detail het bewezen dient te worden, maar je hebt op dit punt enkel bewezen dat de functie niet continu differentieerbaar is. Okee, als je wat stellingen gebruikt heb je ook bewezen dat f niet differentieerbaar is, maar het is wel belangrijk om te beseffen dat de afgeleide van een differentieerbare functie niet continu hoeft te zijn. Ik zou in elk geval direct de definitie van afgeleide toepassen hier.

PS:

quote:

Op donderdag 23 januari 2014 23:31 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik vind die voortbrengende functies helemaal niet handig om een eenvoudige lineaire recursie op te lossen. Met de methode van de zogeheten karakteristieke vergelijking gaat het veel eenvoudiger.

Voor lineare recursievergelijkingen is inderdaad wat eenvoudiger (er is niet voor niets een heel boek over geschreven), maar volgens mij zijn voortbrengende functies ook nuttig voor ingewikkeldere functies, en hebben ze meer functies dan alleen het oplossen van de recursievergelijking.

quote:

Op vrijdag 24 januari 2014 07:13 schreef Amoeba het volgende:
Die karakteristieke vergelijking staat me nog iets van bij. Misschien komt dat dus wel bij wiskunde D aan de orde.

Als dat alles is wat er van mijn uitleg destijds is blijven hangen, dan is dat niet veel ...

Wil je weten hoe je de gesloten uitdrukking voor de termen van de rij van Fibonacci afleidt met behulp van de voortbrengende functie F(x) = x/(1 − x − x²) dan moet je Stillwell, Mathematics and Its History, ³2010, p. 192-194 maar eens raadplegen. Die schrijft het helemaal uit (wat ik hier niet ga doen) en dan zie je dat het niet handig is. Neemt natuurlijk niet weg dat je met voortbrengende functies nog heel wat andere interessante dingen kunt doen.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 24-01-2014 07:51:28 ]

quote:

Op vrijdag 24 januari 2014 00:11 schreef thabit het volgende:

[..]

Ik weet niet in hoeveel detail het bewezen dient te worden, maar je hebt op dit punt enkel bewezen dat de functie niet continu differentieerbaar is. Okee, als je wat stellingen gebruikt heb je ook bewezen dat f niet differentieerbaar is, maar het is wel belangrijk om te beseffen dat de afgeleide van een differentieerbare functie niet continu hoeft te zijn. Ik zou in elk geval direct de definitie van afgeleide toepassen hier.

Bedankt voor je antwoord.

Met de definitie van de afgeleide bedoel je f'(a) = lim_x→a (f(x) - f(a)) / (x - a) neem ik aan?

quote:

Op vrijdag 24 januari 2014 19:46 schreef Miraculously het volgende:

[..]

Bedankt voor je antwoord.

Met de definitie van de afgeleide bedoel je f'(a) = lim_x→a (f(x) - f(a)) / (x - a) neem ik aan?

Gebruik de ε,δ definitie van de limiet om te laten zien dat lim_h→0 (f(1+h) − f(1))/h niet bestaat, dan heb je bewezen dat f niet differentieerbaar is in het punt x = 1. Verder wijst Thabit er terecht op dat je niet zomaar (impliciet of expliciet) aan mag nemen dat de afgeleide continu is in die punten waar je functie wel differentieerbaar is.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 25-01-2014 02:35:13 ]

quote:

Op vrijdag 24 januari 2014 07:43 schreef Riparius het volgende:

[..]

Als dat alles is wat er van mijn uitleg destijds is blijven hangen, dan is dat niet veel ...

Wil je weten hoe je de gesloten uitdrukking voor de termen van de rij van Fibonacci afleidt met behulp van de voortbrengende functie F(x) = x/(1 − x − x²) dan moet je Stillwell, Mathematics and Its History, ³2010, p. 192-194 maar eens raadplegen. Die schrijft het helemaal uit (wat ik hier niet ga doen) en dan zie je dat het niet handig is. Neemt natuurlijk niet weg dat je met voortbrengende functies nog heel wat andere interessante dingen kunt doen.

Dat voorbeeld (een gesloten uitdrukking voor de termen van de rij van Fibonacci) staat overigens ook in de link die ik gaf. Ze gaan er daar wel redelijk snel doorheen (in ongeveer een bladzijde). Waarmee ik overigens niet bedoel dat het een handige manier is.

Ik moet bekennen dat ik zelf ook weer even moest nadenken hoe die methode van de karakteristieke vergelijking ook al weer werkte. Maar eigenlijk is het heel simpel: je neemt aan dat xⁿ een oplossing is, daaruit vindt je een kwadratische vergelijking met (hopelijk) twee oplossingen. Door een lineaire combinatie van deze twee oplossingen te maken kan je een nieuwe oplossing maken, die voldoet aan een randvoorwaarde. Als je alleen de eerste stap onthoudt (het aannemen dat er een oplossing van de vorm xⁿ is), volgt de rest vrij natuurlijk.

quote:

Op vrijdag 24 januari 2014 20:31 schreef randomo het volgende:

[..]

Dat voorbeeld (een gesloten uitdrukking voor de termen van de rij van Fibonacci) staat overigens ook in de link die ik gaf. Ze gaan er daar wel redelijk snel doorheen (in ongeveer een bladzijde). Waarmee ik overigens niet bedoel dat het een handige manier is.

Ik moet bekennen dat ik zelf ook weer even moest nadenken hoe die methode van de karakteristieke vergelijking ook al weer werkte. Maar eigenlijk is het heel simpel: je neemt aan dat xⁿ een oplossing is, daaruit vindt je een kwadratische vergelijking met (hopelijk) twee oplossingen. Door een lineaire combinatie van deze twee oplossingen te maken kan je een nieuwe oplossing maken, die voldoet aan een randvoorwaarde. Als je alleen de eerste stap onthoudt (het aannemen dat er een oplossing van de vorm xⁿ is), volgt de rest vrij natuurlijk.

De vierkantsvergelijking die je krijgt bij een homogene tweede orde lineaire recursie met constante coëfficiënten heeft altijd twee oplossingen. Het wordt alleen iets lastiger als de twee oplossingen samenvallen. Wat je dan moet doen is niet helemaal triviaal, en dat heb ik destijds met opzet ook niet uitgelegd. Ik had gehoopt dat Amoeba daar wel een kritische vraag over zou stellen, maar dat gebeurde niet ...

quote:

Op vrijdag 24 januari 2014 20:42 schreef Riparius het volgende:

[..]

De vierkantsvergelijking die je krijgt bij een homogene tweede orde lineaire recursie met constante coëfficiënten heeft altijd twee oplossingen. Het wordt alleen iets lastiger als de twee oplossingen samenvallen. Wat je dan moet doen is niet helemaal triviaal, en dat heb ik destijds met opzet ook niet uitgelegd. Ik had gehoopt dat Amoeba daar wel een kritische vraag over zou stellen, maar dat gebeurde niet ...

Met voortbrengende functies kan je laten zien dat als de karakteristieke vergelijking kwadratisch is en een dubbel nulpunt heeft (dus van de vorm (x - c)² = 0 is), een gesloten uitdrukking voor de recursie a^k = kc^k-1a₁ - (k - 1)c^ka₀ is. Maar ik verwacht stiekem wel dat Riparius nog met een andere manier op de proppen komt

Ik bedenk me nu pas dat je natuurlijk ook een kwadratische vergelijking kan hebben met alleen complexe nulpunten, dat is denk ik ook een moeilijkheid als je de methode van de karakteristieke vergelijking gebruikt (of niet? Ik denk er morgen misschien nog maar eens over na, het is inmiddels al half twee hier...)

Ik meen me ook een dergelijke uitdrukking te herinneren voor het oplossen van lineaire homogene differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten. Als je een differentiaalvergelijking hebt van de vorm:
x'' = ax' + bx
kan je oplossingen van de vorm e^λx veronderstellen, zodat je een karakteristiek polynoom krijgt:
λ²e^λx = ac e^λx + be^λx
delen door e^λx en alles naar de linkerkant brengen geeft:
λ² - aλ - b = 0

Het idee is nu hetzelfde: vindt de twee oplossingen, door ze te combineren kan je een oplossing met de gewenste randvoorwaarde vinden. Ik meen me te herinneren (verbeter me als ik ernaast zit) dat als je een oplossing λ vindt met multipliciteit 2, je ipv van e^λx, je xe^λx en e^λx als oplossingen vindt.

Ik blijf het allemaal een beetje mysterieus vinden... Kan iemand me iets meer inzicht bijbrengen?

[ Bericht 1% gewijzigd door randomo op 25-01-2014 10:31:31 ]

quote:

Op woensdag 22 januari 2014 22:33 schreef Riparius het volgende:

[..]

Een klassiek meetkundig bewijs verloopt volgens een vast stramien: Gegeven: ..., Te bewijzen: ..., Bewijs: ..., en eindigt natuurlijk met QED (Quod Erat Demonstrandum 'hetgeen te bewijzen was').

Je moet dus eerst bedenken wat je precies als gegeven wil veronderstellen (ja, een ruit natuurlijk) en wat je dan precies wil aantonen. Begin met te bedenken wat de definitie is van een ruit. Dat is niet evident, want er worden verschillende definities gehanteerd voor een ruit. In oudere meetkundeboeken (en bijvoorbeeld ook nog in de Franse Wikipedia) definieert men een ruit als een parallellogram waarvan twee aanliggende zijden gelijk zijn, maar een ruit wordt tegenwoordig meestal gedefinieerd als een vierhoek met vier gelijke zijden (zo bijvoorbeeld in de Nederlandse en de Engelse Wikipedia). De gekozen definitie heeft uiteraard consequenties, want als je de oude definitie hanteert, dan is de eigenschap dat een ruit vier gelijke zijden heeft een stelling, evenals het omgekeerde, namelijk dat een vierhoek met vier gelijke zijden een ruit is. En, vice versa, met de nieuwe definitie van een ruit is de bewering dat een ruit een parallellogram is weer een stelling.

Maar goed, teken een plaatje van een ruit en duid daarbij de hoekpunten aan met de letters A t/m D:

[ afbeelding ]

Teken ook de beide diagonalen AC en BD van de ruit.

Het is niet voldoende om alleen een plaatje te tekenen, je moet hier ook in woorden bij aangeven wat je precies als zijnde gegeven veronderstelt:

Gegeven: een ruit ABCD met diagonalen AC en BD.

Vervolgens moet je precies formuleren wát je nu eigenlijk wil bewijzen, waarbij je uiteraard kunt (en moet) refereren aan hetgeen je als gegeven hebt verondersteld. In dit geval zou je dus kunnen zeggen:

Te bewijzen: ∠BAC = ∠CAD.

Nu komt het echte werk. Bedenk dat je bij een bewijs een beroep mag doen op eerder bewezen stellingen.

Bewijs: Op grond van de definitie van een ruit is AB = BC, zodat driehoek ABC gelijkbenig is. In een gelijkbenige driehoek zijn de basishoeken gelijk, zodat

∠BAC = ∠BCA.

Aangezien een ruit een parallellogram is en in een parallellogram overstaande zijden evenwijdig zijn, is zijde BC evenwijdig aan zijde AD. Dus zijn ∠BCA en ∠CAD verwisselende binnenhoeken (Z-hoeken) en deze zijn ook gelijk, dus

∠BCA = ∠CAD.

Ergo

∠BAC = ∠CAD,

QED

Het bewijs voor elk van de drie andere hoekpunten verloopt uiteraard geheel analoog.

Zeer veel dank!!
Het is me een stuk duidelijker geworden door deze uitleg.

Wordt met
meestal
of
bedoeld?

quote:

Op zaterdag 25 januari 2014 10:17 schreef randomo het volgende:

Ik blijf het allemaal een beetje mysterieus vinden... Kan iemand me iets meer inzicht bijbrengen?

Laten we eens uitgaan van een rij {u_n}, n∈ N₀ met louter reële termen die aan een homogene lineaire tweede orde recursie met constante en reële coëfficiënten voldoet, en wel

(1) a·u_n + b·u_n−1 + c·u_n−2 = 0

Hierbij moeten we a ≠ 0 en tevens c ≠ 0 veronderstellen, aangezien we anders geen tweede orde recursie hebben.

Zoals bekend kunnen we in beginsel gesloten uitdrukkingen vinden voor de algemene term u_n van rijen die aan het recursievoorschrift (1) voldoen door op zoek te gaan naar meetkundige rijen die aan dit voorschrift voldoen. Hebben we een meetkundige rij {u_n} met als eerste term u₀ en reden λ, dan is

(2) u_n = u₀·λⁿ

Substitutie van (2) in geeft voor n > 1

(3) u₀·λⁿ⁻²(aλ² + bλ + c) = 0

Nu is het duidelijk dat u_n = 0, i.e. een rij die uit louter nullen bestaat, een triviale oplossing is van het recursievoorschrift (1) en dat we daarom op grond van (2) zowel u₀ ≠ 0 als λ ≠ 0 moeten veronderstellen om andere oplossingen naast deze triviale oplossing te vinden. Maar dan kan uitsluitend aan (3) worden voldaan als de uitdrukking tussen haakjes gelijk is aan nul, dus

(4) aλ² + bλ + c = 0

Dit is de zogeheten karakteristieke vergelijking van het recursievoorschrift (1). We noemen het polynoom

(5) P(λ) = aλ² + bλ + c

ook het karakteristieke polynoom van het recursievoorschrift (1). Nu is (4) een vierkantsvergelijking in λ, en zoals bekend wordt de aard van de nulpunten van P(λ) en daarmee van de oplossingen van (4) bepaald door de discriminant

(6) D = b² − 4ac

van dit polynoom. We onderscheiden nu drie mogelijkheden.

1. D > 0. Nu heeft P(λ) twee verschillende reële nulpunten λ₁ en λ₂ en zijn de meetkundige rijen gedefinieerd door u_n = u₀·λ₁ⁿ en u_n = u₀·λ₂ⁿ twee (lineair onafhankelijke) oplossingen van (1). En omdat elke lineaire combinatie {c_n} met c_n = α·a_n + β·b_n van twee rijen {a_n} en {b_n} die voldoen aan (1) ook weer voldoet aan (1) krijgen we als algemene oplossing van het recursievoorschrift

(7) u_n = α·λ₁ⁿ+ β·λ₂ⁿ

waarin α en β willekeurige (reële) constanten zijn. Het is eenvoudig na te gaan dat (7) ook inderdaad de volledige oplossing geeft van het recursievoorschrift (1). Een rij die voldoet aan een tweede orde recursie ligt volledig vast als twee opeenvolgende termen van de rij zijn gegeven. Welnu, substitutie in (7) van twee opeenvolgende termen van een specifieke rij die aan (1) voldoet levert een stelsel van twee lineaire vergelijkingen in α en β en dit stelsel bezit een unieke oplossing aangezien uit c ≠ 0 in (1) volgt dat λ₁ ≠ 0 en tevens λ₂ ≠ 0, terwijl uit D ≠ 0 volgt dat λ₁ ≠ λ₂, zodat de determinant van het stelsel ongelijk is aan nul.

2. D < 0. Nu heeft P(λ) twee toegevoegd complexe nulpunten λ₁ en λ₂ maar de situatie verschilt niet wezenlijk van die voor D > 0. Ook nu geldt dat (7) de algemene oplossing geeft van het recursievoorschrift (1), en ook nu levert substitutie in (7) van twee opeenvolgende termen van een specifieke rij een stelsel van twee lineaire vergelijkingen in α en β met een unieke oplossing. Echter, niet alleen λ₁ en λ₂ maar ook α en β zijn nu in het algemeen (toegevoegd) complex, zodat het niet mogelijk is een gesloten algebraïsche uitdrukking voor de algemene term van de recursieve rij te geven zonder gebruik van complexe getallen, en dat terwijl alle termen van de rij zelf wel degelijk reëel zijn. Maar, zoals ik wel eens heb laten zien, is het in dit geval altijd mogelijk een goniometrische uitdrukking te geven voor algemene term van de rij zonder gebruik van complexe getallen.

3. D = 0. Nu heeft P(λ) één reëel nulpunt met multipliciteit 2, dat ik aan zal geven met λ₀. Aangezien λ₀ voldoet aan (4) is het duidelijk dat

(8) u_n = α·λ₀ⁿ

met een willekeurige α in ieder geval een oplossing is van het recursievoorschrift (1). Maar het is evenzeer duidelijk dat (8) nu niet de volledige oplossing kan zijn van (1) omdat we bij het recursievoorschrift (1) de waarden van u₀ en u₁ steeds vrij kunnen kiezen, terwijl (8) alleen een oplossing biedt als u₁ = λ₀u₀.

Een elegante methode om toch de volledige oplossing van (1) te verkrijgen als D = 0 berust op het gebruik van differentiaalrekening. Daarvoor hebben we de volgende stelling nodig:

Als een niet-constant polynoom P(x) een nulpunt x = x₀ heeft met een multipliciteit m > 1, dan is P⁽ⁱ⁾(x₀) = 0 voor i = 1 .. (m − 1) terwijl P^(m)(x₀) ≠ 0.

Het bewijs van deze stelling gaat het eenvoudigst als we eerst even twee lemmata bewijzen.

Lemma 1. Als een niet-constant polynoom P(x) een enkelvoudig nulpunt x = x₀ heeft, dan is P'(x₀) ≠ 0.

Bewijs: volgens de factorstelling volgt uit P(x₀) = 0 dat P(x) een factor (x − x₀) bevat zodat P(x) = (x −x₀)·Q(x). Aangezien x = x₀ een enkelvoudig nulpunt is van P(x) kan het polynoom Q(x) geen verdere factoren (x − x₀) bevatten zodat, wederom volgens de factorstelling, Q(x₀) ≠ 0. De afgeleide van P(x) = (x −x₀)·Q(x) is P'(x) = Q(x) + (x − x₀)·Q'(x) zodat P'(x₀) = Q(x₀) + 0·Q'(x₀) = Q(x₀) ≠ 0, QED.

Lemma 2. Als een niet-constant polynoom P(x) een nulpunt x = x₀ heeft met een multipliciteit m > 1 dan heeft de afgeleide P'(x) een nulpunt x = x₀ met een multipliciteit (m − 1).

Bewijs: aangezien P(x) een nulpunt x = x₀ heeft met multipliciteit m > 1 is P(x) = (x − x₀)^m·Q(x) waarbij het polynoom Q(x) geen verdere factoren (x − x₀) bevat zodat volgens de factorstelling Q(x₀) ≠ 0. De afgeleide van P(x) = (x − x₀)^m·Q(x) is P'(x) = m·(x − x₀)^m−1·Q(x) + (x − x₀)^m·Q'(x) waarvoor we kunnen schrijven P'(x) = (x − x₀)^m−1·(m·Q(x) + (x − x₀)·Q'(x)). Voor x = x₀ is de factor (m·Q(x) + (x − x₀)·Q'(x)) gelijk aan m·Q(x₀) ≠ 0 zodat (m·Q(x) + (x − x₀)·Q'(x)) volgens de factorstelling geen factor (x − x₀) bevat en de multipliciteit van het nulpunt x = x₀ van P'(x) dus gelijk is aan (m − 1), QED.

Het bewijs van bovenstaande stelling is nu uiteraard eenvoudig: heeft een niet-constant polynoom P(x) een nulpunt x = x₀ met multipliciteit m > 1, dan geeft (herhaalde) toepassing van lemma 2 dat P⁽ⁱ⁾(x) voor i = 1 .. (m − 1) een nulpunt x = x₀ heeft met een multipliciteit (m − i), zodat P^(m−1)(x) een enkelvoudig nulpunt x = x₀ heeft. En volgens lemma 1 is dan P^(m)(x₀) ≠ 0, QED.

Goed, nu de volledige oplossing van (1) als D = 0. Vermenigvuldigen we beide leden van (5) met λⁿ⁻², dan hebben we voor n > 1

(9) a·λⁿ + b·λⁿ⁻¹ + c·λⁿ⁻² = λⁿ⁻²·P(λ)

Differentiëren naar λ geeft nu

(10) a·n·λⁿ⁻¹ + b·(n−1)·λⁿ⁻² + c·(n−2)·λⁿ⁻³ = (n−2)·λⁿ⁻³·P(λ) + λⁿ⁻²·P'(λ)

En beide leden vermenigvuldigen met λ geeft dan

(11) a·n·λⁿ + b·(n−1)·λⁿ⁻¹ + c·(n−2)·λⁿ⁻² = (n−2)·λⁿ⁻²·P(λ) + λⁿ⁻¹·P'(λ)

Nu is λ = λ₀ een nulpunt van P(λ) met multipliciteit 2, zodat niet alleen P(λ₀) = 0 maar tevens P'(λ₀) = 0. Substutie van λ = λ₀ in (11) geeft dus

(12) a·n·λ₀ⁿ + b·(n−1)·λ₀ⁿ⁻¹ + c·(n−2)·λ₀ⁿ⁻² = 0

zodat we kunnen concluderen dat u_n = n·λ₀ⁿ aan het recursievoorschrift (1) voldoet. Eerder vonden we al dat u_n = λ₀ⁿ voldoet, zodat ook elke lineaire combinatie van deze oplossingen aan het recursievoorschrift voldoet en we dus krijgen

(13) u_n = (α + β·n)·λ₀ⁿ

Het is weer gemakkelijk na te gaan dat deze oplossing inderdaad volledig is. Substitutie in (13) van twee opeenvolgende termen van een specifieke rij die aan (1) voldoet levert een stelsel van twee lineaire vergelijkingen in α en β en dit stelsel bezit een unieke oplossing aangezien uit c ≠ 0 in (1) volgt dat λ₀ ≠ 0 zodat de determinant van het stelsel ongelijk is aan nul.

Het aardige van deze methode is dat deze eenvoudig is te generaliseren naar homogene lineaire recursies met constante coëfficiënten van hogere ordes. Heeft het karakteristieke polynoom P(λ) van zo'n hogere orde recursie van orde N namelijk een meervoudig nulpunt λ = λ₀ met multipliciteit m, dan kun je door P(λ) te vermenigvuldigen met λ^n−N en daarna telkens om beurten te differentiëren en weer te vermenigvuldigen met λ gemakkelijk laten zien dat naast u_n = λ₀ⁿ ook u_n = nⁱ·λ₀ⁿ voor i = 1 .. (m − 1) een oplossing geeft van de recursie. Zo geeft elk meervoudig nulpunt met een multipliciteit m dus precies m lineair onafhankelijke oplossingen.

Wil je niet gebruik maken van differentiaalrekening, dan is er in ieder geval voor tweede orde recursies waarbij de discriminant van de karakteristieke vergelijking gelijk is aan nul ook een goed bruikbare elementaire methode die bekend staat als de variatie van de constante. Het idee hierbij is dat je uitgaat van (8) maar dat je veronderstelt dat α niet constant is maar een functie van n. Dat wil dus zeggen dat je een rij {α_n} zoekt zodanig dat

(14) u_n = α_n·λ₀ⁿ

een oplossing is van de recursie (1). Welnu, invullen van (14) in (1) geeft voor n > 1

(15) λ₀ⁿ⁻²(a·α_n·λ₀² + b·α_n−1·λ₀ + c·α_n−2) = 0

en aangezien λ₀ ≠ 0 geeft dit

(16) a·α_n·λ₀² + b·α_n−1·λ₀ + c·α_n−2 = 0

Nu weten we echter ook dat λ₀ = −b/2a (en dus b ≠ 0 aangezien λ₀ ≠ 0). Substitutie hiervan in (16) en gebruik maken van D = b² − 4ac = 0 (en dus 4ac = b²) levert dan na wat herleiding

(17) α_n − α_n−1 = α_n−1 − α_n−2

In woorden: het verschil tussen elk tweetal opeenvolgende termen van de rij {α_n} is constant. De rij {α_n} is dus een willekeurige rekenkundige rij, en de algemene gedaante van α_n is dus

(18) α_n = α + n·β

waarbij α en β willekeurige constanten zijn. Substitutie van (18) in (14) geeft nu

(19) u_n = (α + n·β)·λ₀ⁿ

en dit stemt geheel overeen met de eerder gevonden algemene oplossing (13).

That's all.

http://tinypic.com/r/11snpc2/5

Iemand die mij vraag 12 kan uitleggen.

quote:

Op zondag 26 januari 2014 12:17 schreef Beverwijker het volgende:
http://tinypic.com/r/11snpc2/5

Iemand die mij vraag 12 kan uitleggen.

Wat snap je er niet aan? Wat snap je al wel?

Het gaat hier om een driehoek met een rechte hoek. Gegeven is de lengte van één van de zijdes die aan deze rechte hoek grenst (10). De andere zijde die aan de rechte hoek grenst wordt lengte a gesteld. Het gevraagde is de lengte van de langste zijde, dat is (op grond van de driehoeksongelijkheid) de schuine zijde van deze driehoek. Kun je hier iets mee? Hint: Pythagoras.

Als je dat doorhebt weet je waar de formule vandaan komt. De opdracht is simpeler: je moet drie keer een waarde voor a invullen in de formule.

Stel je hebt twee open sets, zeg maar . Is het Cartesian Product dan ook open? En zoja, hoe kan ik het beste hiervan een bewijs leveren?

Edit: Zie hier het antwoord + bewijs: http://math.stackexchange.com/q/653106/96700

[ Bericht 17% gewijzigd door Novermars op 27-01-2014 16:06:44 ]

quote:

Op zondag 26 januari 2014 09:57 schreef Riparius het volgende:

[..]

Top! Zoals gewoonlijk weer een uitstekende uitleg

Die stelling was inderdaad uiteindelijk de missing link

quote:

Als een niet-constant polynoom P(x) een nulpunt x = x₀ heeft met een multipliciteit m > 1, dan is P⁽ⁱ⁾(x₀) = 0 voor i = 1 .. (m − 1) terwijl P^(m)(x₀) ≠ 0.

Veel dank en hulde!

quote:

Op zondag 26 januari 2014 22:03 schreef Novermars het volgende:
Stel je hebt twee open sets, zeg maar . Is het Cartesian Product dan ook open? En zoja, hoe kan ik het beste hiervan een bewijs leveren?

Edit: Zie hier het antwoord + bewijs: http://math.stackexchange.com/q/653106/96700

Dit is metawiskundig gezien wel een interessante vraag, want hoe definieer je de topologie op RxR? Enerzijds kun je de Euclidische metriek nemen en van daar uit werken. Anderzijds bestaat er ook een categorie-theoretische definitie van producten en kun je bewijzen dat producten bestaan in de categorie van topologische ruimten. De twee topologieën die je zo krijgt blijken hetzelfde te zijn, iets wat niet vanzelfsprekend is!

quote:

Op dinsdag 28 januari 2014 21:40 schreef Amoeba het volgende:
Ik krijg koppijn van dit vraagstuk



Nu moet ik dit oplossen mbv machtreeksen, vervolgens de convergentiestraal van de gevonden machtreeks bepalen en daarna een gesloten uitdrukking voor die machtreeks geven.

Tot nu toe was ik zo ver:

[ afbeelding ]

Waarbij ik zeker weet dat die onderste vergelijking niet klopt, immers gaat delen door k+3 na de eerste stap al fout..

Wat doe ik fout / wat mis ik?

Je mist een accentje.

Ik snap niet hoe je bij die laatste formule komt.

Er staat c_k = -c_k-3/k, dus er zal iets met faculteiten in de noemers moeten komen.

Nou, in elk van die factoren zit telkens een factor 3. Haal die er eerst maar eens uit.

quote:

Op dinsdag 28 januari 2014 22:02 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Maar niet in de eerste, die is namelijk 1.

1 is het lege product, dus die heeft geen factoren.

a₄ is bijvoorbeeld 12 * 9 * 6 * 3. Nu is 12=3*4, 9=3*3, 6=3*2, en 3=3*1.

Waarom (k+1)! ?

quote:

Op dinsdag 28 januari 2014 22:21 schreef Amoeba het volgende:
Eerste correctie bleek goed denk ik.

Jij bedoelt met a_k iets anders dan in de oorspronkelijke opgave, en dat moet je natuurlijk niet doen. De oplossing van je DV is uiteraard y(x) = e^−x³/3, dus het is gemakkelijk na te gaan wat de coëfficiënten van je machtreeks zouden moeten zijn.

http://imgur.com/CS9i9Y4
Hoe bewijs ik dat de functierij niet uniform convergeert bij b)? De puntsgewijze functie is 0 voor alle x in R, dus ik kan niet het argument gebruiken dat de limiet functie niet continu is... Ik zat zelf verder nog te denken aan de supremum norm, maar dan lukt de maximale waarde bepalen niet...

quote:

Op woensdag 29 januari 2014 15:43 schreef spacer730 het volgende:
http://imgur.com/CS9i9Y4
Hoe bewijs ik dat de functierij niet uniform convergeert bij b)? De puntsgewijze functie is 0 voor alle x in R, dus ik kan niet het argument gebruiken dat de limiet functie niet continu is... Ik zat zelf verder nog te denken aan de supremum norm, maar dan lukt de maximale waarde bepalen niet...

Het gaat mis rond het punt 0. Kijk eens wat er gebeurt als je bijvoorbeeld x=1/n neemt.

quote:

Op woensdag 29 januari 2014 18:28 schreef thenxero het volgende:

[..]

Het gaat mis rond het punt 0. Kijk eens wat er gebeurt als je bijvoorbeeld x=1/n neemt.

Als x=1/n, dan gaat de functierij voor n->oneindig dus naar sin(1)/e, dus niet continu dus geen uniforme convergentie? Dan zou de puntsgewijze limietfunctie dus ook niet 0 zijn voor alle x

quote:

Op woensdag 29 januari 2014 19:05 schreef spacer730 het volgende:

[..]

Als x=1/n, dan gaat de functierij voor n->oneindig dus naar sin(1)/e, dus niet continu dus geen uniforme convergentie? Dan zou de puntsgewijze limietfunctie dus ook niet 0 zijn voor alle x

Je moet gewoon netjes de definities toepassen van puntsgewijze convergentie en uniforme convergentie. Puntsgewijze convergentie van je functierij {f_n} naar een functie f* op R betekent dat je voor elke x ∈ R hebt

lim_n→∞ f_n(x) = f*(x)

Bij a) word je gevraagd na te gaan dat dit inderdaad het geval is en f* te bepalen.

Uniforme convergentie van je functierij {f_n} naar de bij a) bepaalde functie f* op R zou inhouden dat er voor elke ε > 0 een N ∈ N bestaat zodanig dat voor elke n > N en elke x ∈ R geldt

| f_n(x) − f*(x) | < ε

Bij b) word je gevraagd aan te tonen dat dit niet het geval is voor jouw functierij {f_n} en de bij a) bepaalde functie f*.

Voor de liefhebbers, op Coursera is een course 'Functional Analysis' begonnen. https://class.coursera.org/functionalanalysis-001

Het begint nog redelijk simpel, zeker de filmpjes. Maar de supplementaire PDF is toch wel redelijk pittig.

quote:

Op woensdag 29 januari 2014 20:04 schreef Novermars het volgende:
Voor de liefhebbers, op Coursera is een course 'Functional Analysis' begonnen. https://class.coursera.org/functionalanalysis-001

Het begint nog redelijk simpel, zeker de filmpjes. Maar de supplementaire PDF is toch wel redelijk pittig.

Fijne site, maar niet heus. Ik zie niet in waarom zoiets weggestopt moet worden achter een login, en mijn browser loopt ook nog eens vast op een script op de site wanneer ik een lijst probeer op te vragen van het cursusaanbod.

quote:

Op woensdag 29 januari 2014 20:54 schreef Riparius het volgende:

[..]

Fijne site, maar niet heus. Ik zie niet in waarom zoiets weggestopt moet worden achter een login, en mijn browser loopt ook nog eens vast op een script op de site wanneer ik een lijst probeer op te vragen van het cursusaanbod.

https://www.dropbox.com/s(...)alysis-week01-V2.pdf

Syllabus:
Week 1: Topology; continuity and convergence of a sequence in a topological space.
Week 2: Metric and normed spaces; completeness
Week 3: Banach spaces; linear continuous functions; weak topology
Week 4: Hilbert spaces; The Riesz representation theorem
Week 5: The Lax-Milgram Lemma
Week 6: Lp spaces; Fischer-Riesz
Week 7: Sobolev spaces
Week 8: Use of functional analysis for Partial Differential Equations

Haha, ik droomde vannacht dat Riparius weer een uitlegpost had gemaakt (of twee eigenlijk, want het paste niet in een post). Ik heb zo tentamen, zal daar wel door komen denk ik

quote:

Op woensdag 29 januari 2014 19:05 schreef spacer730 het volgende:

[..]

Als x=1/n, dan gaat de functierij voor n->oneindig dus naar sin(1)/e, dus niet continu dus geen uniforme convergentie? Dan zou de puntsgewijze limietfunctie dus ook niet 0 zijn voor alle x

Zoiets, maar dit is nog wat te vaag (en ook twijfelachtig, de puntsgewijze limiet is overal 0 dus je hebt wel continuïteit). Mijn punt was eigenlijk: voordat je een bewijs gaat opstellen wil je eerst kijken naar wat er (in dit geval) misgaat. Als je eenmaal geïdentificeerd hebt dat het rond x=0 misgaat (wat je dus kan inzien door x=1/n in te vullen), kan je een rigoureus bewijs geven.

Neem epsilon = sin(1)/e. Laat N in N willekeurig zijn. Neem n=N en x=1/n, dan |f_n(x)-0|>= epsilon. Klaar.

quote:

Op woensdag 29 januari 2014 19:51 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je moet gewoon netjes de definities toepassen van puntsgewijze convergentie en uniforme convergentie. Puntsgewijze convergentie van je functierij {f_n} naar een functie f* op R betekent dat je voor elke x ∈ R hebt

lim_n→∞ f_n(x) = f*(x)

Bij a) word je gevraagd na te gaan dat dit inderdaad het geval is en f* te bepalen.

Uniforme convergentie van je functierij {f_n} naar de bij a) bepaalde functie f* op R zou inhouden dat er voor elke ε > 0 een N ∈ N bestaat zodanig dat voor elke n > N en elke x ∈ R geldt

| f_n(x) − f*(x) | < ε

Bij b) word je gevraagd aan te tonen dat dit niet het geval is voor jouw functierij {f_n} en de bij a) bepaalde functie f*.

quote:

Op donderdag 30 januari 2014 17:45 schreef thenxero het volgende:

[..]

Zoiets, maar dit is nog wat te vaag (en ook twijfelachtig, de puntsgewijze limiet is overal 0 dus je hebt wel continuïteit). Mijn punt was eigenlijk: voordat je een bewijs gaat opstellen wil je eerst kijken naar wat er (in dit geval) misgaat. Als je eenmaal geïdentificeerd hebt dat het rond x=0 misgaat (wat je dus kan inzien door x=1/n in te vullen), kan je een rigoureus bewijs geven.

Neem epsilon = sin(1)/e. Laat N in N willekeurig zijn. Neem n=N en x=1/n, dan |f_n(x)-0|>= epsilon. Klaar.

Ah natuurlijk je moet gewoon de logische ontkenning van de definitie bewijzen, bedankt beiden!

Ik heb 2 matrices van 2x2, E1 and E2. Nu heb ik de regio's E1*x >= 0 en E2*x >= 0 is het mogelijk, zo ja hoe, om de intersectie te bepalen hiervan? Dus een nieuwe matrix F die de intersectie beschrijft F*x >= 0?

Wat dacht je van E1 en E2 boven op elkaar zetten?

In een deel van de uitwerking van een som staat dit:
10^(2*logD)
(10^logD)2
Ik snap niet hoe het kan dat het eerst keer 2 is en vervolgens tot de macht 2. Is er misschien een tussenstap gedaan?

quote:

Op maandag 3 februari 2014 14:18 schreef GoodnightNeverland het volgende:
In een deel van de uitwerking van een som staat dit:
10^(2*logD)
(10^logD)2
Ik snap niet hoe het kan dat het eerst keer 2 is en vervolgens tot de macht 2. Is er misschien een tussenstap gedaan?

Weet je zeker dat de tweede regel niet 10^{log(D^2)} moet zijn? xlog(y) is immers log(y^x)

Ik ga in mei een staatsexamen wiskunde B VWO doen waarin ik mij voorbereid d.m.v. de Getal en Ruimte reeks. Dit is mijn eerste post hier, en ik heb zo'n 10 minuten geprobeerd mijn functie op te stellen met behulp van de Equation Editor maar krijg het helaas niet voor elkaar. Nu loop ik vast op het volgende vraagstuk:

Gegeven zijn de functies
[formule]Fp(x) = px^2 + (p+2)x + 3[/formule]
Bereken exact de waarden van p waarvoor
a)Fp een negatief minimum heeft
b)Fp een positief maximum heeft

Ik hoop dat de vraagstelling duidelijk is. Zover kom ik:

a) Negatief minimum voor p>0 (want dan dalparabool) en D>0
Tot hier volg ik het helemaal. Maar nu gebeurt er het volgende in de uitwerkingen: Op deze discriminant wordt de ABC-formule weer toegepast om de nulpunten van p te vinden. Oke, kan ik me nog in vinden. Echter, deze wordt weer als volgt genoteerd.
Vraag 1: Zou het toegestaan zijn om het zo te noteren? Ik zou namelijk wel inzien dat dit verwarrend is omdat we twee keer een discriminant benaderen.

Invullen van bovenstaande toegepaste ABC formule geeft:
Nu heb ik de twee snijpunten van de x-as.

Maarfijn, nu loop ik vast. Ik zou zeggen dat het antwoord onderstaand zou zijn:
Maar het antwoordenboek geeft:
Deze laatste begrijp ik alleen écht niet.

Ik hoop dat het enigszins duidelijk en overzichtelijk was, en dat iemand mij zou kunnen helpen. Tips over hoe de volgende keer beter een vraag te stellen natuurlijk ook altijd welkom!

quote:

Op zaterdag 8 februari 2014 13:34 schreef Maarten9191 het volgende:
Ik ga in mei een staatsexamen wiskunde B VWO doen waarin ik mij voorbereid d.m.v. de Getal en Ruimte reeks. Dit is mijn eerste post hier, en ik heb zo'n 10 minuten geprobeerd mijn functie op te stellen met behulp van de Equation Editor maar krijg het helaas niet voor elkaar. Nu loop ik vast op het volgende vraagstuk:

Gegeven zijn de functies
[formule]Fp(x) = px^2 + (p+2)x + 3[/formule]
Bereken exact de waarden van p waarvoor
a)Fp een negatief minimum heeft
b)Fp een positief maximum heeft

Ik hoop dat de vraagstelling duidelijk is. Zover kom ik:

a) Negatief minimum voor p>0 (want dan dalparabool) en D>0
[ code verwijderd ]

Tot hier volg ik het helemaal. Maar nu gebeurt er het volgende in de uitwerkingen: Op deze discriminant wordt de ABC-formule weer toegepast om de nulpunten van p te vinden. Oke, kan ik me nog in vinden. Echter, deze wordt weer als volgt genoteerd.
[ code verwijderd ]

Vraag 1: Zou het toegestaan zijn om het zo te noteren? Ik zou namelijk wel inzien dat dit verwarrend is omdat we twee keer een discriminant benaderen.

Wat je hier doet klopt niet, en de rest van je uitwerking dus ook niet. De discriminant is afhankelijk van p, en daarmee een functie van p. Maar hier doe jij opeens alsof de discriminant een constante waarde heeft, maar dit is de discriminant van de vierkantsvergelijking in p, en dat is wat anders. Je kunt een index p gebruiken om aan te geven dat de discriminant van je oorspronkelijke kwadratische veelterm afhangt van p, dus

D_p = p² − 8p + 4

Je bepaalt nu eerst de waarden van p waarvoor geldt D_p = 0, zodat je vervolgens een tekenschema kunt maken van D_p als functie van p. Je vindt dan dat D_p > 0 voor p < 4 − 2√3 ∨ p > 4 + 2√3.

Voor de eerste opgave zijn de voorwaarden p > 0 ∧ D_p > 0 en dat is het geval voor 0 < p < 4 − 2√3 ∨ p > 4 + 2√3.

Verder: gebruik geen code tags als je daar toch niets zinnigs mee doet, dit maakt het quoten van specifieke passages namelijk onnodig lastig. Gebruik Unicode of HTML entities of TeX.

quote:

Op zaterdag 8 februari 2014 13:34 schreef Maarten9191 het volgende:
Gegeven zijn de functies
[formule]Fp(x) = px^2 + (p+2)x + 3[/formule]
Bereken exact de waarden van p waarvoor
a)Fp een negatief minimum heeft
b)Fp een positief maximum heeft

Ik hoop dat de vraagstelling duidelijk is. Zover kom ik:

a) Negatief minimum voor p>0 (want dan dalparabool) en D>0
[ code verwijderd ]

Tot hier volg ik het helemaal. Maar nu gebeurt er het volgende in de uitwerkingen: Op deze discriminant wordt de ABC-formule weer toegepast om de nulpunten van p te vinden. Oke, kan ik me nog in vinden. Echter, deze wordt weer als volgt genoteerd.
[ code verwijderd ]

Vraag 1: Zou het toegestaan zijn om het zo te noteren? Ik zou namelijk wel inzien dat dit verwarrend is omdat we twee keer een discriminant benaderen.

Die tweede discriminant heb je helemaal niet nodig. (als in apart definiëren)

Daarnaast als je alleen D opschrijft is het natuurlijk niet duidelijk.
Je mag echter ook Nederlands gebruiken.
En zoals Riparius zei een subscript gebruiken, of een totaal ander symbool. Als je maar duidelijk maakt wat het symbool is.

En dat antwoordenboek klopt volgens mij niet, tenzij 64/2 opeens gelijk is aan 4.

Riparius en t4rt4rus enorm bedankt voor jullie inbreng, het is me een stuk duidelijker geworden! Als ik nog ergens een keer mee zit weet ik waar ik moet zijn.

Dat 64/2 zal mijn fout zijn, geen idee hoe ik er bij kom, aangezien er in het boek gewoon 8 staat. Zal het om wat voor reden dan ook gekwadrateerd hebben. Afijn, erg bedankt

quote:

Op zaterdag 8 februari 2014 17:41 schreef Maarten9191 het volgende:
Riparius en t4rt4rus enorm bedankt voor jullie inbreng, het is me een stuk duidelijker geworden! Als ik nog ergens een keer mee zit weet ik waar ik moet zijn.

Dat 64/2 zal mijn fout zijn, geen idee hoe ik er bij kom, aangezien er in het boek gewoon 8 staat. Zal het om wat voor reden dan ook gekwadrateerd hebben. Afijn, erg bedankt

Ik denk eerder dat je nog met die 64 in je hoofd zat van je berekening van de discriminant van je vierkantsvergelijking in p. Maar, als ik je een tip mag geven: gebruik niet de abc-formule als dat niet echt nodig is. Je kunt die vierkantsvergelijking in p ook gemakkelijk oplossen via kwadraatafsplitsing, zodat je hier geen discriminant op had hoeven schrijven:

p² − 8p + 4 = 0
(p − 4)² − 16 + 4 = 0
(p − 4)² = 12
p − 4 = 2√3 ∨ p − 4 = −2√3
p = 4 + 2√3 ∨ p = 4 − 2√3

Ik zie wat je doet ja, oogt een stuk sneller, eenvoudiger, en minder overzichtelijk. Ik zal er op letten, bedankt!

quote:

Op zaterdag 8 februari 2014 18:13 schreef Maarten9191 het volgende:
Ik zie wat je doet ja, oogt een stuk sneller, eenvoudiger, en minder overzichtelijk. Ik zal er op letten, bedankt!

Ik hoop dat je bedoelt dat het juist overzichtelijker is ...

Hah oeps, natuurlijk!

Hallo allemaal.

Ik moet over een week een verslag voor natuurkunde inleven over twee vragen die zij heeft gesteld, Maar ik weet niet hoe ik dat allemaal moet berekenen.

Dit zijn de twee vragen die ik heb uitgevoerd:
1. Bepaling van de soortelijke warmte van een metaal.
Die 200 Ml water in de joulemeter (C = 60 J/ 'C). Roer 1 Min en meet daarna de begin- temperatuur. Breng een blokje metaal van 200 gram en 100 'C in de joulemeter. Roer totdat de temperatuur niet meer veranderd. Meet de eind- temperatuur.
Bereken de soortelijke warmte van het metaal. Zoek in de BINAS op welk metaal het is.

Water zonder metaal: 19 'C
Water met Metaal: 25 'C

2. Bepaling van de massa van een blokje ijzer.
Deo 200 Ml water in de joulemeter (C = 60 J/ 'C). Roer 1 Min en meet daarna de begin- temperatuur. Breng een blokje ijzen van 100 'C in de joulemeter. Roer totdat de temperatuur niet meer verandert. Meet de eind- temperatuur.
Bereken de massa van het blokje ijzer.

Water zonder ijzer: 19 'C
Water met ijzer: 29'C

Formules die we hebben gekregen:
(met * bedoel ik "keer")
Q = M * c * delta T
Q = C * delta T
Q op = Q af

Kan iemand met helpen met die berekening?

quote:

Op maandag 10 februari 2014 18:47 schreef jelle321 het volgende:

Kan iemand met helpen met die berekening?

Ja, maar ik doe het niet. Maak eerst maar eens een fatsoenlijke post en plaats die in het juiste topic, dus niet hier. Als je zoveel belachelijke typo's in je post laat staan, dan geef je impliciet al aan dat je er geen enkele moeite voor wenst te doen. Geef in je herziene post duidelijk aan wat je zelf al hebt geprobeerd en waarom je niet verder komt of waarom je denkt dat de verkregen uitkomsten niet kunnen kloppen.

quote:

Op maandag 10 februari 2014 19:59 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ja, maar ik doe het niet. Maak eerst maar eens een fatsoenlijke post en plaats die in het juiste topic, dus niet hier. Als je zoveel belachelijke typo's in je post laat staan, dan geef je impliciet al aan dat je er geen enkele moeite voor wenst te doen. Geef in je herziene post duidelijk aan wat je zelf al hebt geprobeerd en waarom je niet verder komt of waarom je denkt dat de verkregen uitkomsten niet kunnen kloppen.

Hij stond ook al in het beta overige topic, alleen had meneer geen geduld.

Hey kan iemand me met bijvoorbeeld vraag 2c helpen :
Het antwoord op 2c is: -3

http://i57.tinypic.com/8wh24l.png

quote:

Op dinsdag 18 februari 2014 10:51 schreef ronaldoo12 het volgende:
Hey kan iemand me met bijvoorbeeld vraag 2c helpen :
Het antwoord op 2c is: -3

http://i57.tinypic.com/8wh24l.png

Tip: kijk eens goed naar de grenzen van de integralen in de opdracht en dan naar die bij de vraag zelf.

quote:

Op dinsdag 18 februari 2014 11:00 schreef FedExpress het volgende:

[..]

Tip: kijk eens goed naar de grenzen van de integralen in de opdracht en dan naar die bij de vraag zelf.

nee sorry ik kom er niet uit.. misschien iets met 4-7 = -3 ?

quote:

Op dinsdag 18 februari 2014 11:23 schreef ronaldoo12 het volgende:

[..]

nee sorry ik kom er niet uit.. misschien iets met 4-7 = -3 ?

Weet je wel wat een integraal voorstelt? Wat je daarmee uitrekent?

quote:

Op dinsdag 18 februari 2014 11:24 schreef Viezze het volgende:

[..]

Weet je wel wat een integraal voorstelt? Wat je daarmee uitrekent?

De oppervlakte onder een grafiek, de grenzen geven de grenzen van de x-as waarbinnen de oppervlakte wordt uitgerekend.. de rest van de sommen vind ik verder prima te doen hoor.. alleen voor opgave 2 staat nergens echt duidelijk uitgelegd in t boek ..

quote:

Op dinsdag 18 februari 2014 11:29 schreef ronaldoo12 het volgende:

[..]

De oppervlakte onder een grafiek, de grenzen geven de grenzen van de x-as waarbinnen de oppervlakte wordt uitgerekend.. de rest van de sommen vind ik verder prima te doen hoor.. alleen voor opgave 2 staat nergens echt duidelijk uitgelegd in t boek ..

Als je dat begrijpt is de som heel simpel. Je wil de oppervlakte weten op het interval 4,6 en je weet de oppervlaktes op de intervallen 1,4 en 1,6. De rest is heel simpel (en heb je hierboven ook al goed gegokt )

quote:

Op dinsdag 18 februari 2014 11:31 schreef Viezze het volgende:

[..]

Als je dat begrijpt is de som heel simpel. Je wil de oppervlakte weten op het interval 4,6 en je weet de oppervlaktes op de intervallen 1,4 en 1,6. De rest is heel simpel (en heb je hierboven ook al goed gegokt )

Aha dankjewel ! dan snap ik ze nu allemaal behalve 2e.. ik gok weer iets op 5*4 + 9 = 29 .. alleen t zou mij logisch lijken om dit te doen: 5+4 = 9