[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op dinsdag 21 januari 2014 18:48 schreef Rezania het volgende:
[ afbeelding ]
[ afbeelding ]

Die eerste stappen snap ik wel, maar die laatste stap, hoe heeft hij bepaald dat pi het argument van z³ is?

Je weet dat:


En het argument () van een complex getal c voldoet aan:

Dan is het snel in te zien dat in jouw geval voor z³ geldt dat het argument pi is.

quote:

Op dinsdag 21 januari 2014 18:56 schreef Alrac4 het volgende:

[..]

Je weet dat:


En het argument () van een complex getal c voldoet aan:

Dan is het snel in te zien dat in jouw geval voor z³ geldt dat het argument pi is.

Oh ja, want het is e^arg natuurlijk. Stom dat ik dat niet zag. Bedankt.

quote:

Op dinsdag 21 januari 2014 18:48 schreef Rezania het volgende:
[ afbeelding ]
[ afbeelding ]

Die eerste stappen snap ik wel, maar die laatste stap, hoe heeft hij bepaald dat pi het argument van z³ is?

Bedenk wel dat je zo niet alle oplossingen vindt, de uitwerking is niet volledig. Het argument van −1 is niet π maar π + 2kπ, k ∈ Z omdat in het complexe vlak het beeldpunt van 1 overgaat in het beeldpunt van −1 bij een rotatie om de oorsprong over een halve slag plus of min een geheel aantal slagen. Je krijgt dus

z³ = (1/27)·e^(π+2kπ)i, k ∈ Z

en dat geeft

z = (1/3)·e^{(⅓π+⅔kπ)i}, k ∈ Z

Je kunt nu drie opeenvolgende gehele waarden voor k invullen (bijvoorbeeld −1, 0, 1), en dan krijg je drie verschillende oplossingen, die je zelf nog maar even in de vorm a+bi met a,b ∈ R moet herschrijven. De beeldpunten van de oplossingen vormen in het complexe vlak de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek en liggen op een cirkel met het middelpunt in de oorsprong en een straal 1/3.



[ Bericht 5% gewijzigd door Riparius op 21-01-2014 21:35:29 ]

quote:

Op dinsdag 21 januari 2014 19:24 schreef Riparius het volgende:

[..]

Bedenk wel dat je zo niet alle oplossingen vindt, de uitwerking is niet volledig. Het argument van −1 is niet π maar π + 2kπ, k ∈ Z omdat in het complexe vlak het beeldpunt van 1 overgaat in het beeldpunt van −1 bij een rotatie om de oorsprong over een halve slag plus of min een geheel aantal slagen. Je krijgt dus

z³ = (1/27)·e^(π+2kπ)i, k ∈ Z

en dat geeft

z = (1/3)·e^{(⅓π+⅔kπ)i}, k ∈ Z

Je kunt nu drie opeenvolgende gehele waarden voor k invullen (bijvoorbeeld −1, 0, 1), en dan krijg je drie verschillende oplossingen, die je zelf nog maar even in de vorm a+bi met a,b ∈ R moet herschrijven. De beeldpunten van de oplossingen vormen in het complexe vlak de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek en liggen op een cirkel met het middelpunt in de oorsprong en een straal 1/3.

Die screenshot van dat plaatje is dan ook maar een deel van de uitwerking. Volgende stap was inderdaad die 2*k*pi. Maar ik begrijp nu wel wat beter waar ik mee bezig ben. Zoals gewoonlijk erg bedankt.

Ik moet het limiet van bepalen waarbij x naar oneindig gaat.

SPOILER: Uitwerking volgens de docent

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Nu snap ik zijn uitwerking wel, maar waarom zou je zo moeilijk doen? Als je oneindig invult wordt die 1/x nul, sin(0) is nul, dus krijg je oneindig tot 0, waardoor het limiet 1 is? Lijkt me logisch toch?

Nee, want je mag niet er zomaar vanuitgaan dat de sin(1/x) "harder naar nul gaat dan x naar oneindig" als ik het me goed herinner, dwz, sin(1/x) wordt voor grotere x steeds kleiner en steeds dichter bij 0, maar x word ook steeds groter, waardoor je niet kunt zeggen dat het zomaar 1 wordt.

Om dezelfde reden kun je ook niet zomaar zeggen dat om maar heel simpel en niet supergerelateerd voorbeeld te geven:
Oneindig/oneindig is niet altijd 1
lim(x->infinity) x^2/x = oneindig/oneindig maar deze limiet convergeert toch niet naar een getal.

Hmm, blijkbaar snap ik de uitwerking toch niet helemaal. De docent heeft het op een gegeven moment over oneindig gedeeld door oneindig, waardoor je L'Hop mag toepassen. Maar ik snap niet hoe hij aan oneindig in de noemer komt. Er staat 1/sin(1/x) in de noemer, vul je dan oneindig in krijg je toch 1/0? En iets delen door nul kan gewoon niet, dus dat kan dan ook geen oneindig als antwoord opleveren.

In de noemer staat 1/sin(1/x), niet sin(1/x), en het tweede gaat dusdanig naar nul dat het eerste naar oneindig gaat.

zou dan ook



moeten zijn

quote:

Op woensdag 22 januari 2014 18:57 schreef Rezania het volgende:
Ik moet het de limiet van bepalen waarbij x naar oneindig gaat.

SPOILER: Uitwerking volgens de docent

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Nu snap ik zijn uitwerking wel, maar waarom zou je zo moeilijk doen? Als je oneindig invult wordt die 1/x nul, sin(0) is nul, dus krijg je oneindig tot 0, waardoor het limiet 1 is? Lijkt me logisch toch?

Als mensen zonder al te veel nadenken beweren dat iets 'logisch' is, dan is dat doorgaans een indicatie dat het beweerde nu juist niet logisch is, en dat is hier ook het geval. Je doet me denken aan (beginnende) studenten die nogal eens schijnen te veronderstellen dat de limiet van



voor n → ∞ gelijk is aan 1, immers (1 + 1/n) gaat naar 1, en elke macht van 1 is 1 toch? Maar je weet - hopelijk - wel dat dit niet klopt, de bedoelde limiet is namelijk e en ligt tussen 2 en 3.

Voor de limiet die je moet bepalen heb je de regel van l'Hôpital helemaal niet nodig, en wellicht is het beter voor je inzicht om eens te laten zien hoe je deze limiet langs elementaire weg aan kunt tonen. Voor 0 < θ < π/2 hebben we 0 < sin(θ) < θ < tan(θ) zodat we in ieder geval voor x > 1 hebben



en aangezien ln x > 0 voor x > 1 hebben we dan ook



Maar nu weet je ook dat ln x voor x > 1 de oppervlakte is onder de curve y = 1/x over het interval [1,x], zodat voor x > 1 geldt 0 < ln x < x−1 < x. Daarmee is voor x > 1 ook ln(x)/x = ln((√x)²)/x = 2∙ln(√x)/x < 2∙(√x)/x en dus



Combineren van deze ongelijkheden geeft voor x > 1



en aangezien 2/√x naar 0 gaat voor x → ∞ en ln(x)·sin(1/x) zit ingeklemd tussen 0 en 2/√x is het evident dat ln(x)·sin(1/x) ook naar 0 moet gaan voor x → ∞, ergo



De e-macht van ln(x)·sin(1/x) gaat dus naar e⁰ = 1 voor x → ∞, oftewel we hebben



QED

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 25-01-2014 17:17:44 ]

Ik zit vast voor een toets, dus ik hoop dat ik hier geholpen kan worden.

We zijn bezig met bewijzen van stellingen, maar het verwoorden is erg lastig.
Bijvoorbeeld hier:
Bewijs dat de diagonalen van een ruit ook bissectrices zijn.

Dat is iets wat ik allang wist en ook snap, maar hoe je zoiets verwoord tot een bewijs begrijp ik niet.

Alvast dank.

quote:

Op woensdag 22 januari 2014 21:58 schreef Aarch het volgende:
Ik zit vast voor een toets, dus ik hoop dat ik hier geholpen kan worden.

We zijn bezig met bewijzen van stellingen, maar het verwoorden is erg lastig.
Bijvoorbeeld hier:
Bewijs dat de diagonalen van een ruit ook bissectrices zijn.

Dat is iets wat ik allang wist en ook snap, maar hoe je zoiets verwoord tot een bewijs begrijp ik niet.

Alvast dank.

Als je het snapt probeer het ons eens uit te leggen.
Kom je vanzelf op een bewijs.

Bedankt voor de antwoorden. Voortaan gewoon niet te simpel denken dus.

quote:

Op woensdag 22 januari 2014 21:58 schreef Aarch het volgende:
Ik zit vast voor een toets, dus ik hoop dat ik hier geholpen kan worden.

We zijn bezig met bewijzen van stellingen, maar het verwoorden is erg lastig.
Bijvoorbeeld hier:
Bewijs dat de diagonalen van een ruit ook bissectrices zijn.

Dat is iets wat ik allang wist en ook snap, maar hoe je zoiets verwoordt tot een bewijs begrijp ik niet.

Alvast dank.

Een klassiek meetkundig bewijs verloopt volgens een vast stramien: Gegeven: ..., Te bewijzen: ..., Bewijs: ..., en eindigt natuurlijk met QED (Quod Erat Demonstrandum 'hetgeen te bewijzen was').

Je moet dus eerst bedenken wat je precies als gegeven wil veronderstellen (ja, een ruit natuurlijk) en wat je dan precies wil aantonen. Begin met te bedenken wat de definitie is van een ruit. Dat is niet evident, want er worden verschillende definities gehanteerd voor een ruit. In oudere meetkundeboeken (en bijvoorbeeld ook nog in de Franse Wikipedia) definieert men een ruit als een parallellogram waarvan twee aanliggende zijden gelijk zijn, maar een ruit wordt tegenwoordig meestal gedefinieerd als een vierhoek met vier gelijke zijden (zo bijvoorbeeld in de Nederlandse en de Engelse Wikipedia). De gekozen definitie heeft uiteraard consequenties, want als je de oude definitie hanteert, dan is de eigenschap dat een ruit vier gelijke zijden heeft een stelling, evenals het omgekeerde, namelijk dat een vierhoek met vier gelijke zijden een ruit is. En, vice versa, met de nieuwe definitie van een ruit is de bewering dat een ruit een parallellogram is weer een stelling.

Maar goed, teken een plaatje van een ruit en duid daarbij de hoekpunten aan met de letters A t/m D:



Teken ook de beide diagonalen AC en BD van de ruit.

Het is niet voldoende om alleen een plaatje te tekenen, je moet hier ook in woorden bij aangeven wat je precies als zijnde gegeven veronderstelt:

Gegeven: een ruit ABCD met diagonalen AC en BD.

Vervolgens moet je precies formuleren wát je nu eigenlijk wil bewijzen, waarbij je uiteraard kunt (en moet) refereren aan hetgeen je als gegeven hebt verondersteld. In dit geval zou je dus kunnen zeggen:

Te bewijzen: ∠BAC = ∠CAD.

Nu komt het echte werk. Bedenk dat je bij een bewijs een beroep mag doen op eerder bewezen stellingen.

Bewijs: Op grond van de definitie van een ruit is AB = BC, zodat driehoek ABC gelijkbenig is. In een gelijkbenige driehoek zijn de basishoeken gelijk, zodat

∠BAC = ∠BCA.

Aangezien een ruit een parallellogram is en in een parallellogram overstaande zijden evenwijdig zijn, is zijde BC evenwijdig aan zijde AD. Dus zijn ∠BCA en ∠CAD verwisselende binnenhoeken (Z-hoeken) en deze zijn ook gelijk, dus

∠BCA = ∠CAD.

Ergo

∠BAC = ∠CAD,

QED

Het bewijs voor elk van de drie andere hoekpunten verloopt uiteraard geheel analoog.

[ Bericht 4% gewijzigd door Riparius op 23-01-2014 06:38:17 ]

Als je moet bewijzen dat een bepaalde set compact is met de (Finite) Open Cover definitie, hoe doe je dit? Ik snap wel hoe ik een tegenvoorbeeld moet bedenken en dit te noteren als een set niet compact is, maar het omgekeerde bewijzen lukt nog niet. Een zoektocht op Google heeft ook weinig opgeleverd, veelal hebben ze het over allerlei topologisch ruimtes en dat is nog boven mijn niveau.

Concreet: Hoe bewijs je bijvoorbeeld compact is?

quote:

Op donderdag 23 januari 2014 21:07 schreef Novermars het volgende:
Als je moet bewijzen dat een bepaalde set compact is met de (Finite) Open Cover definitie, hoe doe je dit? Ik snap wel hoe ik een tegenvoorbeeld moet bedenken en dit te noteren als een set niet compact is, maar het omgekeerde bewijzen lukt nog niet. Een zoektocht op Google heeft ook weinig opgeleverd, veelal hebben ze het over allerlei topologisch ruimtes en dat is nog boven mijn niveau.

Concreet: Hoe bewijs je bijvoorbeeld compact is?

Als topologische ruimtes boven je niveau zijn, dan heb je wel een behoorlijk pittig voorbeeld gekozen. Bewijs eerst maar dat [0,1] compact is.

Dat bewijs staat in mijn boek en kan ik goed volgen. Is er misschien enig leesvoer dat relatief snel te begrijpen is zodat ik mijn voorbeeld kan oplossen?

Of kan ik het beter laten zitten en maar Heine-Borel misbruiken?

quote:

Op donderdag 23 januari 2014 21:36 schreef Novermars het volgende:
Dat bewijs staat in mijn boek en kan ik goed volgen. Is er misschien enig leesvoer dat relatief snel te begrijpen is zodat ik mijn voorbeeld kan oplossen?

Of kan ik het beter laten zitten en maar Heine-Borel misbruiken?

O, maar als je dat eenmaal weet, dan hoef je alleen nog maar te bewijzen dat het product van twee compacte ruimten compact is.

quote:

Op donderdag 23 januari 2014 21:38 schreef thabit het volgende:

[..]

O, maar als je dat eenmaal weet, dan hoef je alleen nog maar te bewijzen dat het product van twee compacte ruimten compact is.

Verklaar je nader en leg uit! Ik geniet echt van dit soort wiskunde. Hopelijk ga ik het nog vaker tegenkomen tijdens Ectrie, maar ik vrees het ergste...

quote:

Op donderdag 23 januari 2014 21:41 schreef Novermars het volgende:

[..]

Verklaar je nader en leg uit! Ik geniet echt van dit soort wiskunde. Hopelijk ga ik het nog vaker tegenkomen tijdens Ectrie, maar ik vrees het ergste...

Die verzameling W van jou is het product van twee intervallen: [-1,1] x [-1,1].

OPGAVE II Zeno de schildpaddenkweker

Zeno is een beroemd kweker van schildpadden; door Zeno gekweekte schildpadden worden door liefhebbers in heel Nederland gekocht. Om gezonde schildpadden te kweken, doet Zeno veel onderzoek.

Zo heeft hij een recursieve formule bedacht om uit te rekenen hoe snel een populatie schildpadden zich uitbreidt:

un = un–1*2 + 4

hierin is u¬n het aantal schildpadden na n maanden.

Van een populatie is bekend dat in het begin (na 0 maanden dus) 4 schildpadden zijn

4 (3p) Gebruik de formule om te berekenen hoeveel schildpadden er zijn na 8 maanden. Beschrijf nauwkeurig hoe je te werk gaat.


Ik als wiskunde leek snap hier niets van. Hoe moet ik hier te werk gaan ?

Je bedoelt ?

@Thabit Zou je het misschien kunnen uitwerken? En misschien nog wel handiger, als je bijvoorbeeld een set hebt, hoe zou je het dan doen? Eerst bewijzen dat en compact zijn? Of nog exotischer, .

[ Bericht 14% gewijzigd door Novermars op 23-01-2014 21:56:14 ]

quote:

Op donderdag 23 januari 2014 21:43 schreef Drolflap het volgende:
OPGAVE II Zeno de schildpaddenkweker

Zeno is een beroemd kweker van schildpadden; door Zeno gekweekte schildpadden worden door liefhebbers in heel Nederland gekocht. Om gezonde schildpadden te kweken, doet Zeno veel onderzoek.

Zo heeft hij een recursieve formule bedacht om uit te rekenen hoe snel een populatie schildpadden zich uitbreidt:

un = un–1*2 + 4

hierin is u¬n het aantal schildpadden na n maanden.

Van een populatie is bekend dat in het begin (na 0 maanden dus) 4 schildpadden zijn

4 (3p) Gebruik de formule om te berekenen hoeveel schildpadden er zijn na 8 maanden. Beschrijf nauwkeurig hoe je te werk gaat.

Ik als wiskunde leek snap hier niets van. Hoe moet ik hier te werk gaan ?

De u_n-1 is de populatie van de vorige maand waarmee je de huidige populatie kan berekenen. Om het aantal schildpadden na acht maanden te berekenen begin je met het invullen van de startpopulatie (dat zijn die vier schildpadden dus). Het antwoord wat daar uitkomt vul je in waar je eerst die 4 invulde, waardoor je het aantal schildpadden na 2 maanden weet. En dat tot je de populatie na 8 maanden weet.

quote:

Op donderdag 23 januari 2014 21:51 schreef Rezania het volgende:

[..]

De u_n-1 is de populatie van de vorige maand waarmee je de huidige populatie kan berekenen. Om het aantal schildpadden na acht maanden te berekenen begin je met het invullen van de startpopulatie (dat zijn die vier schildpadden dus). Het antwoord wat daar uitkomt vul je in waar je eerst die 4 invulde, waardoor je het aantal schildpadden na 2 maanden weet. En dat tot je de populatie na 8 maanden weet.

Bedankt ik snap het, was gewoon totaal niet logisch aan het nadenken.

Antwoordenmodel gaf het ook een beetje raar weer:

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

quote:

Op donderdag 23 januari 2014 21:53 schreef Drolflap het volgende:

[..]

Bedankt ik snap het, was gewoon totaal niet logisch aan het nadenken.

Antwoordenmodel gaf het ook een beetje raar weer:

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Ik snap dat antwoordenmodel ook niet. Je kan het wel via de GR berekenen, maar dan moet je met ans werken.

quote:

Op donderdag 23 januari 2014 21:51 schreef Rezania het volgende:

[..]

De u_n-1 is de populatie van de vorige maand waarmee je de huidige populatie kan berekenen. Om het aantal schildpadden na acht maanden te berekenen begin je met het invullen van de startpopulatie (dat zijn die vier schildpadden dus). Het antwoord wat daar uitkomt vul je in waar je eerst die 4 invulde, waardoor je het aantal schildpadden na 2 maanden weet. En dat tot je de populatie na 8 maanden weet.

Het wordt natuurlijk pas echt een leuke opgave als je het aantal schildpadden na 100 maanden of zo moet berekenen. En nee, geen rekenmachines. Dan moet je dus een gesloten uitdrukking afleiden voor u_n.

quote:

Op donderdag 23 januari 2014 21:56 schreef Riparius het volgende:

[..]

Het wordt natuurlijk pas echt een leuke opgave als je het aantal schildpadden na 100 maanden of zo moet berekenen. En nee, geen rekenmachines. Dan moet je dus een gesloten uitdrukking afleiden voor u_n.

Ja, maar denk niet dat hij daar al aan toe is. Is trouwens best wel makkelijk vergeleken met de stof die hier normaal gesproken langs komt, je krijgt het zelfs bij wiskunde A.

quote:

Op donderdag 23 januari 2014 21:50 schreef Novermars het volgende:
Je bedoelt ?

@Thabit Zou je het misschien kunnen uitwerken? En misschien nog wel handiger, als je bijvoorbeeld een set hebt, hoe zou je het dan doen? Eerst bewijzen dat en compact zijn?

Of algemeen bewijzen dat elk gesloten interval [a,b] compact is.

Het bewijs dat een product van twee compacte ruimten compact is, is ongetwijfeld met Google wel te vinden, dus ik weet niet in hoeverre het iets toevoegt om dat hier helemaal te gaan lopen uitspellen. Als je er zelf over na wilt denken, dan kan ik wel af en toe een hint geven.

quote:

Op donderdag 23 januari 2014 21:50 schreef Novermars het volgende:

Of nog exotischer, .

Als je eenmaal weet dat producten van gesloten intervallen [a,b] compact zijn, dan is het tijd voor de volgende stelling: een gesloten deel van een compacte ruimte is compact. Bewijs die eerst maar; die is namelijk wat eenvoudiger.

quote:

Op donderdag 23 januari 2014 21:57 schreef Rezania het volgende:

[..]

Ja, maar denk niet dat hij daar al aan toe is. Is trouwens best wel makkelijk vergeleken met de stof die hier normaal gesproken langs komt, je krijgt het zelfs bij wiskunde A.

Inhomogene lineaire recursies bij wiskunde A? Leg jij iemand met alleen wiskunde A dan maar even uit hoe je hier op u_n = 2ⁿ⁺³ − 4 komt.

quote:

Op donderdag 23 januari 2014 22:08 schreef Riparius het volgende:

[..]

Inhomogene lineaire recursies bij wiskunde A? Leg jij iemand met alleen wiskunde A dan maar even uit hoe je hier op u_n = 2ⁿ⁺³ + 4 komt.

Tot op een bepaald niveau, het moet natuurlijk niet de algebrakennis van A'ers overstijgen.

Ik kan me herinneren dat ik heb geleerd hoe van je een recursieve formule een directe formule kan maken, kan dat kloppen? Ik weet eigenlijk niet meer zoveel van A.

quote:

Op donderdag 23 januari 2014 22:15 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Gaat 'm niet lukken. Volgens mij krijg je de inhomogene varianten niet eens bij wiskunde D.

Ik haal dan termen door elkaar waarschijnlijk.

quote:

Op donderdag 23 januari 2014 22:15 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Dat is juist, maar bij mijn weten geen inhomogene variant.

Waar had ik het over inhomogeen?