[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

er staat c sin(ax +b), niet c sin(a(x+b)).

quote:

Op vrijdag 25 oktober 2013 12:18 schreef DefinitionX het volgende:
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm

Examen 2011b, vraag 8 versie 2

A=2
b= negatief 0.5 pi
c = 1.5

Ik had dus antwoord A.

Echter zij zeggen dat het antwoord D moet zijn. Kan iemand dat aub uitleggen?

Het is duidelijk dat c = 3/2, immers is het maximum van deze sinusfunctie y = 3/2, en de evenwichtstand ligt op y = 0.

Maar de sinus is NIET verschoven. Dit betekent dat b = 0. Immers, x = 0 geeft y =0, en dus 3/2sin0 = 0, en dus (ax+b) = 0 voor x = 0.

En a = 2. sin(ax) = 1 voor ax = 1/2pi, en dus is a 2.

A is dus het juiste antwoord.

Oh kut ik keek naar versie 1

/

[ Bericht 26% gewijzigd door Amoeba op 26-10-2013 15:31:07 ]

quote:

Op vrijdag 25 oktober 2013 12:18 schreef DefinitionX het volgende:
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm

Examen 2011b, vraag 8 versie 2

A=2
b= negatief 0.5 pi
c = 1.5

Ik had dus antwoord A.

Echter zij zeggen dat het antwoord D moet zijn. Kan iemand dat aub uitleggen?

Je begint even te kijken naar de amplitude. Uit de grafiek lees je af dat de functie alleen waarden aanneemt op het interval [−3/2, 3/2], zodat | c | = 3/2 moet zijn, en dus c = 3/2 óf c = −3/2. Nu vallen antwoorden <B> en <C> af, en houden we dus nog <A> en <D> over, en dus weten we nu dat c = 3/2 moet zijn. Kijken we naar de resterende antwoorden <A> en <D>, dan kunnen we ook concluderen dat a = 2 moet zijn. Dat klopt ook met de grafiek, want hieruit kun je aflezen dat de functie een periode π heeft. Maar nu moeten we nog de waarde van b bepalen.

Welnu, we zien dat de functie voor x = ¾π de waarde 3/2 aanneemt, zodat

sin(2·¾π + b) = 1

en dus

(3/2)·π + b = (1/2)·π + 2kπ, k ∈ Z

en dus

b = −π + 2kπ, k ∈ Z

Er is geen geheel getal k dat de waarde b = −½π op kan leveren, maar voor k = 0 hebben we wel b = −π. Ergo, <D> is het enige juiste antwoord.

quote:

Op vrijdag 25 oktober 2013 12:52 schreef Amoeba het volgende:
Voor versie 2 geldt:"

c = 3/2 (zelfde redenatie als hierboven)
b = -π/2, want de sinus is π/2 naar rechts verschoven.

En volgens eenzelfde redenatie als hierboven geldt a = 2

En dit inderdaad in het geval:

Ik ging ook uit van deze redenatie voor vraag 8 versie 2.

quote:

Op vrijdag 25 oktober 2013 13:03 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je begint even te kijken naar de amplitude. Uit de grafiek lees je af dat de functie alleen waarden aanneemt op het interval [−3/2, 3/2], zodat | c | = 3/2 moet zijn, en dus c = 3/2 óf c = −3/2. Nu vallen antwoorden <B> en <C> af, en houden we dus nog <A> en <D> over, en dus weten we nu dat c = 3/2 moet zijn. Kijken we naar de resterende antwoorden <A> en <D>, dan kunnen we ook concluderen dat a = 2 moet zijn. Dat klopt ook met de grafiek, want hieruit kun je aflezen dat de functie een periode π heeft. Maar nu moeten we nog de waarde van b bepalen.

Welnu, we zien dat de functie voor x = ¾π de waarde 3/2 aanneemt, zodat

sin(2·¾π + b) = 1

Waar komt die 1 vandaan? Als c=1.5 en je haalt de c weg uit de linkerkant door te delen met c krijg je aan de rechterkant geen 1.

quote:

en dus

(3/2)·π + b = (1/2)·π + 2kπ, k ∈ Z

Wat je hier aan de linkerkant doet volg ik nog, maar niet aan de rechterkant.

quote:

en dus

b = −π + 2kπ, k ∈ Z

quote:

Er is geen geheel getal k dat de waarde b = −½π op kan leveren, maar voor k = 0 hebben we wel b = −π. Ergo, <D> is het enige juiste antwoord.

Hoe kan dit dan? op de grafiek zie je duidelijk dat het met 0.5pi naar rechts is verschoven.

Ik snap hem al, maar enkel via de algebra.

http://www.kaveurne.be/wiskunde/IGwiskunde2011bopl.pdf

http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm

2011 a vraag 3.

http://www.kaveurne.be/wiskunde/IGwiskunde2011opl.pdf

Ik heb een vraag over de notitie die de oplosser maakt.

Hij zegt namelijk 'delers van 6'. Hij gebruikt bij het oplossen de regel van Horner. Ik denk dat hij elke deler invult om te kijken welke de vergelijking als waarde 0 laat uitkomen. Zit hier een bepaald idee achter dat hij de delers van 6 gebruikt? Ik zoek de logica hierachter.

quote:

Op vrijdag 25 oktober 2013 13:26 schreef DefinitionX het volgende:

Waar komt die 1 vandaan? Als c=1.5 en je haalt de c weg uit de linkerkant door te delen met c krijg je aan de rechterkant geen 1.

[..]

Toch wel. Je hebt namelijk

(3/2)·sin(2·¾π + b) = 3/2

en beide leden delen door 3/2 geeft dan

sin(2·¾π + b) = 1

De sinusfunctie neemt alleen waarden aan op het interval [−1, 1]. Maar nu hebben we bij de gegeven functie f(¾π) = 3/2, en omdat we al weten dat c = 3/2 en a = 2 moet dus sin(2·¾π + b) = 1 zijn.

quote:

Wat je hier aan de linkerkant doet volg ik nog, maar niet aan de rechterkant.

Dat zou je toch moeten begrijpen. De sinus is een periodieke functie met een periode 2π, zodat niet alleen sin(½π) = 1, maar in het algemeen sin(½π + 2kπ) = 1 voor élk geheel getal k.

quote:

Hoe kan dit dan? op de grafiek zie je duidelijk dat het met 0.5pi naar rechts is verschoven.

Denk liever niet in termen van verschuivingen. Ik weet dat dat zo geleerd wordt, maar mijn ervaring is dat de meeste studenten daar meer van in verwarring raken dan dat het wat verheldert. Bovendien gaan dergelijke aangeleerde trucjes vaak fout als je bijvoorbeeld een negatieve waarde van c zou hebben gehad.

[ Bericht 100% gewijzigd door wiskundenoob op 25-10-2013 13:57:50 ]

quote:

Op vrijdag 25 oktober 2013 13:38 schreef DefinitionX het volgende:
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm

2011 a vraag 3.

http://www.kaveurne.be/wiskunde/IGwiskunde2011opl.pdf

Ik heb een vraag over de notitie die de oplosser maakt.

Hij zegt namelijk 'delers van 6'. Hij gebruikt bij het oplossen de regel van Horner. Ik denk dat hij elke deler invult om te kijken welke de vergelijking als waarde 0 laat uitkomen. Zit hier een bepaald idee achter dat hij de delers van 6 gebruikt? Ik zoek de logica hierachter.

Hier wordt gebruik gemaakt van het rational root theorem, waar ik je trouwens al eerder op heb gewezen, maar dat ben je blijkbaar al weer vergeten.

Volgens deze stelling moeten eventuele rationale nulpunten van deze veelterm tevens geheel zijn, aangezien de coëfficiënt van de hoogste macht x⁴ van de veelterm gelijk is aan 1. Bovendien moeten deze gehele nulpunten dan, afgezien van het teken, delers zijn van de constante term 6. Maar als je nu even goed kijkt, dan zie je ook dat deze veelterm geen negatieve (reële) nulpunten kan hebben, aangezien x⁴ − 3x³ + x² − 5x + 6 > 0 voor x < 0. Dus houden we alleen 1, 2, 3 en 6 over als mogelijke kandidaten voor gehele nulpunten van deze veelterm. Door uitproberen vind je dan gemakkelijk dat x = 1 en x = 3 voldoen, zodat x⁴ − 3x³ + x² − 5x + 6 dus een factor (x − 1)(x − 3) = x² − 4x + 3 bevat.

Goed, nu gaan we deze factor x² − 4x + 3 buiten haakjes halen:

x⁴ − 3x³ + x² − 5x + 6
x²(x² − 4x + 3) + x³ − 2x² − 5x + 6
x²(x² − 4x + 3) + x(x² − 4x + 3) + 2x² − 8x + 6
x²(x² − 4x + 3) + x(x² − 4x + 3) + 2(x² − 4x + 3)
(x² − 4x + 3)(x² + x + 2)

Welnu, de discriminant van de kwadratische veelterm x² + x + 2 is negatief, en dus heeft deze vierdegraads veelterm geen andere reële nulpunten dan x = 1 en x = 3. Het aantal reële nulpunten van de vierdegraads veelterm is dus 2.

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 27-10-2013 13:29:02 ]

quote:

Op vrijdag 25 oktober 2013 13:39 schreef Riparius het volgende:
Denk liever niet in termen van verschuivingen. Ik weet dat dat zo geleerd wordt, maar mijn ervaring is dat de meeste studenten daar meer van in verwarring raken dan dat het wat verheldert. Bovendien gaan dergelijke aangeleerde trucjes vaak fout als je bijvoorbeeld een negatieve waarde van c zou hebben gehad.

Dat gaat vooral fout omdat het niet consequent in 1 keer in zn geheel goed aangeleerd wordt, maar zo halfbakken. Neem bijv. de sinusfuncties: Het algemene geval wordt beschreven door f(x)=a+b*sin(c(x+d)). Hierin is:

a = de verschuiving langs de y-as.
d = de verschuiving langs de x-as. LET OP!!: De eigenlijke verschuiving is het tegengestelde van de waarde d, oftewel, exact de andere kant van de x-as op.
b = de expansiefactor in de y-richting a.k.a. de verticale richting.
c = de, let op nu, compressiefactor in de x-richting a.k.a. de horizontale richting. Net als de parameter d in dezen is het effect op de grafiek exact het tegenovergestelde van de waarde b (compressie ipv van expansie met factor c).

Ja die dubbele haken zijn belangrijk!! Vergelijk de translatie van sin(x+½π) tov sin(x) vergeleken met sin(2x+½π) tov sin(2x). De eerste twee zijn verschoven van elkaar met translatie T:(-½π,0,0), de laatste twee met translatie T:(-¼π,0,0). Dit omdat het argument (2x+½π) te schrijven valt als (2(x+¼π)). Een andere manier van redeneren is; wanneer is sin(x+½π) = 0 en wanneer is sin(2x+½π) = 0 ? Het antwoord voor beide is: wanneer het argument 0 is. Dit levert op:

sin(x+½π) = 0
x+½π = 0
x = -½π

vergelijk: sin(2x+½π) = 0
2x+½π = 0
2x = -½π
x = -¼π.

want, sin(2x+½π) ≡ sin(2(x+¼π))

De andere elementaire functieklassen zijn op dezelfde als in paraaf 2 van mn reply beschreven wijze te manipuleren. Vervang hiertoe de sinus in f(x)=a+b*sin(c(x+d)) voor een andere functietype (2de, 3de enz, graads machtsfunctie, (n-de machts) wortelfunctie, cyclometrisch, log, exp...)

[ Bericht 0% gewijzigd door VanishedEntity op 25-10-2013 16:50:58 ]

quote:

Op vrijdag 25 oktober 2013 19:39 schreef ulq het volgende:
Heeft één van jullie (dan richt ik me vooral op de vraagbeantwoorders hier) hier wel eens naar gekeken? --> http://nl.wikipedia.org/wiki/Millenniumprijsprobleem

Besef dat die vragen uiterst complex zijn, e.g. field medal level (zowat de hoogste prijs die een wiskundige kan ontvangen, dit komt denk ik boven de nobelprijs voor de wiskunde(?)). Je kan volgens mij met 1 van de problemen maanden/jaren/decennia bezig zijn om te bewijzen.

Naar mijn mening mag er best 9 miljoen dollar extra bij per het oplossen van een van die vraagstukken. Ruimtereis/interstellaire reis/vliegende auto's the jetson's style, zijn allen mogelijk door beta mensen. Dan heb ik het met name over mensen die geboren zijn met de liefde voor beta en dit verwezenlijken door er dagelijks mee bezig te zijn.

Ik bedoel, kijk naar Einstein. Niemand zal hem ooit vergeten.

quote:

Op vrijdag 25 oktober 2013 20:01 schreef DefinitionX het volgende:

[..]

Besef dat die vragen uiterst complex zijn, e.g. field medal level (zowat de hoogste prijs die een wiskundige kan ontvangen, dit komt denk ik boven de nobelprijs voor de wiskunde(?)). Je kan volgens mij met 1 van de problemen maanden/jaren/decennia bezig zijn om te bewijzen.

Korte reactie om je (?) te beantwoorden, de Nobelprijs voor de wiskunde bestaat niet.
Ik heb een keer een documentaire gezien over de laatste stelling van Fermat, wat een denkstappen zitten achter dergelijke stellingen zeg... Hij deed zo'n 7 jaar over het bewijs.

EDIT: Zeer kort filmpje gevonden over 'nobelprijs voor de wiskunde'. De nobelprijs voor de economie, natuurkunde en zelfs literatuur ging een paar keer naar een wiskundige.

quote:

Op vrijdag 25 oktober 2013 20:01 schreef DefinitionX het volgende:
Besef dat die vragen uiterst complex zijn, e.g. field medal level (zowat de hoogste prijs die een wiskundige kan ontvangen, dit komt denk ik boven de nobelprijs voor de wiskunde(?)). Je kan volgens mij met 1 van de problemen maanden/jaren/decennia bezig zijn om te bewijzen.

De Fields Medal is, net als de Abel Prize, een prijs die als een de facto Nobelprijs voor de Wiskunde wordt beschouwd. Een officiële Nobelprijs voor de Wiskunde bestaat namelijk niet .

quote:

Naar mijn mening mag er best 9 miljoen dollar extra bij per het oplossen van een van die vraagstukken. Ruimtereis/interstellaire reis/vliegende auto's the jetson's style, zijn allen mogelijk door beta mensen. Dan heb ik het met name over mensen die geboren zijn met de liefde voor beta en dit verwezenlijken door er dagelijks mee bezig te zijn.

Ik bedoel, kijk naar Einstein. Niemand zal hem ooit vergeten.

Ik vind het alleen wel onterecht dat Einstein boven alle andere grootheden uit de fysica op een voetstuk geplaatst en verafgood wordt, met als claim dat hij zn tijdgenoten vooruit was met zn onnavolgbaar inzicht. Dat is simpelweg niet waar. Einstein heeft voor het ontwikkelen van zn Relativiteitstheorie de 4 klassieke Electromagnetische vergelijkingen van Maxwell gepakt en er met de voorwaarde van éénzelfde constante eindige lichtsnelheid (wat volgde uit experimenten die o.a. Tijdsdilatatie en Lorentzcontractie aantoonden) in alle referentiekaders aan zitten rekenen, om uiteindelijk op de Speciale RelativiteitsTheorie uit te komen. Voor het ontwikkelen van de algemene variant heeft Einstein net zolang gewacht totdat Tensor Algebra in voldoende mate ontwikkeld was. Een Dirac, Pauli, Heisenberg, enz had dit ook kunnen doen als 1 van hen zich hierop gestort had.

Dat gezegd hebbende: de RT ontwikkelen is, op zn engels gezegd, "a feat in and of its own already" .

http://nl.wikipedia.org/wiki/Diederik_Samsom

Had nooit een beta achter hem gezocht eerlijk gezegd.

Aardappeltaart, interessante video (het feit dat er wiskundige zijn die met een nobelprijs voor de literatuur/fysica weg zijn gekomen verbaast me eigenlijk niet).

VanishedEntity, hmmm, ik weet het niet hoor.

[ Bericht 27% gewijzigd door DefinitionX op 25-10-2013 21:03:46 ]

quote:

Op vrijdag 25 oktober 2013 19:39 schreef ulq het volgende:
Heeft één van jullie (dan richt ik me vooral op de vraagbeantwoorders hier) hier wel eens naar gekeken? --> http://nl.wikipedia.org/wiki/Millenniumprijsprobleem

Die problemen zijn echt gruwelijk moeilijk. De Laatste Stelling van Fermat is een peuleschilletje vergeleken met de meeste problemen uit die lijst. Maar goed, het Poincarévermoeden is inmiddels getackeld, dus we kunnen gaan gokken welk probleem het volgende gaat worden. Ik zet zelf in op het Hodgevermoeden.

quote:

Op vrijdag 25 oktober 2013 20:40 schreef VanishedEntity het volgende:

[..]

De Fields Medal is, net als de Abel Prize, een prijs die als een de facto Nobelprijs voor de Wiskunde wordt beschouwd.

Ze moesten Wiles een eervolle vermelding geven omdat hij te oud was om de prijs te mogen ontvangen.
Jammer dat ze die leeftijdsgrens nog steeds niet willen afschaffen.

quote:

Ik vind het alleen wel onterecht dat Einstein boven alle andere grootheden uit de fysica op een voetstuk geplaatst en verafgood wordt, met als claim dat hij zn tijdgenoten vooruit was met zn onnavolgbaar inzicht. Dat is simpelweg niet waar. Einstein heeft voor het ontwikkelen van zn Relativiteitstheorie de 4 klassieke Electromagnetische vergelijkingen van Maxwell gepakt en er met de voorwaarde van éénzelfde constante eindige lichtsnelheid (wat volgde uit experimenten die o.a. Tijdsdilatatie en Lorentzcontractie aantoonden) in alle referentiekaders aan zitten rekenen, om uiteindelijk op de Speciale RelativiteitsTheorie uit te komen. Voor het ontwikkelen van de algemene variant heeft Einstein net zolang gewacht totdat Tensor Algebra in voldoende mate ontwikkeld was. Een Dirac, Pauli, Heisenberg, enz had dit ook kunnen doen als 1 van hen zich hierop gestort had.

Dat gezegd hebbende: de RT ontwikkelen is, op zn engels gezegd, "a feat in and of its own already" .

Het geheim van een goede kok is dat hij goed de verschillende ingrediënten en combinaties van ingrediënten die al bestaan combineert. Geld hetzelfde niet voor de goede wetenschapper? Hoe kan je creëren zonder te combineren wat er al bestaat? Geld voor al die andere helden zoals onze eigen Lorentz en Maxwell niet eveneens dat zij hun succes weer te danken hebben aan wat anderen al hadden ontwikkeld?
Maar goed, misschien is dat ook wel jouw punt, geen enkele wetenschapper moet op een voetstuk worden gezet aangezien de toppers elkaar nodig hebben voor hun succes.

Weer even naar sticky

quote:

Op zaterdag 26 oktober 2013 11:22 schreef ulq het volgende:

[..]

Wat houdt het oplossen van die problemen dan ongeveer in? Is het een soort hele moeilijke som/opgave die echt 'opgelost' moet worden of is het meer iets zoals ''bewijs dat 1+1=2''?

Het gaat volgens mij vaak inderdaad om bewijzen dat een bepaalde stelling altijd geldt.

quote:

Op zaterdag 26 oktober 2013 11:22 schreef ulq het volgende:

[..]

Wat houdt het oplossen van die problemen dan ongeveer in? Is het een soort hele moeilijke som/opgave die echt 'opgelost' moet worden of is het meer iets zoals ''bewijs dat 1+1=2''?

Waarom ben je zo geïnteresseerd in die Millennium Prize Problems? Het gaat in ieder geval niet om 'sommetjes'. Lees je anders eens in, alleen het begrijpen van de vraagstellingen is al een hele studie. Het Clay Institute is in ieder geval wel zo verstandig geweest om allerlei regels op te stellen waaraan voorgestelde oplossingen moeten voldoen, zoals publicatie in een internationaal erkend peer reviewed tijdschrift, en acceptatie van de voorgestelde oplossing door de wiskundige gemeenschap twee jaar na publicatie. Het Clay Institute accepteert zelf geen inzendingen van would be oplossers, maar het zou me niets verbazen als ze desondanks overstroomd worden door waardeloze papers van amateurwiskundigen en cranks, net zoals dat gebeurde nadat Paul Wolfskehl bij zijn dood in 1906 een bedrag van 100.000 Goldmark had nagelaten aan de academie van wetenschappen in Göttingen als prijs voor een bewijs van de laatste (grote) stelling van Fermat.

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 27-10-2013 18:51:44 ]

quote:

Op vrijdag 25 oktober 2013 13:38 schreef DefinitionX het volgende:
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm

2011 a vraag 3.

http://www.kaveurne.be/wiskunde/IGwiskunde2011opl.pdf

Ik heb een vraag over de notitie die de oplosser maakt.

Hij zegt namelijk 'delers van 6'. Hij gebruikt bij het oplossen de regel van Horner. Ik denk dat hij elke deler invult om te kijken welke de vergelijking als waarde 0 laat uitkomen. Zit hier een bepaald idee achter dat hij de delers van 6 gebruikt? Ik zoek de logica hierachter.

Hoewel ik hierboven al een uitwerking van dit vraagstuk heb gepost, kom ik hier graag nog even op terug nu ik eens wat meer uitwerkingen heb bekeken van de persoon die ik nu maar even de oplosser van Veurne zal noemen. Heel wat vragen van het Vlaamse toelatingsexamen wiskunde testen op inzicht, hetgeen betekent dat ze zonder noemenswaardig rekenwerk en veelal uit het blote hoofd zijn op te lossen. Maar in de uitwerkingen van de oplosser van Veurne blijkt daar niet veel van, hij of zij doet vaak veel te veel werk. Ik denk dat je je daarom niet te veel vast moet klampen aan deze uitwerkingen.

Ook bovenstaande opgave over het aantal reële nulpunten van de veelterm x⁴ − 3x³ + x² − 5x + 6 blijkt veel eenvoudiger dan de oplosser van Veurne het doet voorkomen. Noem de nulpunten x₁ t/m x₄. Nadat je door uitproberen hebt gevonden dat x₁ = 1 en x₂ = 3 is het eenvoudig om som en product van de twee resterende nulpunten x₃ en x₄ te bepalen. Immers, de som van alle vier de nulpunten moet 3 zijn, zodat

x₃ + x₄ = 3 − (1 + 3) = −1

Verder moet het product van alle vier de nulpunten 6 zijn, zodat

x₃x₄ = 6/(1·3) = 2

Nu is dus

(x₃ − x₄)² = (x₃ + x₄)² − 4x₃x₄ = (−1)² − 4·2 = 1 − 8 = −7

en dat betekent dat x₃ en x₄ niet reëel zijn (ze zijn toegevoegd complex). Ergo, de veelterm heeft 2 reële nulpunten.

Ander leuk voorbeeld (hier, vraag 3):

We beschouwen de volgende veelterm:

x⁴ − x³ − 4x² + 5x − 5

Deze veelterm is deelbaar door x² − x + 1

Bereken de som van de reële nulpunten van deze veelterm?

De gegeven keuzemogelijkheden zijn

<A> 10

<B> 6

<C> 0

<D> −6

De oplosser van Veurne slaat nu weer driftig aan het rekenen en gaat een polynoomstaartdeling uitvoeren (hier). Maar al dit werk is overbodig: de discriminant van de kwadratische veelterm x² − x + 1 is negatief en deze veelterm heeft dus geen reële nulpunten, maar wel twee toegevoegd complexe nulpunten waarvan de som gelijk is aan 1. En omdat de som van alle vier de nulpunten van het vierdegraadspolynoom ook gelijk is aan 1, is de som van de reële nulpunten van dit polynoom 1 − 1 = 0. Het antwoord is dus <C>.

Nog een voorbeeld (hier, vraag 3):

Gegeven is de volgende rationale functie: y = (x² + x + 1)/(x + 2)
Welke uitspraak is verkeerd?

<A> Deze functie heeft geen nulwaarden en één verticale asymptoot.

<B> Deze functie heeft één buigpunt en een verticale asymptoot.

<C> Deze functie heeft één verticale asymptoot en één schuine asymptoot.

<D> Deze functie heeft geen buigpunt en een schuine asymptoot.

De oplosser van Veurne slaat nu weer direct flink aan het rekenen en gaat niet alleen asymptoten maar ook zowel de eerste als de tweede afgeleide bepalen (hier). Maar al dit werk is overbodig: we hebben (x + 2)y = (x² + x + 1) en dus een tweedegraads kromme. Dat is een (al dan niet ontaarde) kegelsnede, en kegelsneden hebben geen buigpunten. Ergo, uitspraak <B> is onjuist, en aangezien slechts één van de vier uitspraken onjuist is, is <B> het antwoord op de vraag.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 27-10-2013 17:38:29 ]