[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op zaterdag 12 oktober 2013 19:47 schreef Mathemaat het volgende:

[..]

Hebben jullie al toevallig de middelwaardestelling behandeld?

Jazeker. Ook de tussenwaardestelling en de insluitstelling. De tussenwaardestelling pas ik trouwens in mijn quote toe.

quote:

Op zaterdag 12 oktober 2013 19:50 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Jazeker. Ook de tussenwaardestelling en de insluitstelling. De tussenwaardestelling pas ik trouwens in mijn quote toe.

Je bewijs tot



is goed. Je had namelijk niet hoeven delen. Je gaat als het goed is (hopelijk) nog al die formele regels krijgen voor limieten. Dus dat als de limieten van twee functies bestaat, dat dan de limiet van de product bestaat en dat limieten ongelijkheid behouden.

Maar volgens mij wil Riparius dat je de formele definities van limieten gebruikt om afschattingen te vinden, want je mag de tussenwaardestelling zo nog niet gebruiken.

quote:

Op zaterdag 12 oktober 2013 20:09 schreef Mathemaat het volgende:

[..]

Je bewijs tot



is goed. Je had namelijk niet hoeven delen. Je gaat als het goed is (hopelijk) nog al die formele regels krijgen voor limieten. Dus dat als de limieten van twee functies bestaat, dat dan de limiet van de product bestaat en dat limieten ongelijkheid behouden.

Maar volgens mij wil Riparius dat je de formele definities van limieten gebruikt om afschattingen te vinden, want je mag de tussenwaardestelling zo nog niet gebruiken.

Dat heb ik dus nog niet gehad, ofja, ik heb geen idee hoe ik het moet toepassen.

quote:

Op zaterdag 12 oktober 2013 20:19 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Dat heb ik dus nog niet gehad.

Het was dus beter geweest om de limieten te nemen zonder de driehoeksongelijkheid en dan kun je vinden dat



Dan kun je de formele definitie gebruiken om op te schrijven dat



Stel dat x>0 en stel a_n is positief, kies dan epsilon= 0.5. Stel a_n is negatief, kies dan ook epsilon=2. (Hiermee weten we dus dat P(x)>0 voor a_n is positief en dat P(x)<0 voor a_n is negatief)

We kunnen dit op een analoge wijze doen voor limiet van x naar min oneindig, waarbij we aannemen dat x<0. Dus we vinden dat P(x)<0 voor a_n positief en P(x)>0 voor a_n negatief.

We kunnen de tussenwaardestelling gebruiken en bewijzen wat we wilden.

Maar ik ga nu even verder met mijn scriptie. Veel succes!

[ Bericht 1% gewijzigd door Mathemaat op 13-10-2013 12:14:31 ]

quote:

Op zaterdag 12 oktober 2013 20:36 schreef Mathemaat het volgende:

[..]

Het was dus beter geweest om de limieten te nemen zonder de driehoeksongelijkheid en dan kun je vinden dat



Dan kun je de formele definitie gebruiken om op te schrijven dat



We bekijken in dit limiet in het algemeen dat x>0. Stel a_n is positief, kies dan epsilon= 0.5. Stel a_n is negatief, kies dan epsilon=2. (Hiermee weten we dus dat P(x)>0, voor een x dat voldoet aan de limiet definitie)

We kunnen dit op een analoge wijze doen voor limiet van x naar min oneindig, waarbij dus in het algemeen geldt dat x<0. Dus we vinden dat P(x)<0 voor een x dat voldoet aan de limiet definitie van x naar min oneindig.

We kunnen de tussenwaardestelling gebruiken en bewijzen wat we wilden.

Maar ik ga nu even verder met mijn scriptie. Veel succes!

In jouw tweede geval, stel dat a_n < 0. Je stelt epsilon gelijk aan 2:

Je linkerterm wordt dan uiteraard positief, maar je rechterterm blijft negatief.

dus 0 ≤ P(x) ≤ iets negatiefs

Hoe kan dit?

[ Bericht 0% gewijzigd door Amoeba op 12-10-2013 23:25:58 ]

P(x) = a_nxⁿ(1 + (a_n−1/a_n)x⁻¹ + (a_n−2/a_n)x⁻² + ... + (a₁/a_n)x⁻⁽ⁿ⁻¹⁾ + (a₀/a_n)x⁻ⁿ)

Dus P(x) = a_nxⁿ(1+f(x))

Met f(x) = (a_n−1/a_n)x⁻¹ + (a_n−2/a_n)x⁻² + ... + (a₁/a_n)x⁻⁽ⁿ⁻¹⁾ + (a₀/a_n)x⁻ⁿ)

lim_x→∞f(x) = 0 want c/x^k = 0 voor x→∞

En dan zal nu wel heel formeel dit gezegd moeten worden.

∀ε>0∃δ>0,∀x [0 < |x-c| < δ → |f(x) - L| < ε]

L = 0, dus kies ε = 1.

|f(x)| < 1

stel |x| > δ

dan

1+f(x) > 0

En dus positief. Dus die factor laat ik vanaf nu achterwege..

Stel a > δ

dan P(a) = a_naⁿ

Weten we dat a>0, dus P(a) is negatief voor a_n < 0 en P(a) is positief voor a_n > 0.

Neem nu b < -δ

Dan P(b) is negatief voor a_n > 0 en P(b) is positief voor a_n < 0

En dan de tussenwaardestelling toepassen op de continu functie P(x) geeft dat er een c bestaat zodanig dat P(c) = 0

Het is niet compleet van mezelf. Voor de notatie met de ε,δ-methode heb ik wat hulp opgezocht, en geprobeerd in eigen notatie te formuleren, ik hoop dat ik dat goed heb gedaan.

[ Bericht 0% gewijzigd door Amoeba op 13-10-2013 02:24:46 ]

quote:

Op zaterdag 12 oktober 2013 23:04 schreef Amoeba het volgende:

[..]

In jouw tweede geval, stel dat a_n < 0. Je stelt epsilon gelijk aan 2:

Je linkerterm wordt dan uiteraard positief, maar je rechterterm blijft negatief.

dus 0 ≤ P(x) ≤ iets negatiefs

Hoe kan dit?

Ow sorry, het is beter om het zo opgeschreven te houden:



Dan omdat a_n<0, slaan de ongelijktekens ook om, als je ermee vermenigvuldigt.

Ik heb de fouten eruit gepoetst!

[ Bericht 1% gewijzigd door Mathemaat op 13-10-2013 12:16:15 ]

quote:

Op zondag 13 oktober 2013 01:20 schreef Amoeba het volgende:
P(x) = a_nxⁿ(1 + (a_n−1/a_n)x⁻¹ + (a_n−2/a_n)x⁻² + ... + (a₁/a_n)x⁻⁽ⁿ⁻¹⁾ + (a₀/a_n)x⁻ⁿ)

Dus P(x) = a_nxⁿ(1+f(x))

Met f(x) = (a_n−1/a_n)x⁻¹ + (a_n−2/a_n)x⁻² + ... + (a₁/a_n)x⁻⁽ⁿ⁻¹⁾ + (a₀/a_n)x⁻ⁿ)

lim_x→∞f(x) = 0 want c/x^k = 0 voor x→∞

En dan zal nu wel heel formeel dit gezegd moeten worden.

∀ε>0∃δ>0,∀x [0 < |x-c| < δ → |f(x) - L| < ε]

L = 0, dus kies ε = 1.

|f(x)| < 1

stel |x| > δ

dan

1+f(x) > 0

En dus positief. Dus die factor laat ik vanaf nu achterwege..

Stel a > δ

dan P(a) = a_naⁿ

Weten we dat a>0, dus P(a) is negatief voor a_n < 0 en P(a) is positief voor a_n > 0.

Neem nu b < -δ

Dan P(b) is negatief voor a_n > 0 en P(b) is positief voor a_n < 0

En dan de tussenwaardestelling toepassen op de continu functie P(x) geeft dat er een c bestaat zodanig dat P(c) = 0

Het is niet compleet van mezelf. Voor de notatie met de ε,δ-methode heb ik wat hulp opgezocht, en geprobeerd in eigen notatie te formuleren, ik hoop dat ik dat goed heb gedaan.

Het is bijna goed, voor naar oneindig gebruik je overigens een andere limiet definitie. Maar één of andere reden heb je toch de juiste gebruikt in je uitwerking.

Het is niet netjes om nog een a of b te gebruiken. Het is beter om de gevallen van x af te gaan, voor wanneer het strikt positief of strikt negatief is.

[ Bericht 1% gewijzigd door Mathemaat op 13-10-2013 12:30:06 ]

quote:

Op zondag 13 oktober 2013 11:34 schreef Mathemaat het volgende:

[..]

Het is bijna goed, voor naar oneindig gebruik je overigens een andere limiet definitie. Maar één of andere reden heb je toch de juiste gebruikt in je uitwerking.

Kun je daar iets meer over vertellen?

quote:

Het is niet netjes om nog een a of b te gebruiken. Het is beter om de gevallen van x af te gaan, voor wanneer het strikt positief of strikt negatief is.

Dit begrijp ik niet.

quote:

Je hoeft overigens ook niet te zeggen dat |x|>delta.

Dit wel.

quote:

Op zondag 13 oktober 2013 11:56 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Kun je daar iets meer over vertellen?

Je x gaat naar oneindig, dus de voorwaarde wordt dan bijvoorbeeld geschreven als
,
en niet als

quote:

[..]

Dit begrijp ik niet.

Je kiest aparte letters a en b. Maar je kunt ook de gevallen afgaan van x, dus stel x is positief dan |x|=x en stel x is negatief dan |x|=-x. Dit maakt het lezen prettiger.
[quote]

[ Bericht 5% gewijzigd door Mathemaat op 13-10-2013 12:30:23 ]

quote:

Op zondag 13 oktober 2013 12:04 schreef Mathemaat het volgende:

[..]

Je x gaat naar oneindig, dus de voorwaarde wordt dan bijvoorbeeld geschreven als
,
en niet als


[..]

Je kiest aparte letters a en b. Maar je kunt ook de gevallen afgaan van x, dus stel x is positief dan |x|=x en stel x is negatief dan |x|=-x. Dit maakt het lezen prettiger.

[..]

Snap je dit wel?

Volgens mij was die regel overbodig, althans, ik denk dat dat is wat je bedoelt?

Dus

//

P(x) = a_nxⁿ(1 + (a_n−1/a_n)x⁻¹ + (a_n−2/a_n)x⁻² + ... + (a₁/a_n)x⁻⁽ⁿ⁻¹⁾ + (a₀/a_n)x⁻ⁿ)

Dus P(x) = a_nxⁿ(1+f(x))

Met f(x) = (a_n−1/a_n)x⁻¹ + (a_n−2/a_n)x⁻² + ... + (a₁/a_n)x⁻⁽ⁿ⁻¹⁾ + (a₀/a_n)x⁻ⁿ)

lim_x→∞f(x) = 0 want c/x^k = 0 voor x→∞

En dan zal nu wel heel formeel dit gezegd moeten worden.

∀ε>0∃δ>0,∀x [|x| > δ → |f(x) - L| < ε]

L = 0, dus kies ε = 1.

|f(x)| < 1

en dus

1+f(x) > 0

En dus positief. Dus die factor laat ik vanaf nu achterwege..

Stel x > δ

dan P(x) = a_nxⁿ

Weten we dat a>0, dus P(x) is negatief voor a_n < 0 en P(x) is positief voor a_n > 0.

Neem nu x < -δ

Dan P(x) is negatief voor a_n > 0 en P(x) is positief voor a_n < 0

En dan de tussenwaardestelling toepassen op de continu functie P(x) geeft dat er een c bestaat zodanig dat P(c) = 0

Of zoiets als |x| > δ en |x| = x voor x>0 en |x| = -x voor x < 0
En dan hetzelfde riedeltje? Alhoewel ik nu even niet weet of het goed gaat met het teken..

Hier stond onzin...

[ Bericht 50% gewijzigd door Mathemaat op 13-10-2013 12:29:41 ]

quote:

Op zondag 13 oktober 2013 12:22 schreef Mathemaat het volgende:

[..]

Ja, die regel is eigenlijk overbodig, maar dat heeft iets met logica te maken. Je bent vrij om het toch erbij te zetten, als je je fijner ermee voelt. Het heeft ermee te maken, dat omdat het uitspraak waar is, het gevolg waar is ongeacht de voorwaarden (hier is dat |x|>delta).

Dus je hoeft eigenlijk niets meer te doen met die delta.

Omdat de limiet bestaat is dat waar inderdaad. Dat moet ik goed onthouden.

Dus uhm, heb ik het laatste stuk nu wel juist opgeschreven?

quote:

Op zondag 13 oktober 2013 12:25 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Omdat de limiet bestaat is dat waar inderdaad. Dat moet ik goed onthouden.

Dus uhm, heb ik het laatste stuk nu wel juist opgeschreven?

Nee, vergeet wat ik net heb verteld, dat is onzin xD
Je moet je |x|>delta kiezen, zodat het gevolg waar is. Het is het hele uitspraak dat waar is, dus ook ongeacht de voorwaardes. Maar je voorwaardes moeten waar zijn, zodat je gevolg waar is (hier maak je dus gebruik van dat het hele uitspraak waar is).

Jawel, het is goed. Ik moet gewoon meer koffie drinken

quote:

Op zondag 13 oktober 2013 12:29 schreef Mathemaat het volgende:

[..]

Nee, vergeet wat ik net heb verteld, dat is onzin xD
Je moet je |x|>delta kiezen, zodat het gevolg waar is. Het is het hele uitspraak dat waar is, dus ook ongeacht de voorwaardes. Maar je voorwaardes moeten waar zijn, zodat je gevolg waar is (hier maak je dus gebruik van dat het hele uitspraak waar is).

Jawel, het is goed. Ik moet gewoon meer koffie drinken

Ik heb net een bakkie gehad. Goed, ga ik dit even netjes uitwerken in LaTeX.

quote:

Op zondag 13 oktober 2013 12:33 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ik heb net een bakkie gehad. Goed, ga ik dit even netjes uitwerken in LaTeX.

Goed zet er nog gelijk achter dat epsilon=1 ook dat je x kiest, zodat |x|>delta.
Je moet ook nog in je limiet definite zetten dat je alle x kiest uit het domein van f. Nu staat er doodleuk voor alle x. Zet er ook expliciet bij dat je twee gevallen x (x groter dan nul en kleiner dan) gaat bekijken, voordat je dat begint te doen.

quote:

Op zondag 13 oktober 2013 12:35 schreef Mathemaat het volgende:

[..]

Goed zet er nog gelijk achter dat epsilon=1 ook dat je x kiest, zodat |x|>delta.
Je moet ook nog in je limiet definite zetten dat je alle x kiest uit het domein van f. Nu staat er doodleuk voor alle x. Zet er ook expliciet bij dat je twee gevallen x (x groter dan nul en kleiner dan) gaat bekijken, voordat je dat begint te doen.

Komt goed.

Hoi allemaal,

Even een wiskundige vraag:

De intergraal van 5 tot 2 van lx-3l
Ik zelf kom uit op dit:
lx^2-3xl en dan invullen
l5^2-3*5l-l(2^2-3*2)l=12 maar het moet 5/2 zijn?

Alvast bedankt

quote:

Op zondag 13 oktober 2013 16:05 schreef wiskundige het volgende:
Hoi allemaal,

Even een wiskundige vraag:

De intergraal van 5 tot 2 van lx-3l
Ik zelf kom uit op dit:
lx^2-3xl en dan invullen
l5^2-3*5l-l(2^2-3*2)l=12 maar het moet 5/2 zijn?

Alvast bedankt

Zoals je de integraal nu berekent houd je geen rekening met de gevolgen van de absoluutstrepen voor de functie en de waarden waarvoor je de integraal evalueert. Waar ligt het nulpunt voor |x-3| en wat betekent dat voor de integraal?

quote:

Op zondag 13 oktober 2013 16:05 schreef wiskundige het volgende:
Hoi allemaal,

Even een wiskundige vraag:

De intergraal van 5 tot 2 van lx-3l
Ik zelf kom uit op dit:
lx^2-3xl en dan invullen
l5^2-3*5l-l(2^2-3*2)l=12 maar het moet 5/2 zijn?

Alvast bedankt

Je moet onthouden dat:

|x-3| = x-3 voor x >= 3

en

|x-3| = -(x-3) voor x < 3

En zo kun je dus de integraal opdelen in 2 deelintegralen, en die kun je integreren.

Want

quote:

Op zondag 13 oktober 2013 12:08 schreef Amoeba het volgende:

[..]

P(x) = a_nxⁿ(1 + (a_n−1/a_n)x⁻¹ + (a_n−2/a_n)x⁻² + ... + (a₁/a_n)x⁻⁽ⁿ⁻¹⁾ + (a₀/a_n)x⁻ⁿ)

Dus P(x) = a_nxⁿ(1+ f(x))

Met f(x) = (a_n−1/a_n)x⁻¹ + (a_n−2/a_n)x⁻² + ... + (a₁/a_n)x⁻⁽ⁿ⁻¹⁾ + (a₀/a_n)x⁻ⁿ)

Je verwart hierboven de definitie van lim_{x → c} f(x) = L met de definitie van lim_{x → ∞} f(x) = L. Bovendien hield je er geen rekening mee dat lim_{x → −∞} f(x) weer iets anders is dan lim_{x → ∞} f(x).

Het gebruik van de letters ε en δ om willekeurig klein te nemen positieve grootheden aan te duiden gaat terug op Cauchy, en men neemt aan dat hij deze letters heeft gekozen omdat de tegenhangers e en d uit het Latijnse alfabet de eerste letters zijn van de Franse woorden erreur en différence. Het idee bij lim_x→c f(x) = L is immers dat je de afwijking (: erreur) van f(x) van L kleiner kunt maken dan ε als je het verschil (: différence) van x met c kleiner maakt dan δ. De precieze definitie is overigens pas later gegeven door Weierstrass, die daarvoor ook de bekende notatie voor de absolute waarde met de verticale strepen invoerde, omdat hij deze nodig had om zijn definitie compact op te kunnen schrijven.

Met lim_x→∞ f(x) = L wordt bedoeld dat de afwijking (: erreur) van f(x) van L kleiner gemaakt kan worden dan een willekeurig klein te kiezen positieve grootheid ε als we x maar voldoende groot kiezen. En dus komt er aan de definitie van lim_x→∞ f(x) = L geen willekeurig klein te kiezen verschil van x met een vaste grootheid c te pas, en dus ook geen δ. De formele definitie van lim_x→∞ f(x) = L is dat er voor elke ε > 0 een X₀ ∈ R bestaat zodanig dat |f(x) − L| < ε voor elke x > X₀. Evenzo betekent lim_x→−∞ f(x) = L dat er voor elke ε > 0 een X₀ ∈ R bestaat zodanig dat |f(x) − L| < ε voor elke x < X₀.

Je hebt inmiddels gezien dat het voldoende is om aan te tonen dat in

P(x) = a_nxⁿ(1+ f(x))

de waarde van |f(x)| tot nul nadert als we |x| steeds groter maken, maar het is niet handig om hier met de formele definities van limieten te werken, omdat je dan aan moet tonen dat zowel lim_x→∞ f(x) = 0 als lim_x→−∞ f(x) = 0. Bovendien hoef je helemaal niet zover te gaan: het is voldoende om aan te tonen dat er een X₀ > 0 bestaat zodanig dat |f(x)| < 1 voor |x| > X₀ want dan is −1 < f(x) < 1 en dus 0 < 1 + f(x) < 2, zodat P(x) = a_nxⁿ(1+ f(x)) hetzelfde teken heeft als a_nxⁿ voor |x| > X₀. En dan heeft P(x) dus een tegengesteld teken voor x > X₀ en voor x < −X₀ aangezien n oneven is.

Welnu, met behulp van de driehoeksongelijkheid hebben we

(1) |(a_n−1/a_n)x⁻¹ + (a_n−2/a_n)x⁻² + ... + (a₁/a_n)x⁻⁽ⁿ⁻¹⁾ + (a₀/a_n)x⁻ⁿ| ≤ |(a_n−1/a_n)x⁻¹| + |(a_n−2/a_n)x⁻²| + ... + |(a₁/a_n)x⁻⁽ⁿ⁻¹⁾| + |(a₀/a_n)x⁻ⁿ|

Definieer nu

(2) A := |(a_n−1/a_n)| + |(a_n−2/a_n)| + ... + |(a₁/a_n)| + |(a₀/a_n)|

en merk op dat A > 0 aangezien we a₀ ≠ 0 hebben verondersteld. Nu geldt verder voor |x| ≥ 1 en k ≥ 1 dat |x^−k| ≤ |x⁻¹|. Voor |x| ≥ 1 hebben we nu dus

(3) |(a_n−1/a_n)x⁻¹| + |(a_n−2/a_n)x⁻²| + ... + |(a₁/a_n)x⁻⁽ⁿ⁻¹⁾| + |(a₀/a_n)x⁻ⁿ| ≤ A·|x⁻¹|

Zij nu X₀ = max(1, A) en kies een r > X₀. Dan geldt voor |x| = r dat |x| > 1 en tevens |x| > A zodat |x⁻¹| < 1/A en dus A·|x⁻¹| < 1. Uit de ongelijkheden (1) en (3) volgt nu dat |f(x)| < 1 voor |x| = r. Is nu a_n > 0 dan is P(r) > 0 en P(−r) < 0. Is daarentegen a_n < 0 dan is P(r) < 0 en P(−r) > 0. In beide gevallen bestaat er volgens de tussenwaardestelling een x₀ ∈ [−r, r] zodanig dat P(x₀) = 0, QED.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 13-10-2013 20:34:57 ]

quote:

Op zondag 13 oktober 2013 16:15 schreef lyolyrc het volgende:

[..]

Zoals je de integraal nu berekent houd je geen rekening met de gevolgen van de absoluutstrepen voor de functie en de waarden waarvoor je de integraal evalueert. Waar ligt het nulpunt voor |x-3| en wat betekent dat voor de integraal?

quote:

Op zondag 13 oktober 2013 16:17 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Je moet onthouden dat:

|x-3| = x-3 voor x >= 3

en

|x-3| = -(x-3) voor x < 3

En zo kun je dus de integraal opdelen in 2 deelintegralen, en die kun je integreren.

Bedankt, is gelukt!