SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Kijk even hier.quote:Op woensdag 11 september 2013 17:34 schreef 2thmx het volgende:
Een kort vraagje, Stel, je hebt een kans op A, een kans op niet-A en binnen A heb je nog een kans op B. Kan je dan in zijn algemeenheid stellen dat geldt: P(A) * P(B|A) = P(B)?
Ik kom dan tot (ln(x)+6)*ln(x)quote:
Als dit je vrij weinig zegt, dan begrijp ik niet waarom je kennelijk wel geacht wordt dit soort vergelijkingen op te kunnen lossen.
Het algemene idee is dat als je hebt
A = B
dat dan ook moet gelden
ln(A) = ln(B)
mits A en B positieve grootheden voorstellen. Pas dit principe nu eens toe op je vergelijking en laat dan zien wat je krijgt. Hint: je moet verder ook nog gebruik maken van de rekenregel ln(ap) = p·ln(a).
ln(e-9). -9*ln(e) of -9
(ln(x)+6)*ln(x) =-9
Onoverwinnelijk/Rotterdam/Zeerover
https://www.playgwent.com/en/ - Official beta of Gwent: The Witcher Gard Game
https://www.playgwent.com/en/ - Official beta of Gwent: The Witcher Gard Game
Daar bracht google mij ook inderdaadquote:
, maar ik zie er eerlijk gezegd 't antwoord op mijn vraag niet in.
Voegt hoogtepunten toe aan jullie druilerige bestaan.
Juist. De vergelijking ziet er nu nog steeds lastig uit, maar dat is slechts schijn. Je ziet dat we in het linkerlid tweemaal ln(x) hebben. In zo'n geval is het zinnig om een substitutie te gebruiken om de vergelijking overzichtelijker te maken. Dat wil zeggen dat we ln(x) hier (tijdelijk!) even gaan vervangen door een andere variabele. Nu worden x en y vaak gebruikt bij grafieken van functies, dus neem ik het liefst de z, zodat er geen verwarring kan ontstaan. We stellen nu:quote:
[..]
Ik kom dan tot (ln(x)+6)*ln(x)
ln(e-9). -9*ln(e) of -9
(ln(x)+6)*ln(x) =-9
ln(x) = z
De vergelijking wordt dan
(z + 6)z = −9
Los nu eerst deze vergelijking op, zodat je de waarde(n) van z kent. Dan ken je ook de waarde(n) van ln(x) = z en is het dus eenvoudig om x = ez te bepalen.
Dus (z+6)z=-9quote:
[..]
Juist. De vergelijking ziet er nu nog steeds lastig uit, maar dat is slechts schijn. Je ziet dat we in het linkerlid tweemaal ln(x) hebben. In zo'n geval is het zinnig om een substitutie te gebruiken om de vergelijking overzichtelijker te maken. Dat wil zeggen dat we ln(x) hier (tijdelijk!) even gaan vervangen door een andere variabele. Nu worden x en y vaak gebruikt bij grafieken van functies, dus neem ik het liefst de z, zodat er geen verwarring kan ontstaan. We stellen nu:
ln(x) = z
De vergelijking wordt dan
(z + 6)z = −9
Los nu eerst deze vergelijking op, zodat je de waarde(n) van z kent. Dan ken je ook de waarde(n) van ln(x) = z en is het dus eenvoudig om x = ez te bepalen.
z2+6z=-9
z2+6z+9=0
(z+3)(z+3)=0
z=-3
ln(x)=-3
x=e-3
Klopt dat?
Onoverwinnelijk/Rotterdam/Zeerover
https://www.playgwent.com/en/ - Official beta of Gwent: The Witcher Gard Game
https://www.playgwent.com/en/ - Official beta of Gwent: The Witcher Gard Game
quote:
Een kort vraagje, Stel, je hebt een kans op A, een kans op niet-A en binnen A heb je nog een kans op B. Kan je dan in zijn algemeenheid stellen dat geldt: P(A) * P(B|A) = P(B)?
Deze situatie dus.
Als ik bv. A op 1/2 stel en B op 1/10, dan klopt het m.i. (1/2 * (1/10 / 1/2) = 1/10).
[ Bericht 5% gewijzigd door 2thmx op 11-09-2013 18:12:37 ]
Voegt hoogtepunten toe aan jullie druilerige bestaan.
Dan begrijp je er dus nog niets van. Laten we eens een dobbelsteen bekijken en laten we zeggen dat P(A) de kans is op een even getal bij het werpen met de dobbelsteen. Dan is P(A) = 1/2. Hierbinnen heb je weer drie gelijkwaardige mogelijkheden, namelijk 2, 4 en 6. De kans P(B|A) op het werpen van een 6 als je al weet dat er een even getal is geworpen is dus 1/3. En inderdaad is de kans op het werpen van een zes P(B) = P(A) · P(B|A) = 1/2 · 1/3 = 1/6. Je kunt omgekeerd ook zeggen dat de kans op het werpen van een even getal als je al weet dat er een zes is geworpen gelijk is aan 100%, en inderdaad heb je P(A|B) = (P(B|A) · P(A))/P(B) = (1/3 · 1/2)/(1/6) = 1. Zie je het nu?quote:
[..]
Daar bracht google mij ook inderdaad
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 11-09-2013 20:22:27 ]
Dat is correct. Je ziet dat het reuze meevalt!quote:
[..]
Dus (z+6)z=-9
z2+6z=-9
z2+6z+9=0
(z+3)(z+3)=0
z=-3
ln(x)=-3
x=e-3
Klopt dat?
Dankquote:
[..]
Dan begrijp je er dus nog niets van. Laten we eens een dobbelsteen bekijken en laten we zeggen dat A de kans is op een even getal bij het werpen met de dobbelsteen. Dan is P(A) = 1/2. Hierbinnen heb je weer drie gelijkwaardige mogelijkheden, namelijk 2, 4 en 6. De kans P(B|A) op het werpen van een 6 als je al weet dat er een even getal is geworpen is dus 1/3. En inderdaad is de kans op het werpen van een zes P(B) = P(A) · P(B|A) = 1/2 · 1/3 = 1/6. Je kunt omgekeerd ook zeggen dat de kans op het werpen van een even getal als je al weet dat er een zes is geworpen gelijk is aan 100%, en inderdaad heb je P(A|B) = (P(B|A) · P(A))/P(B) = (1/3 · 1/2)/(1/6) = 1. Zie je het nu?
. Had al 't idee dat 't wel klopte, maar had even de bevestiging nodig van iemand met meer parate wiskundekennis 
.
Voegt hoogtepunten toe aan jullie druilerige bestaan.
Is waar, maar soms zie ik het even niet meer als er te veel in staat, reuze bedankt in ieder gevalquote:
[..]
Dat is correct. Je ziet dat het reuze meevalt!
Onoverwinnelijk/Rotterdam/Zeerover
https://www.playgwent.com/en/ - Official beta of Gwent: The Witcher Gard Game
https://www.playgwent.com/en/ - Official beta of Gwent: The Witcher Gard Game
Laat ik even beginnen met je laatste regel. Het is gegeven dat f continu is op het interval [0,1] en dat het bereik van f op het domein [0,1] ook [0,1] is. Zoals ik al aangegeven heb in mijn middelste stuk is het vrij eenvoudig in te zien dat f dan ook de lijn y=x snijdt, maar dat is uiteraard geen bewijs.quote:
[..]
Nee, dat mag je 'gewoon' niet zeggen. Hier neem je aan dat f(x) alle waarden op het interval [0,1] aanneemt, maar dat weten we helemaal niet. Je doet dus een gratuďte aanname. En verder klopt je gevolgtrekking niet: uit f(c) = k volgt niet dat er een waarde c = k bestaat, je 'en dus bestaat er ook ...' is een non sequitur. De tussenwaardestelling voor een continue functie f(x) op een interval [a,b] zegt dat als f(a) ≠ f(b) dat er dan voor een k tussen f(a) en f(b) een c op [a,b] bestaat waarvoor f(c) = k, niets meer en niets minder. De stelling garandeert niet dat er dan ook een c op [a,b] bestaat waarvoor f(c) = c, en het is evident dat dit in zijn algemeenheid ook niet zo hoeft te zijn, omdat f(a) en f(b), en dus ook alle tussenliggende waarden, helemaal niet op het interval [a,b] hoeven te liggen.
Je moet inderdaad de hint bij de opgave ter harte nemen en de tussenwaardestelling toepassen op g(x) = f(x) − x. Nu maar weer even zelf na gaan denken.
Ik begrijp dat f(x) natuurlijk niet noodzakelijkerwijs alle waarden aanneemt tussen 0 en 1 op het interval [0,1].
Maar laat ik dan maar naar de tussenwaardestelling gaan kijken voor g(x) = f(x) - x
0 ≤ f(x) ≤ 1 voor 0 ≤ x ≤ 1 (volgens mij impliceert dit niet dat f(x) en x rechtevenredig zijn met constante 1? Dat bedoel ik in ieder geval niet)
Moet ik dan nu het domein en bijbehorende bereik van g(x) bepalen? Ik 'denk' dat het bereik als volgt is:
-x ≤ f(x) - x ≤ x is equivalent met -x ≤ g(x) ≤ x
Maar op welk domein dit is zou ik zo niet weten Wellicht [-1, 0]. Of denk ik helemaal verkeerd?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Let op je taalgebruik. Als je zegt dat het bereik [0,1] is, dan worden ook alle waardes in [0,1] aangenomen. Je bedoelt dat het co-domein [0,1] is.quote:Op woensdag 11 september 2013 18:36 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Laat ik even beginnen met je laatste regel. Het is gegeven dat f continu is op het interval [0,1] en dat het bereik van f op het domein [0,1] ook [0,1] is. Zoals ik al aangegeven heb in mijn middelste stuk is het vrij eenvoudig in te zien dat f dan ook de lijn y=x snijdt, maar dat is uiteraard geen bewijs.
Ik begrijp dat f(x) natuurlijk niet noodzakelijkerwijs alle waarden aanneemt tussen 0 en 1 op het interval [0,1].
Maar laat ik dan maar naar de tussenwaardestelling gaan kijken voor g(x) = f(x) - x
0 ≤ f(x) ≤ 1 voor 0 ≤ x ≤ 1 (volgens mij impliceert dit niet dat f(x) en x rechtevenredig zijn met constante 1? Dat bedoel ik in ieder geval niet)
Moet ik dan nu het domein en bijbehorende bereik van g(x) bepalen? Ik 'denk' dat het bereik als volgt is:
-x ≤ f(x) - x ≤ x is equivalent met -x ≤ g(x) ≤ x
Maar op welk domein dit is zou ik zo niet weten Wellicht [-1, 0]. Of denk ik helemaal verkeerd?
Daarna is het allemaal nogal verwarrend wat je zegt. Ergens tussen de regels lees ik wel dat je het bereik van g wilt bepalen. Zoiets moet je wel doen inderdaad, alleen het hele bereik is niet belangrijk: het er vooral om of 0 bereikt wordt. Merk op dat 'er een c is zodat f(c)=c' equivalent is met 'er is een c zodat g(c)=0'.
Oh ja natuurlijk. Die term kende ik nog niet.quote:
[..]
Let op je taalgebruik. Als je zegt dat het bereik [0,1] is, dan worden ook alle waardes in [0,1] aangenomen. Je bedoelt dat het co-domein [0,1] is.
Daarna is het allemaal nogal verwarrend wat je zegt. Ergens tussen de regels lees ik wel dat je het bereik van g wilt bepalen. Zoiets moet je wel doen inderdaad, alleen het hele bereik is niet belangrijk: het er vooral om of 0 bereikt wordt. Merk op dat 'er een c is zodat f(c)=c' equivalent is met 'er is een c zodat g(c)=0'.
Ik kom er niet goed uit. Ik kan in een tekeningetje heel eenvoudig uitleggen dat het allemaal wel klopt (intuďtief), maar ik kan het formeel niet uitleggen. Uit je laatste zin volgt dat g(c) = 0 impliceert dat f(c) - c = 0 en dus f(c) = c.
Maar hoe laat ik zien dat g(x) = f(x) - x een nulpunt heeft binnen het domein waar de functie continu is.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Nee, dat staat er om te beginnen al niet. Een citaat uit de opgave uit jouw post:quote:
[..]
Laat ik even beginnen met je laatste regel. Het is gegeven dat f continu is op het interval [0,1] en dat het bereik van f op het domein [0,1] ook [0,1] is. Zoals ik al aangegeven heb in mijn middelste stuk is het vrij eenvoudig in te zien dat f dan ook de lijn y=x snijdt, maar dat is uiteraard geen bewijs.
Suppose that f is continuous on the closed interval [0,1] and that 0 ≤ f(x) ≤ 1 for every x in [0,1]
Het bereik is de verzameling van alle functiewaarden die f(x) aanneemt op het interval [0,1] en die verzameling hoeft helemaal niet identiek te zijn met [0,1]. Je weet alleen dat f(x) voor 0 ≤ x ≤ 1 op het interval [0, 1] ligt, niet dat f(x) elke waarde op het interval [0, 1] ook aanneemt. Neem bijvoorbeeld f(x) = ½x + ¼, dan is f([0, 1]) = [¼, ¾] en dus niet [0, 1].
Juist, maar dat is dan in tegenspraak met wat je hierboven zegt over het bereik van de functie.quote:Ik begrijp dat f(x) natuurlijk niet noodzakelijkerwijs alle waarden aanneemt tussen 0 en 1 op het interval [0,1].
Juist. Het is echt heel eenvoudig maar ik heb eigenlijk geen zin om het voor te doen want daar leer je niets van. Denk er vanavond nog maar eens goed over na.quote:Maar laat ik dan maar naar de tussenwaardestelling gaan kijken voor g(x) = f(x) - x
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 11-09-2013 19:15:34 ]
Met de tussenwaardestelling dus. De oplossing is alleen leuk als je hem zelf vindt. Als je niet ziet wat je kan doen, helpt het soms om aan te nemen dat de stelling niet waar is. Misschien dat je dan een idee krijgt.quote:
[..]
Oh ja natuurlijk. Die term kende ik nog niet.
Ik kom er niet goed uit. Ik kan in een tekeningetje heel eenvoudig uitleggen dat het allemaal wel klopt (intuďtief), maar ik kan het formeel niet uitleggen. Uit je laatste zin volgt dat g(c) = 0 impliceert dat f(c) - c = 0 en dus f(c) = c.
Maar hoe laat ik zien dat g(x) = f(x) - x een nulpunt heeft binnen het domein waar de functie continu is.
Ik hoef het pas volgende week in te leveren, en ik heb ook al een college Verzamelingenleer dat ik nog eens rustig moet overdenken om de docent zijn geneuzel over transitieve afsluitingen enzulks te begrijpen.quote:
[..]
Nee, dat staat er om te beginnen al niet. Een citaat uit de opgave uit jouw post:
Suppose that f is continuous on the closed interval [0,1] and that 0 ≤ f(x) ≤ 1 for every x in [0,1]
Het bereik is de verzameling van alle functiewaarde die f(x) aanneemt op het interval [0,1] en die verzameling hoeft helemaal niet identiek te zijn met [0,1]. Je weet alleen dat f(x) voor 0 ≤ x ≤ 1 op het interval [0, 1] ligt, niet dat f(x) elke waarde op het interval [0, 1] ook aanneemt. Neem bijvoorbeeld f(x) = ˝x + Ľ, dan is f([0, 1]) = [Ľ, ľ] en dus niet [0, 1].
[..]
Juist, maar dat is dan in tegenspraak met wat je hierboven zegt over het bereik van de functie.
[..]
Juist. Het is echt heel eenvoudig maar ik heb eigenlijk geen zin om het voor te doen want daar leer je niets van. Denk er vanavond nog maar eens goed over na.
Is het domein van g(x) belangrijk? Ik heb al gezegd dat ik niet zo goed weet hoe ik het domein van g(x) afleidt uit het domein van f(x).quote:
[..]
Met de tussenwaardestelling dus. De oplossing is alleen leuk als je hem zelf vindt. Als je niet ziet wat je kan doen, helpt het soms om aan te nemen dat de stelling niet waar is. Misschien dat je dan een idee krijgt.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
g(x):=f(x)-x, dus g(x) is alleen zinvol gedefinieerd voor x in [0,1], omdat anders f(x) (en dus g(x)) niet gedefinieerd is.quote:
Is het domein van g(x) belangrijk? Ik heb al gezegd dat ik niet zo goed weet hoe ik het domein van g(x) afleidt uit het domein van f(x).
Ik kan mezelf wel voor m'n kop slaan.quote:
[..]
g(x):=f(x)-x, dus g(x) is alleen zinvol gedefinieerd voor x in [0,1], omdat anders f(x) niet gedefinieerd is.
g(x) = 0 is equivalent met f(x) - x = 0
Stel dat g(x) op het interval [0,1] nooit 0 is. Dan f(x) - x < 0 of f(x) - x > 0
dus f(x) < x of f(x) > x
stel dat x = 1, dan f(1) > 1 en dat is een contradictie.
stel x = 0 dan f(0) < 0 en ook dat is in tegenspraak met de gegevens in de vraagstelling. Dus er bestaat een punt c zodanig dat g(c) = 0, en dus f(c) - c = 0 en dus f(c) = c
Is dit juist?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Dat is correctquote:
[..]
Ik kan mezelf wel voor m'n kop slaan.
g(x) = 0 is equivalent met f(x) - x = 0
Stel dat g(x) op het interval [0,1] nooit 0 is. Dan f(x) - x < 0 of f(x) - x > 0
dus f(x) < x of f(x) > x
stel dat x = 1, dan f(1) > 1 en dat is een contradictie.
stel x = 0 dan f(0) < 0 en ook dat is in tegenspraak met de gegevens in de vraagstelling. Dus er bestaat een punt c zodanig dat g(c) = 0, en dus f(c) - c = 0 en dus f(c) = c
Is dit juist?
. Eigenlijk kan je het ook gewoon direct bewijzen (dus zonder bewijs uit het ongerijmde):
Als f(0)=0 of f(1)=1, dan ben je klaar. Dus neem aan dat f(0)>0 en f(1)<1. Dan geldt dus g(0)>0 en g(1)<0. Uit de tussenwaardestelling volgt dus dat er een c bestaat zodat g(c)=0, zoals gewenst.
g(c) = 0 toch?quote:
[..]
Dat is correct
Eigenlijk kan je het ook gewoon direct bewijzen (dus zonder bewijs uit het ongerijmde):
Als f(0)=0 of f(1)=1, dan ben je klaar. Dus neem aan dat f(0)>0 en f(1)<1. Dan geldt dus g(0)>0 en g(1)<0. Uit de tussenwaardestelling volgt dus dat er een c bestaat zodat g(c)=c, zoals gewenst.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ja, ik begrijp het. Wat Riparius zegt; doodeenvoudig eigenlijk. Als je het maar snapt ja. Als..quote:Op woensdag 11 september 2013 19:30 schreef thenxero het volgende:
[..]
Uiteraard, g(c)=0 ofwel f(c)=c.
Goed, dan zal ik het de rest wel even op weg schoppen.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Het begin is altijd lastig. Als je wat routine hebt opgebouwd, schud je dit ook zo uit je mouw.quote:
[..]
Ja, ik begrijp het. Wat Riparius zegt; doodeenvoudig eigenlijk. Als je het maar snapt ja. Als..
Goed, dan zal ik het de rest wel even op weg schoppen.
Er zit een subtiele fout in je redenering. Je zegt dat als g(x) nooit de waarde 0 aanneemt op het interval [0,1] dat dan geldt f(x) - x < 0 of f(x) - x > 0 voor elke x ∈ [0,1]. Dit is uiteraard juist, maar je kunt hier geen tegenspraak uit afleiden, want dan kan volgens je eigen aanname ook f(1) < 1 zijn en f(0) > 0 zodat er geen tegenspraak is. Je bewijs is dus onjuist. Het directe bewijs met de tussenwaardestelling zoals thenxero dat aangeeft is uiteraard wel juist.quote:
[..]
Ik kan mezelf wel voor m'n kop slaan.
g(x) = 0 is equivalent met f(x) - x = 0
Stel dat g(x) op het interval [0,1] nooit 0 is. Dan f(x) - x < 0 of f(x) - x > 0
dus f(x) < x of f(x) > x
stel dat x = 1, dan f(1) > 1 en dat is een contradictie.
stel x = 0 dan f(0) < 0 en ook dat is in tegenspraak met de gegevens in de vraagstelling. Dus er bestaat een punt c zodanig dat g(c) = 0, en dus f(c) - c = 0 en dus f(c) = c
Is dit juist?
