SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Ik weet er niet het fijne van maar ik kan wel zeggen dat grafische kaarten dankzij het hebben van veel processoren bij uitstek geschikt zijn voor het uitvoeren van veel parallelle berekeningen met een hoge snelheid (het is precies dat waarvoor ze ontworpen zijn aangezien dat is vereist voor uitdagende animaties), hiermee zouden ze zich goed moeten lenen voor cryptografie.
[ Bericht 9% gewijzigd door Bram_van_Loon op 21-09-2013 16:23:24 ]
[ Bericht 9% gewijzigd door Bram_van_Loon op 21-09-2013 16:23:24 ]
ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL
#NoDAPL
Ik denk het wel ja. Er was hier op de UU laatst nog een masterthesis over de toepassing van CUDA (een programmeertaal om GPU's mee te programmeren) bij moleculaire simulaties ("Molecular Simulations using CUDA"). CUDA is inderdaad perfect voor dat soort dingenquote:Op zaterdag 21 september 2013 16:17 schreef Bram_van_Loon het volgende:
Ik weet er niet het fijne van maar ik kan wel zeggen dat grafische kaarten dankzij het hebben van veel processoren bij uitstek geschikt zijn voor het uitvoeren van veel parallelle berekeningen met een hoge snelheid (het is precies dat waarvoor ze ontworpen zijn aangezien dat is vereist voor uitdagende animaties), hiermee zouden ze zich goed moeten lenen voor cryptografie.
Ik ben zelf ook zo'n cursusje op udacity aan het volgen 'parallel computing' oid. Het wordt niet heel boeiend gebracht, maar voor informatici heel nuttig om te leren, denk ik.
Hallo Fok!,
Ik begrijp een stukje theorie in mijn wiskundeboek niet.
Het is maar de tweede bladzijde van de paragraaf dus eigenlijk nog echt basisstof.
Foto's van theorie:
Voor de duidelijkheid, het stukje wat ik niet snap staat op de tweede foto.
Wat heeft de normaalvector te maken met een parametervoorstelling omwerken naar een ''normale'' vergelijking?
Voor mijn gevoel is de uitkomst nu een lijn die loodrecht staat op de parametervoorstelling, wat natuurlijk niet zo is.
Ik kon de sommen die na dit stukje theorie komen wel gewoon maken aangezien het niet moeilijk is om een richtingsvector om te draaien.
Maar snappen doe ik het niet.
Ik hoop dat jullie mijn verhaal wel snappen en iemand mij het iets duidelijker kan maken.
Ik begrijp een stukje theorie in mijn wiskundeboek niet.
Het is maar de tweede bladzijde van de paragraaf dus eigenlijk nog echt basisstof.
Foto's van theorie:
Voor de duidelijkheid, het stukje wat ik niet snap staat op de tweede foto.
Wat heeft de normaalvector te maken met een parametervoorstelling omwerken naar een ''normale'' vergelijking?
Voor mijn gevoel is de uitkomst nu een lijn die loodrecht staat op de parametervoorstelling, wat natuurlijk niet zo is.
Ik kon de sommen die na dit stukje theorie komen wel gewoon maken aangezien het niet moeilijk is om een richtingsvector om te draaien.
Maar snappen doe ik het niet.
Ik hoop dat jullie mijn verhaal wel snappen en iemand mij het iets duidelijker kan maken.
Maak bij de volgende uitleg die ik je nu ga geven zelf een tekening, dan begrijp je het hopelijk wel.quote:
Hallo Fok!,
Ik begrijp een stukje theorie in mijn wiskundeboek niet.
Het is maar de tweede bladzijde van de paragraaf dus eigenlijk nog echt basisstof.
Foto's van theorie:
[ afbeelding ]
[ afbeelding ]
Voor de duidelijkheid, het stukje wat ik niet snap staat op de tweede foto.
Wat heeft de normaalvector te maken met een parametervoorstelling omwerken naar een ''normale'' vergelijking?
Voor mijn gevoel is de uitkomst nu een lijn die loodrecht staat op de parametervoorstelling, wat natuurlijk niet zo is.
Ik kon de sommen die na dit stukje theorie komen wel gewoon maken aangezien het niet moeilijk is om een richtingsvector om te draaien.
Maar snappen doe ik het niet.
Ik hoop dat jullie mijn verhaal wel snappen en iemand mij het iets duidelijker kan maken.
Stel dat we in een plat vlak voorzien van een cartesisch assenstelsel een rechte lijn l hebben die niet door de oorsprong gaat en dat v0 een vaste vector is met een eindpunt op deze lijn l en dat v een willekeurige vector is met eveneens een eindpunt op lijn l. Teken nu de verschilvector v − v0, dan zul je zien dat deze verschilvector evenwijdig is aan de lijn l (mits het eindpunt van de variabele vector v op lijn l niet samenvalt met het eindpunt van de vaste vector v0 op lijn l).
Teken nu ook een normaalvector n voor lijn l, dat is een vector die loodrecht op lijn l staat. De lengte van deze normaalvector doet er niet toe, maar uiteraard mag dit niet de nulvector zijn.
Omdat de verschilvector v − v0 evenwijdig is aan l terwijl vector n loodrecht op l staat, staan deze beide vectoren onderling ook loodrecht op elkaar. Maar dat betekent dat het inproduct van n en v − v0 gelijk is aan nul, dus
n·(v − v0) = 0
Welnu, stel dat het eindpunt van vector n de coördinaten (a; b) heeft, dus
n = (a, b)
Laten we verder zeggen dat de coördinaten van het eindpunt op lijn l van de vaste vector v0 gelijk zijn aan (x0; y0), dus
v0 = (x0, y0)
De variabele coördinaten van de variabele vector v met eindpunt op lijn l kunnen we aangeven met (x; y) zodat
v = (x, y)
Voor de verschilvector v − v0 hebben we zo dus
v − v0 = (x − x0, y − y0)
En omdat we al zagen dat het inproduct van n en v − v0 gelijk is aan 0 geldt dus
a(x − x0) + b(y − y0) = 0
voor elk punt met coördinaten (x; y) dat op lijn l ligt. Maar dat betekent niets anders dan dat we hier een cartesische vergelijking van onze lijn l hebben. Door de haakjes uit te werken en de constante termen over te brengen naar het rechterlid kun je deze vergelijking ook schrijven als
ax + by = ax0 + by0
Zo zie je dus waarom de coëfficiënten a en b van deze cartesische vergelijking van lijn l niets anders zijn dan de coördinaten (a; b) van het eindpunt van de normaalvector n die we gekozen hadden voor onze lijn!
Zoals gezegd doet de lengte (en de zin) van de gekozen normaalvector n voor de lijn l er niet toe, zolang deze vector maar niet de nulvector is en wel loodrecht op de lijn staat. Dit kun je ook goed zien in de cartesische vergelijking voor onze lijn l: als je beide leden van de vergelijking met een reëel getal ongelijk aan nul vermenigvuldigt, dan krijg je een vergelijking die equivalent is met de oorspronkelijke en dus nog steeds dezelfde lijn voorstelt. De coëfficiënten a en b zijn dus niet uniek, elk ander paar dat we krijgen door a en b elk met hetzelfde reële getal ongelijk aan nul te vermenigvuldigen zal ook voldoen.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 22-09-2013 08:09:24 ]
Hoe isoleer ik x?quote:Op dinsdag 10 september 2013 17:40 schreef wiskundenoob het volgende:
[..]
Hoe los je dit op 3^x = 26?
3^x = (3^3) -1
Maak gebruik van de logaritme:quote:
[..]
Hoe isoleer ik x?
3^x = (3^3) -1
Voor aq = x geldt alog(x)=q (a en x groter dan 0, a ongelijk aan 1)
Kun je de vergelijking die jij geeft naar die eerste vorm krijgen, zodat je over kan naar de tweede vorm? Hint: Wat is 33?
Om te beginnen: gebruik superscript voor het grondtal van de logaritme. Schrijf dusquote:
x = 3^log(26)
Als dit klopt hoe reken je dit handmatig uit?
x = 3log 26
Haakjes om de 26 zijn hier niet nodig, maar ze mogen uiteraard wel.
Nu iets over het handmatig berekenen van logaritmen. Het pragmatische antwoord op de vraag hoe je dit handmatig berekent is: niet. We hebben immers calculators, en daarmee vind je gemakkelijk dat
3log 26 ≈ 2,96564727
Overigens hebben calculators geen logaritmen met grondtal 3, dus moet je de logaritme dan wel eerst omzetten in een logaritme met grondtal 10 (de zogeheten 'gewone' of Briggse logaritmen) of in een logaritme met het bijzondere grondtal e, ook wel het getal van Euler genoemd. Logaritmen met grondtal e worden natuurlijke logaritmen genoemd en meestal (in ieder geval op rekenmachines) aangegeven met het symbool ln, dat staat voor logarithmus naturalis. De 'gewone' of Briggse logaritmen worden op rekenmachines aangegeven met het symbol log.
Om een logaritme met een bepaald grondtal g om te zetten in een logaritme met een ander grondtal b (Engels: base) kun je gebruik maken van de rekenregel
glog a = blog a / blog g
Deze rekenregel lijkt mischien lastig om te onthouden, maar onthouden wordt een stuk eenvoudiger als je de regel eerst even opschrijft in de zogeheten kettingvorm
blog g · glog a = blog a
Beide leden hiervan delen door blog g geeft dan bovenstaande betrekking. Met deze betrekking kunnen we nu zeggen dat
3log 26 = 10log 26 / 10log 3
en ook
3log 26 = ln 26 / ln 3
Nu kun je elke gewone rekenmachine (ook de calculator van Windows) gebruiken om 3log 26 uit te rekenen.
Maar goed, als nieuwsgierig wiskundenoobje ben je vast niet tevreden met dit antwoord, en wil je weten hoe men dit vroeger dan deed, toen er geen rekenmachines bestonden.
Welnu, vroeger gebruikte men hiervoor logaritmentafels. Dat zijn zeer uitgebreide tabellenboekjes (zeg maar rustig boekwerken) waarin meestal de Briggse logaritmen werden gegeven. Die tabellen zijn in vroeger eeuwen allemaal met de hand berekend door mensen als John Napier, Henry Briggs, Ezechiel de Decker en Adriaen Vlacq, die daar allemaal jaren van hun leven aan hebben besteed.
Maar nu de hamvraag, hoe kun je logaritmen berekenen? Daar zijn verschillende manieren voor, maar het zou te ver voeren daar uitgebreid op in te gaan. Briggs bijvoorbeeld deed dat door te beginnen met het getal 10 en daar herhaaldelijk (tot 27 maal toe!) de vierkantswortel uit te trekken, benaderd tot pakweg 16 cijfers achter de komma (daarvoor bestaat een algoritme dat je met pen en papier kunt uitvoeren) en door vervolgens gebruik te maken van interpolaties. Het idee hierbij is dat als je eenmaal weet dat 101/p = qn voor p = 2n, n = 1, 2, 3 ... dat je dan ook weet dat log qn = 1/2n. Vervolgens kun je dan door gebruik te maken van de rekenregel log ab = log a + log b eenvoudig logaritmen voor tussenliggende waarden berekenen, en door gebruik te maken van (lineaire) interpolatie kun je dan weer logaritmen van 'mooie' getallen in elke gewenste nauwkeurigkeid benaderen en zo een complete tabel samenstellen.
Een andere manier, althans voor natuurlijke logaritmen, is om gebruik te maken van reeksontwikkelingen. Voor ln(1 + x) heb je de volgende beroemde reeksontwikkeling die is vernoemd naar Nikolaus Mercator:
ln(1 + x) = x − x2/2 + x3/3 − x4/4 + ...
Nu is er alleen een grote maar ... Deze reeks convergeert alleen voor −1 < x ≤ 1. Convergeren wil zeggen dat je steeds dichter bij de 'echte' waarde - in dit geval ln(1 + x) - komt naarmate je meer termen van de reeks berekent en steeds optelt resp. aftrekt. Maar zodra je gaat proberen om hiermee bijvoorbeeld ln 3 te berekenen door x = 2 in te vullen, zul je ontdekken dat je niet meer steeds dichter bij een bepaalde waarde komt: de reeks divergeert dan.
Het lijkt dus alsof deze reeks waardeloos is als we bijvoorbeeld onze ln 26 en ln 3 met de hand zouden willen berekenen (benaderen). Maar dat is toch niet het geval. We kunnen een trucje uithalen. Als we in bovenstaande reeks de x vervangen door −x, dan krijgen we
ln(1 − x) = −x − x2/2 − x3/3 − x4/4 − ...
En als we nu deze tweede reeks van de eerste hierboven aftrekken, dan hebben we
ln(1 + x) − ln(1 − x) = 2x + 2x3/3 + 2x5/5 + ...
En volgens de bekende rekenregel ln a − ln b = ln(a/b) hebben we dus
ln((1 + x)/(1 − x)) = 2x + 2x3/3 + 2x5/5 + ...
Nu kunnen we voor x nog steeds alleen maar waarden tussen −1 en +1 gebruiken, maar kijk eens wat we nu hebben. We willen berekenen
3log 26 = ln 26 / ln 3 = (ln 2 + ln 13) / ln 3
We moeten dus de natuurlijke logaritmen van 2, van 3 en van 13 bepalen. Als je nu achtereenvolgens x = 1/3, x = 1/2 en x = 6/7 invult, dan wordt (1 + x)/(1 − x) resp. 2, 3 en 13, en zo kunnen we dus ln 2, ln 3 en ln 13 wél bepalen!
Overigens is het verstandig om te werken met waarden van x die liefst niet te ver van 0 liggen, omdat de reeks dan beter convergeert. Maar ook dát kunnen we voor elkaar krijgen: als we eenmaal ln 2 en ln 3 hebben bepaald, dan kennen we ook ln 4 = 2·ln 2 en daarmee ook ln 12 = ln 4 + ln 3. Vervolgens kun je dan x = 1/25 invullen om ln(13/12) te berekenen, en dan heb je ook ln 13 = ln 12 + ln(13/12).
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 22-09-2013 08:22:15 ]
Allereerst bedankt voor deze uitgebreide uitleg!quote:
[..]
Maak bij de volgende uitleg die ik je nu ga geven zelf een tekening, dan begrijp je het hopelijk wel.
Stel dat we in een plat vlak voorzien van een cartesisch assenstelsel een rechte lijn l hebben die niet door de oorsprong gaat en dat v0 een vaste vector is met een eindpunt op deze lijn l en dat v een willekeurige vector is met eveneens een eindpunt op lijn l. Teken nu de verschilvector v − v0, dan zul je zien dat deze verschilvector evenwijdig is aan de lijn l (mits het eindpunt van de variabele vector v op lijn l niet samenvalt met het eindpunt van de vaste vector v0 op lijn l).
Teken nu ook een normaalvector n voor lijn l, dat is een vector die loodrecht op lijn l staat. De lengte van deze normaalvector doet er niet toe, maar uiteraard mag dit niet de nulvector zijn.
Omdat de verschilvector v − v0 evenwijdig is aan l terwijl vector n loodrecht op l staat, staan deze beide vectoren onderling ook loodrecht op elkaar. Maar dat betekent dat het inproduct van n en v − v0 gelijk is aan nul, dus
n·(v − v0) = 0
Welnu, stel dat het eindpunt van vector n de coördinaten (a; b) heeft, dus
n = (a, b)
Laten we verder zeggen dat de coördinaten van het eindpunt op lijn l van de vaste vector v0 gelijk zijn aan (x0; y0), dus
v0 = (x0, y0)
De variabele coördinaten van de variabele vector v met eindpunt op lijn l kunnen we aangeven met (x; y) zodat
v = (x, y)
Voor de verschilvector v − v0 hebben we zo dus
v − v0 = (x − x0, y − y0)
En omdat we al zagen dat het inproduct van n en v − v0 gelijk is aan 0 geldt dus
a(x − x0) + b(y − y0) = 0
voor elk punt met coördinaten (x; y) dat op lijn l ligt. Maar dat betekent niets anders dan dat we hier een cartesische vergelijking van onze lijn l hebben. Door de haakjes uit te werken en de constante termen over te brengen naar het rechterlid kun je deze vergelijking ook schrijven als
ax + by = ax0 + by0
Zo zie je dus waarom de coëfficiënten a en b van deze cartesische vergelijking van lijn l niets anders zijn dan de coördinaten (a; b) van het eindpunt van de normaalvector n die we gekozen hadden voor onze lijn!
Zoals gezegd doet de lengte (en de zin) van de gekozen normaalvector n voor de lijn l er niet toe, zolang deze vector maar niet de nulvector is en wel loodrecht op de lijn staat. Dit kun je ook goed zien in de cartesische vergelijking voor onze lijn l: als je beide leden van de vergelijking met een reëel getal ongelijk aan nul vermenigvuldigt, dan krijg je een vergelijking die equivalent is met de oorspronkelijke en dus nog steeds dezelfde lijn voorstelt. De coëfficiënten a en b zijn dus niet uniek, elk ander paar dat we krijgen door a en b elk met hetzelfde reële getal ongelijk aan nul te vermenigvuldigen zal ook voldoen.
Het begint iets duidelijker te worden. De tweede helft van je uitleg snap ik wel redelijk.
Helaas denk ik dat je mijn kennis van vectoren een beetje overschat hebt, eigenlijk maak ik hier voor het eerst kennis met vectoren.
Ik dacht dat vectoren gewoon weer een andere manier van noteren voor een rechte lijn was.
Na wat googelen ben ik wel wat wijzer geworden, maar ik heb geen idee hoe ik de door jouw genoemde vectoren moet tekenen. Ik begrijp niet wat je bedoeld met termen als vaste vector en inproduct.
Nogmaals bedankt voor de moeite die je er in steekt!
Ik moet aantonen dat ze elkaar snijden en het snijpunt geven, maar ik heb echt geen idee hoe. Ik heb al geprobeerd de 'stukjes' aan elkaar gelijk te stellen, dus bijvoorbeeld 14+3t=5+3s, maar daar kom ik ook niet zover mee omdat ik dan nog steeds twee variabelen heb. Ook substitueren leverde weinig op. 14-3t=5+3(s+t) is natuurlijk wel gelijk aan elkaar, maar dan heb ik nog steeds geen waarde voor s en t.
Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.
Voor de x, y en z coordinaat krijg je een vergelijking in de variabelen s en t. Dit stelsel van vergelijkingen moet tegelijkertijd waar zijn. Een oplossing hiervoor kan je vinden mbv Gaussische eliminatie.quote:
[ afbeelding ]
Ik moet aantonen dat ze elkaar snijden en het snijpunt geven, maar ik heb echt geen idee hoe. Ik heb al geprobeerd de 'stukjes' aan elkaar gelijk te stellen, dus bijvoorbeeld 14+3t=5+3s, maar daar kom ik ook niet zover mee omdat ik dan nog steeds twee variabelen heb. Ook substitueren leverde weinig op. 14-3t=5+3(s+t) is natuurlijk wel gelijk aan elkaar, maar dan heb ik nog steeds geen waarde voor s en t.
Gaussische wat? Nog nooit van gehoord.quote:Op zondag 22 september 2013 13:43 schreef Wolfje het volgende:
[..]
Voor de x, y en z coordinaat krijg je een vergelijking in de variabelen s en t. Dit stelsel van vergelijkingen moet tegelijkertijd waar zijn. Een oplossing hiervoor kan je vinden mbv Gaussische eliminatie.
Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.
Gauss-Jordan eliminatie. Een manier om een stelsel vergelijkingen op te lossen. In de volksmond wordt het ook wel het vegen van een matrix genoemd.quote:
[..]
Gaussische wat? Nog nooit van gehoord.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Eh, kan je dat misschien uitleggen? Want het enige wat ik met een matrix kan is een dot product berekenen.quote:
[..]
Gauss-Jordan eliminatie. Een manier om een stelsel vergelijkingen op te lossen. In de volksmond wordt het ook wel het vegen van een matrix genoemd.
Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.
http://www.win.tue.nl/~rvhassel/Onderwijs/2DS06/ohroot.pdfquote:
[..]
Eh, kan je dat misschien uitleggen? Want het enige wat ik met een matrix kan is een dot product berekenen.
In 3.5 staat het uitgelegd.
I asked God for a bike, but I know God doesn't work that way.
So I stole a bike and asked for forgiveness.
So I stole a bike and asked for forgiveness.
Je veegt een matrix naar de normaalvorm. M.a.w. staat er dan in je matrix x = 2, y = 4, z = 7 , c = 4 etc. etc.quote:
[..]
Eh, kan je dat misschien uitleggen? Want het enige wat ik met een matrix kan is een dot product berekenen.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ik heb de links die je gepost hebt enigszins bestudeerd en ik heb de indruk dat de matrices waarover wordt gesproken helemaal geen lineaire afbeeldingen zijn. Je moet ze volgens mij eerder opvatten als een soort tabellen met informatie.quote:
[..]
Op zichzelf weet ik voldoende van de wiskunde, maar niet dit type matrices. Er is een wiki-artikel dat erover gaat: http://en.wikipedia.org/wiki/Needleman–Wunsch_algorithm
en deze site: http://www.maths.tcd.ie/~lily/pres2/sld001.htm
Maar het gaat mij om de toepassing van matrices in dit geheel.
quote:
[ afbeelding ]
Ik moet aantonen dat ze elkaar snijden en het snijpunt geven, maar ik heb echt geen idee hoe. Ik heb al geprobeerd de 'stukjes' aan elkaar gelijk te stellen, dus bijvoorbeeld 14+3t=5+3s, maar daar kom ik ook niet zover mee omdat ik dan nog steeds twee variabelen heb. Ook substitueren leverde weinig op. 14-3t=5+3(s+t) is natuurlijk wel gelijk aan elkaar, maar dan heb ik nog steeds geen waarde voor s en t.
Kom op, een beetje moeite doen: http://nl.wikipedia.org/wiki/Gauss-eliminatiequote:
[..]
Gaussische wat? Nog nooit van gehoord.
Als je de x, y en z-coördinaten van de lijnen aan elkaar gelijk stelt, krijg je drie vergelijkingen in twee variabelen. In principe zijn twee vergelijkingen genoeg om een oplossing te krijgen, maar om te kijken of dit ook echt een snijpunt is moet je wel kijken of de derde vergelijking ook klopt als je de oplossing daarin invult.
Door het stelsel gevormd door de eerste twee vergelijkingen op te lossen, krijg je immers een oplossing die voldoet aan de eerste twee vergelijkingen (dus, de x- en y-coördinaten van de twee lijnen zijn hier gelijk). Als de z-coördinaat ook gelijk is, hebben we een snijpunt.
Nouja, je kan op die tweede site zien dat er een matrix als 'datastructuur' (ik zet het tussen haakjes, want technisch gezien is een matrix natuurlijk geen manier om iets in een computergeheugen op te slaan) gebruikt wordt. Ik heb niet heel uitgebreid gekeken (en dat ben ik eerlijk gezegd ook niet van plan), maar volgens mij is verder niet zoveel over te zeggen: ik zie bijvoorbeeld niet dat er matrixvermenigvuldiging of substitutiematrices worden toegepast. Je vraag is ook wel erg vaag, misschien moet je nog iets meer achtergrond geven (wil je dit weten voor een of ander project of verslag? heb je dit onderwerp zelf bedacht of is het door een docent gesuggereerd?).quote:
[..]
Op zichzelf weet ik voldoende van de wiskunde, maar niet dit type matrices. Er is een wiki-artikel dat erover gaat: http://en.wikipedia.org/wiki/Needleman–Wunsch_algorithm
en deze site: http://www.maths.tcd.ie/~lily/pres2/sld001.htm
Maar het gaat mij om de toepassing van matrices in dit geheel.
Dank allen; aan de genoemde sites heb ik denk ik wel voldoende. Mocht er toch nog iets zijn dat verduidelijking behoeft dan kom ik er wel op terugquote:
[..]
Nouja, je kan op die tweede site zien dat er een matrix als 'datastructuur' (ik zet het tussen haakjes, want technisch gezien is een matrix natuurlijk geen manier om iets in een computergeheugen op te slaan) gebruikt wordt. Ik heb niet heel uitgebreid gekeken (en dat ben ik eerlijk gezegd ook niet van plan), maar volgens mij is verder niet zoveel over te zeggen: ik zie bijvoorbeeld niet dat er matrixvermenigvuldiging of substitutiematrices worden toegepast. Je vraag is ook wel erg vaag, misschien moet je nog iets meer achtergrond geven (wil je dit weten voor een of ander project of verslag? heb je dit onderwerp zelf bedacht of is het door een docent gesuggereerd?).
.Het is trouwens inderdaad voor een project.
kloep kloep
quote:
[..]
[..]
Kom op, een beetje moeite doen: http://nl.wikipedia.org/wiki/Gauss-eliminatie
Als je de x, y en z-coördinaten van de lijnen aan elkaar gelijk stelt, krijg je drie vergelijkingen in twee variabelen. In principe zijn twee vergelijkingen genoeg om een oplossing te krijgen, maar om te kijken of dit ook echt een snijpunt is moet je wel kijken of de derde vergelijking ook klopt als je de oplossing daarin invult.
Door het stelsel gevormd door de eerste twee vergelijkingen op te lossen, krijg je immers een oplossing die voldoet aan de eerste twee vergelijkingen (dus, de x- en y-coördinaten van de twee lijnen zijn hier gelijk). Als de z-coördinaat ook gelijk is, hebben we een snijpunt.
quote:
[..]
Je veegt een matrix naar de normaalvorm. M.a.w. staat er dan in je matrix x = 2, y = 4, z = 7 , c = 4 etc. etc.
Ik heb naar de gegevens links gekeken, maar ik snap er eigenlijk nog steeds vrij weinig van. Moet ik gewoon een drie bij drie matrix opstellen? Dus net zoals je bij het bereken van een dot product doet? Ik heb trouwens nooit geleerd met matrices te werken op de middelbare, dus daarom snap ik het waarschijnlijk niet.quote:
[..]
http://www.win.tue.nl/~rvhassel/Onderwijs/2DS06/ohroot.pdf
In 3.5 staat het uitgelegd.
Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.
Laten we dit eens gewoon op zijn janboerenfluitjes oplossen. Je hebt hier twee parametervoorstellingen van rechte lijnen in R3. Als deze lijnen elkaar snijden, dan moeten er dus waarden van de parameters s en t bestaan waarvoor zowel de x-, de y-, als z-coördinaat van beide parametervoorstellingen aan elkaar gelijk worden. Dat betekent dat je dus drie lineaire vergelijkingen krijgt in twee onbekenden. Algebraïsch hoeft zo'n stelsel helemaal geen oplossing te hebben, en je begrijpt meetkundig ook waarom dat niet hoeft: de lijnen zouden immers ook evenwijdig kunnen lopen óf ze zouden elkaar in de ruimte kunnen kruisen.quote:
[ afbeelding ]
Ik moet aantonen dat ze elkaar snijden en het snijpunt geven, maar ik heb echt geen idee hoe. Ik heb al geprobeerd de 'stukjes' aan elkaar gelijk te stellen, dus bijvoorbeeld 14+3t=5+3s, maar daar kom ik ook niet zover mee omdat ik dan nog steeds twee variabelen heb. Ook substitueren leverde weinig op. 14-3t=5+3(s+t) is natuurlijk wel gelijk aan elkaar, maar dan heb ik nog steeds geen waarde voor s en t.
Goed, maar laten we nu eens kijken wat de voorwaarden zijn voor een eventueel snijpunt. Dan moet er dus een waarde van s en een waarde van t bestaan zodanig dat gelijktijdig wordt voldaan aan deze drie voorwaarden:
14 + 3t = 5 + 3s
7 + 2t = 15 + 5s
−16 − 3t = 35 + 6s
Nu laten we de derde van deze voorwaarden even voor wat het is, en gaan we ons eerst eens concentreren op de eerste twee voorwaarden. Deze twee voorwaarden vormen samen een stelsel van twee lineaire vergelijkingen in de twee onbekenden s en t. Nu zien we bij de eerste vergelijking rechts een term 3s en bij de tweede vergelijking rechts een term 5s. Nu vermenigvuldig ik beide leden van de eerste vergelijking met 5, dat geeft
70 + 15t = 25 + 15s
En beide leden van de tweede vergelijking vermenigvuldig ik met 3, dat geeft
21 + 6t = 45 + 15s
Waarom heb ik dit gedaan? Je ziet nu dat we rechts in beide vergelijkingen een term 15s hebben. En dat is heel mooi, want dat betekent dat ik de s kan elimineren door nu de leden van de tweede vergelijking af te trekken van de leden van de eerste vergelijking. Dat mag ik doen, want als je hebt A = B en tevens C = D, dan is ook A − C = B − D nietwaar? Goed, aftrekken van de leden van de tweede vergelijking van de leden van de eerste vergelijking geeft
(70 + 15t) − (21 + 6t) = (25 + 15s) − (45 + 15s)
Uitwerken hiervan geeft
49 + 9t = −20
En kijk eens aan, we hebben nu een eenvoudige lineaire vergelijking waarin alleen de t voorkomt. Van beide leden 49 aftrekken geeft 9t = −69 en dus vinden we
t = −23/3
Deze waarde van t kunnen we nu invullen in hetzij de eerste, hetzij de tweede vergelijking. Laten we de eerste nemen, dat is hier het eenvoudigst. Dan krijgen we
14 + 3·(−23/3) = 5 + 3s
14 − 23 = 5 + 3s
−9 = 5 + 3s
−14 = 3s
En dus hebben we
s = −14/3
Maar nu komt de hamvraag: snijden onze lijnen elkaar nu, of niet? En zo ja, wat zijn dan de coördinaten van het snijpunt?
Om deze vraag te beantwoorden gaan we nu naar de derde vergelijking kijken:
−16 − 3t = 35 + 6s
Invullen van de waarden die we gevonden hebben voor t en s geeft
−16 − 3·(−23/3) = 35 + 6·(−14/3)
−16 + 23 = 35 − 28
7 = 7
En dat klopt als een bus. Ergo: onze lijnen hebben een snijpunt!
Om de coördinaten van het snijpunt te bepalen hoeven we de gevonden waarden van s en t alleen nog in te vullen in één van beide parametervoorstellingen, en dan vinden we
(−9; −25/3; 7)
That's all.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 23-09-2013 00:12:09 ]
Bedankt voor de duidelijke uitleg. Ik snap het nu helemaal.quote:
[..]
Laten we dit eens gewoon op zijn janboerenfluitjes oplossen. Je hebt hier twee parametervoorstellingen van rechte lijnen in R3. Als deze lijnen elkaar snijden, dan moeten er dus waarden van de parameters s en t bestaan waarvoor zowel de x-, de y-, als z-coördinaat van beide parametervoorstellingen aan elkaar gelijk worden. Dat betekent dat je dus drie lineaire vergelijkingen krijgt in twee onbekenden. Algebraïsch hoeft zo'n stelsel helemaal geen oplossing te hebben, en je begrijpt meetkundig ook waarom dat niet hoeft: de lijnen zouden immers ook evenwijdig kunnen lopen óf ze zouden elkaar in de ruimte kunnen kruisen.
Goed, maar laten we nu eens kijken wat de voorwaarden zijn voor een eventueel snijpunt. Dan moet er dus een waarde van s en een waarde van t bestaan zodanig dat gelijktijdig wordt voldaan aan deze drie voorwaarden:
14 + 3t = 5 + 3s
7 + 2t = 15 + 5s
−16 − 3t = 35 + 6s
Nu laten we de derde van deze voorwaarden even voor wat het is, en gaan we ons eerst eens concentreren op de eerste twee voorwaarden. Deze twee voorwaarden vormen samen een stelsel van twee lineaire vergelijkingen in de twee onbekenden s en t. Nu zien we bij de eerste vergelijking rechts een term 3s en bij de tweede vergelijking rechts een term 5s. Nu vermenigvuldig ik beide leden van de eerste vergelijking met 5, dat geeft
70 + 15t = 25 + 15s
En beide leden van de tweede vergelijking vermenigvuldig ik met 3, dat geeft
21 + 6t = 45 + 15s
Waarom heb ik dit gedaan? Je ziet nu dat we rechts in beide vergelijkingen een term 15s hebben. En dat is heel mooi, want dat betekent dat ik de s kan elimineren door nu de leden van de tweede vergelijking af te trekken van de leden van de eerste vergelijking. Dat mag ik doen, want als je hebt A = B en tevens C = D, dan is ook A − C = B − D nietwaar? Goed, aftrekken van de leden van de tweede vergelijking van de leden van de eerste vergelijking geeft
(70 + 15t) − (21 + 6t) = (25 + 15s) − (45 + 15s)
Uitwerken hiervan geeft
49 + 9t = −20
En kijk eens aan, we hebben nu een eenvoudige lineaire vergelijking waarin alleen de t voorkomt. Van beide leden 49 aftrekken geeft 9t = −69 en dus vinden we
t = −23/3
Deze waarde van t kunnen we nu invullen in hetzij de eerste, hetzij de tweede vergelijking. Laten we de eerste nemen, dat is hier het eenvoudigst. Dan krijgen we
14 + 3·(−23/3) = 5 + 3s
14 − 23 = 5 + 3s
−9 = 5 + 3s
−14 = 3s
En dus hebben we
s = −14/3
Maar nu komt de hamvraag: snijden onze lijnen elkaar nu, of niet? En zo ja, wat zijn dan de coördinaten van het snijpunt?
Om deze vraag te beantwoorden gaan we nu naar de derde vergelijking kijken:
−16 − 3t = 35 + 6s
Invullen van de waarden die we gevonden hebben voor t en s geeft
−16 −(−23/3) = 35 + 6·(−14/3)
−16 + 23 = 35 − 28
7 = 7
En dat klopt als een bus. Ergo: onze lijnen hebben een snijpunt!
Om de coördinaten van het snijpunt te bepalen hoeven we de gevonden waarden van s en t alleen nog in te vullen in één van beide parametervoorstellingen, en dan vinden we
(−9; −25/3; 7)
That's all.
Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.
