[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

Ik kom bij de volgende vraag op √2/2 + 1/2 uit, terwijl WolframAlpha zegt dat het antwoord 1-√2/2 is.

We hebben

f(z) = z/(z+1)²

Nu stellen we dat z = √2/2 + i√2/2

(De handgeschreven versie is in de spoiler te bewonderen!

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

dus f(√2/2 + i√2/2) = (√2/2 + i√2/2)/(√2/2 + i√2/2 + 1)²

= √2/2(1+i) / (√2/2(1+i+1/(√2/2))²
= √2/2(1+i) / (1/2(1+i+√2)²)
= √2(1+i) / (1+i√2)²

= √2(1+i) / (1 + i + √2 + i + -1 + i√2 + √2 + i√2 + 2)
= √2(1+i) / (2√2 + 2 + 2i + 2i√2)
= √2(1+i) / ((2+2i) + √2(2+2i))
= √2(1+i) / (2(1+i) + 2√2(1+i))
= √2/(2+2√2)

= √2/2 + 1/2

Waar zit mijn fout..?

[ Bericht 8% gewijzigd door Amoeba op 03-09-2013 23:09:53 ]

De "fout" zit 'm in het feit dat je met formules loopt te priegelen. Teken een plaatje, en de berekening wordt een stuk eenvoudiger.

quote:

Op dinsdag 3 september 2013 23:11 schreef thabit het volgende:
De "fout" zit 'm in het feit dat je met formules loopt te priegelen. Teken een plaatje, en de berekening wordt een stuk eenvoudiger.

Dit is toch een probleem dat gewoon zuiver algebraïsch op te lossen is. Daarnaast is het vertalen van dit probleem naar een meetkundig probleem en dat nog eens oplossen niet mijn sterkste punt.

We moesten 1/z in het complexe vlak tekenen voor een willekeurig punt z (ongelijk aan 0), maar verder dan de bepaling van op welke lijn (als in argument van 1/z t.o.v. z) kwam ik niet.

quote:

Op dinsdag 3 september 2013 23:04 schreef Amoeba het volgende:
Ik kom bij de volgende vraag op √2/2 + 1/2 uit, terwijl WolframAlpha zegt dat het antwoord 1-√2/2 is.

We hebben

f(z) = z/(z+1)²

Nu stellen we dat z = √2/2 + i√2/2

(De handgeschreven versie is in de spoiler te bewonderen!

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

dus f(√2/2 + i√2/2) = (√2/2 + i√2/2)/(√2/2 + i√2/2 + 1)²

= √2/2(1+i) / (√2/2(1+i+1/(√2/2))²
= √2/2(1+i) / (1/2(1+i+√2)²)
= √2(1+i) / (1+i√2)²

= √2(1+i) / (1 + i + √2 + i + -1 + i√2 + √2 + i√2 + 2)
= √2(1+i) / (2√2 + 2 + 2i + 2i√2)
= √2(1+i) / ((2+2i) + √2(2+2i))
= √2(1+i) / (2(1+i) + 2√2(1+i))
= √2/(2+2√2)

= √2/2 + 1/2

Waar zit mijn fout..?

1/(a+b) ≠ 1/a + 1/b.

quote:

Op dinsdag 3 september 2013 23:16 schreef Amoeba het volgende:

[..]



Dit is toch een probleem dat gewoon zuiver algebraïsch op te lossen is. Daarnaast is het vertalen van dit probleem naar een meetkundig probleem en dat nog eens oplossen niet mijn sterkste punt.

We moesten 1/z in het complexe vlak tekenen voor een willekeurig punt z (ongelijk aan 0), maar verder dan de bepaling van op welke lijn (als in argument van 1/z t.o.v. z) kwam ik niet.

Dan zou ik dat nog maar eens extra oefenen. Het kán inderdaad algebraïsch, maar dat is misschien niet de beste en meest inzichtelijke manier om het te doen. Ik ga niet in een berg gepriegel proberen uit te vissen bij welk =-teken er iets fout gaat; dat laat ik over aan mensen met tijd te veel.

quote:

Op dinsdag 3 september 2013 23:16 schreef Amoeba het volgende:

[..]



Dit is toch een probleem dat gewoon zuiver algebraïsch op te lossen is. Daarnaast is het vertalen van dit probleem naar een meetkundig probleem en dat nog eens oplossen niet mijn sterkste punt.

We moesten 1/z in het complexe vlak tekenen voor een willekeurig punt z (ongelijk aan 0), maar verder dan de bepaling van op welke lijn (als in argument van 1/z t.o.v. z) kwam ik niet.

Je gaat op het laatst de fout in, namelijk bij de herleiding van

√2/(2 + 2√2)

Verder: teken een plaatje. Dan zie je gemakkelijk dat

|(z + 1)|² = 2 + √2

en

Arg(z + 1) = π/8

dus

Arg((z + 1)²) = π/4

zodat

(z + 1)² = (2 + √2)(½√2 + i·½√2) = (2 + √2)z

en dus

z/(z + 1)² = 1/(2 + √2) = 1 − ½√2

Oh ja natuurlijk.

Dat is wel heel slordig van me.

quote:

Op dinsdag 3 september 2013 23:40 schreef freiss het volgende:

[..]

1/(a+b) ≠ 1/a + 1/b.

Dit is wel heel erg sneu van me.

quote:

Op woensdag 4 september 2013 00:14 schreef Riparius het volgende:
en

Arg(z + 1) = π/8

Je eerste stuk over de modulus van z kon ik zo aantonen, maar dit niet.

arg(z+1) = sin(φ) = Im(z+1)/|z+1|

toch?

= √2/2 / (√2 + 2)

= √2/2 / (√2(1+√2))

= 1/2 / (1+√2)

= 1/2(√2-1) / ((√2+1)(√2-1)

= 1/2(√2-1) / (2-1) = 1/2(√2-1)

sin(φ) = 1/2(√2-1)

De remweg van een auto is de afstand die een auto nodig heeft om tot stilstand te komen.
Voor het berekenen van de remweg geldt de volgende vuistregel:
Deel de snelheid door 10 en vermenigvuldig de uitkomst met zichzelf.
De remweg in meters is 3/4 deel van deze uitkomst.
Een auto heeft een remweg van 12 meter.
Wat was zijn snelheid?

...... km/u

quote:

Op woensdag 4 september 2013 12:01 schreef girlnextdoorr het volgende:
De remweg van een auto is de afstand die een auto nodig heeft om tot stilstand te komen.
Voor het berekenen van de remweg geldt de volgende vuistregel:
Deel de snelheid door 10 en vermenigvuldig de uitkomst met zichzelf.
De remweg in meters is 3/4 deel van deze uitkomst.
Een auto heeft een remweg van 12 meter.
Wat was zijn snelheid?

...... km/u

Wat je hier moet gaan doen, is een formule opstellen. Het verhaaltje vertelt hoe je dat moet doen.

De snelheid duiden we aan met v.
Je moet de snelheid door 10 delen: v/10
en dan de uitkomst met zichzelf vermenigvuldigen: (v/10)*(v/10) ofwel v²/100
hiervan neem je dan 3/4 deel: 3/4 * v²/100 ofwel 3v²/400.

Als we de remweg r noemen, dan krijgen we de formule: r = 3v²/400.

Er is gegeven dat r = 12. Bepaal zelf wat v dan is.

quote:

Op woensdag 4 september 2013 12:54 schreef Hesitater het volgende:
[ afbeelding ]

a^-n = 1/aⁿ

en

(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ

Ga zo eens aan de slag?

In de tweede kolom staan waarden met meetfouten. In de derde kolom staan waarden die wel of niet binnen de foutmarge vallen. Welke meting valt buiten de foutmarge?

http://imageshack.us/photo/my-images/713/lpjc.png/ (copy/paste deze link)

quote:

Op woensdag 4 september 2013 16:43 schreef girlnextdoorr het volgende:
In de tweede kolom staan waarden met meetfouten. In de derde kolom staan waarden die wel of niet binnen de foutmarge vallen. Welke meting valt buiten de foutmarge?

Als je kijkt naar meting A, dan betekent die ± 3 km/u dat je er drie kilometer per uur naast mag zitten. Bij 80 km/u betekent dat dus: tussen 77 en 83 km/u. De waarde 78 km/u valt daar binnen, dus binnen de foutmarge. Je kunt nu zelf wel nagaan welke meting buiten de foutmarge valt.

Een weegschaal laat het verband zien tussen het gewicht van de rode blikken en de gele blikken. Het gewicht van de rode blikken en de gele blikken is niet gelijk. Wat is de verhouding tussen het gewicht van een geel blik en het gewicht van een rood blik?

... staat tot .....

quote:

Op woensdag 4 september 2013 11:40 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Je eerste stuk over de modulus van z kon ik zo aantonen, maar dit niet.

arg(z+1) = sin(φ) = Im(z+1)/|z+1|

toch?

Nee, dit klopt al niet. Arg(z + 1) stelt de hoek voor die de halve rechte vanuit de oorsprong door het beeldpunt van z + 1 maakt met de positieve reële as, niet de sinus van die hoek. Deze (rotatie)hoek is uiteraard slechts bepaald tot op een geheel veelvoud van 2π. Om toch te kunnen werken met een eenduidige waarde voor het argument van een complex getal z heeft men bedacht dat een halve slag in wijzerzin of in tegenwijzerzin voldoende is om het gehele complexe vlak te kunnen bestrijken, en gebruikt men vaak de unieke waarde van het argument op het interval (−π, π]. Deze waarde noemt men wel de hoofdwaarde van het argument. Met name door Amerikaanse auteurs wordt deze aangeduid met Arg(z), dus met een hoofdletter A, terwijl arg(z) met een kleine letter a dan staat voor de algemene waarde van het argument van z dat slechts bepaald is tot op een geheel veelvoud van 2π. Er zijn echter ook auteurs die deze notaties nu juist omwisselen en dus arg(z) gebruiken voor de hoofdwaarde van het argument van z en Arg(z) voor de verzameling van alle waarden van het argument van z. Ik zal hier echter de Amerikaanse conventie hanteren en dus Arg(z) gebruiken als aanduiding voor de hoofdwaarde van het argument van z op het interval (−π, π].

Zoals aangegeven wordt alles een stuk duidelijker als je een plaatje tekent. Teken een cartesisch assenstelsel dat het complexe vlak representeert en geef hierin de beeldpunten aan van de getallen 0, 1, z en z + 1, waarbij z = ½√2 + i·½√2. Merk nu op dat |z| = 1 zodat het beeldpunt van z op de eenheidscirkel ligt, en dat Arg(z) = ∠(1,0,z) = π/4. De beeldpunten van 0,1, (z + 1) en z vormen de hoekpunten van een parallellogram daar immers (z + 1) de som is van z en 1, en tevens de hoekpunten van een ruit, daar |z| = 1. In een ruit delen de diagonalen de hoeken die zij verbinden middendoor, zodat we dus hebben

Arg(z + 1) = ∠(1,0,z+1) = ½·∠(1,0,z) = ½·Arg(z) = ½·¼π = π/8

Ook zijn in een parallellogram aanliggende hoekenparen supplementair, zodat we dus hebben

∠(0,1,z+1) = π − ∠(1,0,z) = π − ¼π = ¾π

Volgens de cosinusregel hebben we nu voor de driehoek gevormd door de beeldpunten van 0, 1, (z + 1)

|z + 1|² = |1|² + |(z + 1) − 1|² −2·|1|·|(z + 1) − 1|·cos(¾π)

en daar uiteraard |(z + 1) − 1| = |z| = 1 en cos(¾π) = −½√2 geeft dit

|z + 1|² = 1 + 1 − 2·(−½√2) = 2 + √2

zodat |(z + 1)²| = 2 + √2. Ook is Arg((z + 1)²) = 2·Arg(z + 1) = π/4. Aangezien tevens |z| = 1 en Arg(z) = π/4 kunnen we nu direct zeggen dat

(z + 1)²/z = (2 + √2)

en ook

z/(z + 1)² = 1/(2 + √2) = (2 − √2)/(4 − 2) = 1 − ½√2

C'est tout.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 04-09-2013 19:32:35 ]

quote:

Op woensdag 4 september 2013 16:54 schreef Tochjo het volgende:

[..]

Als je kijkt naar meting A, dan betekent die ± 3 km/u dat je er drie kilometer per uur naast mag zitten. Bij 80 km/u betekent dat dus: tussen 77 en 83 km/u. De waarde 78 km/u valt daar binnen, dus binnen de foutmarge. Je kunt nu zelf wel nagaan welke meting buiten de foutmarge valt.

Dan is het meting C?

Drie mensen tellen het aantal vlinders in een vlindertuin.
Ze tellen gemiddeld 240 vlinders.
Tim telt 233 vlinders. Zijn meting valt buiten de foutmarge.
Kim telt 245 vlinders. Zijn meting valt binnen de foutmarge.
Wat is de foutmarge? Rond af op een decimaal

......%

quote:

Op woensdag 4 september 2013 17:08 schreef girlnextdoorr het volgende:
Een weegschaal laat het verband zien tussen het gewicht van de rode blikken en de gele blikken. Het gewicht van de rode blikken en de gele blikken is niet gelijk. Wat is de verhouding tussen het gewicht van een geel blik en het gewicht van een rood blik?

... staat tot .....

Ik neem aan dat er een plaatje van een weegschaal of iets dergelijks gegeven is?

quote:

Op woensdag 4 september 2013 17:59 schreef girlnextdoorr het volgende:

[..]

Dan is het meting C?

Dat klopt.

quote:

Op woensdag 4 september 2013 18:06 schreef girlnextdoorr het volgende:
Drie mensen tellen het aantal vlinders in een vlindertuin.
Ze tellen gemiddeld 240 vlinders.
Tim telt 233 vlinders. Zijn meting valt buiten de foutmarge.
Kim telt 245 vlinders. Zijn meting valt binnen de foutmarge.
Wat is de foutmarge? Rond af op een decimaal

......%

Wat denk je zelf?

quote:

Op woensdag 4 september 2013 18:08 schreef Tochjo het volgende:

[..]

Ik neem aan dat er een plaatje van een weegschaal of iets dergelijks gegeven is?

http://imageshack.us/photo/my-images/9/7ac9.png/ (copy/paste deze link)

[..]

Dat klopt.

[..]

Wat denk je zelf?

5

quote:

Op woensdag 4 september 2013 18:25 schreef girlnextdoorr het volgende:

[..]

Kijk eens goed naar je plaatje van de balans. Je hebt links twee gele blikken en één rood blik, en rechts één geel blik en drie rode blikken. Nu kun je zowel links als rechts één geel blik en één rood blik wegnemen, en de balans zal dan uiteraard in evenwicht blijven. Wat is nu je conclusie?

quote:

Op woensdag 4 september 2013 18:34 schreef Riparius het volgende:

[..]

Kijk eens goed naar je plaatje van de balans. Je hebt links twee gele blikken en één rood blik, en rechts één geel blik en drie rode blikken. Nu kun je zowel links als rechts één geel blik en één rood blik wegnemen, en de balans zal dan uiteraard in evenwicht blijven. Wat is nu je conclusie?

dat 2 rode blikken gelijk is aan 1 gele blik?

quote:

Op woensdag 4 september 2013 18:38 schreef girlnextdoorr het volgende:

[..]

dat 2 rode blikken gelijk is aan 1 gele blik?

Inderdaad. Iets nauwkeuriger: het gewicht van één geel blik is gelijk aan het gewicht van twee rode blikken, dus het gewicht van één geel blik verhoudt zich tot het gewicht van één rood blik als 2 : 1.

quote:

Op woensdag 4 september 2013 18:40 schreef Riparius het volgende:

[..]

Inderdaad. Iets nauwkeuriger: het gewicht van één geel blik is gelijk aan het gewicht van twee rode blikken.

dus het antwoord is 1 staat tot 2. Super bedankt!
Ik moet toe geven je legt het simpeler en makkelijker uit dan mijn rekendocent.