[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

Het is (x+5)*-5 in de teller. Dit kan je alleen wegdelen als er in de noemer een factor -5 staat, maar dat is niet het geval.

quote:

Op woensdag 21 augustus 2013 21:47 schreef thenxero het volgende:
Het is (x+5)*-5 in de teller. Dit kan je alleen wegdelen als er in de noemer een factor -5 staat, maar dat is niet het geval.

Dus de x-5 in de noemer in mijn opgave moet ik zien als 1 geheel ipv als x en -5?

Laat maar snap niet echt wat je doet

quote:

Op woensdag 21 augustus 2013 18:57 schreef DefinitionX het volgende:
Danke Riparius, ik ga er zo met een kop thee naar je uitleg kijken. Ik heb het gelezen, maar ik moet het even absorberen.

Is het trouwens verstandig om eigen wiskunde opgaves te maken en dan via w-alpha kijken of ik de juiste antwoord heb? Ongeveer zoiets als zelf 100 verschillende lineaire vergelijkingen maken en dan oplossen. Zoiets zou ook moeten kunnen bij termen tot graad 3, 4.

Ik vraag het omdat ik anders steeds dezelfde opgaves moet maken.

Controleren van je antwoorden via WolframAlpha is zeker een goed idee, maar dan wel pas nadat je de opgave uitsluitend met behulp van pen en papier hebt uitgewerkt. Houd er wel rekening mee dat WolframAlpha de uitkomsten wellicht niet altijd geeft in de vorm waarin je die gewoonlijk zou opschrijven.

Het lijkt me niet erg zinvol al te veel vergelijkingen of ongelijkheden van eenzelfde type op te lossen, dan besteed je je tijd niet optimaal. Het - zelfstandig - oplossen van alle opgaven in je boek lijkt me echt wel voldoende, daar leer je meer van dan van het steeds maar weer herhalen van eenzelfde techniek, want dan wordt het alleen maar het oefenen van een kunstje. Zoals hierboven op je foto is te zien zijn de opgaven gevarieerd, zodat je steeds een iets andere insteek moet gebruiken en zo wordt geprikkeld om creatief te zijn, maar ook om het geleerde in praktijk te brengen.

quote:

Op woensdag 21 augustus 2013 21:59 schreef DefinitionX het volgende:

[..]

Dus de x-5 in de noemer in mijn opgave moet ik zien als 1 geheel ipv als x en -5?

Ja, want de breukstreep strekt zich uit over de gehele tweeterm x − 5. De ongelijkheid die je op moet lossen in R luidt dus

(x + 2)/(x − 5) ≤ x

Je moet trouwens je x wel iets duidelijker schrijven, deze lijkt namelijk soms meer op de Griekse letter λ.

Tip: herleid eerst het rechterlid van de ongelijkheid op nul door van beide leden x af te trekken, en herleid vervolgens het linkerlid tot één breuk. Bedenk vervolgens wat je kunt zeggen over de teller en over de noemer van een breuk waarvan de waarde kleiner dan of gelijk aan nul moet zijn.

quote:

Op woensdag 21 augustus 2013 21:19 schreef DefinitionX het volgende:
Beetje moe, maar hier komt die dan:

[ afbeelding ]

Waarom mag dit niet?

Ik heb het over de -5 elimineren uit de noemer.

Edit: zelfs al mocht het, ik zie ineens waarom de rest niet kan. Je houdt namelijk geen 2 over aan de linkerkant.

Het gaat om deze twee regels:

(a+b)/c = a/c + b/c

Bijvoorbeeld:

• (6+4)/2 = 6/2 + 4/2 = 3+2 = 5

(a*b)/c = a/c * b of a * b/c

Bijvoorbeeld:

• (6*4)/2 = 6/2 * 4 = 3 * 4 = 12
• (6*4)/2 = 6 * 4/2 = 6 * 2 = 12
• 16x / 2 = 8x
• 16x / 2 = 16 * (x/2) = 16 * (0,5x) = 8x

Mag ik stellen dat:

(64^-1 * 3^-6)^x= (64^-x)*(3^-6x)

?

quote:

Op donderdag 22 augustus 2013 21:32 schreef DefinitionX het volgende:
Mag ik stellen dat:

(64^-1 * 3^-6)^x= (64^-x)*(3^-6x)

?

Rekenregels:

(a·b)^p = a^p·b^p

(a^p)^q = a^p·q

Dus?

quote:

Op donderdag 22 augustus 2013 23:16 schreef Riparius het volgende:

[..]

Rekenregels:

(a·b)^p = a^p·b^p

(a^p)^q = a^p·q

Dus?

Mag dus wel.

Maar wat als:

(a+b)^n

Als je dit stelt aan (a^n + b^n), hoe kun je dit dan nadien verklaren als n=2, want dan zou het eigenlijk (a^2 + 2ab + b^2) moeten zijn.

Dus dan is:

(a+b)^n

a^n + nab + b^n

Wel, als n=1, dan krijg je niet a + ab + b, maar gewoon (a+b).

Volgens mij is dan (a+b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2 een bijzondere eigenschap?

Zie binomium van Newton.

Merkwaardige producten heet het xD

quote:

Op donderdag 22 augustus 2013 23:42 schreef DefinitionX het volgende:

[..]

Mag dus wel.

Inderdaad. Je kunt ook zeggen dat (64^-1 · 3⁻⁶)^x = (2⁻⁶ · 3⁻⁶)^x = (6⁻⁶)^x = 6^−6x

quote:

Maar wat als:

(a+b)^n

Als je dit stelt aan (a^n + b^n), hoe kun je dit dan nadien verklaren als n=2, want dan zou het eigenlijk (a^2 + 2ab + b^2) moeten zijn.

Dus dan is:

(a+b)^n

a^n + nab + b^n

Wel, als n=1, dan krijg je niet a + ab + b, maar gewoon (a+b).

Volgens mij is dan (a+b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2 een bijzondere eigenschap?

Nee, hier ga je de mist in. Als je (a + b)ⁿ uitwerkt krijg je een veelterm waarvan de coëfficiënten zogeheten binomiaalcoëfficiënten zijn, bijvoorbeeld

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

En in het algemeen



met



Zie hier.

quote:

Op donderdag 22 augustus 2013 00:03 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ja, want de breukstreep strekt zich uit over de gehele tweeterm x − 5. De ongelijkheid die je op moet lossen in R luidt dus

(x + 2)/(x − 5) ≤ x

Je moet trouwens je x wel iets duidelijker schrijven, deze lijkt namelijk soms meer op de Griekse letter λ.

Tip: herleid eerst het rechterlid van de ongelijkheid op nul door van beide leden x af te trekken, en herleid vervolgens het linkerlid tot één breuk. Bedenk vervolgens wat je kunt zeggen over de teller en over de noemer van een breuk waarvan de waarde kleiner dan of gelijk aan nul moet zijn.

Hoe moet je het dan uitwerken?

Ik heb als oplossing:
3 +/- √ 11 ≤ x

Dit uitrekenen?

-x^2 -4x +2 / (x-5) ≤ 0

Teller moet kleiner zijn dan noemer.

[ Bericht 1% gewijzigd door wiskundenoob op 23-08-2013 00:53:36 ]

quote:

Op vrijdag 23 augustus 2013 00:38 schreef wiskundenoob het volgende:

[..]

Hoe moet je het dan uitwerken?

Ik heb als oplossing:
3 +/- √ 11 ≤ x

Dit uitrekenen?

-x^2 -4x +2 / (x-5) ≤ 0

Je oplossing is niet correct. Maar aangezien ook WolframAlpha een fout maakt bij de herleiding zal ik je even op weg helpen. De ongelijkheid luidt

(x + 2)/(x − 5) ≤ x

Rechterlid herleiden op nul geeft

(x + 2)/(x − 5) − x ≤ 0

Nu gaan we het linkerlid herleiden tot één breuk. Aangezien x = x(x −5)/(x − 5) = (x² − 5x)/(x − 5) voor x ≠ 5 krijgen we dan

(x + 2 − x² + 5x)/(x − 5) ≤ 0

en dus

(−x² + 6x + 2)/(x − 5) ≤ 0

Nu vermenigvuldig ik beide leden nog even met −1 om het minteken bij de coëfficiënt van x² kwijt te raken. Hierbij moet je bedenken dat het ongelijkheidsteken omklapt (en dat is precies wat WolframAlpha niet goed doet). Dan krijgen we

(x² − 6x − 2)/(x − 5) ≥ 0

Nu kun je bedenken dat de breuk in het linkerlid alleen groter dan of gelijk aan nul kan zijn als (a) de teller groter dan of gelijk is aan nul en tevens de noemer positief is of als (b) de teller kleiner dan of gelijk is aan nul en tevens de noemer negatief is. Dus hebben we nu

(x² − 6x − 2 ≥ 0 ∧ x > 5) ∨ (x² − 6x − 2 ≤ 0 ∧ x < 5)

Nu mag je zelf bedenken hoe je de ongelijkheid verder op kunt lossen.

[ Bericht 20% gewijzigd door wiskundenoob op 23-08-2013 17:13:17 ]

3-√11 ≥ x ≥ 3+√11

Klopt?

[ Bericht 65% gewijzigd door wiskundenoob op 24-08-2013 12:57:14 ]

quote:

Op zaterdag 24 augustus 2013 00:50 schreef wiskundenoob het volgende:
3-√11 ≥ x ≥ 3+√11

Nee. Je antwoord is trouwens onmogelijk omdat 3−√11 < 3+√11.

quote:

Op zaterdag 24 augustus 2013 14:02 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee. Je antwoord is trouwens onmogelijk omdat 3−√11 < 3+√11.

Dit had ik eerst:
x ≥ 3+√11
x ≤ 3-√11

Klopt dit?

quote:

Op zaterdag 24 augustus 2013 14:14 schreef wiskundenoob het volgende:

[..]

Dit had ik eerst:
x ≥ 3+√11
x ≤ 3-√11

Klopt dit?

Nee. Voor deze waarden van x geldt weliswaar dat x² − 6x − 2 ≥ 0 maar dan vergeet je helemaal dat je tegelijk ook nog aan de voorwaarde x > 5 moet voldoen. En je vergeet ook de waarden van x te bekijken waarvoor geldt x² − 6x − 2 ≤ 0 en tevens x < 5.

Dit is vast wiskundig gezien het feit dat geluid een sinusbeweging maakt (als ik mijn boek mag geloven).

1 viool speelt op 80db.
2 violen beide 80db, maken een geluid zo hard als 83db.
10 violen samen van 80db elk, maken een geluid zo hard als 90db.

Hoe kun je dit wiskundig uitdrukken? Dat je dan krijgt Functiehardheid(x)=x.l, waarin x het aantal violen is en l iets met logaritme te maken heeft. Ik zeg logaritme omdat ik dat las in een boek. Je kunt bijvoorbeeld niet zeggen dat 3 violen elk 80db samen zorgen voor een geluid van 86db.

Maar volgens mij zie ik het al:

1 viool = 80db
2 violen = 83 db
4 violen = elke unit is 2 violen, dus 1 unit is 83db en dan kun je weer gebruik maken van +3db bij dubbel zo hard, want er zijn dan 2 units. Dus 4 violen is 86db
8 violen is 89 db
10 violen is dan 90 db, hoewel, dit betekent dan dat 8 violen (89db) + 2 violen (83db) = 90db.

Is er een formule voor?

Edit:

Net wakker, niet zo helder.

In Binas gevonden, even kijken. :p

quote:

Op zondag 25 augustus 2013 11:57 schreef DefinitionX het volgende:
Dit is vast wiskundig gezien het feit dat geluid een sinusbeweging maakt (als ik mijn boek mag geloven).

1 viool speelt op 80db.
2 violen beide 80db, maken een geluid zo hard als 83db.
10 violen samen van 80db elk, maken een geluid zo hard als 90db.

Hoe kun je dit wiskundig uitdrukken?

Bij n violen heb je dan

80 + 10·¹⁰log(n)

dB.

quote:

Dit is vast wiskundig gezien het feit dat geluid een sinusbeweging maakt (als ik mijn boek mag geloven).

Dat mag je volgens mij niet zo stellen. Uit mijn hoofd een globale uitleg. Geluid is in essentie niets anders dan een verplaatsing van lucht. Het geluid wat je gehoor waarneemt is het gevolg van lokale verdichtingen en verdunningen van geluid (as loodrecht op je gehoorsingang) met een bepaalde frequentie. Deze veranderingen geven een zekere kracht op je trommelvlies waarachter botjes (met daaraan spiertjes) zitten die voor een sterke amplificatie van die drukveranderingen zorgen. Dit resulteert in een golf op het membraan van het slakkenhuis wat uiteindelijk fijne haartjes van het slakkenhuis doet bewegen. Deze bewegingen zorgen voor potentiaalveranderingen in de zenuwtjes waaraan die haartjes zijn verbonden die een signaal geven aan dat deel van onze hersenen wat ervoor zorgt dat wij geluid horen. Vandaar dat je sneller slechthorend wordt wanneer je vaak luide muziek hoort, vooral als dat voor een langere periode is (die spiertjes kunnen het geluid wat dempen door de botjes wat te verplaatsen en die geraken uiteindelijk vermoeid). De haartjes breken af bij overbelasting.

De deskundigen hebben een maat voor geluidsintensiteit moeten bedenken, het bleek dat een logaritmische schaal praktischer is dan een 'gewone' schaal. In principe hadden ze ook voor een gewone schaal kunnen kiezen. Breek daar je hoofd niet over, het is voor jou nu niet belangrijk. Als je echt wil weten waarom er voor een logaritmische schaal is gekozen dan moet je je wat in het gehoor verdiepen. Om enig inzicht te geven, wanneer de output kwadratisch toeneemt in functie van de input bij een systeem (in dit geval het gehoor) dan krijg je bij een semilogaritmische schaal een rechte lijn in plaats van een (halve) parabool.

quote:

Op zondag 25 augustus 2013 11:57 schreef DefinitionX het volgende:
Dit is vast wiskundig gezien het feit dat geluid een sinusbeweging maakt (als ik mijn boek mag geloven).

1 viool speelt op 80db.
2 violen beide 80db, maken een geluid zo hard als 83db.
10 violen samen van 80db elk, maken een geluid zo hard als 90db.

Hoe kun je dit wiskundig uitdrukken? Dat je dan krijgt Functiehardheid(x)=x.l, waarin x het aantal violen is en l iets met logaritme te maken heeft. Ik zeg logaritme omdat ik dat las in een boek. Je kunt bijvoorbeeld niet zeggen dat 3 violen elk 80db samen zorgen voor een geluid van 86db.

Maar volgens mij zie ik het al:

1 viool = 80db
2 violen = 83 db
4 violen = elke unit is 2 violen, dus 1 unit is 83db en dan kun je weer gebruik maken van +3db bij dubbel zo hard, want er zijn dan 2 units. Dus 4 violen is 86db
8 violen is 89 db
10 violen is dan 90 db, hoewel, dit betekent dan dat 8 violen (89db) + 2 violen (83db) = 90db.

Is er een formule voor?

Edit:

Net wakker, niet zo helder.

In Binas gevonden, even kijken. :p

Jij weet dat het altijd zo is dat bij een verdubbeling van de geluidsintensiteit ongeveer 3 dB erbij komt?Dat komt doordat log(2x) - log(x) = 0,301...
Je zou dus voor 2, 4, 8, 16, ... violen ook kunnen uitrekenen hoeveeldB het is door het aantal dB voor 1 viool steeds te vermenigvuldigen met 2 voor elke keer dat je 2 keer zo veel violen hebt.

Onderwerp: Complexe getallen

Mag ik stellen dat: i^3 = i x i^2 = -i

Immers i^2 = -1

quote:

Op dinsdag 27 augustus 2013 19:00 schreef DefinitionX het volgende:
Onderwerp: Complexe getallen

Mag ik stellen dat: i^3 = i x i^2 = -i

Immers i^2 = -1

Ja, dat is juist. Je kunt het ook mooi visualiseren in het complexe vlak: een vermenigvuldiging met i betekent meetkundig een rotatie om de oorsprong over een rechte hoek tegen de klok in. Het beeldpunt van −1 is (−1;0) en als we dit punt om de oorsprong roteren over een rechte hoek tegen de klok in, dan zitten we in het punt (0; −1), en dat is het beeldpunt van −i.

Hier nog een plaatje dat mooi laat zien hoe je vermenigvuldiging met i meetkundig kunt interpreteren. Na viermaal achtereen vermenigvuldigen met i, oftewel vermenigvuldiging met i⁴ = i²·i² = (−1)·(−1) = 1 ben je weer terug op het uitgangspunt:



[ Bericht 11% gewijzigd door Riparius op 27-08-2013 19:37:07 ]