[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op zaterdag 3 augustus 2013 18:07 schreef Amoeba het volgende:
Ik heb het juist dat Rⁿ ook een n-dimensionale vectorruimte vertegenwoordigd?

Ja, want R^n kan worden opgebouwd uit n orthogonale eenheidsvectoren van lengte n.

quote:

Op zaterdag 3 augustus 2013 18:07 schreef Amoeba het volgende:
Ik heb het juist dat Rⁿ ook een n-dimensionale vectorruimte vertegenwoordigd?

Rⁿ is zelf strikt genomen nog geen vectorruimte. Pas als je optelling en vermenigvuldiging met een scalair definieert voor de elementen van Rⁿ, op zo'n manier dat er aan een aantal axioma's is voldaan.

Zie http://nl.wikipedia.org/wiki/Vectorruimte .

Rⁿ staat voor R×R×...×R (n keer), i.e. het Carthesische product van n keer een R. Dus x is een element van Rⁿ dan en slechts dan als x=(x₁,x₂,...,x_n), waarbij alle x_i in R zitten.

Kan iemand controleren of het bovenstaande klopt? Wolframalpha zegt iets anders, maar ik denk dat w-alpha het aan het vereenvoudigen is, wat mij niet lukt.

quote:

Op zaterdag 3 augustus 2013 19:34 schreef DefinitionX het volgende:
[ afbeelding ]

Kan iemand controleren of het bovenstaande klopt? Wolframalpha zegt iets anders, maar ik denk dat w-alpha het aan het vereenvoudigen is, wat mij niet lukt.

Ik kan nauwelijks lezen wat je opschrijft, je zult toch iets duidelijker moeten schrijven. En gebruik geen hoofdletter F voor een functie f, aangezien F meestal wordt gebruikt om een primitieve van f aan te duiden.

Bedoel je nu

f(x) = 6·⁴√(6x)

?

quote:

Op zaterdag 3 augustus 2013 19:44 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik kan nauwelijks lezen wat je opschrijft, je zult toch iets duidelijker moeten schrijven. En gebruik geen hoofdletter F voor een functie f, aangezien F meestal wordt gebruikt om een primitieve van f aan te duiden.

Bedoel je nu

f(x) = 6·⁴√(6x)

?

Ja dat bedoel ik. Ik ga proberen netter te schrijven en opnieuw te posten.

quote:

Op zaterdag 3 augustus 2013 20:01 schreef DefinitionX het volgende:

[..]

Ja dat bedoel ik. Ik ga proberen netter te schrijven en opnieuw te posten.

Goed. Ik zie dat je in de veronderstelling verkeert dat je de productregel moet gebruiken om de afgeleide van f(x) te bepalen, maar dat is niet zo. Je kunt hier twee rekenregels gebruiken. Om te beginnen is een wortel uit een product gelijk aan het product van de wortels van de factoren van dat product, mits deze factoren niet negatief zijn. Dus hebben we hier

⁴√(6x) = ⁴√6·⁴√x

Ten tweede is het nemen van de n-de machts wortel uit een (niet negatief) getal equivalent met het verheffen van dat getal tot de macht 1/n. Dus hebben we hier

⁴√x = x^1/4

We kunnen zo dus schrijven

f(x) = 6·⁴√6·x^1/4

Hier is 6·⁴√6 een constante, zodat we nu gebruik kunnen maken van de regels

d(c·f(x))/dx = c·d(f(x))/dx

en

d(xⁿ)/dx = n·xⁿ⁻¹

om de afgeleide te bepalen van f(x). En dus krijgen we

f'(x) = 6·⁴√6·(1/4)·x^−3/4

Als je de afgeleide weer met behulp van wortels wil schrijven, dan kun je dit nog herleiden door gebruik te maken van x^−3/4 = 1/x^3/4 = 1/(x³)^1/4 = 1 / ⁴√(x³) en dan krijgen we dus

f'(x) = 6·⁴√6 / (4·⁴√(x³))

oftewel

f'(x) = 3·⁴√6 / (2·⁴√(x³))

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 03-08-2013 20:34:28 ]

Riparius, ik dank u.

quote:

Op zaterdag 3 augustus 2013 20:34 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ga ook eens proberen op te letten?

Wat Riparius hierboven vertelt heeft hij een paar dagen geleden als eens eerder uitgelegd, om precies te zijn hier:

[..]

Uitgaande van bovenstaande constateer ik dus dat dit

[..]

een beetje overdreven is.

Dude, dat ik het niet meteen snap betekent nog niet dat ik niet aan het opletten ben. Ik zie het gewoon niet meteen zo goed als jij en andere......Ik heb nooit gezegd dat ik goed ben in wiskunde, maar ik sta open om te leren.

quote:

Op zaterdag 3 augustus 2013 20:51 schreef DefinitionX het volgende:
Riparius, ik dank u.

[..]

Zie je nu ook hoe je mijn uitkomst kunt herleiden tot de uitkomst die WolframAlpha geeft?

quote:

Op zaterdag 3 augustus 2013 20:53 schreef Riparius het volgende:

[..]

Zie je nu ook hoe je mijn uitkomst kunt herleiden tot de uitkomst die WolframAlpha geeft?

Yes sir.

Alleen, kun jij misschien uitleggen hoe w-alpha het antwoord vereenvoudigt?

http://www.wolframalpha.com/input/?i=derive+6*%286x%29^1%2F4

Edit:

Ik bedoelde nee.....

edit: verkeerde topic

quote:

Op zaterdag 3 augustus 2013 20:57 schreef DefinitionX het volgende:

[..]

Yes sir.

Alleen, kun jij misschien uitleggen hoe w-alpha het antwoord vereenvoudigt?

http://www.wolframalpha.com/input/?i=derive+6*%286x%29^1%2F4

Edit:

Ik bedoelde nee.....

Ik zag al dat je jezelf tegensprak.

We waren gekomen tot

f'(x) = 3·⁴√6 / (2·⁴√(x³))

In de teller van dit quotiënt hebben we een factor

⁴√6

waarvoor we volgens de rekenregels voor wortels kunnen schrijven

⁴√2·⁴√3

en dus ook

2^1/4·⁴√3

Nu zie je in de noemer van het quotiënt van de afgeleide een factor 2 staan, en dit is eigenlijk 2¹, waarvoor we ook kunnen schrijven

2^3/4·2^1/4

Dus hebben we

f'(x) = (3·2^1/4·⁴√3) / (2^3/4·2^1/4·⁴√(x³))

Nu zie je dat teller en noemer van de breuk een factor 2^1/4 gemeen hebben, zodat we teller en noemer van de breuk door 2^1/4 kunnen delen, en dit geeft

f'(x) = (3·⁴√3) / (2^3/4·⁴√(x³))

oftewel

f'(x) = (3·⁴√3) / (2^3/4·x^3/4)

en dat is precies wat WolframAlpha ook geeft.

Dit soort algebraïsche herleidingen met (bijvoorbeeld) wortels en exponenten moet je volledig beheersen, anders kun je jezelf echt de moeite besparen ooit deel te nemen aan die toelatingstoets.

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 03-08-2013 22:19:27 ]

Ik zag op het laatste moment, voor je post dus, wat ze deden met het splitsen van de wortels (waarschijnlijk verkeerde benaming), maar wat je deed met die 2, dat is nieuw voor mij. Ik weet dat 2^3/4·2^1/4 = 2, maar dat je het op die manier kon gebruiken niet. Weer wat geleerd.

Trouwens, bedankt dat je zoveel geduld hebt met me, en dat geldt voor iedereen op het fok beta. Kijk, ik kan nu opgeven en dan zeggen 'ja het was te moeilijk, ga ik toch niet snappen', maar dat is de verkeerde mentaliteit.

Ik had laatst een gedachte: wat als ik ipv wiskunde als een blok zie dat ik verder moet duwen om te komen waar ik wil, het ga behandelen als iets dat me mentaal helpt en ook in de toekomst zeer van pas gaat komen.

Nu zit ik niet meer met 'x uur per dag beta', maar meer 'dit leren is behalve voor die toets gewoon interessant om te weten'. Met zo'n houding gaat het ook veel makkelijker en is het bovendien leuker.

Genoeg gekletst, de boeken weer in. :p

Vanaf 1:46

In de eerste opgave die hij behandelt neemt hij de logaritme van wat er links staat en wat er rechts staat (vanaf tijdstip 1:46 zie je dat), maar ik heb alles wat links en rechts staat een exponent gemaakt van 10. Zo krijg ik hetzelfde antwoord. Kan het allebei?

quote:

Op zondag 4 augustus 2013 21:37 schreef DefinitionX het volgende:

Wiskunde - rekenregels logaritmes - enkele voorbeeldopgaven

Vanaf 1:46

In de eerste opgave die hij behandelt neemt hij de logaritme van wat er links staat en wat er rechts staat (vanaf tijdstip 1:46 zie je dat), maar ik heb alles wat links en rechts staat een exponent gemaakt van 10. Zo krijg ik hetzelfde antwoord. Kan het allebei?

Een logaritme is in feite een exponent, want ^glog a is gedefinieerd als de exponent waartoe je het grondtal g moet verheffen om a te krijgen. Dus

^glog a = b

is equivalent met

g^b = a

Je vraag is verder niet duidelijk genoeg, want ik kan uit je beschrijving niet opmaken of je het correct opschrijft. Dat zul je dus eerst moeten laten zien.

Als we hebben

¹⁰log(S⁴/R²) = 1

dan is dit conform de definitie van de logaritme equivalent met

10¹ = S⁴/R²

en dus

S⁴ = 10·R²

De man in de video herschrijft eerst 1 als ¹⁰log 10 en maakt dan gebruik van het feit dat

^glog a = ^glog b

equivalent is met

a = b

mits a en b beide positieve grootheden zijn.

quote:

Op zondag 4 augustus 2013 22:00 schreef Riparius het volgende:

[..]

Een logaritme is in feite een exponent, want ^glog a is gedefinieerd als de exponent waartoe je het grondtal g moet verheffen om a te krijgen. Dus

^glog a = b

is equivalent met

g^b = a

Je vraag is verder niet duidelijk genoeg, want ik kan uit je beschrijving niet opmaken of je het correct opschrijft. Dat zul je dus eerst moeten laten zien.

Als we hebben

¹⁰log(S⁴/R²) = 1

dan is dit conform de definitie van de logaritme equivalent met

10¹ = S⁴/R²

en dus

S⁴ = 10·R²

De man in de video herschrijft eerst 1 als ¹⁰log 10 en maakt dan gebruik van het feit dat

^glog a = ^glog b

equivalent is met

a = b

mits a en b beide positieve grootheden zijn.

Dit is wat ik gedaan heb:



Is dat ook correct? Ik hoop dat het duidelijk geschreven is.

Edit:

Eigenlijk zie ik nu wel wat die man heeft gedaan, mede door jouw uitleg. 10^log10 is 10^1 en dat is weer 10. Dankjewel.

Edit2: Nee klopt niet, 10^log10 = 1. Ik doelde op de exponent.

Edit3: Ik schrijf de S^4 op het laatst verkeerd in de foto....

[ Bericht 2% gewijzigd door DefinitionX op 04-08-2013 22:46:18 ]

quote:

Op zondag 4 augustus 2013 22:41 schreef DefinitionX het volgende:

[..]

Dit is wat ik gedaan heb:

[ afbeelding ]

Is dat ook correct? Ik hoop dat het duidelijk geschreven is.

Wat je hier doet is correct, afgezien van de verschrijving S₄ voor S⁴.

Eerst maak je hier gebruik van het feit dat

a = b

equivalent is met

10^a = 10^b

Vervolgens gebruik je dat

10^log(a) = a

waarbij log staat voor de 'gewone' oftewel Briggse logaritmen met grondtal 10. Deze laatste regel is weer niets anders dan de definitie van de logaritme: log(a) is de exponent waartoe je 10 moet verheffen om a te krijgen.

Wees er bedacht op dat er wat ambiguïteit in notaties van logaritmen bestaat. In veel toegepaste disciplines (en bijvoorbeeld op rekenmachines) wordt met log de logaritme met grondtal 10 bedoeld, maar in de zuivere wiskunde wordt log dan weer vaak gebruikt om logaritmen met grondtal e (het getal van Euler) aan te geven. Deze laatste logaritmen heten ook natuurlijke logaritmen en worden om misverstanden te voorkomen (en op rekenmachines) ook vaak aangegeven met het symbool ln (dat staat voor logarithmus naturalis).

WolframAlpha interpreteert zowel log als ln als de natuurlijke logaritme. Als je bij WolframAlpha een ander grondtal g wil gebruiken, dan moet je dat specificeren. ^glog a voer je dan in als log(g, a).

Hoi, ik heb een beetje aparte vraag. Ik probeer deze vraag op te lossen:

quote:

For what pairs (a, b) of positive real numbers does the improper integral

converge?

En ik weet (met dank aan Riparius) dat het antwoord hier staat (vraag A2), maar ik wil liever niet het antwoord bekijken. Ik weet niet of het mogelijk is, maar zou iemand me een tip kunnen geven?

[ Bericht 1% gewijzigd door randomo op 09-08-2013 21:05:30 ]

quote:

Op donderdag 8 augustus 2013 12:40 schreef randomo het volgende:
Hoi, ik heb een beetje aparte vraag. Ik probeer deze vraag op te lossen:

[..]

En ik weet (met dank aan Riparius) dat het antwoord hier staat (vraag A2), maar ik wil liever niet het antwoord bekijken. Ik weet niet of het mogelijk is, maar zou iemand me een tip kunnen geven?

Probeer eens eerste orde Taylorbenaderingen te gebruiken van .

Thanks, ik kijk vanavond nog even, ik laat nog wel even weten of ik er uitgekomen ben (of denk er uitgekomen te zijn, ik trek soms nog wel eens te snel conclusies )

quote:

Op donderdag 8 augustus 2013 22:27 schreef randomo het volgende:
Thanks, ik kijk vanavond nog even, ik laat nog wel even weten of ik er uitgekomen ben (of denk er uitgekomen te zijn, ik trek soms nog wel eens te snel conclusies )

Je zult er wel meer dan even over na moeten denken

quote:

Op vrijdag 9 augustus 2013 00:16 schreef thenxero het volgende:

[..]

Je zult er wel meer dan even over na moeten denken

Ja. Ik bedacht net dat ik er echt nog geen zak van begrijp, ik heb geen idee hoe te beginnen
Dat heb ik wel vaker bij die calculus problemen, daar heb ik ook niet veel ervaring mee, lastig lastig...

Heb je al geprobeerd die wortels te rationaliseren? Dit riekt aan alle kanten naar een probleem dat met worteltruuk
√a + √b = (√a + √b)*(√a - √b)/(√a - √b) opgelost dient te worden.

[ Bericht 1% gewijzigd door VanishedEntity op 09-08-2013 02:30:34 ]

quote:

Op donderdag 8 augustus 2013 12:40 schreef randomo het volgende:
Hoi, ik heb een beetje aparte vraag. Ik probeer deze vraag op te lossen:

[..]

En ik weet (met dank aan Riparius) dat het antwoord hier staat (vraag A2), maar ik wil liever niet het antwoord bekijken. Ik weet niet of het mogelijk is, maar zou iemand me een tip kunnen geven?

Je zou kunnen beginnen met de opgave correct weer te geven. Je hebt de integratiegrenzen vergeten aan te geven. Het is de bedoeling te integreren over [b, ∞).

Verder vraag ik me af waarom je zo graag tips wil hebben, het is toch de bedoeling om de Putnam opgaven zelf op te lossen. Als je een opgave alleen met tips van anderen op kunt lossen, dan kun je achteraf niet zeggen dat je zelf een oplossing hebt gevonden, want dan houd je alleen maar jezelf voor de gek.

[ Bericht 6% gewijzigd door Riparius op 09-08-2013 18:07:28 ]

quote:

Op vrijdag 9 augustus 2013 03:30 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je zou kunnen beginnen met de opgave correct weer te geven. Je hebt de integratiegrenzen vergeten aan te geven. Het is de bedoeling te integreren over [b, ∞).

Verder vraag ik me af waarom je zo graag tips wil hebben, het is toch de bedoeling om de Putnam opgaven zelf op te lossen. Als een opgave alleen met tips van anderen op kunt lossen, dan kun je achteraf niet zeggen dat je zelf een oplossing hebt gevonden, want dan houd je alleen maar jezelf voor de gek.

Haha, een echte Riparius-reactie. Je hebt gelijk ja, excuses van de integraal (hoewel je zou kunnen zeggen dat de integraal genomen moet worden over het domein waar de integrand 'geldig is', maar goed, dat is dan meer bij toeval, en je zou dan ook een complexe integraal kunnen bedoelen...).

Ik moet zeggen dat ik sowieso de hoop al heb opgegeven om deze nog te op te lossen, maar gelijk naar de antwoorden kijken vind ik ook weer zoiets Ik kan het blijkbaar moeilijk verkroppen dat ik de opgave niet op kan lossen (vooral ook omdat het A2 is, en meestal zijn de eerste opgaven juist vrij makkelijk).

quote:

Op vrijdag 9 augustus 2013 12:51 schreef randomo het volgende:

[..]

Haha, een echte Riparius-reactie. Je hebt gelijk ja, excuses van de integraal (hoewel je zou kunnen zeggen dat de integraal genomen moet worden over het domein waar de integrand 'geldig is', maar goed, dat is dan meer bij toeval, en je zou dan ook een complexe integraal kunnen bedoelen...).

Als je het hebt over een oneigenlijke integraal, dan is dat een definiete integraal en dan moet je dus de integratiegrenzen aangeven.

quote:

Ik moet zeggen dat ik sowieso de hoop al heb opgegeven om deze nog te op te lossen, maar gelijk naar de antwoorden kijken vind ik ook weer zoiets Ik kan het blijkbaar moeilijk verkroppen dat ik de opgave niet op kan lossen (vooral ook omdat het A2 is, en meestal zijn de eerste opgaven juist vrij makkelijk).

Tja, de vraag is wat voor tips je eigenlijk verwacht als je een uitgewerkte oplossing er al meteen bij geeft. Je wil niet zelf naar de uitwerking kijken maar kennelijk wel dat iemand je al een stukje van de uitwerking waar je zelf niet naar wil kijken verklapt. Dat is hypocriet.

Interessanter zijn dan tips voor alternatieve oplossingen. Je kunt gemakkelijk laten zien dat de integrand voor x → ∞ asymptotisch nadert tot (√(a/2) − √(b/2))·x^−1/4 zodat het evident is dat de integraal niet kan convergeren voor a ≠ b. Maar dan moet je uiteraard nog steeds aantonen dat de integraal wel convergeert voor a = b.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 10-08-2013 00:41:33 ]

quote:

Op vrijdag 9 augustus 2013 17:12 schreef Riparius het volgende:

[..]

Tja, de vraag is wat voor tips je eigenlijk verwacht als een uitgewerkte oplossing er al meteen bij geeft. Je wil niet zelf naar de uitwerking kijken maar kennelijk wel dat iemand je al een stukje van de uitwerking waar je zelf niet naar wil kijken verklapt. Dat is hypocriet.

Ik zie niet zo goed hoe dat hypocriet is, en ik snap verder het probleem niet zo.

quote:

Interessanter zijn dan tips voor alternatieve oplossingen. Je kunt gemakkelijk laten zien dat de integrand voor x → ∞ asymptotisch nadert tot (√(a/2) − √(b/2))·x^−1/4 zodat het evident is dat de integraal niet kan convergeren voor a ≠ b. Maar dan moet je uiteraard nog steeds aantonen dat de integraal wel convergeert voor a = b.

Dom, maar ik had dat niet ingezien! Het lijkt wel of mijn hersenen niet meer meewerken zodra ik een calculusprobleem zie Dank voor de tip!

quote:

Op vrijdag 9 augustus 2013 01:45 schreef VanishedEntity het volgende:
Heb je al geprobeerd die wortels te rationaliseren? Dit riekt aan alle kanten naar een probleem dat met worteltruuk
√a + √b = (√a + √b)*(√a - √b)/(√a - √b) opgelost dient te worden.

Daar heb ik wel aan gedacht, en dat viel een beetje tegen. Maar ik moet bekennen dat ik dat niet heel lang geprobeerd heb, dus het kan zijn dat ik iets over het hoofd heb gezien.

[ Bericht 21% gewijzigd door randomo op 09-08-2013 21:07:52 ]

Ik ben op zoek naar een geschikte functie/formule.
Zie onderstaand plaatje:


Ik ben op zoek naar een formule y = f(x, c)
De blauwe lijn is de curve van de functie.
Deze bestaat nu uit twee lijnstukken en een hoek maar ik wil dat deze vloeiender wordt.
X en y spreken voor zich, beiden gaan van -1 tot 1.
c is gekoppeld aan de rode as en gaat ook van -1 tot 1.

Je kunt zien dat als c=0 de relatie tussen x en y lineair is.
Naarmate c naar -1 of 1 gaat wordt de relatie tussen x en y steeds minder lineair en is er eerst een zeer steile curve die later afvlakt. (of andersom)
Als c -1 of 1 is dan is de blauwe curve extreem gebogen met extreem steile en extreem vlakke helften.

Wanneer dit in twee delen gaat dan is het makkelijk te doen, er zijn dan twee lineaire verbanden waartussen je moet kiezen.
Maar ik ben dus op zoek naar een functie die dit veel vloeiender doet waarbij de blauwe lijn tov de rode as symmetrisch is.
Tevens moet de blauwe lijn binnen het vak -1<x<1 en -1<y<1 blijven.

ik heb wat gespeeld met exponentiële functies maar die waren net niet wat ik zocht.

Heeft iemand tips voor wat ik wel zou kunnen gebruiken?

quote:

Op zaterdag 10 augustus 2013 02:49 schreef jeroen25 het volgende:
Ik ben op zoek naar een geschikte functie/formule.

Heeft iemand tips voor wat ik wel zou kunnen gebruiken?

Ik heb van je rode lijn de x-as gemaakt en de hokjes 1 op 1

Dan krijg je telkens bij een gegevens x_i: ax-b voor y=[0..2wortel(2)] en x_i[x_i..2wortel](kan ook [2wortel(2)..x_i] zijn trouwens)tegenover -ax+b voor y=[0...-2wortel(2)] en x_i[x_i..2wortel]

neem nu ax-b dan gaat deze lijn altijd door (2wortel(2),2wortel(2)) en (x_i,0)

Hieruit haal je-> a= 2wortel(2)/(2wortel(2)-x_i) en b=ax_i

x_i laat je lopen van 0 tot 4wortel(2)

dus:
voor een zekere x_i krijgen we:
y_1=2wortel(2)/(2wortel(2)-x_i) x-2wortel(2)/(2wortel(2)-x_i) x_i voor x[x_i...2wortel2] en y[0..2wortel2]
y_2=-2wortel(2)/(2wortel(2)-x_i) x+2wortel(2)/(2wortel(2)-x_i) x_i voor x[x_i...2wortel2] en y[0..-2wortel2]

Kun je het volgen? Het is al ff geleden dat ik met wiskunde bezig ben geweest maar ik denk dat het idee op zich wel iets is waar je iets mee kan.

Ik zou moeten opzoeken hoe je eenvoudig transformaties doet terug naar jou voorbeeld maar er zullen wel anderen zijn waar het allemaal wat verser in het geheugen ligt en waarschijnlijk ook wel met een eenvoudigere rechtstreekse oplossing.

edit:wortel symbool verdwijnt telkens

[ Bericht 3% gewijzigd door Straatklinker op 10-08-2013 04:26:29 ]

quote:

Op zaterdag 10 augustus 2013 02:49 schreef jeroen25 het volgende:
Ik ben op zoek naar een geschikte functie/formule.
Zie onderstaand plaatje:
[ afbeelding ]

Ik ben op zoek naar een formule y = f(x, c)
De blauwe lijn is de curve van de functie.
Deze bestaat nu uit twee lijnstukken en een hoek maar ik wil dat deze vloeiender wordt.
X en y spreken voor zich, beiden gaan van -1 tot 1.
c is gekoppeld aan de rode as en gaat ook van -1 tot 1.

Je kunt zien dat als c=0 de relatie tussen x en y lineair is.
Naarmate c naar -1 of 1 gaat wordt de relatie tussen x en y steeds minder lineair en is er eerst een zeer steile curve die later afvlakt. (of andersom)
Als c -1 of 1 is dan is de blauwe curve extreem gebogen met extreem steile en extreem vlakke helften.

Wanneer dit in twee delen gaat dan is het makkelijk te doen, er zijn dan twee lineaire verbanden waartussen je moet kiezen.
Maar ik ben dus op zoek naar een functie die dit veel vloeiender doet waarbij de blauwe lijn tov de rode as symmetrisch is.
Tevens moet de blauwe lijn binnen het vak -1<x<1 en -1<y<1 blijven.

ik heb wat gespeeld met exponentiële functies maar die waren net niet wat ik zocht.

Heeft iemand tips voor wat ik wel zou kunnen gebruiken?

Wat jij wil heet interpoleren, en er zijn heel veel verschillende manieren om dit te doen. Welke het meest geschikt is hangt een beetje af van de context, als je echt alleen maar een wat vloeiendere curve wil zou ik vooral een eenvoudige manier gebruiken.

Een eenvoudige manier die ik ken, bestaat eruit om een aantal n-de graads polynomen te nemen, en daar op bepaalde punten eisen aan te stellen. In dit geval zou ik twee tweedegraads polynomen f₁ en f₂ nemen, waar je dan de volgende eisen aan kan stellen:
f₁(0) = 0 (het punt linksonder)
f₁(v) = f₂(v) = -v (het punt op de rode lijn)
f₂(1) = 1
En verder moet je f₁'(v) = f₂'(v) hebben om de curve vloeiend (= met continue eerste afgeleide) te houden.

Je kan dan een functie f op het domein [0, 1] met het bereik [0, 1] maken door te definiëren:
f(x) = f₁(x) als x in [0, v] en
f(x) = f₂(x) als x in (v, 1]

Het is misschien nog onduidelijk hoe je van die eisen aan f₁ en f₂ naar de polynomen kan komen. Tweedegraads polynomen zijn van de vorm ax² + bx + c en worden gedefinieerd door de coëffcienten a, b en c. Je hoeft dus alleen de getallen a, b en c te zoeken.

Als je f₁(x) = c₂x² + c₁x + c₀ en f₂(x) = d₂x² + d₁x + d₀ invult en de afgeleide van de polynomen neemt, kan je de voorwaarden mooi uitschrijven tot voorwaarden in de coëfficienten c en d)

(Teken er even een grafiek bij als het niet duidelijk is)

Een hoop interpolatiemanieren zijn gebaseerd op varianten van deze manier: Er wordt vaak een aantal polynomen van een zekere graad genomen, en vervolgens worden er eisen aan de polynomen en hun afgeleiden (dus niet per sé alleen de eerste afgeleide! losjes gezegd zou je kunnen zeggen dat een curve vloeiender wordt als er op de overgangspunten tussen twee polynomen meer afgeleiden gelijk zijn) gesteld, worden de polynomen met hun coëfficienten uitgeschreven, de voorwaarden opgelost zodat we de coëfficienten en dus ook de polynomen weten, en wordt er een functie genomen die steeds op een interval gelijk is aan één van de gevonden polynomen.

Kijk ook eens naar Béziercurves en Hermite curves als je dit interessant vindt. Dit artikel op wikipedia helpt misschien ook als je iets niet begrijpt, al zie ik niet direct dat daar ook eisen aan de afgeleiden worden gesteld. Even googelen kan je ook verder helpen, er is ongetwijfeld veel over polynomen en hun toepassingen in interpolatie geschreven.

Een andere manier is om de grafiek x^c (met c een constante die je kan bepalen omdat je wil dat f(v) = v) te herschalen zodat x en y niet van 0 tot 1 maar van -1 tot 1 lopen. Dus dan krijg je zoiets als f(x) = 2 * ((x + 1) / 2)^c - 1(hier bijvoorbeeld de grafiek voor c = 2), waar je c bepaalt met de voorwaarde f(v) = -v voor een bepaalde v.

Ik hoop dat je de wiskunde een beetje begrijpt (het is niet heel ingewikkeld als je er even goed naar kijkt, maar sommige dingen zijn misschien wat verwarrend).

[ Bericht 9% gewijzigd door randomo op 10-08-2013 14:20:04 ]

quote:

Op zaterdag 10 augustus 2013 02:49 schreef jeroen25 het volgende:
Ik ben op zoek naar een geschikte functie/formule.
Zie onderstaand plaatje:
[ afbeelding ]

Ik ben op zoek naar een formule y = f(x, c)

Wanneer dit in twee delen gaat dan is het makkelijk te doen, er zijn dan twee lineaire verbanden waartussen je moet kiezen.
Maar ik ben dus op zoek naar een functie die dit veel vloeiender doet waarbij de blauwe lijn tov de rode as symmetrisch is.
Tevens moet de blauwe lijn binnen het vak -1<x<1 en -1<y<1 blijven.

ik heb wat gespeeld met exponentiële functies maar die waren net niet wat ik zocht.

Heeft iemand tips voor wat ik wel zou kunnen gebruiken?

Je zou een kwart van een superellips kunnen gebruiken.

Bedankt voor de hulp.
De superellips is precies wat ik zoek.

Is de multipliciteit van beide polen 2 omdat een term in de noemer macht 2 heeft (ik bedoel x^2 in de noemer)? Waarom is de multipliciteit van de wortel van de veeltermbreuk 1? Ik heb een vermoeden dat het komt omdat je geen ^2 kunt vinden voor die wortel (bijvoorbeeld in de teller zie je 2 termen, maar voor geen van beide termen gaat de macht tot 2).

quote:

Op zondag 11 augustus 2013 22:56 schreef DefinitionX het volgende:
[ afbeelding ]

Is de multipliciteit van beide polen 2 omdat een term in de noemer macht 2 heeft (ik bedoel x^2 in de noemer)?

Er zit een fout in je tekst. De polen van de rationale functie in je boek zijn de nulpunten van het polynoom x²(x + 1) in de noemer van het quotiënt. De pool x = 0 heeft multipliciteit 2 maar de pool x = −1 heeft multipliciteit 1.

quote:

Waarom is de multipliciteit van de wortel van de veeltermbreuk 1? Ik heb een vermoeden dat het komt omdat je geen ^2 kunt vinden voor die wortel (bijvoorbeeld in de teller zie je 2 termen, maar voor geen van beide termen gaat de macht tot 2).

Men zegt dat een polynoom P(x) in een variabele x een nulpunt x = x₀ met multipliciteit m heeft als P(x) een factor (x − x₀)^m bevat, maar geen factor (x − x₀)^m+1. De multipliciteit van een nulpunt x = x₀ van een polynoom P(x) is dus precies het aantal factoren (x − x₀) dat P(x) bevat.

Ik neem aan dat je op de hoogte bent met de stelling dat een polynoom P(x) een nulpunt x = x₀ heeft dan en slechts dan als P(x) een factor (x − x₀) bevat.

quote:

Op maandag 12 augustus 2013 02:48 schreef Riparius het volgende:

[..]

Er zit een fout in je tekst. De polen van de rationale functie in je boek zijn de nulpunten van het polynoom x²(x + 1) in de noemer van het quotiënt. De pool x = 0 heeft multipliciteit 2 maar de pool x = −1 heeft multipliciteit 1.

[..]

Men zegt dat een polynoom P(x) in een variabele x een nulpunt x = x₀ met multipliciteit m heeft als P(x) een factor (x − x₀)^m bevat, maar geen factor (x − x₀)^m+1. De multipliciteit van een nulpunt x = x₀ van een polynoom P(x) is dus precies het aantal factoren (x − x₀) dat P(x) bevat.

Ik neem aan dat je op de hoogte bent met de stelling dat een polynoom P(x) een nulpunt x = x₀ heeft dan en slechts dan als P(x) een factor (x − x₀) bevat.

Dankje Riparius, met dat laatste ben ik wel wat bekend.

Trouwens, ik had vandaag deze veelterm om in factoren te ontbinden:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^5-2x^4-2x^3%2B4x^2%2Bx-2

Ik had x=-1 gevonden door gebruik te maken van (som oneven coefficienten van machten van x) = (som even coefficienten van machten van x). Ik had x=2 gevonden door het gewoon te proberen. Daarna wist ik het niet meer en gekeken wat w-alpha zegt. Ik zie nu opeens hoe x=1 gevonden is, dus dat is duidelijk.

Echter, hoe kun je herkennen dat (x+1) en (x-1) beide twee keer als factor voorkomen van de veelterm? Oftewel, hoe weet je dat beide multipliciteit van 2 hebben?

Daarbij, die x=2 was een gok, het had net zo goed wat anders kunnen zijn bij een andere veelterm, hoe zou ik daar dan achter kunnen komen?

Ik weet dat ik met google ver kom, maar jullie weten vast waar ik een berg oefeningen vind voor wiskunde? En daarmee bedoel ik per onderdeel. Dus dat ik een berg logaritmische vragen kan maken, veeltermen, 1e/2e graads functies, beginners differentieren, euclidische deling e.d.

Het zou zeer welkom zijn.

quote:

Op maandag 12 augustus 2013 02:59 schreef DefinitionX het volgende:

[..]

Dankje Riparius, met dat laatste ben ik wel wat bekend.

Trouwens, ik had vandaag deze veelterm om in factoren te ontbinden:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^5-2x^4-2x^3%2B4x^2%2Bx-2

Ik had x=-1 gevonden door gebruik te maken van (som oneven coefficienten van machten van x) = (som even coefficienten van machten van x). Ik had x=2 gevonden door het gewoon te proberen. Daarna wist ik het niet meer en gekeken wat w-alpha zegt. Ik zie nu opeens hoe x=1 gevonden is, dus dat is duidelijk.

Echter, hoe kun je herkennen dat (x+1) en (x-1) beide twee keer als factor voorkomen van de veelterm? Oftewel, hoe weet je dat beide multipliciteit van 2 hebben?

Daarbij, die x=2 was een gok, het had net zo goed wat anders kunnen zijn bij een andere veelterm, hoe zou ik daar dan achter kunnen komen?

Als je wil kijken of een polynoom waarvan de coëfficiënt van de hoogste macht gelijk is aan 1 gehele getallen als nulpunten heeft, dan hoef je alleen de delers van de constante term te testen, afgezien van het teken. Hier is de coëfficiënt van de hoogste macht x⁵ inderdaad 1, en de constante term −2, en dan hoef je alleen +1, −1, +2 en −2 te testen.

Meervoudige wortels opsporen kan lastig zijn, maar hier zou je een polynoomstaartdeling uit kunnen voeren. Door uitproberen weet je dat x = 2 een nulpunt is, en dus moet het polynoom een factor (x − 2) bevatten. Door nu een staartdeling uit te voeren vind je dat het polynoom gelijk is aan

(x − 2)(x⁴ − 2x² + 1)

Met behulp van het merkwaardig product (a − b)² = a² − 2ab + b² herken je dan gemakkelijk dat x⁴ − 2x² + 1 is te schrijven als

(x² − 1)²

en met behulp van het merkwaardig product (a + b)(a − b) = a² − b² herken je dan weer dat je x² − 1 kunt schrijven als

(x + 1)(x − 1)

zodat we als ontbinding van het polynoom uiteindelijk krijgen

(x + 1)²(x − 1)²(x − 2)

Het polynoom heeft dus een nulpunt x = −1 met multipliciteit 2, een nulpunt x = 1 met multipliciteit 2, en nog een enkelvoudig nulpunt x = 2.

Over het algemeen geldt dat een polynoom van de graad n precies n nulpunten heeft, als je tenminste ook eventuele complexe nulpunten meetelt én als je meervoudige nulpunten elk net zo vaak meetelt als hun multipliciteit bedraagt.

Dank je Riparius! Het is weer wat helder. Ik ga nog wat spelen ermee zodat ik in het begin (x-1)(rest van term)=veeltermbreuk heb.

quote:

Op maandag 12 augustus 2013 07:57 schreef Amoeba het volgende:
http://en.m.wikipedia.org/wiki/Newton%E2%80%93Raphson_method

Het bewijs is wat lastig (voor mij), maar toch zeker geen verspilde tijd.

Die Newton regel ga ik vandaag proberen. Dank je.

Notatievraagje. Stel ik heb een funcie Y met parameter x en ik kwadrateer die. Wat is dan de betere notatie (als een van de twee beter is)? Y²(x) of Y(x)²

Ik heb een vraag.
Ik wil weten of er een correlatie is tussen de openheid van een mondoppervlak en verschillende ecologische factoren.
Als ik bijvoorbeeld deze openheid met de hoogte boven zeeniveau laat berekenen, krijg ik 2 verschillende waarden.

Kennelijk is de correlatie tussen A en B anders dan tussen B en A. Kan dat kloppen?

Ook heb ik de keuze uit Linear Correlation r, Spearman's D, Spearman's rs, Kendall's tau en Partial linear correlation. Ze geven allen een ander getal, maar ik snap niet wat het verschil is. De tekst op wikipedia is alleen maar verwarrend.

Ik weet inmiddels dat ik Partial linear correlation nodig heb, maar ik snap niet waarom ik 2 verschillende waarden krijg.



Iemand een idee?

quote:

Op dinsdag 13 augustus 2013 13:14 schreef Bram_van_Loon het volgende:
Notatievraagje. Stel ik heb een funcie Y met parameter x en ik kwadrateer die. Wat is dan de betere notatie (als een van de twee beter is)? Y²(x) of Y(x)²

Ik zou zeggen Y(x)². Je zou met Y²(x) ook het volgende kunnen bedoelen:



Maar in principe is er geen officiële notatie, dus je kan doen wat je wil. Als het maar duidelijk is voor de lezer...

Ik zou x hier ook geen parameter noemen, maar een variabele.

Wat is er mis met het woord parameter?

quote:

Op woensdag 14 augustus 2013 02:01 schreef Bram_van_Loon het volgende:
Wat is er mis met het woord parameter?

Het argument van een functie noem je standaard een variabele. Zoals Amoeba aangaf, als in die functie nog een onbekende constante zit, dan noem je dat vaak een 'parameter' (of gewoon 'constante'). (Ik heb nog even gegoogeld, maar ik vind geen echte definities, maar alleen voorbeelden. Het is dus wel discutabel...)

Het wordt pas wat duidelijker met een simpel praktisch voorbeeld. Stel dat je een verband zoekt tussen tijd en afgelegde weg van een object dat met een constante snelheid beweegt. Je weet dat je een formule van de vorm f_a(t)=a*t is. Op het moment dat de snelheid bekend is, weet je wat de waarde van a is, en weet je op iedere t de afgelegde weg y. Hier is a de parameter, en t de variabele.

Maar ik moet toegeven dat het verschil heel subtiel is. Als ik schrijf f_t(a)=a*t, dan zou a opeens wel een variabele worden en t een parameter, terwijl het in feite dezelfde functie is. Deze notatie ligt echter meer voor de hand als je je experiment gaat evalueren op een nog onbekend tijdstip t, terwijl je geïnteresseerd bent in de afgelegde weg naargelang je de snelheid varieert.

En om het nog een beetje verwarrender te maken, je hebt ook de zogenaamde "parametervoorstelling", waar bijvoorbeeld de x en y-coördinaat een functie zijn van de tijd. Zoek de parameter in




[ Bericht 1% gewijzigd door thenxero op 14-08-2013 07:19:19 ]