[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

Riparius, heb je ooit een parttime functie als onderwijzer overwogen? Je zou niet de enige zijn, zelfs onze premier staat nog voor de klas.

Ik heb het juist dat Rⁿ ook een n-dimensionale vectorruimte vertegenwoordigd?

quote:

Op zaterdag 3 augustus 2013 18:07 schreef Amoeba het volgende:
Ik heb het juist dat Rⁿ ook een n-dimensionale vectorruimte vertegenwoordigd?

Ja, want R^n kan worden opgebouwd uit n orthogonale eenheidsvectoren van lengte n.

quote:

Op zaterdag 3 augustus 2013 18:07 schreef Amoeba het volgende:
Ik heb het juist dat Rⁿ ook een n-dimensionale vectorruimte vertegenwoordigd?

Rⁿ is zelf strikt genomen nog geen vectorruimte. Pas als je optelling en vermenigvuldiging met een scalair definieert voor de elementen van Rⁿ, op zo'n manier dat er aan een aantal axioma's is voldaan.

Zie http://nl.wikipedia.org/wiki/Vectorruimte .

Rⁿ staat voor R×R×...×R (n keer), i.e. het Carthesische product van n keer een R. Dus x is een element van Rⁿ dan en slechts dan als x=(x₁,x₂,...,x_n), waarbij alle x_i in R zitten.

Kan iemand controleren of het bovenstaande klopt? Wolframalpha zegt iets anders, maar ik denk dat w-alpha het aan het vereenvoudigen is, wat mij niet lukt.

quote:

Op zaterdag 3 augustus 2013 19:34 schreef DefinitionX het volgende:
[ afbeelding ]

Kan iemand controleren of het bovenstaande klopt? Wolframalpha zegt iets anders, maar ik denk dat w-alpha het aan het vereenvoudigen is, wat mij niet lukt.

Ik kan nauwelijks lezen wat je opschrijft, je zult toch iets duidelijker moeten schrijven. En gebruik geen hoofdletter F voor een functie f, aangezien F meestal wordt gebruikt om een primitieve van f aan te duiden.

Bedoel je nu

f(x) = 6·⁴√(6x)

?

quote:

Op zaterdag 3 augustus 2013 19:44 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik kan nauwelijks lezen wat je opschrijft, je zult toch iets duidelijker moeten schrijven. En gebruik geen hoofdletter F voor een functie f, aangezien F meestal wordt gebruikt om een primitieve van f aan te duiden.

Bedoel je nu

f(x) = 6·⁴√(6x)

?

Ja dat bedoel ik. Ik ga proberen netter te schrijven en opnieuw te posten.

quote:

Op zaterdag 3 augustus 2013 20:01 schreef DefinitionX het volgende:

[..]

Ja dat bedoel ik. Ik ga proberen netter te schrijven en opnieuw te posten.

Goed. Ik zie dat je in de veronderstelling verkeert dat je de productregel moet gebruiken om de afgeleide van f(x) te bepalen, maar dat is niet zo. Je kunt hier twee rekenregels gebruiken. Om te beginnen is een wortel uit een product gelijk aan het product van de wortels van de factoren van dat product, mits deze factoren niet negatief zijn. Dus hebben we hier

⁴√(6x) = ⁴√6·⁴√x

Ten tweede is het nemen van de n-de machts wortel uit een (niet negatief) getal equivalent met het verheffen van dat getal tot de macht 1/n. Dus hebben we hier

⁴√x = x^1/4

We kunnen zo dus schrijven

f(x) = 6·⁴√6·x^1/4

Hier is 6·⁴√6 een constante, zodat we nu gebruik kunnen maken van de regels

d(c·f(x))/dx = c·d(f(x))/dx

en

d(xⁿ)/dx = n·xⁿ⁻¹

om de afgeleide te bepalen van f(x). En dus krijgen we

f'(x) = 6·⁴√6·(1/4)·x^−3/4

Als je de afgeleide weer met behulp van wortels wil schrijven, dan kun je dit nog herleiden door gebruik te maken van x^−3/4 = 1/x^3/4 = 1/(x³)^1/4 = 1 / ⁴√(x³) en dan krijgen we dus

f'(x) = 6·⁴√6 / (4·⁴√(x³))

oftewel

f'(x) = 3·⁴√6 / (2·⁴√(x³))

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 03-08-2013 20:34:28 ]

quote:

Op zaterdag 3 augustus 2013 20:01 schreef DefinitionX het volgende:

[..]

Ja dat bedoel ik. Ik ga proberen netter te schrijven en opnieuw te posten.

Ga ook eens proberen op te letten?

Wat Riparius hierboven vertelt heeft hij een paar dagen geleden als eens eerder uitgelegd, om precies te zijn hier:

quote:

Op woensdag 31 juli 2013 22:07 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je hebt de productregel of de kettingregel hier helemaal niet nodig. Je hebt namelijk

5·∛(5x) = 5·∛5·x^1/3

Die 5·∛5 is een constante, en aangezien d(c·f(x))/dx = c·d(f(x))/dx hoef je dus alleen nog te weten hoe je x^1/3 differentieert, en dat gaat via de bekende regel

d(xⁿ)/dx = n·xⁿ⁻¹

die ook voor gebroken waarden van n geldt.

Uitgaande van bovenstaande constateer ik dus dat dit

quote:

Op woensdag 31 juli 2013 22:18 schreef DefinitionX het volgende:
Riparius, je bent een harde, maar ik snap het nu wel!

Uber uber bedankt!

een beetje overdreven is.

Riparius, ik dank u.

quote:

Op zaterdag 3 augustus 2013 20:34 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ga ook eens proberen op te letten?

Wat Riparius hierboven vertelt heeft hij een paar dagen geleden als eens eerder uitgelegd, om precies te zijn hier:

[..]

Uitgaande van bovenstaande constateer ik dus dat dit

[..]

een beetje overdreven is.

Dude, dat ik het niet meteen snap betekent nog niet dat ik niet aan het opletten ben. Ik zie het gewoon niet meteen zo goed als jij en andere......Ik heb nooit gezegd dat ik goed ben in wiskunde, maar ik sta open om te leren.

quote:

Op zaterdag 3 augustus 2013 20:51 schreef DefinitionX het volgende:
Riparius, ik dank u.

[..]

Zie je nu ook hoe je mijn uitkomst kunt herleiden tot de uitkomst die WolframAlpha geeft?

quote:

Op zaterdag 3 augustus 2013 20:53 schreef Riparius het volgende:

[..]

Zie je nu ook hoe je mijn uitkomst kunt herleiden tot de uitkomst die WolframAlpha geeft?

Yes sir.

Alleen, kun jij misschien uitleggen hoe w-alpha het antwoord vereenvoudigt?

http://www.wolframalpha.com/input/?i=derive+6*%286x%29^1%2F4

Edit:

Ik bedoelde nee.....

edit: verkeerde topic

quote:

Op zaterdag 3 augustus 2013 20:57 schreef DefinitionX het volgende:

[..]

Yes sir.

Alleen, kun jij misschien uitleggen hoe w-alpha het antwoord vereenvoudigt?

http://www.wolframalpha.com/input/?i=derive+6*%286x%29^1%2F4

Edit:

Ik bedoelde nee.....

Ik zag al dat je jezelf tegensprak.

We waren gekomen tot

f'(x) = 3·⁴√6 / (2·⁴√(x³))

In de teller van dit quotiënt hebben we een factor

⁴√6

waarvoor we volgens de rekenregels voor wortels kunnen schrijven

⁴√2·⁴√3

en dus ook

2^1/4·⁴√3

Nu zie je in de noemer van het quotiënt van de afgeleide een factor 2 staan, en dit is eigenlijk 2¹, waarvoor we ook kunnen schrijven

2^3/4·2^1/4

Dus hebben we

f'(x) = (3·2^1/4·⁴√3) / (2^3/4·2^1/4·⁴√(x³))

Nu zie je dat teller en noemer van de breuk een factor 2^1/4 gemeen hebben, zodat we teller en noemer van de breuk door 2^1/4 kunnen delen, en dit geeft

f'(x) = (3·⁴√3) / (2^3/4·⁴√(x³))

oftewel

f'(x) = (3·⁴√3) / (2^3/4·x^3/4)

en dat is precies wat WolframAlpha ook geeft.

Dit soort algebraïsche herleidingen met (bijvoorbeeld) wortels en exponenten moet je volledig beheersen, anders kun je jezelf echt de moeite besparen ooit deel te nemen aan die toelatingstoets.

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 03-08-2013 22:19:27 ]

Ik zag op het laatste moment, voor je post dus, wat ze deden met het splitsen van de wortels (waarschijnlijk verkeerde benaming), maar wat je deed met die 2, dat is nieuw voor mij. Ik weet dat 2^3/4·2^1/4 = 2, maar dat je het op die manier kon gebruiken niet. Weer wat geleerd.

Trouwens, bedankt dat je zoveel geduld hebt met me, en dat geldt voor iedereen op het fok beta. Kijk, ik kan nu opgeven en dan zeggen 'ja het was te moeilijk, ga ik toch niet snappen', maar dat is de verkeerde mentaliteit.

Ik had laatst een gedachte: wat als ik ipv wiskunde als een blok zie dat ik verder moet duwen om te komen waar ik wil, het ga behandelen als iets dat me mentaal helpt en ook in de toekomst zeer van pas gaat komen.

Nu zit ik niet meer met 'x uur per dag beta', maar meer 'dit leren is behalve voor die toets gewoon interessant om te weten'. Met zo'n houding gaat het ook veel makkelijker en is het bovendien leuker.

Genoeg gekletst, de boeken weer in. :p

quote:

Op zaterdag 3 augustus 2013 21:22 schreef DefinitionX het volgende:
Ik zag op het laatste moment, voor je post dus, wat ze deden met het splitsen van de wortels (waarschijnlijk verkeerde benaming), maar wat je deed met die 2, dat is nieuw voor mij. Ik weet dat 2^3/4·2^1/4 = 2, maar dat je het op die manier kon gebruiken niet. Weer wat geleerd.

Trouwens, bedankt dat je zoveel geduld hebt met me, en dat geldt voor iedereen op het fok beta. Kijk, ik kan nu opgeven en dan zeggen 'ja het was te moeilijk, ga ik toch niet snappen', maar dat is de verkeerde mentaliteit.

Ik had laatst een gedachte: wat als ik ipv wiskunde als een blok zie dat ik verder moet duwen om te komen waar ik wil, het ga behandelen als iets dat me mentaal helpt en ook in de toekomst zeer van pas gaat komen.

Nu zit ik niet meer met 'x uur per dag beta', maar meer 'dit leren is behalve voor die toets gewoon interessant om te weten'. Met zo'n houding gaat het ook veel makkelijker en is het bovendien leuker.

Genoeg gekletst, de boeken weer in. :p

Het is niet expliciet wortels splitsen.

Stel je hebt:

aⁿ

Stel nu dat a = b·c

Substitutie levert op:

(b·c)ⁿ

En dit is waar ik naartoe wilde, een rekenregel voor machten is dat:
(b·c)ⁿ = bⁿ·cⁿ

Daar worteltrekken in feite niets anders is dan populaire taal voor machtsverheffen met n = 1/2 geldt dat uiteraard ook zodat je zonder moeite kunt zeggen dat:

√6 = √(3·2) = √3 · √2


Edit:

Ik zie nu wat je bedoelt..

Dat is weer gebruik maken van een andere rekenregel voor machten.

Vanaf 1:46

In de eerste opgave die hij behandelt neemt hij de logaritme van wat er links staat en wat er rechts staat (vanaf tijdstip 1:46 zie je dat), maar ik heb alles wat links en rechts staat een exponent gemaakt van 10. Zo krijg ik hetzelfde antwoord. Kan het allebei?

quote:

Op zondag 4 augustus 2013 21:37 schreef DefinitionX het volgende:

Wiskunde - rekenregels logaritmes - enkele voorbeeldopgaven

Vanaf 1:46

In de eerste opgave die hij behandelt neemt hij de logaritme van wat er links staat en wat er rechts staat (vanaf tijdstip 1:46 zie je dat), maar ik heb alles wat links en rechts staat een exponent gemaakt van 10. Zo krijg ik hetzelfde antwoord. Kan het allebei?

Een logaritme is in feite een exponent, want ^glog a is gedefinieerd als de exponent waartoe je het grondtal g moet verheffen om a te krijgen. Dus

^glog a = b

is equivalent met

g^b = a

Je vraag is verder niet duidelijk genoeg, want ik kan uit je beschrijving niet opmaken of je het correct opschrijft. Dat zul je dus eerst moeten laten zien.

Als we hebben

¹⁰log(S⁴/R²) = 1

dan is dit conform de definitie van de logaritme equivalent met

10¹ = S⁴/R²

en dus

S⁴ = 10·R²

De man in de video herschrijft eerst 1 als ¹⁰log 10 en maakt dan gebruik van het feit dat

^glog a = ^glog b

equivalent is met

a = b

mits a en b beide positieve grootheden zijn.

quote:

Op zondag 4 augustus 2013 22:00 schreef Riparius het volgende:

[..]

Een logaritme is in feite een exponent, want ^glog a is gedefinieerd als de exponent waartoe je het grondtal g moet verheffen om a te krijgen. Dus

^glog a = b

is equivalent met

g^b = a

Je vraag is verder niet duidelijk genoeg, want ik kan uit je beschrijving niet opmaken of je het correct opschrijft. Dat zul je dus eerst moeten laten zien.

Als we hebben

¹⁰log(S⁴/R²) = 1

dan is dit conform de definitie van de logaritme equivalent met

10¹ = S⁴/R²

en dus

S⁴ = 10·R²

De man in de video herschrijft eerst 1 als ¹⁰log 10 en maakt dan gebruik van het feit dat

^glog a = ^glog b

equivalent is met

a = b

mits a en b beide positieve grootheden zijn.

Dit is wat ik gedaan heb:



Is dat ook correct? Ik hoop dat het duidelijk geschreven is.

Edit:

Eigenlijk zie ik nu wel wat die man heeft gedaan, mede door jouw uitleg. 10^log10 is 10^1 en dat is weer 10. Dankjewel.

Edit2: Nee klopt niet, 10^log10 = 1. Ik doelde op de exponent.

Edit3: Ik schrijf de S^4 op het laatst verkeerd in de foto....

[ Bericht 2% gewijzigd door DefinitionX op 04-08-2013 22:46:18 ]

quote:

Op zondag 4 augustus 2013 22:41 schreef DefinitionX het volgende:

[..]

Dit is wat ik gedaan heb:

[ afbeelding ]

Is dat ook correct? Ik hoop dat het duidelijk geschreven is.

Wat je hier doet is correct, afgezien van de verschrijving S₄ voor S⁴.

Eerst maak je hier gebruik van het feit dat

a = b

equivalent is met

10^a = 10^b

Vervolgens gebruik je dat

10^log(a) = a

waarbij log staat voor de 'gewone' oftewel Briggse logaritmen met grondtal 10. Deze laatste regel is weer niets anders dan de definitie van de logaritme: log(a) is de exponent waartoe je 10 moet verheffen om a te krijgen.

Wees er bedacht op dat er wat ambiguïteit in notaties van logaritmen bestaat. In veel toegepaste disciplines (en bijvoorbeeld op rekenmachines) wordt met log de logaritme met grondtal 10 bedoeld, maar in de zuivere wiskunde wordt log dan weer vaak gebruikt om logaritmen met grondtal e (het getal van Euler) aan te geven. Deze laatste logaritmen heten ook natuurlijke logaritmen en worden om misverstanden te voorkomen (en op rekenmachines) ook vaak aangegeven met het symbool ln (dat staat voor logarithmus naturalis).

WolframAlpha interpreteert zowel log als ln als de natuurlijke logaritme. Als je bij WolframAlpha een ander grondtal g wil gebruiken, dan moet je dat specificeren. ^glog a voer je dan in als log(g, a).

Hoi, ik heb een beetje aparte vraag. Ik probeer deze vraag op te lossen:

quote:

For what pairs (a, b) of positive real numbers does the improper integral

converge?

En ik weet (met dank aan Riparius) dat het antwoord hier staat (vraag A2), maar ik wil liever niet het antwoord bekijken. Ik weet niet of het mogelijk is, maar zou iemand me een tip kunnen geven?

[ Bericht 1% gewijzigd door randomo op 09-08-2013 21:05:30 ]

quote:

Op donderdag 8 augustus 2013 12:40 schreef randomo het volgende:
Hoi, ik heb een beetje aparte vraag. Ik probeer deze vraag op te lossen:

[..]

En ik weet (met dank aan Riparius) dat het antwoord hier staat (vraag A2), maar ik wil liever niet het antwoord bekijken. Ik weet niet of het mogelijk is, maar zou iemand me een tip kunnen geven?

Probeer eens eerste orde Taylorbenaderingen te gebruiken van .

Thanks, ik kijk vanavond nog even, ik laat nog wel even weten of ik er uitgekomen ben (of denk er uitgekomen te zijn, ik trek soms nog wel eens te snel conclusies )

quote:

Op donderdag 8 augustus 2013 22:27 schreef randomo het volgende:
Thanks, ik kijk vanavond nog even, ik laat nog wel even weten of ik er uitgekomen ben (of denk er uitgekomen te zijn, ik trek soms nog wel eens te snel conclusies )

Je zult er wel meer dan even over na moeten denken

quote:

Op vrijdag 9 augustus 2013 00:16 schreef thenxero het volgende:

[..]

Je zult er wel meer dan even over na moeten denken

Ja. Ik bedacht net dat ik er echt nog geen zak van begrijp, ik heb geen idee hoe te beginnen
Dat heb ik wel vaker bij die calculus problemen, daar heb ik ook niet veel ervaring mee, lastig lastig...