Vraag over TI-84 rekenmachine

Herleiden bedoel je? Dat kan je toch ook gewoon handmatig doen?

En je wiskundekennis denk je te gaan verbeteren door je rekenmachine de rest van het werk ook maar te laten doen? Gewoon veel oefenen, de enige manier om wiskunde te leren.

Standaard kan de TI-84 in ieder geval niet symbolisch rekenen.

χ*χ= χ²

Met CAS kan je formules herleiden.
Neem dan TI-92, Voyage 200, TI-89 of Nspire CAS.
Helaas de zijn bovenstaande rekenmachine's verboden op centraal eindexamen.

edit: Deze rekenmachine's zijn haast niet in de elektronicazaken of kantoorboekhandels te vinden.
Ze zijn ook vrij duur, ongeveer 150 euro.

Oei is alweer een tijdje terug, maar ik had een programma die wat extra functie's aan je TI-84+ gaf.
Zoals versimpelen van formules, differentieren, etc.

Even zoeken...

-edit- heb mijn TI-84+ gevonden, maar batterijen zijn leeg.

Je kunt ook http://www.wolframalpha.com/ gebruiken om dat soort dingen te controleren.

Verder is het dus symbolisch rekenen, oftewel je had kunnen zoeken op "symbolic calculations Ti-84"
http://www.calcblog.com/t(...)ti83-ti84-into-ti89/ -> http://www.detachedsolutions.com/symbolic/
Dan is het overigens nog maar de vraag of je dat mag gebruiken op de toets, ondanks dat je een rekenmachine mag gebruiken.

Daarnaast zou je (een deel van) dit boek kunnen/moeten doorwerken: http://staff.science.uva.nl/~craats/BasisboekWiskunde2HP.pdf

Waar ga je straks naar school toe dan?
En zou je eens een voorbeeld willen geven van zo'n som?

[ Bericht 9% gewijzigd door Thormodo op 08-06-2013 13:29:14 ]

quote:

Op zaterdag 8 juni 2013 13:24 schreef Thormodo het volgende:
Verder is het dus symbolisch rekenen, oftewel je had kunnen zoeken op "symbolic calculations Ti-84"
http://www.calcblog.com/t(...)ti83-ti84-into-ti89/ -> http://www.detachedsolutions.com/symbolic/
Dan is het overigens nog maar de vraag of je dat mag gebruiken op de toets, ondanks dat je een rekenmachine mag gebruiken.

Dat is hem.

quote:

Op zaterdag 8 juni 2013 12:16 schreef vaduz het volgende:
Ik heb een vraag met betrekking tot de TI-84 rekenmachine van Texas Instruments. Ik vroeg me af of het op de een of andere manier mogelijk zou zijn om tussen antwoorden te krijgen. Bijvoorbeeld ik voer in x + x en dat de rekenmachine dan 2x weergeeft in plaats van 2 keer de waarde van x op te tellen?

Ofwel, jij wil omzeilen dat je zelf moet gaan afleiden op het examen.
Het geeft maar weer eens aan dat ze beter dat apparaat verbieden bij de examens in plaats van het te verplichten. Zolang ze dat apparaat hebben zijn ze te lui om het met de hand te doen (begrijpelijk) en leren ze niets. Het vragen van afleidingen werkt eventjes maar leerlingen zoeken dan naar software voor symbolisch rekenen in plaats van te leren het met de hand uit te werken.

quote:

Op zaterdag 8 juni 2013 20:48 schreef vaduz het volgende:
[ afbeelding ]

Met dit soort opgave vind ik het zelf toch wel handig om dit soort functies te hebben.

Dat denk ik niet. Als je je even (gratis) registreert voor WolframAlpha dan kun je uitwerkingen te zien krijgen van dit soort opgaven, maar die zijn zelden erg handig in vergelijking met herleidingen die je zelf met pen en papier en je grijze massa kunt doen, terwijl een dergelijke geautomatiseerde uitwerking ook vaak niet de beproefde standaardherleidingen toepast en niet de meest intelligente keuzes maakt. Ik kan je voorbeelden daarvan laten zien als je dit niet wil geloven. Kortom, gebruik maken van dergelijke hulpmiddelen is de beste manier om het niet te leren.

Uiteraard kun je elektronische hulpmiddelen wel gebruiken om het resultaat dat je zelf via een uitwerking met pen en papier hebt verkregen te controleren, maar ook daarbij is uiterste voorzichtigheid geboden. Het komt niet zelden voor (bijvoorbeeld bij het primitiveren van functies) dat een antwoord dat iemand met pen en papier heeft verkregen niet overeenstemt met wat een computersysteem zoals WolframAlpha geeft, terwijl het resultaat dat met pen en papier is verkregen wel degelijk correct is. Symptomatisch is daarbij dat veel studenten door gebrek aan oefening én gebrek aan inzicht - alsmede een blind vertrouwen in technologie - dan menen dat het eigen antwoord wel fout moet zijn, terwijl dat niet zo is.

quote:

Overigens is dit een vrij makkelijk voorbeeld dat hier voor 15 jarigen bedoeld is, maar ik kon even niet zo snel een ander boek vinden.

Dit is juist een mooi voorbeeld van hoe je een dergelijke opgave niet aan moet pakken. Om te beginnen zou je jezelf een groot plezier doen door eerst beide leden met (a + b)(a − b)x te vermenigvuldigen om alle breuken kwijt te raken. Dan houd je namelijk na een eenvoudige herleiding de volgende vierkantsvergelijking in x over:

2bx² − (a + b)²x + (a + b)²(a − b) = 0

Nu zouden we dit in factoren kunnen ontbinden als we twee grootheden zouden kunnen vinden waarvan het product 2b(a + b)²(a − b) is en de som −(a + b)². Dit is helemaal niet zo moeilijk als je bedenkt dat (a − b) + 2b = (a + b) zodat de gezochte grootheden dus zijn −(a + b)(a − b) en −(a + b)2b. Nu kan ik schrijven:

2bx² − (a + b)2bx − (a + b)(a − b)x + (a + b)²(a − b) = 0

en dus:

2bx·(x − (a + b)) − (a + b)(a − b)·(x − (a + b)) = 0

Nu kunnen we de factor (x − (a + b)) buiten haakjes halen en krijgen we met gebruikmaking van het merkwaardig product (a + b)(a − b) = a² − b² dus

(2bx − (a² − b²))·(x − (a + b)) = 0

zodat het duidelijk is dat

x = (a² − b²)/2b, a² − b² ≠ 0, b ≠ 0 ∨ x = a + b, a² − b² ≠ 0

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 09-06-2013 16:32:22 ]

Deze laatste twee reacties illustreren mooi waarom het juist goed is om te oefenen met het met de hand uitwerken. Ja, het kan een monnikenwerk zijn maar juist dankzij het feit dat je er als beginner even mee bezig bent en fouten maakt ontwikkel je inzicht, na verloop van tijd kom je er achter hoe je wel op een handige manier met de hand zo'n vergelijking oplost. Zie het verschil tussen riparius zijn korte uitwerking en de lange uitwerking uit dat boek. Dit inzicht helpt gegarandeerd veel als je later een bètaopleiding zou volgen.

quote:

Nu zouden we dit in factoren kunnen ontbinden als we twee grootheden zouden kunnen vinden waarvan het product 2b(a + b)2(a − b) is en de som −(a + b)2. Dit is helemaal niet zo moeilijk als je bedenkt dat (a − b) + 2b = (a + b) zodat de gezochte grootheden dus zijn −(a + b)(a − b) en −(a + b)2b. Nu kan ik schrijven:

Voor wie dit deel niet kan volgen, Riparius gebruikt hier een som-product-methode voor wanneer a (de a van deze vergelijking: ax² + bx + c) niet gelijk is aan 1. In deze reactie legt hij uit hoe je zelf deze som-product-methode kan afleiden: SES / vraagje m.b.t. stelsel lineaire vergelijkingen
Het lijkt moeilijker dan dat het is.

[ Bericht 1% gewijzigd door Bram_van_Loon op 09-06-2013 02:12:48 ]

quote:

Op zaterdag 8 juni 2013 22:38 schreef Riparius het volgende:

[...]

Dit is juist een mooi voorbeeld van hoe je een dergelijke opgave niet aan moet pakken. Om te beginnen zou je jezelf een groot plezier doen door eerst beide leden met (a + b)(a − b)x te vermenigvuldigen om alle breuken kwijt te raken. Dan houd je namelijk na een eenvoudige herleiding de volgende vierkantsvergelijking in x over:

2bx² − (a + b)²x + (a + b)²(a − b) = 0

Nu zouden we dit in factoren kunnen ontbinden als we twee grootheden zouden kunnen vinden waarvan het product 2b(a + b)²(a − b) is en de som −(a + b)². Dit is helemaal niet zo moeilijk als je bedenkt dat (a − b) + 2b = (a + b) zodat de gezochte grootheden dus zijn −(a + b)(a − b) en −(a + b)2b. Nu kan ik schrijven:

2bx² − (a + b)2bx − (a + b)(a − b)x + (a + b)²(a − b) = 0

en dus:

2bx·(x − (a + b)) − (a + b)(a − b)·(x − (a + b)) = 0

Nu kunnen we de factor (x − (a + b)) buiten haakjes halen en krijgen we met gebruikmaking van het merkwaardig product (a + b)(a − b) = a² − b² dus

(2bx − (a² − b²))·(x − (a + b)) = 0

zodat het duidelijk is dat

x = (a² − b²)/2b, a² − b² ≠ 0, b ≠ 0 ∨ x = a + b, a² − b² ≠ 0

Even oversteken vanuit het andere topic: Nee, deze kon ik niet opgelost krijgen, dus ik heb maar naar de uitwerking hier gekeken om te zien of ik nog bepaalde heuristiek of een algemene techniek erin kon bespeuren. So, correct me if I'm wrong, maar als ik het goed heb gezien moet je dus zoeken naar de gemeenschappelijke factor (a+b) in de coëfficiënten v/d de lineaire term (b) en de restterm (c), en een uitdrukking vinden die een verband legt ts. de coëfficiënt v/d kwadratische term(a) en de andere factor (a-b) in de coëfficiënt v/d restterm (c). Dan pas je vervolgens de door jou aangehaalde techniek van zoeken naar twee getallen of variabelen waarvoor geldt pq = ac en p+q = b toe.

NB: a,b,c in bold zijn de coëfficiënten uit de abc-formule voor kwadratische polynomen.

quote:

Op zondag 23 juni 2013 17:48 schreef VanishedEntity het volgende:

[..]

Even oversteken vanuit het andere topic: Nee, deze kon ik niet opgelost krijgen, dus ik heb maar naar de uitwerking hier gekeken om te zien of ik nog bepaalde heuristiek of een algemene techniek erin kon bespeuren. So, correct me if I'm wrong, maar als ik het goed heb gezien moet je dus zoeken naar de gemeenschappelijke factor (a+b) in de coëfficiënten v/d de lineaire term (b) en de restterm (c),

Nee, want de coëfficiënt van de lineaire term en de constante term van een vierkantsvergelijking die is op te lossen door ontbinden in factoren hoeven geen factor gemeen te hebben. Hier hebben de coëfficiënt −(a + b)² van de lineaire term en de constante term (a + b)²(a − b) weliswaar een factor (a + b)² gemeen, maar dat is niet relevant. Het is de bedoeling om het product 2b(a + b)²(a − b) op te splitsen in twee factoren met als som −(a + b)². En dat kan omdat

(a − b) + 2b = (a + b)

en dus

(a + b)(a − b) + (a + b)2b = (a + b)²

en dus

−(a + b)(a − b) − (a + b)2b = −(a + b)².

??? Waarom begin je dan wel gelijk met het (op)stellen van (a − b) + 2b = (a + b), wat direct een verband legt ts. enerzijds de ene factor v/d coëfficiënt van c en de coëfficiënt van a en anderzijds de coëfficiënt van b en die andere factor v/d coëfficiënt van c? Dan is de gemeenschappelijkheid van de factor (a+b) van de coëfficiënten b en c juist van essentieel belang; dat is nl. de factor die je twee gezochte variabelen hier gemeen moeten hebben.

En waarom laat je de laatste zin (Dan pas je vervolgens de door jou aangehaalde techniek van zoeken naar twee getallen of variabelen waarvoor geldt pq = ac en p+q = b toe.) weg uit jouw quote van mn reply?

quote:

Op maandag 24 juni 2013 02:57 schreef VanishedEntity het volgende:
??? Waarom begin je dan wel gelijk met het (op)stellen van (a − b) + 2b = (a + b), wat direct een verband legt ts. enerzijds de ene factor v/d coëfficiënt van c en de coëfficiënt van a en anderzijds de coëfficiënt van b en die andere factor v/d coëfficiënt van c? Dan is de gemeenschappelijkheid van de factor (a+b) van de coëfficiënten b en c juist van essentieel belang; dat is nl. de factor die je twee gezochte variabelen hier gemeen moeten hebben.

Misschien helpt het als je wat voorbeelden bekijkt met concrete getallen. Kiezen we a = 4 en b = 1 dan luidt de vierkantsvergelijking

2x² − 25x + 75 = 0

Het is hier weliswaar zo dat de coëfficiënt −25 van de lineaire term en de constante term 75 een factor 25 gemeen hebben, maar dat is niet relevant om deze vergelijking op te lossen via ontbinden in factoren: je moet hier twee gehele getallen zoeken waarvan het product 150 is en de som −25, en die getallen zijn −10 en −15. Maar stel nu dat we de vergelijking

2x² − 31x + 75 = 0

hadden, dan hebben 31 en 75 geen priemfactoren gemeen, terwijl deze vergelijking toch is op te lossen via ontbinden in factoren. Om dat te doen moeten we hier twee gehele getallen vinden waarvan het product gelijk is aan 2·75 = 150 terwijl de som gelijk is aan −31, en die getallen zijn −6 en −25. Dus krijgen we

2x² − 6x − 25x + 75 = 0
2x(x − 3) − 25(x − 3) = 0
(2x − 25)(x − 3) = 0
x = 25/2 ∨ x = 3

Bekijk nu de vergelijking

2bx² − (a² + 4ab − b²)x + (a + b)²(a − b) = 0

Hier hebben de coëfficiënt −(a² + 4ab − b²) van de lineaire term en de constante term (a + b)²(a − b) geen factoren gemeen, maar ook deze vergelijking is wel degelijk op te lossen via ontbinden in factoren. We kunnen hier namelijk bedenken dat

a² + 4ab − b² = a² + 2ab + b² + 2ab − 2b² = (a + b)² + 2b(a − b)

zodat het duidelijk is dat −(a + b)² en −2b(a − b) twee grootheden zijn waarvan het product gelijk is aan 2b(a + b)²(a − b) terwijl de som gelijk is aan −(a² + 4ab − b²). De vergelijking kunnen we nu herschrijven als

2bx² − 2b(a − b)x − (a + b)²x + (a + b)²(a − b) = 0

en dit kunnen we weer schrijven als

2bx·(x − (a − b)) − (a + b)²·(x − (a − b)) = 0

en dus

(2bx − (a + b)²)(x − (a − b)) = 0

Je ziet dus dat het irrelevant is of de coëfficiënt van de lineaire term en de constante term factoren gemeen hebben. Als je hier a = 4 en b = 1 neemt, dan krijg je uiteraard

(2x − 25)(x − 3) = 0

als ontbinding van de vergelijking 2x² − 31x + 75 = 0.

quote:

En waarom laat je de laatste zin (Dan pas je vervolgens de door jou aangehaalde techniek van zoeken naar twee getallen of variabelen waarvoor geldt pq = ac en p+q = b toe.) weg uit jouw quote van mn reply?

Omdat dit weer wel correct is.

quote:

Op maandag 24 juni 2013 13:43 schreef Riparius het volgende:
Misschien helpt het als je wat voorbeelden bekijkt met concrete getallen. Kiezen we a = 4 en b = 1 dan luidt de vierkantsvergelijking

2x² − 25x + 75 = 0

...

Ja ho even, de coëfficiënten in dit voorbeeld zijn integers hèh. En sinds we het toch over ontbinden in factoren hebben, grote kans dat je het algoritme gewoon direct kan toepassen. Dat voordeel heb je met variabele coëfficiënten zoals even hierboven weer niet.

quote:

Bekijk nu de vergelijking

2bx² − (a² + 4ab − b²)x + (a + b)²(a − b) = 0

Hier hebben de coëfficiënt −(a² + 4ab − b²) van de lineaire term en de constante term (a + b)²(a − b) geen factoren gemeen, maar ook deze vergelijking is wel degelijk op te lossen via ontbinden in factoren. We kunnen hier namelijk bedenken dat

a² + 4ab − b² = a² + 2ab + b² + 2ab − 2b² = (a + b)² + 2b(a − b)

zodat het duidelijk is dat −(a + b)² en −2b(a − b) twee grootheden zijn waarvan het product gelijk is aan 2b(a + b)²(a − b) terwijl de som gelijk is aan −(a² + 4ab − b²). De vergelijking kunnen we nu herschrijven als

2bx² − 2b(a − b)x − (a + b)²x + (a + b)²(a − b) = 0

OK, fair enough, maar ipv zoeken naar een gemeenschappelijke factor in de b-term en c-term ben je dus nu de b-term zodanig aan het manipuleren dat deze bij toepassing van pq=ac en p+q=b de andere coëfficiënten teruggeeft. Oftewel, met direct het ontbinden-in-factoren-algoritme kom je er dus niet. Dat bedoelde ik te zeggen met zoeken naar bepaalde heursitiek die ik ergens gemist moet hebben en die op de één of andere manier uit de opgave naar boven moet kunnen worden gehaald.

quote:

[..]

Omdat dit weer wel correct is.

Liever niet doen, zo kan het overkomen alsof de ander zich blindstaart op één punt en de andere noodzakelijkheden uit het oog is verloren.

[ Bericht 8% gewijzigd door VanishedEntity op 24-06-2013 17:05:59 ]

quote:

Op maandag 24 juni 2013 16:33 schreef VanishedEntity het volgende:

[..]

Ja ho even, de coëfficiënten in dit voorbeeld zijn integers hèh.

Het ging er om aan de hand van een getallenvoorbeeld te laten zien dat het voor het vinden van een ontbinding in factoren van een kwadratische veelterm niet relevant is of de coëfficiënt van de lineaire term en de constante term wel of geen factoren gemeen hebben. Dat geldt net zo goed voor een kwadratische veelterm waarvan de coëfficiënten gehele getallen zijn als voor een kwadratische veelterm waarvan de coëfficiënten bijvoorbeeld veeltermen in a en b zijn.

quote:

En sinds we het toch over ontbinden in factoren hebben, grote kans dat je het algoritme gewoon direct kan toepassen. Dat voordeel heb je met variabele coëfficiënten zoals even hierboven weer niet.

Toch wel: bij een kwadratische veelterm waarvan de coëfficiënten gehele getallen zijn kun je het product van de coëfficiënt van de kwadratische term en de constante term - afgezien van het teken - ontbinden in priemfactoren om te zien op welke manieren je dit kunt schrijven als een product van twee gehele getallen die dan een bepaalde som moeten hebben, resp. een bepaald verschil als van de gezochte getallen er één positief moet zijn en één negatief.

Maar als de coëfficiënten van de kwadratische veelterm in x bijvoorbeeld, zoals hier, veeltermen zijn in a en b, dan kun je evengoed zeggen dat het product 2b(a + b)²(a − b) de factoren 2, b, (a + b), (a + b) en (a − b) bevat, en ook deze factoren kun je maar op een beperkt aantal manieren verdelen over twee veeltermen in a en b die - voorzien van het juiste teken - een bepaalde som moeten hebben, in dit geval −(a + b)² of −(a² + 4ab − b²).

In het eerste geval weet je dan al dat elk van de te vinden veeltermen in a en b één factor (a + b) moet bevatten omdat anders de som −(a + b)² geen factor (a + b) zou hebben, en in het tweede geval weet je dan al dat de beide factoren (a + b) in één veelterm in a en b moeten zitten, omdat de som −(a² + 4ab − b²) immers geen factor (a + b) heeft. Dan houd je nog maar een klein aantal mogelijkheden over om de resterende factoren 2, b en (a − b) te verdelen over de beide veeltermen in a en b, en dan is het niet moeilijk meer de juiste veeltermen in a en b te vinden áls een ontbinding van de kwadratische veelterm in x in lineaire factoren met veeltermen in a en b als coëfficiënten inderdaad mogelijk is.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 26-06-2013 01:17:52 ]