SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
De vraag staat er verkeerd, de rij waar het om gaat is an(-1)n. Als je an = (-1)n+1 pakt dan zie je dat jouw antwoord niet klopt.quote:Op dinsdag 4 december 2012 21:06 schreef kutkloon7 het volgende:
[..]
-edit: wacht even hoor, even wat beter kijken nog-
Als de limiet van de rij > 0 is, is de reeks sowieso niet convergent
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Hier is zo geen chocola van te maken. Je praat over een reeks, maar geeft dan de notatie van een rij, en wat moet ik me bij die notatie voorstellen?quote:Op dinsdag 4 december 2012 20:49 schreef flopsies het volgende:
als je een alternerende reeks hebt zoals { (n+1)(-1)n } ,
Voor reeksen waarvan de termen alterneren heb je het criterium van Leibniz.
Als je een alternerende rij {an} hebt en een N zodanig dat
limn→∞ an = 0 ∧ ∀n>N |an+1| ≤ |an|
dan is de reeks ∑n=0 ∞ an convergent.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 04-12-2012 21:26:01 ]
Hoezo, de reeks ∑n=0an heeft toch geen limiet als n naar oneindig gaat?quote:
[..]
De vraag staat er verkeerd, de rij waar het om gaat is an(-1)n. Als je an = (-1)n+1 pakt dan zie je dat jouw antwoord niet klopt.
Klopt nog niet helemaal: je definieert an maar doet er vervolgens niks mee...
Ik snap ook niet helemaal wat je bedoelt: wil je nou weten of een specifieke reeks convergent is?
Ik snap ook niet helemaal wat je bedoelt: wil je nou weten of een specifieke reeks convergent is?
I see. Maar wat als de limiet van de rij (an) niet bestaat?quote:
[..]
-edit: wacht even hoor, even wat beter kijken nog-
Als de limiet van de rij > 0 is, is de reeks sowieso niet convergent
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Dan bestaat de limiet van de bijbehorende reeks ook niet? (maar ik had het over het geval dat de limiet wel bestaat)quote:
[..]
I see. Maar wat als de limiet van de rij (an) niet bestaat?
of dit de enige test is om te kijken of een alternerende reeks convergeert. Als de rij {an} niet voldoet
aan de voorwaarden die riparius ook heeft gepost, is de reeks ∑n=0 ∞ an dan sowieso NIET convergent? misschien een domme vraag maar ik wil het even zeker weten
aan de voorwaarden die riparius ook heeft gepost, is de reeks ∑n=0 ∞ an dan sowieso NIET convergent? misschien een domme vraag maar ik wil het even zeker weten
Het criterium van Leibniz is voldoende maar niet noodzakelijk voor convergentie van een reeks met alternerende termen. Beschouw bijvoorbeeld de rij {an} gedefinieerd door:quote:
of dit de enige test is om te kijken of een alternerende reeks convergeert. Als de rij {an} niet voldoet
aan de voorwaarden die riparius ook heeft gepost, is de reeks ∑n=0 ∞ an dan sowieso NIET convergent? misschien een domme vraag maar ik wil het even zeker weten
an = ((-1)n+1∙|sin n|)/n2
Dan is |an| niet monotoon dalend terwijl ∑n=1 ∞ an toch convergeert.
[ Bericht 5% gewijzigd door Riparius op 04-12-2012 22:32:23 ]
Het criterium van Leibniz is wel sluitend voor alternerende, dalende reeksen. Als je alleen naar alternerende, dalende reeksen kijkt voldoet elke convergerende reeks aan het criterium en geen enkele niet-convergerende reeks.
Ik kom er nu net een tegen bij de inleveropgave voor functies en reeksen. We moeten de Fourier-coefficienten van de 2π-periodieke functie die op het interval [-π, π] gelijk is aan x2 bepalen.
Die blijkt gelijk te zijn aan (-1)k . 2/k2.
Om te bepalen of de bijbehorende Fourierreeks convergent is, moet je kijken of de som van al deze coefficienten convergeert. Ja dus, wat je aan kan tonen met Leibniz' criterium.
(er kunnen nog foutjes inzitten, ik ben er nog mee bezig
)
[ Bericht 5% gewijzigd door kutkloon7 op 04-12-2012 23:58:12 ]
Ik kom er nu net een tegen bij de inleveropgave voor functies en reeksen. We moeten de Fourier-coefficienten van de 2π-periodieke functie die op het interval [-π, π] gelijk is aan x2 bepalen.
Die blijkt gelijk te zijn aan (-1)k . 2/k2.
Om te bepalen of de bijbehorende Fourierreeks convergent is, moet je kijken of de som van al deze coefficienten convergeert. Ja dus, wat je aan kan tonen met Leibniz' criterium.
(er kunnen nog foutjes inzitten, ik ben er nog mee bezig
)[ Bericht 5% gewijzigd door kutkloon7 op 04-12-2012 23:58:12 ]
Ja, maar dat is niet in tegenspraak met wat ik hierboven beweer.quote:
Het criterium van Leibniz is wel sluitend voor alternerende, dalende reeksen. Als je alleen naar alternerende, dalende reeksen kijkt voldoet elke convergerende reeks aan het criterium en geen enkele niet-convergerende reeks.
Ik dacht dat de algemene term van de gedaante ((-1)k∙4∙cos kx)/k2 is. En dan nog een constante term π2/3 erbij.quote:Ik kom er nu net een tegen bij de inleveropgave voor functies en reeksen. We moeten de Fourier-coefficienten van de 2π-periodieke functie die op het interval [-π, π] gelijk is aan x2 bepalen.
Die blijkt gelijk te zijn aan (-1)k . 2/k2.
Inderdaad ... Vul trouwens eens x = 0 in, dan krijg je een alternerende reeks voor π2/12. Daarmee kun je gemakkelijk aantonen dat ∑k=1∞ 1/k2 = π2/6 (Bazel probleem).quote:Om te bepalen of de bijbehorende Fourierreeks convergent is, moet je kijken of de som van al deze coefficienten convergeert. Ja dus, wat je aan kan tonen met Leibniz' criterium.
(er kunnen nog foutjes inzitten, ik ben er nog mee bezig
Uhuh, het was een aanvulling, geen verbeteringquote:
[..]
Ja, maar dat is niet in tegenspraak met wat ik hierboven beweer.
[..]
Ik dacht dat de algemene term van de gedaante ak = ((-1)k∙4∙cos kx)/k2 is. En dan nog een constante term π2/3 erbij.
[..]
Inderdaad ... Vul trouwens eens x = 0 in, dan krijg je een alternerende reeks voor π2/12. Daarmee kun je gemakkelijk aantonen dat ∑k=1∞ 1/k2 = π2/6 (Bazel probleem).
0 invullen is inderdaad een deel van de opgave.
Hm, ik ga er morgen nog maar even naar kijken denk ik... Volgens mij klopt het wel wat ik nu heb. Hoe kom je aan die algemene term?
In mijn dictaat staat dat de fourier coefficient gelijk is aan
En dat heb ik nagerekend, en dat lijkt te kloppen.
De constante term zou dan geloof ik 2/3π3 worden.
Ik heb wel complexe coefficienten gebruikt, misschien zit het hem daarin
[ Bericht 2% gewijzigd door kutkloon7 op 05-12-2012 00:35:20 ]
Ja, je had gelijk, ik ben eruit, het kwam inderdaad door die complexe coefficienten. Alleen die constante term heb ik nog wel anders.
Inderdaad, je moet natuurlijk twee complexe coëfficiënten ck en c-k hebben om de reële coëfficiënten ak = ck + c-k van de cosinustermen te krijgen.quote:
[..]
Uhuh, het was een aanvulling, geen verbetering
0 invullen is inderdaad een deel van de opgave.
Hm, ik ga er morgen nog maar even naar kijken denk ik... Volgens mij klopt het wel wat ik nu heb. Hoe kom je aan die algemene term?
In mijn dictaat staat dat de fourier coefficient gelijk is aan
En dat heb ik nagerekend, en dat lijkt te kloppen.
De constante term zou dan geloof ik 2/3π3 worden.
Ik heb wel complexe coefficienten gebruikt, misschien zit het hem daarin
Ja, ik had nog niet helemaal door hoe dat precies werkte, ik werkte gewoon vanuit de uit het dictaat gegeven definities.quote:
[..]
Inderdaad, je moet natuurlijk twee complexe coëfficiënten ck en c-k hebben om de reële coëfficiënten ak = ck + c-k van de cosinustermen te krijgen.
Als je a0 berekent met de algemene integraal voor ak, dan moet je hiervan de helft nemen, de eerste term in de reeks geeft men daarom aan met ½a0. Dan krijg je dus π2/3 voor de constante term.quote:
Ja, je had gelijk, ik ben eruit, het kwam inderdaad door die complexe coefficienten. Alleen die constante term heb ik nog wel anders.
Ja, wat ik de hele tijd al doe: de factor 1/2π vergeten, waardoor ik ook op π^3 uitkwam ipv π^2. Dank voor je hulp!quote:
[..]
Als je a0 berekent met de algemene integraal voor ak, dan moet je hiervan de helft nemen, de eerste term in de reeks geeft men daarom aan met ½a0. Dan krijg je dus π2/3 voor de constante term.
Je kunt je Fourier reeksen gemakkelijk controleren in WolframAlpha, zowel in goniometrische als in exponentiële vorm.quote:
[..]
Ja, wat ik de hele tijd al doe: de factor 1/2π vergeten, waardoor ik ook op π^3 uitkwam ipv π^2. Dank voor je hulp!
Substitutie van x = 0 levert dan:
0 = π2/3 + 4∙(-1/12 + 1/22 - 1/32 + ...)
en dus:
∑k=1∞ (-1)k+1∙k-2 = π2/12
Nu is ook:
ζ(2) = ∑k=1∞ k-2 = ∑k=1∞ (-1)k+1∙k-2 + 2∙∑k=1∞ (2k)-2 = ∑k=1∞ (-1)k+1∙k-2 + ½∙∑k=1∞ k-2 = ∑k=1∞ (-1)k+1∙k-2 + ½∙ζ(2)
en dus:
ζ(2) = 2∙∑k=1∞ (-1)k+1∙k-2 = 2∙(π2/12) = π2/6
P(2*-(1/10)2a) = 0
Dus P = 0 v. 2*-(1/10)2a = 0; 2a = 0/x = 0 en blijft nul toch? Prof. / Lerares zegt a = 10 maar krijg maar niet door hoe ze daarop komt.
Dus P = 0 v. 2*-(1/10)2a = 0; 2a = 0/x = 0 en blijft nul toch? Prof. / Lerares zegt a = 10 maar krijg maar niet door hoe ze daarop komt.
Als je a=10 invult dan krijg je -4P=0, dus P=0...
Je hebt in feite een of andere constante c ongelijk aan nul, en de vgl c*P*a=0. Delen door c geeft P*a=0, dus P=0 of a=0.
Je hebt in feite een of andere constante c ongelijk aan nul, en de vgl c*P*a=0. Delen door c geeft P*a=0, dus P=0 of a=0.
Ja tot die conclusie kwam ik dus ook, hoe reflecteert dat zich tot deze vraag waarbij P=0 geen antwoord kan zijn (want wie verkoopt zijn product gratis?)
*Je krijgt dan P(4*-(1/10)2a = 0 volgens mij maar ik geloof dat je dan ook op P=0 of a=0 komt.
*Je krijgt dan P(4*-(1/10)2a = 0 volgens mij maar ik geloof dat je dan ook op P=0 of a=0 komt.
Okay voor duidelijk dan maar even hoofdletter P(rofit) = pi
dpi / da oplossen. = 4p - (1/10)2ap »» p(4 * (-1/10)2a)
Gelijkstellen aan 0 om a te vinden welke ik vervolgens in ga vullen in
dpi / dp zodat je p krijgt. (en dat leidt weer tot pi)
*d = ∂
dpi / da oplossen. = 4p - (1/10)2ap »» p(4 * (-1/10)2a)
Gelijkstellen aan 0 om a te vinden welke ik vervolgens in ga vullen in
dpi / dp zodat je p krijgt. (en dat leidt weer tot pi)
*d = ∂
Maak het allemaal niet zo moeilijk. Je hebt:quote:Op woensdag 5 december 2012 17:23 schreef Sokz het volgende:
Ja tot die conclusie kwam ik dus ook, hoe reflecteert dat zich tot deze vraag waarbij P=0 geen antwoord kan zijn (want wie verkoopt zijn product gratis?)
[ afbeelding ]
P(a,p) = 4ap + 50p -9p2 - (1/10)∙a2p -120
∂P/∂a = -(1/5)∙(a - 20)∙p
∂P/∂p = -a2/10 + 4a - 18p + 50
∂P/∂a = 0 geeft a = 20 of p = 0, maar je hebt P(a,0) = -120, dus dat valt af ook al omdat p = 0 niet realistisch is. Blijft over a = 20 en dan levert de voorwaarde ∂P/∂p = 0 op dat p = 5, en dan is P(20,5) = 105. Dan moet je eigenlijk nog wel netjes aantonen dat dit een lokaal maximum is, maar dat mag je zelf doen. Kijk ook even hier.
