Geniale student lost wiskundig probleem op

quote:

Op zondag 27 mei 2012 13:58 schreef tfors het volgende:

[..]

Waarschijnlijk is het zo dat de correcte uitkomst benaderd kan worden door een computer trial en error berekeningen te maken. Als die trial en error berekening steeds dichter bij een bepaald getal komen, dan wordt dat getal als "de uitkomst" bestempeld. Maar dat is niet hetzelfde als de uitkomst exact berekenen. Dat heeft deze jongen dus uitgevonden hoe dat moest.

Niet zozeer trial and error... er zijn prima methoden om differentiaalvergelijkingen numeriek op te lossen tot op zoveel decimalen als je wil (als je de computer lang genoeg laat rekenen). In de praktijk is dat dus altijd wel goed genoeg, maar een exacte oplossing is natuurlijk eleganter.

Wat voor een bal gebruikte Newton dan 350 jaar geleden?

quote:

Op zondag 27 mei 2012 14:03 schreef Waaghals het volgende:
Wat voor een bal gebruikte Newton dan 350 jaar geleden?

een gehaktbal

@Wimjongi

quote:

Nou is iemand die op z'n zesde calculus onderwezen krijgt, natuurlijk geen doorsnee pubertje.

Dan was Feynman nog laat, hij beheerste pas op zijn vijftiende multivariabele calculus.
Serieus, ik vind het spijtig dat we niet eerder wiskundig talent opsporen. Je moet zeker voldoende oefenen in het handmatige rekenen maar als je al vroeg ziet dat iemand dat heel erg goed afgaat probeer dan eens precalculus en daarna calculus. Er is geen reden waarom je dat op jongere leeftijd niet al kan leren en het geeft je een enorme voorsprong aangezien je met die basis direct andere wiskunde- en natuurkundevakken op niveau kan leren.


@Thenxero

quote:

Haha, de laatste stelling van Fermat was wel wat moeilijker om te bewijzen.

Ik zou daar graag nog eens een goed boek over willen lezen waarin van A tot Z wordt uitgelegd hoe dat bewijs is gevonden. Heb je tips voor het boek zelf en de voorbereidende boeken over algebra enzovoorts?
Ik verwacht dat ik er flink wat boeken voor zal moeten lezen om alle achtergrondtheorie te kennen dus dat hindert niet, het mag rustig een paar jaartjes duren.
Ik vind het interessant dat zo'n simpele stelling zo moeilijk te bewijzen is en dat het wiskundigen (Wiles verdient alle eer maar hij kon voortbouwen op het werk van anderen) via lange omwegen zo'n bewijs vinden.

quote:

Op zondag 27 mei 2012 17:27 schreef Bram_van_Loon het volgende:
@Thenxero

[..]

Ik zou daar graag nog eens een goed boek over willen lezen waarin van A tot Z wordt uitgelegd hoe dat bewijs is gevonden. Heb je tips voor het boek zelf en de voorbereidende boeken over algebra enzovoorts?
Ik verwacht dat ik er flink wat boeken voor zal moeten lezen om alle achtergrondtheorie te kennen dus dat hindert niet, het mag rustig een paar jaartjes duren.
Ik vind het interessant dat zo'n simpele stelling zo moeilijk te bewijzen is en dat het wiskundigen (Wiles verdient alle eer maar hij kon voortbouwen op het werk van anderen) via lange omwegen zo'n bewijs vinden.

Ik denk niet dat er leerboeken zijn die erop toegespitst zijn om dat bewijs te snappen. Ik denk dat het zoveel tijd kost om te snappen dat er daarom niet eens vakken zijn op de universiteit die daar diep op ingaan. Pas in je Phd, met de nodige wiskundevaardigheden, kan je daar misschien serieus naar gaan kijken.

Wat je sowieso onder de knie moet hebben is groepentheorie en elliptische krommen, en er zal ongetwijfeld ook wat getaltheorie om de hoek komen kijken. Dus ik zou in ieder geval daarmee beginnen. Het is een erg abstract wiskundig gebied wat grotendeels buiten mijn interesses ligt, dus ik heb er niet zoveel verstand van.

Je kan ook beginnen met het kijken naar wat speciale gevallen, n=3, n=4, n=5, etc. Het geval van n=4 is vrij eenvoudig. Zie: http://dominguez.nl/bewijzen/de_bewijzen/fermat.html .

En zo gek vind ik het niet dat de stelling van Fermat zo moeilijk te bewijzen is. Je bewijst eigenlijk oneindig veel stellingen (met n=3, n=4,..,etc), en het lijkt op het eerste gezicht ook niet echt een recht toe recht aan inductiebewijs .

[ Bericht 3% gewijzigd door thenxero op 27-05-2012 17:59:14 ]

Met simpel doelde ik vooral op het feit dat de stelling aan een willekeurige leek in 30 seconden kan worden uitgelegd, veronderstellende dat die leek de stelling van pythagoras kent.

quote:

Op zondag 27 mei 2012 17:27 schreef Bram_van_Loon het volgende:
@Wimjongi

[..]

Serieus, ik vind het spijtig dat we niet eerder wiskundig talent opsporen. Je moet zeker voldoende oefenen in het handmatige rekenen maar als je al vroeg ziet dat iemand dat heel erg goed afgaat probeer dan eens precalculus en daarna calculus. Er is geen reden waarom je dat op jongere leeftijd niet al kan leren en het geeft je een enorme voorsprong aangezien je met die basis direct andere wiskunde- en natuurkundevakken op niveau kan leren.

Daar ben ik het best mee eens
Op de basisschool moesten wij ook van die CITO-wiskunde maken (2 keer per jaar), maar in groep 4 had ik die van groep 8 al gehaald Liep trouwens niet alleen met wiskunde gigantisch voor, maar wel het meest. Ik had ook nog eens groep 2 ''overgeslagen'', zoals dat zo mooi heet.
School heeft daar verder nooit veel mee gedaan, ja, mij een of ander wiskundeboekje gegeven waar geen drol aan was

Ik zou mezelf niet heel slim ofzo willen noemen, maar ik denk wel dat als een goede leraar mij op de basisschool al calculus, of in ieder geval precalculus, had uitgelegd, ik het ook wel had gesnapt

Ik zat op de basisschool altijd van half 3 tot half 4 uit het raam te kijken, omdat ik als enige klaar was met mijn sommetjes . Daar had ik ook veel meer kunnen leren, zo ook op de middelbare school. Wel jammer eigenlijk...

quote:

Op zondag 27 mei 2012 21:18 schreef thenxero het volgende:
Ik zat op de basisschool altijd van half 3 tot half 4 uit het raam te kijken, omdat ik als enige klaar was met mijn sommetjes . Daar had ik ook veel meer kunnen leren, zo ook op de middelbare school. Wel jammer eigenlijk...

Wij waren om 3 uur al klaar
Ik heb daar ook enorm veel tijd verspild.
Is het geen idee om 2 niveau's basisschool te doen ofzo

quote:

Op zondag 27 mei 2012 21:22 schreef PizzaGeit het volgende:

[..]

Wij waren om 3 uur al klaar
Ik heb daar ook enorm veel tijd verspild.
Is het geen idee om 2 niveau's basisschool te doen ofzo

Laat het Groenlinks maar niet horen. Die willen nog steeds een middenschool invoeren. (iedereen is gelijk, gelijke kansen, voorkomen van sociale splitsing, etc)

quote:

Ik zat op de basisschool altijd van half 3 tot half 4 uit het raam te kijken, omdat ik als enige klaar was met mijn sommetjes . Daar had ik ook veel meer kunnen leren, zo ook op de middelbare school. Wel jammer eigenlijk...

Voor mij ging dat anders. Wij hadden geen rekenmethode dus bij ons bestond elke les uit een lange uitleg voor het bord en vervolgens een kwartier lang sommetjes maken op A4'tjes (geen tekst buiten een paar woordjes voor de opdracht, enkel getallen). Ik kon goed rekenen (meestal een 10) maar ik moest toch stevig werken om ze af te krijgen, ze gaven bewust teveel opgaves zodat bijna iedereen meestal bezig bleef.
Ik stond er toen niet bij stil maar waarschijnlijk gebruikten wij geen lesboek omdat er voor het Nederlandse onderwijs enkel boeken verkrijgbaar waren die met de 'realistische' 'pedagogie' werkten. Zo herinner ik me duidelijk hoe de leraar klaagde over het feit dat hij de hapmethode moest aanleren in plaats van de staartdeling die hij beter vond. Een duidelijk anti-'realistisch' rekenen signaal.

quote:

Is het geen idee om 2 niveau's basisschool te doen ofzo

Dat is een uitstekend idee. Een paar problemen:
• Veel politici willen dat niet omwille van een misplaatst gelijkheidsideaal. Iedereen moet gelijke kansen krijgen, iedereen moet steeds de kans krijgen om zichzelf omhoog te werken (iets wat bij het gymnasium niet het geval is), dat is voor mij sociaaldemocratie. Niet hoeft iedereen op hetzelfde niveau les te krijgen.
Ik ben dan ook voorstander van meer verschillende niveaus in alle lagen van het onderwijs waarbij iedereen steeds de kans krijgt op het hogere niveau wanneer hij heeft bewezen het lagere niveau goed te beheersen.
• De leraren die nu door de PABO zijn opgeleid zijn niet in staat om deze talentvollere leerlingen les te geven. Dit valt op zich wel op te lossen door een aparte specialisatie op de PABO in te voeren waar de leerlingen door wiskundigen precalculus en calculus onderwezen krijgen. Eventueel zou je voor dit programma een VWO-certificaat voor wiskunde B kunnen eisen en kan je leraren die dit eretraject hebben gevolgd een wat hoger salaris geven. Een ander onderdeel van dit eretraject zou biologie, scheikunde en natuurkunde kunnen zijn maar dan wel op VWOplus-niveau, met de hierbij behorende wiskunde.
Vanzelfsprekend zouden deze leerlingen zonder CITO-toets kunnen doorstromen naar het VWO, met het met goed gevolg volgen van het extra programma op de lagere school hebben ze immers bewezen op het VWO thuis te horen.
• Het VWO zou een apart programma moeten hebben voor deze leerlingen, inclusief aparte lesboekjes. Anders gaan die leerlingen stof krijgen die ze al lang hebben gehad en dan vervelen ze zich alsnog. Heel het VWO-programma zou moeten zijn aangepast. Immers, als je in de onderbouw al calculus beheerst dan moet je ook andere wiskundestof krijgen in de bovenbouw en andere stof krijgen voor natuurkunde (met de bijbehorende wiskundebasis)
• Op de universiteit zou het programma ook wat aangepast moeten worden: bepaalde vakken inruilen voor andere meer gevorderde vakken. Dit is zeker geen probleem, het valt gemakkelijk te organiseren. Kwestie van de roosters voor de vakken en de examens wat aan te passen, dat mag niet worden onderschat maar het is zeker uitvoerbaar).

Kortom, om dit sympathieke plan in te voeren moet op alle niveaus van het onderwijs het een en ander worden aangepast maar het is zeker mogelijk. Het zou wat extra geld kosten omdat je beter gequalificeerde leraren nodig hebt voor de lagere school maar ik verwacht dat dat geld vanzelf wordt terugverdiend doordat deze leerlingen in de toekomst veel meer gaan presteren, omdat deze leerlingen in een voor hen zeer belangrijke periode hun talent sterk ontwikkelen en omdat ze tijdens hun universitaire opleiding zich in een vroeger stadium kunnen richten op gevorderde materie. Ik denk dat je veel verder kan gaan dan enkel op de lagere school met calculus starten, voor lineaire algebra en differentiaalvergelijkingen geldt bijv. eveneens dat je die in princip gemakkelijk al op het VWO zou kunnen behandelen. Als je zeer intelligent bent dan kan je op jonge leeftijd al van alles wat minder intelligente mensen op volwassen leeftijd nooit zullen kunnen.

Tsjah, het klinkt geweldig, en het zou ook geweldig zijn voor het onderwijs. Maar ik denk niet dat dat er gaat komen, in ieder geval niet op de korte termijn. En inderdaad, mensen moeten gelijke kansen krijgen, maar niet gelijk onderwijs. Mensen zijn nou eenmaal van nature niet op alle vlakken gelijk.

Ik denk ook niet dat de politieke wil er is om dit de komende kabinetsperiodes te implementeren maar voor de lange termijn zou dit wel het streven moeten zijn. In principe zou met stap 1 volgend jaar al gestart kunnen worden: een hierop aangepast ereprogramma binnen de PABO-scholen.

quote:

En inderdaad, mensen moeten gelijke kansen krijgen, maar niet gelijk onderwijs. Mensen zijn nou eenmaal van nature niet op alle vlakken gelijk.

Mensen moeten wel steeds de kans krijgen om zich op te werken, tot het hoogste niveau.
Dat is wat mij tegenstaat aan de gymnasia in Nederland.
1. Een groot tekort aan plaatsen, voor slechts 6% van de leerlingen is er plaats terwijl 16% van de leerlingen door de gymnasia geschikt wordt geacht aangezien de meeste gymnasia die 16% van de leerlingen aanvaardt die in de hoogste categorie van de CITO-scoretabel viel, niet voor niets is die grens op 16% gelegd (1 standaarddeviatie).

2. Als je de boot hebt gemist in het eerste leerjaar of de eerste twee leerjaren (sommige gymnasia recrueteren nog leerlingen die het eerste jaar naar het atheneum of een brugklas voor HAVO/VWO gingen) dan krijg je niet de kans om alsnog naar het gymnasium te gaan.

3. Ik zie geen enkele legitimatie voor het onderscheid tussen het gymnasium en het atheneum. Waarom niet gewoon Latijn en Oudgrieks invoeren op de athenea. Net als in België waar iedereen die niet is afgezakt de kans krijgt om met deze klassieke talen te beginnen en waarin een veel hoger percentage van de scholieren deze klassieke talen heeft gevolgd. Dit moet niet voorbehouden zijn aan slechts 6% van de leerlingen. Als aan het einde van het VWO 6% van de leerlingen overblijft dan vind ik dat prima maar dan wel volgens het watervalsysteem (de kans krijgen op een hoger niveau en afzakken als je het niet redt) en niet door leerlingen überhaupt niet de kans te geven om te laten zien dat ze dat aankunnen.

Ik vrees dat een zeker elitarisme hier achter zit, de wens van een deel van de mensen om hun soort kinderen zo snel mogelijk afgeschermd te krijgen en te houden van andere milieus. Dit soort elitarisme vind ik verkeerd en ik denk dat hiermee veel talent wordt verspild. Daarentegen op de lagere school al meerdere niveaus invoeren, aan het einde van het VWO 5% van de leerlingen overhouden maar wel iedereen die een lager niveau met succes heeft afgerond de kans geven om het op een hoger niveau te proberen vind ik prima. Op deze manier krijgt iedereen eerlijke kansen. Het is hard om mensen op basis van een CITO-kansje al niet de kans te geven om ooit het gymnasium binnen te komen, je moet niet op basis van een toets die een veel lager niveau heeft proberen in te schatten wat iemand op een hoger niveau aankan. Bovendien is de invloed van het ouderlijke milieu nog erg groot in die levensfase, des te groter omdat ons onderwijs op de lagere school zeer matig is.
Voor alle duidelijkheid: ik wil dat elitaristische niet generaliseren naar alle (oud-)gymnasiasten. Mijn ervaring is dat er twee types gymnasiasten zijn: de mensen die echt slimmer zijn en die een goede scholing nastreven en de elitairen onder hen. Het eerste type is prettig in de omgang, het tweede type mijd ik als de pest.

[ Bericht 5% gewijzigd door Bram_van_Loon op 27-05-2012 22:18:42 ]

@ Bram van loon: Het bewijs zelf telt ruim 100 pagina's (http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/wiles.pdf) en bevat erg taaie zooi. Ik heb zelf nooit de moeite genomen om het te begrijpen, maar als je enig idee wilt krijgen hoe het bewijs überhaupt is opgebouwd moet je je eerst eens verdiepen in elliptische krommen

quote:

Op maandag 28 mei 2012 01:20 schreef Don_Vanelli het volgende:
@ Bram van loon: Het bewijs zelf telt ruim 100 pagina's (http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/wiles.pdf) en bevat erg taaie zooi. Ik heb zelf nooit de moeite genomen om het te begrijpen, maar als je enig idee wilt krijgen hoe het bewijs überhaupt is opgebouwd moet je je eerst eens verdiepen in elliptische krommen

En dan moet je waarschijnlijk nog >1000 pagina's aan voorkennis leren voordat je hieraan kan beginnen (elliptische krommen is al pittig). En als je hieraan begint ben je weer een jaar verder voordat je het een beetje begrijpt.

Wel respect als je erdoorheen komt, zeker als je geen wiskunde studeert.

quote:

Op maandag 28 mei 2012 01:27 schreef thenxero het volgende:

[..]

En dan moet je waarschijnlijk nog >1000 pagina's aan voorkennis leren voordat je hieraan kan beginnen (elliptische krommen is al pittig). En als je hieraan begint ben je weer een jaar verder voordat je het een beetje begrijpt.

Wel respect als je erdoorheen komt, zeker als je geen wiskunde studeert.

Idd, ik heb wel wiskunde gestudeerd en meerdere vakken over elliptische krommen gehad en eerlijk gezegd haakte ik heel snel af

quote:

Op maandag 28 mei 2012 01:32 schreef Don_Vanelli het volgende:

[..]

Idd, ik heb wel wiskunde gestudeerd en meerdere vakken over elliptische krommen gehad en eerlijk gezegd haakte ik heel snel af

Ik heb heel tactisch alles over elliptische krommen weten te omzeilen tot nu toe

quote:

Op maandag 28 mei 2012 01:33 schreef thenxero het volgende:

[..]

Ik heb heel tactisch alles over elliptische krommen weten te omzeilen tot nu toe

mja, ik had weinig keuze. Tijdens de master moet je uit een keuzelijst 2 vakken kiezen. Het treurige is dat die keuzelijst slechts uit 3 vakken bestaat en één vak viel bij mij automatisch af, omdat het over het uitdiepen van Hilbert-ruimten ging en daar pas ik graag voor.