Het mysterie van de grote getallen

Full Debate MP3 Audio


De bovenstaande debat is tussen William Craig Lane en Lawrence Krausss.

Tijd: 00.18.45, Craig haalt aan dat 2 + 2 = 5 verkeerd is.
Tijd: 00.35.00, Krauss met zijn beroemde statement 'Classical logic such as: 2+2=4 is wrong!'

Dat de fundamentele beginselen van logica arbitrair zijn en iets is wat afhankelijk is aan afgesproken menselijke principes is wat mij dus hierbij dwars zit.

Craig geeft later in de discussie duidelijk aan dat grote getallen, met name 'oneindigheid' op papier wel aan speciale voorwaarden moet voldoen om wiskundig ermee te kunnen omgaan.
Maar dat de fundamentele beginselen van logica niet als arbitrair beschouwd kunnen worden geeft William Lane Craig later zeer duidelijk aan:

quote:

I cannot believe that he would deny necessary mathematical truths.

Maar om de beginselen van logica als arbitrair en 'gemiddeld' te verklaren is simpelweg ketterij.

Maar misschien heb ik een verkeerd beeld van de betrokkenen en hun argumenten, dus mijn vragen:
- Wat verstaan we onder de beginselen van (klassiek) logica?
- Wat verstaan we onder arbitrair?
- Wat zijn de consequenties voor iemand die beweert dat de fundamentele beginselen van klassiek logica arbitrair zijn?
- Wat voor effect heeft het arbitrair veklaren van de beginselen van logica op de argumenten en standpunten van de discussie/betoog? Met andere woorden, tot hoeverre is een redenerend uiteenzetting nog geldig wanneer logica arbitrair is?
- Wat is wetenschap wanneer logica arbitrair is?
- Wat is de basis van logisch redeneren?
- En als klap op de vuurpijl: Wat is het antwoord op 2 + 2? Heeft deze som meerdere antwoorden in de realiteit? Is het antwoord op die som arbitrair?

Getallen.

quote:

Op maandag 14 mei 2012 23:41 schreef Molurus het volgende:
Die vragen heb ik dus al beantwoord, maar als ik iets heb gemist hoor ik het wel.

Zeker!

"2+2=5
for extremely large values of 2"

waarbij je bij extreem groot aan getallen als een googol (10¹⁰⁰ )moet denken of een googolplex (10^{10^100})
en die laatste mag je voor de grap eens proberen volledig uit te schrijven

Dat de som van de hoeken in een driehoek 180 graden is, is geen beginsel van de klassieke logica. Ook niet dat 2+2=4.

De klassieke logica is de leer van beweringen, definities, gevolgtrekkingen en bewijzen. Bijvoorbeeld: Stel dat een uitspraak A(x) waar is zonder aannames over x te maken, dan mag je concluderen dat A(x) geldt voor alle x. Ander voorbeeld: als B volgt uit A, dan volgt niet A uit niet B. Of: als A waar is, en B waar is, dan is (A en B) waar. (klinkt flauw, maar als je het echt vanaf de grond wil opbouwen moet je dat soort dingen benoemen).

Er zijn ook andere logica's dan de klassieke logica. Bijvoorbeeld intuïtionistische logica. Er is namelijk niemand die zegt dat klassieke logica de enige correcte logica is om mee te werken... Dus in zekere zin is het een beetje arbitrair.

De grap dat 2+2=5 voor hele grote 2's, snap ik niet helemaal. Misschien doelt de bedenker hiervan erop dat er rare dingen gebeuren als je naar oneindige verzamelingen gaat kijken. Bijvoorbeeld: er zijn "even veel" breuken als gehele getallen ("even veel" moet je dan wel wiskundig goed definiëren als je naar oneindige hoeveelheden gaat kijken, maar dat kan ook). Dat is prima wiskundig te bewijzen en te snappen, het komt alleen misschien niet overeen met je intuïtie als je het als leek zou moeten gokken.

quote:

Op dinsdag 15 mei 2012 00:18 schreef Molurus het volgende:
Dat bedoelt de bedenker er volgens mij inderdaad mee.

Wat ik persoonlijk weer niet begrijp is zijn uitspraak dat:

1 + 2 + 3 + 4 + .... tot oneindig = - 1/12.

Wellicht dat er wiskundigen of natuurkundigen hier zijn die dat kunnen uitleggen.

http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation

Probeer dit maar eens te lezen .

Maar het is een beetje flauw om zoiets te stellen zonder context. Het is geen normale sommatie, maar een ramanujan sommatie. Als je het op een normale manier sommeert komt er natuurlijk "gewoon" oneindig uit.

Op maandag 14 mei 2012 23:19 schreef Mr.44 het volgende:

quote:

[..]

klasiek is 2 +2 =4
of de som van de hoeken van een driehoek zijn 180 graden
maar dat de som van de hoeken 180 graden is geld alleen binnen een euclidisch stelsel
op een bol kan je een driehoek tekenen met 3 hoeken van 90 graden
bij Newton kan je heel logisch gezien snelheden bij elkaar optellen hoe groot de snelheid ook is
Bij Einstein kan dat absoluut niet.

En bij QM kan een deeltje in een staat van wel en niet bestaan zitten totdat je ernaar kijkt.

Maar de wiskundige berekeningen die bij Euclidisch/niet-EuclidischNewtoniaans/Einstein toegepast worden, zijn logische berekeningen en logische operatoren met logische antwoorden op logische vragen.

En deeltjes die wel of niet bestaan op quantum level moet nog maar bewezen worden dat ze de beginselen van logica wel of niet overtreden.

quote:

Op maandag 14 mei 2012 23:33 schreef Molurus het volgende:

[..]

Deze vraag had ik al beantwoord, maar nog een keer: "hoe wij gewend zijn dat de wereld werkt".

Logica is niet iets 'wat we gewend zijn', maar een a priori voor wetenschappelijk aanpak.

quote:

[..]

Ook al beantwoord: ons menselijk perspectief van gemiddelde schaal en gemiddelde snelheid is wetenschappelijk gezien een arbitrair perspectief. En daarmee is wat wij zien als logica op onze eigen schaal en snelheid arbitrair. De wereld zoals die werkt op onze schaal kan zich op heel kleine en heel grote schaal fundamenteel anders gedragen. (En doet dat ook.)

Jij reduceert logica tot een materieel iets en verklaart het hierdoor als iets arbitrairs, maar ziet hierdoor over het hoofd dat logica juist buiten het materiele bestaat.

quote:

[..]

Ik vermoed een gevoel van verwondering.

Ik zou eerder zeggen dat iemand die logica als arbitrair aanneemt eerder verward is dan verwonderd.

quote:

[..]

Volledig. Zolang we ons maar bewust zijn van hoe onze perceptie van invloed is op hoe we de wereld ervaren is er niets aan de hand.

Deze is mij niet duidelijk, dan maar nog een vervolgvraag:
Wat is de connectie/invloed tussen onze perceptie en de beginselen van logica?

quote:

[..]

Nog steeds dezelfde.

Wetenschap kan alleen hetzelfde zijn als de beginselen van logica onveranderlijk zijn.
Mochten de beginselen van logica veranderlijk zijn, dan is wetenschap gebaseerd op gebakken lucht.

quote:

[..]

Logica, net als wiskunde, is een middel om de wereld te beschrijven. Het is niet die wereld zelf. Zo kun je met elkaar afspreken dat de wortel uit een negatief getal niet bestaat, maar als het blijkt dat je daarmee elektrische verschijnselen kunt berekenen gaat zo'n afspraak direct de prullebak in.

Zijn de beginselen van logica:
A) materieel of
B) immaterieel?

quote:

[..]

Afhankelijk van welke quantiteit je daarmee beschrijft en op welke schaal zijn daarop inderdaad meerdere antwoorden denkbaar.

Zelfs met al die factoren rekening houdend, is het verkregen antwoord arbitrair?

En een nieuwe vraag:
Hoe is volgens jou de beginselen van logica bepaald?

A) Via nauwkeurige metingen/percepties/waarnemingen/observaties of
B) tot het begrip komen van immateriële, eeuwige, onveranderlijke principes die overal en altijd geldig zijn?

quote:

Op dinsdag 15 mei 2012 00:13 schreef thenxero het volgende:
Dat de som van de hoeken in een driehoek 180 graden is, is geen beginsel van de klassieke logica. Ook niet dat 2+2=4.

De klassieke logica is de leer van beweringen, definities, gevolgtrekkingen en bewijzen. Bijvoorbeeld: Stel dat een uitspraak A(x) waar is zonder aannames over x te maken, dan mag je concluderen dat A(x) geldt voor alle x. Ander voorbeeld: als B volgt uit A, dan volgt niet A uit niet B. Of: als A waar is, en B waar is, dan is (A en B) waar. (klinkt flauw, maar als je het echt vanaf de grond wil opbouwen moet je dat soort dingen benoemen).

Er zijn ook andere logica's dan de klassieke logica. Bijvoorbeeld intuïtionistische logica. Er is namelijk niemand die zegt dat klassieke logica de enige correcte logica is om mee te werken... Dus in zekere zin is het een beetje arbitrair.

De grap dat 2+2=5 voor hele grote 2's, snap ik niet helemaal. Misschien doelt de bedenker hiervan erop dat er rare dingen gebeuren als je naar oneindige verzamelingen gaat kijken. Bijvoorbeeld: er zijn "even veel" breuken als gehele getallen ("even veel" moet je dan wel wiskundig goed definiëren als je naar oneindige hoeveelheden gaat kijken, maar dat kan ook). Dat is prima wiskundig te bewijzen en te snappen, het komt alleen misschien niet overeen met je intuïtie als je het als leek zou moeten gokken.

Volgens mij bedoel je niet-euclidisch en niet klassieke logica.

Ik heb er ook geen verstand van hoor. Maar het is zeker niet echt makkelijk om het van de wiki te leren. Sowieso als je erop gaat googelen kom je meer vragen dan antwoorden tegen. Ik denk niet dat er veel mensen verstand van dit soort dingen hebben.

quote:

Op dinsdag 15 mei 2012 00:28 schreef man1986 het volgende:
Op maandag 14 mei 2012 23:19 schreef Mr.44 het volgende:
Volgens mij bedoel je niet-euclidisch en niet klassieke logica.

Waar?

Euclidische meetkunde is gewoon een verzameling axioma's waarmee je aan de slag gaat met behulp van de logica. Die axioma's zelf omvatten geen logica, dat staat los van elkaar.

quote:

Op dinsdag 15 mei 2012 00:31 schreef thenxero het volgende:

[..]

Waar?

Euclidische meetkunde is gewoon een verzameling axioma's waarmee je aan de slag gaat met behulp van de logica. Die axioma's zelf omvatten geen logica, dat staat los van elkaar.

Mee eens.

om maar even met een leuk argument te komen.

er zijn wetenschappers die beweren dat je in de logica beweringen kunt hebben die niet ´waar´ zijn, maar ook niet ´niet waar´. volgens deze tak van de logica kan je dus geen bewijs uit het ongerijmde geven. als een bewering niet `niet waar` is, hoeft deze dus nog niet waar te zijn.

welke tak van logica is nu `beter`? of is het gewoon een arbitraire keuze die we gemaakt hebben tussen een van de twee vormen?

edit: wiki gevonden voor die vorm van logica: het Intuïtionisme , en de Intuïtionistische formele logica.

quote:

Op dinsdag 15 mei 2012 00:18 schreef Molurus het volgende:
Dat bedoelt de bedenker er volgens mij inderdaad mee.

Wat ik persoonlijk weer niet begrijp is zijn uitspraak dat:

1 + 2 + 3 + 4 + .... tot oneindig = - 1/12.

Wellicht dat er wiskundigen of natuurkundigen hier zijn die dat kunnen uitleggen.

Die uitspraak moet je lezen in de context van analytische continuatie. In dit geval van de Riemann-zeta functie



naar s=-1, zie b.v. hier of hier. Voor een toepassing in snaartheorie, waar deze continuatie heuristisch wordt gebruikt om symmetrieën te behouden bij bepaalde regularisaties, kun je b.v. hier kijken.

Dit soort berekeningen zijn notoir verwarrend voor mensen die ze voor het eerst zien; daarom zeg ik ook nadrukkelijk "heuristisch"; je kunt dezelfde resultaten op andere manieren afleiden!

-edit: Lubos Motl zijn reference frame gaat hier ook wat op in, op een meer toegankelijk niveau

quote:

A physicist always means nothing else than Nature's integral that coincides with the Riemann and Lebesgue integral in most well-behaved situations. But whenever there is something unusual about the integral, we must leave it up to Nature - not Riemann or Lebesgue - to decide what is the right thing to do with the integral. And we must learn the answer from Her, rather than Riemann or Lebesgue. And indeed, Her answer is often different and brings some additional flavor and rules to calculate. This fact about theoretical physics is virtually impenetrable for most laymen and even for most mathematicians.

-edit 2: Je komt deze regularisaties vaak tegen als je klassieke theorieën kwantiseert. Dan heb je "normal ordering ambiguities". Namelijk, als klassiek geldt dat AB=BA, dan hoeft dit in de kwantumtheorie niet meer te gelden. Dat levert een probleem: namelijk, de uitdrukkingen AB en BA zijn klassiek hetzelfde, maar kwantummechanisch niet meer!

Heuristisch kun je dan regularisaties als die zeta-regularisatie gebruiken om oneindigheden weg te schrijven, aangezien je ambiguïteiten hebt in je uitdrukkingen, maar er zijn rigoreuze manieren om dezelfde resultaten af te leiden.

[ Bericht 4% gewijzigd door Haushofer op 15-05-2012 16:20:11 ]

quote:

Op maandag 14 mei 2012 23:33 schreef Molurus het volgende:

Logica, net als wiskunde, is een middel om de wereld te beschrijven. Het is niet die wereld zelf. Zo kun je met elkaar afspreken dat de wortel uit een negatief getal niet bestaat, maar als het blijkt dat je daarmee elektrische verschijnselen kunt berekenen gaat zo'n afspraak direct de prullebak in.

Dat lijkt me een wat vreemde benadering. De reden om complexe getallen in te voeren was simpelweg om bepaalde vergelijkingen op te lossen, zoals



Op deze manier geef je elk n^e-graads polynoom n nulpunten mee.

Dat de quantummechanica complexe getallen eist, of dat je golven er mee kunt beschrijven, staat daar los van.

quote:

Op dinsdag 15 mei 2012 00:32 schreef man1986 het volgende:

[..]

Mee eens.

Maar je gaat verder niet in op de vraag van thenxero.

van een ander topic:

quote:

Op dinsdag 15 mei 2012 11:46 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Het is een gevolg van de axioma's in de Peano rekenkunde.

Voor de natuurlijke getallen Z heb je bijvoorbeeld 1+1=2, maar voor de groep Z₂ heb je 1+1=0. Welke is volgens jou "meer waar"?

Dit soort resultaten zijn in die zin arbitrair, dat ze afhangen van je gekozen axiomas. En sinds de uitbreiding van Euclidische meetkunde naar niet-Euclidische meetkunde, zijn wiskundigen zich steeds meer gaan realiseren dat er geen goede manier is om het ene setje axioma's boven het andere te verheffen.

Dat de resultaten afhankelijk zijn van de gekozen axioma's is waar. Maar ik heb het niet over de verschillende axioma's die we erop nahouden.
Dat Krauss klassieke logica als 'wrong' verklaart verdient terecht een aanhaling.
Als hij nou gezegd had "classical logic 2+2=4 is correct, but other logical approaches tell us it could be 5 for large values of 2" dan was ik het wel met Krauss eens, maar zo had hij het niet verwoord en daar wordt hij terecht op afgerekend door meerdere mensen.

quote:

Als we bijvoorbeeld bij een zwart gaten hadden gezeten met onze aarde hadden we Euclidische meetkunde maar vreemd gevonden, en hadden we niet-Euclidische meetkunde waarschijnlijk veel eerder gevonden omdat we simpelweg zouden meten dat b.v. de som van de hoeken van een driehoek helemaal niet 180 graden is.

Hier heb je het over meetkunde en de verschillende takken. Zoals Craig juist erbij zegt: Op papier kunnen we wel met speciale randvoorwaarden komen om 2+2=5 redelijk aannemelijk te maken, maar dat is dus wel alleen geldig binnen de afgesproken axioma's en kan niet als een voorbeeld dienen om klassiek logica als arbitrair te kunnen beschouwen.

Maar ik wil dus wel de connectie leggen tussen arbitrairiteit en de fundamentele beginselen van logica en waarom deze 'wrong' zijn. Wie zoiets beweert, ziet de consequenties van zijn uitspraken over het hoofd.

quote:

Op dinsdag 15 mei 2012 11:49 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Ja, natuurlijk. Het hangt van je axioma's af. Wiskunde is geen realiteit, het is een taal met een hoog ontwikkelde syntax (die haar limieten kent; denk aan Gödels onvolledigheidsstellingen). Jij lijkt wiskunde als een soort van absolute waarheid te poneren, zoals hier,

[..]

maar dat is verre van duidelijk.

Wiskunde is wel een (precieze) taal, maar berust wel op (verschillende vormen van) logica. Natuurkunde en wiskunde zijn niet absolute waarheden (we zijn het hiermee dan met elkaar eens), maar een instrument om ons de wereld (logisch) begrijpbaar te maken.
En graag meer uitleg over je "verre van duidelijk", want als de fundamentele beginselen van logica arbitrair zijn, dan dien je de volgende te verklaren:

Kan iets bestaan en niet-bestaan op dezelfde tijd en in dezelfde ruimte tegelijk?

In het engels klinkt het misschien duidelijker, dus dezelfde vraag:
Can something exist and not exist at the same time and in the same space simultaneously?

Als het antwoord Ja is, dan zijn alle vormen van logica ongeldig en arbitrair, beginnend met de klassieke logica en alle daaropvolgende vormen en variaties.

Als het antwoord Nee is, dan zijn de fundamentele beginselen van logica nog steeds geldig en niet arbitrair/materieel.

quote:

Op dinsdag 15 mei 2012 10:05 schreef Asphias het volgende:
om maar even met een leuk argument te komen.

er zijn wetenschappers die beweren dat je in de logica beweringen kunt hebben die niet ´waar´ zijn, maar ook niet ´niet waar´. volgens deze tak van de logica kan je dus geen bewijs uit het ongerijmde geven. als een bewering niet `niet waar` is, hoeft deze dus nog niet waar te zijn.

welke tak van logica is nu `beter`? of is het gewoon een arbitraire keuze die we gemaakt hebben tussen een van de twee vormen?

edit: wiki gevonden voor die vorm van logica: het Intuïtionisme , en de Intuïtionistische formele logica.

Ik heb het niet over welke logica vormen beter zijn. Allen werken binnen hun eigen limietvoorwaarden.
Maar om de fundamentele beginselen van logica als 'wrong' en arbitrair te verklaren gaat voorbij redelijkheid.

quote:

Op dinsdag 15 mei 2012 12:26 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Maar je gaat verder niet in op de vraag van thenxero.

Ik zie momenteel geen tegenstrijdigheid tussen zijn statements en de mijne.
- Denk je dat de fundamentele beginselen van logica (FBL) veranderijk (variabel) of onveranderlijk (constant) zijn in realiteit?
- Wat voor invloed heeft onze perceptie op de FBL? Bestaat er enige connectie tussen onze waarnemingen/percepties en FBL? Of staan deze 2 zaken los van elkaar (onafhankelijk)?

quote:

Op dinsdag 15 mei 2012 15:24 schreef man1986 het volgende:
van een ander topic:

[..]

Dat de resultaten afhankelijk zijn van de gekozen axioma's is waar. Maar ik heb het niet over de verschillende axioma's die we erop nahouden.
Dat Krauss klassieke logica als 'wrong' verklaart verdient terecht een aanhaling.
Als hij nou gezegd had "classical logic 2+2=4 is correct, but other logical approaches tell us it could be 5 for large values of 2" dan was ik het wel met Krauss eens, maar zo had hij het niet verwoord en daar wordt hij terecht op afgerekend door meerdere mensen.

Ik heb Krauss' precieze statements niet gehoord, maar ik snap de enorme nadruk die jij, en Craig, hierop legt niet zo.

quote:

Hier heb je het over meetkunde en de verschillende takken. Zoals Craig juist erbij zegt: Op papier kunnen we wel met speciale randvoorwaarden komen om 2+2=5 redelijk aannemelijk te maken, maar dat is dus wel alleen geldig binnen de afgesproken axioma's en kan niet als een voorbeeld dienen om klassiek logica als arbitrair te kunnen beschouwen.

Ik weet niet wat je verstaat onder "klassieke logica", dat zul je moeten definieren. Ik snap ook niet waarom je het over "redelijk aannemelijk" spreekt. Een uitspraak als "2+2=5" is of waar, of niet waar binnen een gegeven set axioma's. En niet "redelijk aannemelijk".

quote:

Wiskunde is wel een (precieze) taal, maar berust wel op (verschillende vormen van) logica.
Natuurkunde en wiskunde zijn niet absolute waarheden (we zijn het hiermee dan met elkaar eens), maar een instrument om ons de wereld (logisch) begrijpbaar te maken.
En graag meer uitleg over je "verre van duidelijk", want als de fundamentele beginselen van logica arbitrair zijn, dan dien je de volgende te verklaren:

Kan iets bestaan en niet-bestaan op dezelfde tijd en in dezelfde ruimte tegelijk?

Dan zul je precies moeten definieren wat je onder al deze begrippen verstaat; zo blijft het semantisch nogal wazig.

quote:

Ik heb het niet over welke logica vormen beter zijn. Allen werken binnen hun eigen limietvoorwaarden.
Maar om de fundamentele beginselen van logica als 'wrong' en arbitrair te verklaren gaat voorbij redelijkheid.

Kun je hier es wat voorbeelden voor geven, of een lijst met deze beginselen? Ik heb namelijk nog steeds niet echt een idee wat jij precies onder die "FBL" verstaat.

Kortom, ik heb het idee dat dit meer semantische discussies gaat opleveren dan echt inhoudelijke discussies.

[ Bericht 0% gewijzigd door Haushofer op 15-05-2012 16:18:51 ]

Als we het dan toch over getallen hebben, ik denk hier al aan sinds m'n jeugd, maar nooit iets mee gedaan.

Stel je hebt een getal 18475 en vermenigvuldigd dat met 9. Dan krijg je 9*18475 = 166275 tel je deze getallen bij elkaar op dan krijg je 1+6+6+2+7+5 = 27. Tel je deze ook weer op dan krijg je 2+7 = 9

9*15678431269854 = 141105881428686, 1+4+1+1+5+8+8+1+4+2+8+6+8+6 = 63, 6+3 = 9

Is er een regel ofzo waardoor dit komt of is het toeval?

quote:

Haushofer heeft het denk ik aardig verwoord: zowel logica als wiskunde zijn gebaseerd op een set van axioma's, en de keuze van axioma's is uiteindelijk arbitrair.

Ieder wiskundig gebied is inderdaad gebaseerd op axioma's, maar bij logica ligt het denk ik net wat subtieler.

Bekijk dit bestand maar eens. Dit zijn de axioma's/definities van de klassieke logica. Ik vraag me af in hoeverre je hier veel aan kan morrelen. Je kan er intuïtionistische logica van maken door één axioma te verwijderen. Maar ik heb geen idee hoe je een echt compleet ander setje van basisregels zou kunnen bedenken waarmee je gaat redeneren. Aan de andere kant weet ik ook niet hoe je zou kunnen toetsen dat dit de 'beste' spelregels zijn.