[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

Ik ben bezig met het doorwerken van Basisboek Wiskunde maar loop nu wat vast bij de vlakken. Er wordt gevraagd een vergelijking van een vlak op te stellen door drie gegeven punten, en die kan ik vinden, maar ik snap er een deel niet van.
Met als voorbeeld de drie punten A(2,0,0), B(0,3,0) en C(0,0,4) in een stelsel Oxyz vind ik als volgt de vergelijking van de twee lijnen door A & B en B & C

(2-0)(y-3) = (0-3)(x-0)
2(y-3) = -3x
2y - 6 = -3x
2y + 3x = 6

(3-0)(z-4) = (0-4)(y-0)
3(z-4) = -4y
3z - 12 = -4y
3z + 4y = 12

Volgens een vriend kon je ze dan vermenigvuldigen met d, gelijkstellen en bij elkaar voegen, en dat is waar ik het kwijt raak.

2dy + 3dx = 6d
3dz + 4dy = 12d

2dy + 3dx = 6d
(3/2)dz + 2dy = 6d

3dx + 2dy + (3/2)dz = 6d

Vanaf daar begrijp ik het wel weer, d = 1
3x + 2y + (3/2)z = 6

En er fancy uit laten zien
(3/6)x + (2/6)y + (3/12)z = 1

(x/2) + (y/3) + (z/4) = 1

Ik zie in dit alles het vlak als een bundeling lijnen vanuit punt B met als 'uiterste' lijnen de twee in het begin gevonden vergelijkingen, waarin iedere lijn gelimiteerd is door de d uit ax + by + cz = d. Is dit juist, of zit ik daarin fout?

Parametervergelijking:

Hierbij uitgegaan van punt A met richtingsvectoren geconstrueerd uit A-B en A-C



Bepaal de normaalvector door het kruisproduct nemen




Vul een punt in om d te vinden:


Invullen en uitschrijven:

Daar ga ik zo mee aan de gang, bedankt.

quote:

Op vrijdag 11 mei 2012 17:53 schreef Quir het volgende:
Ik ben bezig met het doorwerken van Basisboek Wiskunde maar loop nu wat vast bij de vlakken. Er wordt gevraagd een vergelijking van een vlak op te stellen door drie gegeven punten, en die kan ik vinden, maar ik snap er een deel niet van.
Met als voorbeeld de drie punten A(2,0,0), B(0,3,0) en C(0,0,4) in een stelsel Oxyz vind ik als volgt de vergelijking van de twee lijnen door A & B en B & C

De vergelijkingen die je geeft stellen in de driedimensionale ruimte vlakken voor, geen lijnen, dus hier gaat het al fout.

Het idee is dat je eerst een normaalvector n bepaalt van je vlak V. Dat is een vector die loodrecht op het vlak staat. Is nu v = (x,y,z) een willekeurige vector met eindpunt in je vlak V en v₀ = (x₀,y₀,z₀) een vaste vector met eindpunt in je vlak, dan is vector v - v₀ evenwijdig aan je vlak en staat deze verschilvector dus loodrecht op je normaalvector n, zodat het inproduct van v- v₀ en n gelijk is aan nul:

(1) n∙(v - v₀) = 0

En dus geldt ook:

(2) n∙v = n∙v₀

Een vaste vector v₀ met eindpunt in je vlak V ken je al omdat je immers de drie punten A,B en C kent die in vlak V liggen, zodat je hier voor v₀ bijvoorbeeld de vector a = (2,0,0) zou kunnen nemen zodat x₀ =2, y₀ = 0 en z₀ = 0.

De kunst is nu om een geschikte normaalvector n = (a,b,c) te bepalen want dan kun je voor (1) schrijven:

(3) a(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 0,

en voor (2) kun je schrijven:

(4) ax + by + cz = ax₀ + by₀ + cz₀,

en (3) of (4) is uiteraard de gezochte cartesische vergelijking van je vlak. Om nu een geschikte normaalvector n = (a,b,c) en daarmee de waarden van a,b en c te vinden kun je bedenken dat n loodrecht staat op zowel de verschilvector b - a als de verschilvector c - a, aangezien deze beide verschilvectoren evenwijdig zijn aan vlak V. En dus moet het inproduct van n = (a,b,c) met zowel b - a = (-2,3,0) als c - a = (-2,0,4) gelijk zijn aan nul. Dit geeft:

(5a) -2a + 3b = 0
(5b) -2a + 4c = 0

Hier heb je twee lineaire vergelijkingen in drie onbekenden a, b en c, en dus lijkt het alsof je nog één lineaire vergelijking tekort komt. Maar dat is niet zo, want als we n met een scalar vermenigvuldigen, dan hebben we nog steeds een vector die loodrecht op vlak V staat, dus zijn a,b,c niet eenduidig bepaald. Dat is ook meteen duidelijk uit de cartesische vergelijking (3) want als je hier beide leden met een getal ongelijk nul vermenigvuldigt, dan heb je nog steeds een geldige cartesische vergelijking van je vlak V.

We kunnen nu met (5a) en (5b) de waarde van a en b uitdrukken in c. Uit (5b) volgt dat a = 2c en substitutie hiervan in (5a) levert b = (4/3)∙c en dus hebben we n = (2c, (4/3)∙c, c). Kiezen we nu bijvoorbeeld c = 3, dan krijgen we n = (6, 4, 3). Op grond van (3) wordt de cartesische vergelijking van je vlak V nu:

(6) 6(x - 2) + 4(y - 0) + 3(z - 0) = 0,

en uitwerken hiervan geeft:

(7) 6x + 4y + 3z = 12

Je kunt nu door invullen gemakkelijk controleren dat de coördinaten van de punten A, B en C inderdaad aan (7) voldoen. Overigens hadden we in dit speciale geval de vergelijking van het vlak direct uit het hoofd kunnen opschrijven in de vorm (1/2)∙x + (1/3)∙y + (1/4)∙z = 1 omdat van elk van de drie gegeven punten A resp. B resp. C alleen de x- resp. y- resp. z-coördinaat ongelijk is aan nul. Maar in het algemeen is dat uiteraard niet zo als je de cartesische vergelijking van een vlak door drie gegeven punten op moet stellen.

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 12-05-2012 02:21:53 ]

quote:

Op donderdag 10 mei 2012 18:39 schreef Riparius het volgende:

[..]

Als je met die 10 het grondtal bedoelt van de logaritme, dan moet je dat wel superscripten, anders sticht je alleen maar verwarring. Dus:

L = ¹⁰log(I/I₀)

Verder kun je gewoon gebruik maken van de definitie van de logaritme: ^glog a is de exponent waartoe je g moet verheffen om a te verkrijgen. Hier is L dus de macht waartoe je 10 moet verheffen om I/I₀ te verkrijgen:

10^L = I/I₀

Het is niet het superscript van de formule

quote:

Op vrijdag 11 mei 2012 22:11 schreef TheDutchguy het volgende:

[..]

Het is niet het superscript van de formule

Ik begrijp niet wat je bedoelt, en in ieder geval sticht je verwarring, precies zoals ik al zei. Als je 10 een factor is dan moet je 10∙log(I/I₀) schrijven en ook het grondtal van je logaritme specificeren, want het symbool log is ambigu.

quote:

Op vrijdag 11 mei 2012 22:19 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik begrijp niet wat je bedoelt, en in ieder geval sticht je verwarring, precies zoals ik al zei. Als je 10 een factor is dan moet je 10∙log(I/I₀) schrijven en ook het grondtal van je logaritme specificeren, want het symbool log is ambigu.

Ik schreef de formule precies over uit mijn BINAS. Ik ga er in ieder geval van uit dat het 10 * is, maar is ook niet duidelijk aangegeven. Er staat L = 10 log(I/I₀)

Je moet inderdaad met 10 vermenigvuldigen (en 10 is ook het grondtal geloof ik) om het geluidsniveau in dB (deciBell) te krijgen. Als je die 10 weglaat krijg je het in B (Bell).

quote:

Op vrijdag 11 mei 2012 22:50 schreef TheDutchguy het volgende:

[..]

Ik schreef de formule precies over uit mijn BINAS. Ik ga er in ieder geval van uit dat het 10 * is, maar is ook niet duidelijk aangegeven. Er staat L = 10 log(I/I₀)

Goed. Aangenomen dat Briggse logaritmen (grondtal 10) bedoeld zijn krijgen we dan:

I = I₀∙10^L/10

Wat is hier nu moeilijk aan?

Ik ben gewoon niet zon held met logaritmes Bedankt!

Ik heb nog wat moeite met hoe complexe integralen werken.



De eerste is niet zo moeilijk. De functie is holomorf op een omgeving van de afsluiting van D = C(2,1), gesloten kromme, dus 0.
Bij de tweede gaat het al fout, omdat hw sqrt{z} niet gedefinieerd is in 't punt 0. Maar ik kan geloof ik niet de residuenstelling gebruiken, want dan moet het een geisoleerde singulariteit zijn, maar op die hele lijn (-\infty, 0] bestaat de functie niet.

quote:

Op zaterdag 12 mei 2012 16:08 schreef Hanneke12345 het volgende:
Ik heb nog wat moeite met hoe complexe integralen werken.

[ afbeelding ]

De eerste is niet zo moeilijk. De functie is holomorf op een omgeving van de afsluiting van D = C(2,1), gesloten kromme, dus 0.
Bij de tweede gaat het al fout, omdat hw sqrt{z} niet gedefinieerd is in 't punt 0. Maar ik kan geloof ik niet de residuenstelling gebruiken, want dan moet het een geisoleerde singulariteit zijn, maar op die hele lijn (-\infty, 0] bestaat de functie niet.

Bij de tweede kun je over een deel van de cirkel integreren dat 0 niet bevat, en dan een limiet daarvan nemen zodat je pad in de limiet de hele cirkel is.

Zoiets dus?


Kun je dan gewoon zeggen dat die limiet gelijk is aan de integraal? En de integraal over elk van die met dat halve bolletje eruit is 0 (zelfde argument als bij (a)) dus is het 0? Maar bij de derde werkt ook die truc niet meer, en is er nog altijd geen geisoleerde singulariteit

quote:

Op zaterdag 12 mei 2012 16:08 schreef Hanneke12345 het volgende:
Ik heb nog wat moeite met hoe complexe integralen werken.

[ afbeelding ]

De eerste is niet zo moeilijk. De functie is holomorf op een omgeving van de afsluiting van D = C(2,1), gesloten kromme, dus 0.
Bij de tweede gaat het al fout, omdat hw sqrt{z} niet gedefinieerd is in 't punt 0. Maar ik kan geloof ik niet de residuenstelling gebruiken, want dan moet het een geisoleerde singulariteit zijn, maar op die hele lijn (-\infty, 0] bestaat de functie niet.

De hoofdwaarde van √z voor z = r∙e^iφ met -π < φ ≤ π en r ≥ 0 is √r∙e^iφ/2 en daarmee gedefinieerd voor elke z ∈C. Maar inderdaad is deze functie alleen holomorf op C\(-∞,0].

Bij ons is het geloof ik -π < φ < π, maar dat weet ik niet zeker. Kan ik zo gauw ook niet terugvidnen.

quote:

Op zaterdag 12 mei 2012 19:59 schreef Hanneke12345 het volgende:
Zoiets dus?
[ afbeelding ]

Kun je dan gewoon zeggen dat die limiet gelijk is aan de integraal? En de integraal over elk van die met dat halve bolletje eruit is 0 (zelfde argument als bij (a)) dus is het 0? Maar bij de derde werkt ook die truc niet meer, en is er nog altijd geen geisoleerde singulariteit

Je moet dan wel de integraal over dat kleine cirkeltje dan afschatten en laten zien dat dat in de limiet naar 0 gaat.

Bij de derde kun je het gewoon direct parametriseren.

quote:

Op zaterdag 12 mei 2012 19:59 schreef Hanneke12345 het volgende:
Zoiets dus?
[ afbeelding ]

Kun je dan gewoon zeggen dat die limiet gelijk is aan de integraal? En de integraal over elk van die met dat halve bolletje eruit is 0 (zelfde argument als bij (a)) dus is het 0? Maar bij de derde werkt ook die truc niet meer, en is er nog altijd geen geisoleerde singulariteit

Inderdaad, bij het tweede geval kom je door een limietbeschouwing tot de conclusie dat de integraal langs γ ook hier nul moet zijn, want de integraal langs de gesloten curve in je plaatje blijft 0, hoe klein je het boogje rond de oorsprong ook maakt.

Voor de derde opgave heb je z(φ) = e^iφ als parametervoorstelling van je curve.

Kun je met dat bolletje niet zeggen dat de functie holomorf is op een omgeving van de afsluiting van dat gebied, en dus (stelling) dat de integraal over de rand 0 is? Omdat het dan weer gewoon een gesloten kromme is enzo.

Die derde ga ik even proberen met parametrizeren.

quote:

Op zaterdag 12 mei 2012 20:18 schreef Hanneke12345 het volgende:
Kun je met dat bolletje niet zeggen dat de functie holomorf is op een omgeving van de afsluiting van dat gebied, en dus (stelling) dat de integraal over de rand 0 is? Omdat het dan weer gewoon een gesloten kromme is enzo.

Die derde ga ik even proberen met parametrizeren.

De integraal over zo'n gesloten kromme is inderdaad 0, maar je moet nog wel aantonen dat alles in de limiet ook goed gaat. In dit voorbeeld is dat vrijwel triviaal, maar 't is wel goed om je daar in het algemeen bewust van te zijn.

RIemann som

Ik heb 6 VWO WisB al afgerond, en iemand in het examentopic kwam aanzetten dat we Riemann sommen moeten beheersen (ofwel invoeren op de GR)

Maar hoe moest dat ookalweer!?



Ik gebruik Mathprint instellingen op de GR, als ik dan die somrij pak, welke waarden moet ik dan invullen? Ik ben heel die rotzooi vergeten

Gaan we even uit van de vraag dat ik de oppervlakte van x=2 tot x=24 wil weten van de functie 3^x - 9x

En ja, ik zou hier ook gewoon een integraal voor kunnen pakken, maar het gaat me nu specifiek om de Riemannsom

Je moet die x_k op je intervalletje invullen waarvoor f(x) het grootst is, en ook de x_k waarvoor f(x) het kleinst is.

Op Thabits manier krijg je een bovensom en ondersom (dus een bovengrens en ondergrens voor de integraal). Je kan ook steeds op ieder interval [x_k, x_k+1] de waarden in het midden nemen en daar f evalueren. Dan krijg je iets wat direct wat dichter bij de integraal zal zitten dan de ondersom of bovensom, en het is ook wat makkelijker te berekenen omdat je niet het supremum of infimum op ieder intervalletje hoeft te bepalen (dan moet je steeds nagaan of de functie daalt of stijgt op dat interval, etc).

Voorbeeld: Je moet het interval [2,24] opdelen in kleine deelintervalletjes. Je kan als grootte van die deelintervalletjes bijvoorbeeld 1 nemen (hoe kleiner, hoe dichter je bij de werkelijke integraal komt). Als je f dan steeds op de middens van die deelintervalletjes evalueert, moet je dus het volgende berekenen:


Terwijl


Dus dat zit nog redelijk in de buurt, ondanks het feit dat ik zulke grote deelintervallen heb genomen en je functie zo ontzettend hard stijgt .

Hoe los ik dit op?



Ik streepte de en de tegen elkaar weg:





Klopt dit?

quote:

Op zondag 13 mei 2012 13:24 schreef PizzaGeit het volgende:
Hoe los ik dit op?



Ik streepte de en de tegen elkaar weg:





Klopt dit?

Wat wil je oplossen? Wat is six?

(six=6 ziet er wel logisch uit, net zoiets als two = 2? )

quote:

Op zondag 13 mei 2012 13:25 schreef thenxero het volgende:

[..]

Wat wil je oplossen? Wat is six?

Numbers
one
two
three
four
five
six
seven
eight
nine
ten